optimaler Standort Mathematik und Wirtschaft Hinweis für Leser der Folien Folien dienen in einem Vortrag der Unterstützung des gesprochenen Wortes Wenn Sie diese Folien ohne Vortrag lesen, sind naturgemäß manche eile nicht verständlich Dies gilt insbesondere für Folien, die mit Animierung arbeiten und die im Folgenden nicht sichtbar werden Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Gliederung Wirtschafts- und Schulmathematik Lineare Optimierung Knappe Ressourcen elementare Geometrie Produktionsplanung graphisches Lineares Programmieren Modelländerung: Kleine Ursache große (?) Wirkung Lineare Programme und Matrizen Lehr- und Lernmaterialien der linearen Optimierung im Internet Fallbeispiele: Fahrkartenpreise Evakuierung Krebsbestrahlung Standortplanung Notfallhubschrauber elementare Geometrie Supply Chain Management Parallellager- und Materialflußplanung Lehr- und Lernmaterialien des Lehrstuhl Mathematik: Strukturieren Verstehen Was ist Wirtschaftsmathematik? Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Abstraktes Lösen von Problemen Wirtschaften: über knappe Mittel so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Modellierungszyklus der Wirtschaftsmathematik Interpretation und Evaluierung der Lösung in Praxis Praktisches Problem (Projekt) Lösung des mathematischen Modells Aufstellen eines mathematischen Modells Bedeutung der Wirtschaftsmathematik in der Schule Motivation Anwendungen können leicht erklärt werden Potential und Grenzen der Mathematik bei der Lösung von Problemen wird sichbar Standard-Schulmathematik reicht für vereinfachte mathematische Modelle Interdisziplinarität im Unterricht Sozialkunde Informatik, Innere Differenzierung im Unterricht Besprechung komplexerer Modelle Verständnis für Modellierungszyklus Stimmt das??? Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 -
Bedeutung von LP in der Wirtschaft Umfrageergebnis des Fachbereichs Mathematik, U Kaiserslautern, in der Wirtschaft: LP ist für uns das wichtigste mathematisches Werkzeug Wirtschaftliche Anwendungsbeispiele (persönliche Erfahrung): - Produktionsplanung - Bestückung elektronischer Bauteile - Krankenhausmanagement - Organisation von ransporten - Evakuierungsplanung - Optimierung von Bestrahlungsplanung - ourenplanung der Müllabfuhr - Knappe Ressourcen Elementare Geometrie Rucksackproblem: Wie viele Gegenstände kann man in einen Rucksack packen, wenn man das Volumen jedes Gegenstandstyps das Gesamtvolumen des Rucksacks kennt? 6 7 8 9 0 Volumen des Rucksacks: 9 6 8 80 Anwendung in der Wirtschaft: Rucksack: Lastwagen, Space Shuttle, Großprojekt mit Budget, Gegenstandstypen: ransportgüter, eilprojekte mit Kosten, Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - Nur ypen: Kleines Beispiel Volumen des Rucksacks: 8 Entscheidungsvariable x Anzahl der Gegenstände vom yp x Anzahl der Gegenstände vom yp Rucksackbedingung: x + x < 8 x, x > 0 y 6 x>0 x + y < 8 x + y = 8 Zulässigkeitspolyeder Rucksack Beispiel x + y < 8 x, y > 0 Schulmathematische hemen: Geraden und Gleichungen Halbräume Polyeder y>0 x Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-9 - Der Gewinn beim Verkauf von Kakaoprodukten soll maximiert werden Daten: Kakaopulver Schokolade Vorhandene Kapazität Gewinn 0 0 Anlage 8 Anlage 0 Anlage 0 Lineares Programm: Kleines SchokoLeb Beispiel (Entscheidungs-)Variable: x, x Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - maximiere 0 x + 0 x unter x + x 8 x + 0 x 0 x + x x,x 0 Algorithmus : Grafisches Verfahren zur Lösung Linearer Programme mit zwei Variablen Input: Lineares Programm der Form max cx + cx ax + ax b K amx + amx bm x, x 0 Output: Optimallösung (x * x *) mit optimalem Zielfunktionswert z* Beispiel Beispiel Schritt : Für i =,,m zeichne nacheinander die Geraden a i x + a i x = b i und die zugehörigen Halbräume a i x + a i x < b i Schritt : Bestimme den Zulässigkeitsbereich, dh das Polyeder P, gegeben als die Menge aller x, x > 0, die im Durchschnitt der Halbräume a i x + a i x < b i liegen Schritt Wähle irgendeine Zahl z und zeichne die Gerade c x + c x = z Schritt : Verschiebe diese Gerade parallel, so dass der Wert von z größer wird ue dies so lange bis ein Wert z =:z* erreicht ist, so dass die Gerade c x + c x = z* das Polyeder P nur noch berührt, dh das Polyeder vollständig auf einer Seite der Geraden liegt Wähle (x * x *) als einen der Eckpunkte, in denen die Gerade c x + c x = z das Polyeder berührt
6 x=0 0x + 0y =0 0x + 0y =0 x>0 Optimallösung (x* y*) = ( 6) Zulässigkeitspolyeder x < x = y = y < LP (SchokoLeb Beispiel) Max 0x + 0y udn x + y < 8 x < y < x, y > 0 0x + 0y =60 x=0 x>0 -x+y< -x+y= Optimallösung (x* y*) = ( ) max y unter dennebenbedingungen x + y x + y x, y 0 z* = = 0 x + y enthält Optimallösung (x* y*) = ( ) x + y < 8 Algorithmus - - z = = 0 x + y y>0 y=0 x + y = 8 y>0 y=0 - - x+y< x+y= Modelländerungen Modelländerungen zur Erinnerung: Praktisches Problem (Projekt) Was ist wenn Interpretation und Evaluierung der Lösung in Praxis Aufstellen eines mathematischen Modells die Lösung nicht aus der Zeichnung abgelesen werden kann Kosten minimiert, statt Gewinn maximiert wird Gleichung Min Lösung des mathematischen Modells die Produktionseinheiten ganzzahlig sein müssen IP Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - x =0 x >0 Optimallösung (x * x *) = (??) -6x +0x =6-6x +0x < 6 max x + 8x 6x + 0x 6 6x + x 76 x, x 0 Lösen von LPs und Gleichungssysteme - Die Lösung erfüllt das Gleichungssystem - - z* =?? = x z = 6 = x + 8x + 8x enthält Optimallösung (x * x *) = (??) - - 6x +x < 76 x >0 x =0 6x +x =76 + + -6x +0x =6 6x +x =76 0x +(0 + ) x = (6 + 76) x = 88 x = 7/ x = (0*7/ - 6) / 6 = 7/ Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 -
x =0 x >0 Optimallösung (x * x *) = (7/ 7/) -6x +0x =6-6x +0x < 6 max x + 8x 6x + 0x 6 6x + x 76 x, x 0 f(x ) g(x ) Maximieren Minimieren min f(x ) = x x < x > z* = / = x + 8x enthält Optimallösung (x * x *) = (7/ 7/) Optimallösung: x = x x >0 x =0 - Optimallösung: x = - - - - 6x +x < 76 6x +x =76 - - max g(x ) = - x x < x > Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-0 - Maximieren Minimieren Ganzzahlige Produktionspläne max c x + c x min ( c ) x + ( c ) x Was passiert, wenn Produktionseinheiten nur ganzzahlige Werte annehmen können? m m m x, x K 0 m m m x, x 0 K Ganzzahliges, lineares Programm: max c x + c x m m m x, x 0 ganzzahlig K Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Beispiel: ransport von Gefahrengütern Ganzzahliges, Lineares Programm Wieviel (nicht teilbare) Einheiten eines Gutes bzw kann man transportieren, wenn pro Einheit: Gut Gut Profit: 7 (Mill Euro) Kapazität: (Platzeinheiten) Gefahrenwert: 9 - ( -0 bis +0 Skala) (additiv) Dabei Gesamtkapazität: Gefahrenhöchstwert: 6 pro Einheit: Gut Gut Gesamt Profit: 7 (Mill ECUs) Kapazität: (Platzeinheiten) wissensch 9 ( -0 bis +0 Skala) 6 Wert: - Maximiere x + 7x unter den Nebenbedingungen x + x < 9x - x < 6 Vorzeichenbedingungen x,x > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x,x ganzzahlig Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - -
x Lösung der LP- Relaxierung Maximiere x + 7x unter den Nebenbedingungen x + x < 9x - x < 6 Vorzeichenbedingungen x,x > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x,x ganzzahlig x Konvexe Hülle der ganzzahligen Lösungen x + x < 9x - x < 6 Optimallösung ohne Ganzzahligkeit: x * =, x * = Zielfunktionswert: x + 7x =,7 x + x < x * =, x * = 000000 $ Problem P = NP? 9x - x < 6 Zielfunktion: x + 7x = x x Zielfunktionswert: x + 7x =8 Zielfunktion: x + 7x = 0 Zielfunktion: Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - x + 7x alter (i,j) Entfernungstarif neuer (k,l) Wabentarif arifplanung im ÖPNV - Waben Ändere Entfernungstarif in Wabentarif, so dass Kunden möglichst wenig betroffen sind i,j, k,l, Haltestellen (unbekannte) Waben d ij p kl Haltestelle i - Zone k Zuordnung: h ik {0,} Westpfalz Verkehrsverbund alter (i,j) Entfernungstarif Haltestelle i - Zone k Zuordnung arifplanung im ÖPNV - Waben Minimiere Abweichung von alten arifen: minimiere neuer (k,l) Wabentarif h h d p ik jl ij kl i, j, k, l k ik ik p, d 0 kl h = i h {0,} i, k ij NP-schweres Problem einfach, falls Zonen gegeben sind Westpfalz Verkehrsverbund Zonen können unzusammenhängend sein Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - Matrixschreibweise für Lineare Programme maximiere 0 x + 0 x unter x + x 8 x + 0 x 0 x + x x,x 0 maximiere c x unter Ax b x 0 wobei c = (0,0) 8 b A x 0 x =, = 0 und = x Matrizen und Vektoren (Entscheidungs-) Vektor x = (x x ) x ransposition eines Vektors x = x Zielfunktionsvektor c = ( c c ) = ( 0 0) Koeffizientenmatrix Kapazitätsvektor a a A = a a = 0 a a 0 b 8 b = b = b maximiere 0 x + 0 x unter x + x 8 x + 0 x 0 x + x x,x 0 Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-9 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-0 -
Lineare Programme in Standardform maximiere 0 x + 0 x unter x + x 8 x + 0 x 0 x + x x,x 0 minimiere -0 x + -0 x unter x + x 8 x + 0 x 0 x + x x,x 0 minimiere -0 x + (-0) x unter x + x + x = 8 x + 0 x + x = 0 x + x + x = x,x, x,x,x 0 Schlupfvariable x=0 x>0 6 Zulässigkeitspolyeder x < x = y = y < x + y < 8 LP (SchokoLeb Beispiel) Max 0x + 0y udn x + y < 8 x < y < x, y > 0 minimiere -0 x + -0 x unter x + x + x = 8 x + 0 x + x = 0 x + x + x = x,x, x,x,x > 0 Visualisierung eines -dimensionalen Raumes y>0 y=0 Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - x + y = 8 Matrixschreibweise für Lineare Programme in Standardform Im Beispiel: c minimiere c x unter = ( 0, 0,0,0,0) Mx = b x 0 maximiere 0 x + 0 x unter x + x 8 x 8 0 0 x b =, M = ( A I ) = 0 0 0 und x = x 0 0 0 x x x + 0 x 0 x + x x,x 0 ransformation in Standardform Jedes Lineare Programm kann in ein Lineares Programm in Standardform mit b > 0 transformiert werden Beweis: minimiere unter c x Mx = b x > 0 multipliziere jede (Un-)Gleichung mit b i <0 mit (-) (bei Ungleichungen > durch < ersetzen und umgekehrt) addiere in jeder Ungleichung < eine Schlupfvariable subtrahiere in jeder Ungleichung > eine Überschußvariable füge im Vektor c für jede neue Variable eine 0 ein ersetze ggf maximiere durch minimiere (und dabei c durch (-c)) Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - ransformation in Standardform (Beispiel) Simplexstarttableau - Beispiel maximiere x +x -x unter x - x = -x +x > -x +x -x < x +x > - minimiere -x -x +x +0x +0x +0x 6 x -x = = = -x +x > -x> 6 = -x +x -x < + x < = -x x -x < +x < = c = (,,,0,0,0) 0 0 0 0 0 0 0 M = 0 0 0 0 0 b = 0 0 0 0 0 0 c 0 0 0 8 = M b = 0 0 0 0 0 0 maximiere 0 x + 0 x unter x + x 8 Kompakte Darstellung der Daten eines LP in Standardform mit Basis B= {,,} x + 0 x 0 x + x x,x 0 Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - 6
Simplexverfahren - Grundidee In jeder Iteration geht man von einer zulässigen Basislösung x zu einer anderen benachbarten zulässigen Basislösung x : - die zu x bzw x gehörenden Einheitsvektoren in M unterscheiden sich um genau eine Spalte (Basisaustausch) - der Zielfunktionswert c x von x ist mindestens so gut wie der von x Lösung durch Enumeration aller Basislösungen? Anzahl der Basislösungen: n + m ( n + m)! ( n + )( n + )( n + m) Cn( n + m, m) : = = = m m! n! m! n m Cn(n+m,m) 0 6 0 00 0 0 876 0 0 7, * 0 0 0000 0, * 0 6 Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - Simplexverfahren - Beispiel - - Simplexverfahren - Beispiel - - 0 0 0 0 0 0 c 0 0 0 8 = M b = 0 0 0 0 0 0 B={,, } Basislösung x -- = (0 0 8 ) mit Zielfunktionswert 0 Basistausch: B={,, } B ={,,} = B \ {} {} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 Z0: = Z0 ( 0) Z 0 0 6 = Z: = Z Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Neue Basislösung: x -- = ( 0 6 0 ) Zielfunktionswert ist -0x -0x +0x +0x +0x = -0 ransformiere die erste Spalte in M in den zweiten Einheitsvektor durch Pivotoperationen Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-9 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-0 - Simplexverfahren - Beispiel - - Basisaustausch: {,,} {,,}, dh wir ersetzen den Einheitsvektor in Spalte mit Hilfe von Pivotoperationen durch einen Einheitsvektor in Spalte : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-0 0 6 Z : = Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 70 - Z0: = Z0 ( 0) Z 0 0 Z: = Z Z 0 0 0 0 0 6 Neue Basislösung: x -- = ( 0 0 6) Zielfunktionswert -0x -0x +0x +0x +0x = -70 Simplexverfahren - Beispiel - - Basisaustausch: {,,} {,,}, dh wir ersetzen den Einheitsvektor in Spalte mit Hilfe von Pivotoperationen durch einen Einheitsvektor in Spalte : 0 0 0 70 0 0 0 70 0-0 0 : - 0 Z = Z 0 0 0 0 0 0 0 0-6 0 0-0 0 0 0 60 Z0: = Z0 ( ) Z 0 0 0 6 Z : = Z ( ) Z 0 0 - Z: = Z Z 0 0 - Basislösung: x -- = ( 6 0 0) Zielfunktionswert -0x -0x +0x +0x +0x = -60 Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - 7
Optimalitätskriterium Die Lösung des SchokoLeb Beispiels Wenn in einem Simplextableau bis auf den Eintrag in der rechten, oberen Ecke, alle Einträge in der obersten Zeile und in der letzten Spalte größer oder gleich 0 sind, dann ist die zugehörige Basislösung eine Optimallösung des Linearen Programms 0 0 0 0 0 0 c 0 0 0 8 = M b = 0 0 0 0 0 0 Durch Simplexxls (freies Download Programm) wwwmathlouisvilleedu/~t0ried0/simplexxls Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Fallbeispiel Evakuierungsplanung Max V Σ (x):= Σ Σ Σ x id (t') t=0 (i,d) A {t' : t' +λ id (t' )= t} MDF problem (cont) x ji (t ') time t'' t' t- t t + Conservation flow constraint: node x pi (t '') x ii (t) x ii (t-) x il (t) x ik (t) Σ Σ x ji (t' ) + x ii (t-) - Σ x ij (t) - x ii (t) = 0, i N-{s,d}, t (j,i) A {t' : t' +λ ji (t' )= t} (i,j) A () Arc (movement flow) capacity constraint: 0 x ij (t) u ij (t) () Node (holdover flow) capacity constraint: 0 x ii (t) a i (t), i N -{s,d}, t () Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - Fallbeispiel Krebsbestrahlung Berechnung des Intensitätsprofils mittels multikriterieller Optimierung minimize ( t, t,, t K ) such that P x + t L e L e P k x t k U k e U k e, k =,,K t = ( t, t,, t K ) 0 x 0 Bestimmung von 00-,000 Pareto Lösungen und Suche in einer Datenbank mit Hilfe eines grafischen Suchwerkzeugs Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - 8
Internet Ressourcen zu LP - - Internet Ressourcen zu LP - - REALISISCHE FALLBEISPIELE: Viele kleine Beispiele von LP Anwendungen zum Üben vom LP Modellieren und Lösen: http://wwwmsicacuk/jeb/or/lphtml Sammlung von Fallbeispielen: http://www-fpmcsanlgov/otc/guide/casestudies/indexhtml Überblick über LP Anwendungen (kommentierte Bibliographie) : http://cattbusokstateedu/itorms/volumes/vol/papers/murphy/indexhtml#op GAMS: Bibliothek von Fallbeispielen mit LP Modellierung in GAMS Modellierungssprache: http://wwwgamscom/modlib/modlibhtm Auflistung nach hemen: http://wwwgamscom/modlib/libhtml/subindxhtm#agecon AMPL: Bibliothek von Fallbeispielen mit LP Modellierung in AMPL Modellierungssprache: http://wwwamplcom/ampl/examples/indexhtml Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-9 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-0 - Internet Ressourcen zu LP - - Internet Ressourcen zu LP - - FREI VERFÜGBARE OPIMIERUNGSSOFWARE LINDO: http://wwwlindocom/table/downloadthtml XPRESS: http://wwwdashoptimizationcom/student_requesthtml registrieren, dann freie Software runterladen unter http://wwwdashoptimizationcom/download/00cexe XPRESS GRAFISCHES VERFAHREN mit online Eingabe von Zielfunktion und Daten http://bridgeecnpurdueedu/~yiguo/lp/clientside/ SONSIGES Üben von Pivotoperationen: http://wwwsorprincetonedu/~rvdb/java/pivot/advancedhtml AMPL: http://wwwamplcom/downloads/indexhtml (online Version für grosse Beispiele verfügbar) softwaredemo Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Lehrerfortbildungs- und Schülerprojekte Internetressourcen: E-Learning: http://optimierungmathematikuni-klde/e-wims Unterrichtsmaterialien, Projektbeschreibungen etc http://optimierungmathematikuni-klde/mamaeusch Lehrerfortbildungs- und Schülerprojekte Buch inkl Lehrmaterialien (powerpoint Folien, Übungsaufgaben): Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - 9
Platzierung von Notfallhubschraubern (Weisses Kreuz, irol) Einsatzorte (bekannt) Standort (unbekannt) für einen Hubschrauber Spezialfall: Hubschrauber - Einsatzorte E E Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007 - - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - Spezialfall: Hubschrauber - m Einsatzorte Mittelpunkt zwischen E und E E E Mittelpunkt zwischen E und E als Kreismittelpunkt Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - Mittelsenkrechte zwischen E und E Mittelsenkrechte zwischen E und E Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-9 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-60 - 0
Der beste Standort eines Hubschraubers für Einsatzorte : Lösung des -Hubschrauberproblems MS E E MS E E E E MS eckige Kreise Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - Verfahren zur Lösung des -Standortproblems Verfahren zur Lösung des -Standortproblems - Beispiel Löse das Problem für alle Paare und riple von Einsatzorten Zeichne die entsprechenden Kreise SOP: Sobald einer der Kreise alle Einsatzorte enthält,, Gültigkeitsbeweis? (Löst man so tatsächlich das Problem?),, Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - Verfahren zur Lösung des -Standortproblems - Beispiel Verfahren zur Lösung des -Standortproblems - Beispiel optimaler Standort,, Ex,Ex,Ex,,,, Wieviele Probleme müssen gelöst werden: n n n( n ) n( n )( n ) + = + = O( n ) 6 Kann man vermeiden, alle diese vielen Probleme zu lösen? Ja: Elzinga-Hearn Algorithmus (97) Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-6 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-66 -
Aufgabe Lösung Bestimmt einen optimalen Standort x für den Hubschrauberlandeplatz, wenn Ex = A = ( -) Ex = B = (0 ) Ex = C = ( 8) Ex = D = (6 6) Ex = A = ( -) Ex = B = (0 ) Ex = C = ( 8) Ex = D = (6 6) 0 B C X D die Koordinaten der Einsatzorte sind 0 A Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-67 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-68 - Mehr als Hubschrauber - Was ist zu tun? Supply Chain Management Bilde soviele Cluster aus den Einsatzorten, wie Hubschrauber vorhanden sind Löse für jedes Cluster das -Hubschrauber Problem Ein einfaches Vertriebsnetzwerk Lieferanten Werke Vertriebszentren Kunden Wie bestimmt man Cluster? ZB durch Bestimmung eines Spannenden Waldes (Graphentheorie) Heuristik Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-69 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-70 - Vertriebsnetzwerk-Design Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks (Forts) Werke Vertriebszentren Kunden ypische Entscheidungen: Vetriebszentren Wie viele? Wo? Größe? Welche Kunden werden von jedem Vertriebszentrum beliefert? Input: Entscheidungen: Ziel: Netzwerkstruktur Kundennachfrage ransportkosten Belieferungsmuster: vom VZ zum Kunden Größe der Vertriebszentren Vertriebszentren Kunden Minimierung der Entfernungen Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 -
Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks (Forts) Voronoi-Diagramme Für Punkte: Für Punkte: Annahmen: identische Vertriebszentren (VZ) gleicher Güterpreis in jedem VZ ransportkosten = fester Preis Distanz jeder Kunde wird von dem nächstgelegenen VZ beliefert Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Kundenzuordnung mit Hilfe von Voronoi- Diagrammen Kundenzuordnung mit Hilfe von Voronoi- Diagrammen Ansatz: Unterteilung der Ebene in N Zellen, V(VZ ),,V(VZ N ) V(VZ i ) = I { x IR : d(x,vz) i d(x,vz k) } k: k i Voronoi-Diagramm VZen Kunden Vorteile: schnelles geometrisches Verfahren niedrige Datenanforderungen: nur Koordinaten von VZ,,VZ N falls l -Norm benutzt wird Plane Sweep Algorithmus O(NlogN) (S Fortune (987)) Nachteile: einige wichtige Aspekte werden nicht beachtet: Kosten sind nicht immer proportional zur Entfernung Standorte mit begrenzter Kapazität nicht entworfen für mehrstufige Vertriebsnetzwerke Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-7 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-76 - Schritt : Redesign eines Vertriebsnetzwerks Heuristik: Initialisierungsschritt Input: - oder -Stufe(n) Netzwerkstruktur Kundennachfrage ransportkosten Werke Vertriebszenteren Kunden Menge : wähle Voronoi-Knoten mit Wahl der Kandidatenstandorte für ein neues VZ a) größtem Gewicht b) zweitgrößtem Gewicht c) drittgrößtem Gewicht Entscheidungen: Ziel: Platziere neue VZen Belieferungsmuster: vom Werk zum VZ vom VZ zum Kunden Größe der Werke/ VZen Minimierung der Gesamtentfernungen Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-77 - Knoten-Gewicht = Gesamtnachfrage aller Kunden in den angrenzenden Zellen Startlokation löse Standortproblem Lageverbesserung : Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-78 - Neues Voronoi-Diagramm
Heuristik: Initialisierungsschritt Heuristische Annäherung mit Hilfe der Voronoi-Diagramme Menge : wähle Voronoi-Zelle mit a) größtem Gewicht b) zweitgrößtem Gewicht c) drittgrößtem Gewicht Position des Kandidaten = optimaler Standort in der ausgewählten Zelle Kandidat- Lageverbesserung : Zelle optimaler Standort löse Standortproblem Neues Voronoi-Diagramm Starte mit Voronoi-Diagramm(en) für existierende VZen (und Werke) Suche nach dem Standort des k-ten neuen VZs (k =,,#neuer VZen): w ä h l e S t a r t l o k a t i o n f ü r n e u e n S t a n d o r t e r s t e l l e e i n V o r o n o i - D i a g r a m m V e r b e s s e r u n g s - s c h r i t t l ö s e e i n z e l n e s p e i c h e r e d i e - S t a n d o r t p r o b l e m e i n k o s t e n g ü n s t i g s t e V o r o n o i - Z e l l e n m i t L ö s u n g n e u e n S t a n d o r t e n b e r e c h n e n e u e s V o r o n o i - D i a g r a m m u n d G e s a m t k o s t e n j a K o s t e n - v e r b e s s e r u n g? n e i n n e i n a l l e S t a r t - l o k a t i o n e n a u s - g e w ä h l t? j a E n d e Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-79 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-80 - Parallellager- und Materialflußplanung Erwartete Anzahl aktiver Stockwerke Parallellager mit Durchfluß von 00-000 ransporteinheiten (E) pro Stunde Daten: En occ n = Anzahl der Stockwerke m = Anzahl von Lagerplätzen/Stockwerk n = Anzahl der Een (unabhängig, gleichförmig verteilt, n >n) n k n k m k i nm i = k i ( ) n ( ) n k = 0 i = 0 k, Pirmasens, Germany Rechentest: Man kann nur 70% bis 90% aktiver Stockwerke erwarten (in der Praxis) Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - Optimierungsbeispiel: Hubrahmen Ziel: Gleichmäßige Verteilung auf Ebenen Gleichmäßige Auslastung der Kommissionierplätze Von den n! vielen möglichen Permutationen können (m+)!(m+) n-m- realisiert werden Optimierungsbeispiel: Hubrahmen Kosten der Plazierung von E i auf Ebene j zb #E derselben Farbe min i, j ij j i ij ij ij c ij x ij x = i x = j x ij = E i auf Ebene j {x i, j} sind zulässige Permutationen x {0,} i, j Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 - Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 -
Systemoptimierung durch (dynamische) Netzwerkflußprobleme optimaler Standort HE END Hubrahmen Materialflußnetzwerk Mathe & Wirtschaft, Speyer, Feb 007-8 -