mth_gew_techn_pythgors.nb 1 Pythgors & Co 5.1. Einleitung Pythgors von Smos wurde um 570 v. Chr. geboren. Der nch ihm bennnte Stz wr bereits früher beknnt. Pythgors zeigte, dss es unendlich viele rechtwinklige Dreiecke mit gnzzhligen Seitenlängen gibt ("pythgoräische Dreiecke"). Hier sind die Formeln von Diophntes von Alexndri (um 50 n.chr.) mit Hilfe derer mn unendlich viele solche Dreiecke erzeugen knn: = xy b = x - y c = x + y. Für x und y wähle mn zwei teilerfremde ntürliche Zhlen, x > y. Mit diesen Formeln lssen sich sogr lle pythgoräischen Zhlentripel erzeugen, indem mn gefundene Tripel llenflls noch erweitert oder kürzt. Beispiel: x = 4, y = 3 ï = 4, b = 7, c = 5. Es ist ttsächlich 4 + 7 = 5. Ds Dreieck mit den Seitenlängen 4, 7 und 5 ist ein rechtwinkliges Dreieck. Ds beknnteste "pythgoräische Dreieck" ist ds Dreieck mit den Seitenverhältnissen 3 : 4 : 5 (Bild oben links). Eine Schnur, die durch Knoten in 1 gleichlnge Abschnitte geteilt wird, knn so in der Feldmessung zur Erzeugung eines rechten Winkels dienen (siehe Bild oben links). Ein weiteres beknntes pythgoräisches Dreieck ist dsjenige mit den
mth_gew_techn_pythgors.nb Ein weiteres beknntes pythgoräisches Dreieck ist dsjenige mit den Seitenverhältnissen 5 : 1 : 13. Hier sind einige teilerfremde pythgoräische Zhlentripel: 3 5 8 7 0 1 9 8 11 16 33 4 1 15 4 1 35 40 45 60 63 56 5 13 17 5 9 37 41 53 61 65 65 5.. Herleitungen für Höhenstz, Kthetensätze und Stz von Pythgors 5..1. Ein bildlicher Beweis für den Stz von Pythgors Gegeben ist ds weisse rechtwinklige Dreieck, in welchem wir noch die Höhe h c einzeichnen. Die ddurch entstehenden drei Teildreiecke sind winkelgleich und somit ähnlich zueinnder. Wir klppen sie nch ussen wie es ds Bild zeigt. Ihre Fläche ist ein bestimmter Bruchteil, sgen wir ÅÅÅÅ 1, der zugehörigen Qudrtfläche. k Wir hben A 1 + A = A 3 k ï k A 1 + k A = k A 3 ï + b = c
mth_gew_techn_pythgors.nb 3 5... Zusmmenfssung der Sätze m rechtwinkligen Dreieck Aufgbe Wenn mn im rechtwinkligen Dreieck die Höhe h einzeichnet, entstehen drei zueinnder ähnliche Dreiecke. Erstellen Sie möglichst viele Ähnlichkeitsbeziehungen und wndeln Sie diese in Produktsätze um ("Innenprodukt = Aussenprodukt"). Höhenstz: q p = h Kthetensätze: p c = q c = b -------------------- c(p + q) = + b Stz von Pythgors: c = + b Flächenstz: A = b = c h ï h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c = è!!!!!!!!!!!! +b
mth_gew_techn_pythgors.nb 4 5.3. Gleichseitiges Dreieck, hlbes gleichseitiges Dreieck, Qudrt, 45-45 -90 -Dreieck Lernen Sie die Beziehungen m gleichseitigen Dreieck und m gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck uswendig: Aufgbe Zeichnen Sie Ketten neinnderhängender 30-60 -90 - und 45-45 -90 - Dreiecke. Bezeichnen Sie eine Seite mit und drücken Sie lle übrigen Seiten durch us. Erfinden Sie mehrere solche Aufgben. Tuschen Sie diese untereinnder us. Beispiel:
mth_gew_techn_pythgors.nb 5 5.4. Umgehen mit Wurzeln ("exkte Lösungen") Aufgbe Wählen Sie verschiedene rechtwinklige Dreiecke, von denen Sie zwei Seitenlängen mit einem Prmeter kennen. Berechnen Sie die dritte Seite exkt. Beispiel: 4 / c = "######################## 16 + H ÅÅÅÅ L = "###################### 16 + ÅÅÅÅÅÅ 4 = "################# ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 64 + ÅÅÅÅÅÅ = "########## ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 65 4 = è!!!!!! 65 4 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 5.5. Räumlicher Pythgors Aufgben ) Berechnen Sie die Körperdigonle eines Zimmers mit den Mssen, b und c. Ds Resultt wird räumlicher Pythgors gennnt. b) Berechnen Sie die Länge der Körperdigonle eines Würfels mit Kntenlänge. 5.6. Einfchere Einführungsufgben zu den Sätzen im rechtwinkligen Dreieck 5.6.1. Dreiecke: Fehlende Stücke berechnen 1. Rechtwinkliges Dreieck: b c h q p A ) 7 4 5 144 b) ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 13 13 è!!! c) 5 4 d) 8.5. Gleichseitiges Dreieck
mth_gew_techn_pythgors.nb 6. Gleichseitiges Dreieck h A ) 6 è!!! b) 5 c) 15 è!!! 3 3. Gleichschenkliges Dreieck mit Spitze C, Bsis c, Schenkel = b c h h c A ) 5 5 è!!!!! b) 9 5 5.6.. Digonlen berechnen (Lösungswege im Anhng) 4. Berechnen Sie die Länge der Digonlen in ) einem Qudrt mit = 5 b) einem Rechteck mit = 8, b = 6 c) einem Rhombus mit = 15 und e : f = 3 : 4 d) einem gleichschenkligen Trpez mit = 8, b = d = 17, c = 1 e) einem Prllelogrmm mit = 8, b = 15, h = 9. 5.6.3. Weitere Einführungsufgben (Lösungswege im Anhng) 5) Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ht Umfng 30. Wie lng sind die Seiten? b) In einem gleichschenkligen Dreieck sei die Bsis hlb so lng wie ein Schenkel. Der Flächeninhlt beträgt è!!!!! 15. Wie gross ist der Umfng? c) Die Digonlen in einem Rhombus messen 10 und 4. Gesucht sind Seitenlänge und Inkreisrdius. d) Ein Rechteck ht Umfng 34. Der Umkreisrdius beträgt 6.5. Wie lng sind die Seiten? e) In einen Trichter mit Öffnungswinkel 60 fällt ein Bll mit 10 cm Durchmesser. Wie weit sind Trichterspitze und Bllmittelpunkt voneinnder entfernt? f) Von einer qudrtischen Pltte mit Seitenlänge werden vier Dreiecke so bgesägt, dss ein regelmässiges Achteck entsteht. Berechnen Sie die Seitenlänge x des Achtecks und seinen Flächeninhlt (in der Form A = k, k uf 3 Dez.).
mth_gew_techn_pythgors.nb 7 g) Geg: Qudrt mit Seitenlänge. Es wird ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben, dessen eine Ecke mit einer Qudrtecke zusmmenfällt. x =? Lösungen 1. Rechtwinkliges Dreieck: b c h q p A ) 7 4 5 6.7 3.04 1.96 84 60 5 144 b) 1 5 13 ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 30 13 13 13 è!!!!! è!!! c) 0 5 5 1 4 5 è!!!!!! 17 d) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!! 17 8.5 8 0.5 8.5. Gleichseitiges Dreieck h A ) 6 3 è!!! 3 9 è!!! 3 b) è!!! 5 è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! 3 3 c) è!!!!! 15 3 è!!! 5 15 è!!! 3 3. Gleichschenkliges Dreieck mit Spitze C, Bsis c, Schenkel = b c h h c A 5 ) è!!! 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 è!!! 5 5 1.5 è!!!!! 0 b) 9 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 10 è!!!!!! 9 4. Digonlen: ) 5 è!!! b) 10 c) 4; 18 d) 5 e) è!!!!!!!! 337 ; 41 5. Weitere Aufgben: ) è!!! 30 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + è!!! 30 ; + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b) 10 c) 13; 60 ÅÅÅÅÅÅ 13 d) 5; 1
mth_gew_techn_pythgors.nb 8 e) 10 f) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + è!!! ; ( è!!! - 1) g) è!!!!!!!!!!!!!!!! x - + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x = ï x - = I - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x M = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x + ÅÅÅÅÅÅ x ï x + è!!! x - 4 è!!! - ± = 0 ï x = è!!!!!!!!!!!!!!!! 8 + 16!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ( è!!! 6 - è!!! ) 1.035. Lösungsweg zu f): x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! + x + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! = ï x (1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! ) = ï x (1 + è!!! ) = ï x = 1 + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ A = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! x = - x = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ I1 + è!!! = - M = ( ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 1 3 + è!!! ) = ( + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! ) 0.88. ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! = (1-1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! ) 5.7. Weitere Aufgben 1. Eine Kugel mit Rdius 5 mm fällt in ein Loch mit 48 mm Durchmesser. Um wieviele mm sckt der Mittelpunkt der Kugel ein? (Resultt uf Zehntelsmillimeter.)
mth_gew_techn_pythgors.nb 9. Drücken Sie x durch us: x 3 3. Eine.5 m lnge Leiter lehnt n einer Wnd. der Leiterfuss ist 70 cm von der Wnd entfernt. Wie hoch hinuf reicht die Leiter? 4. Ein m lnger Hlm wird so geknickt, dss seine Spitze den Boden erereicht und zwr cm vom Fusspunkt entfernt. Auf welcher Höhe befindet sich die Knickstelle? ) = 0.4 m. b) =. 5. In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kthete dreiml so lng wie die ndere. Die Hypotenuse misst 0 cm. Wie lng ist die kürzere Kthete? 6. Die gnze Plette von Berechnungsufgben m rechtwinkligen Dreieck: Folgende 7 Stücke können gegeben oder gesucht sein (der rechte Winkel ist stets gegeben): b c h q p A. Kennt mn (neben dem rechten Winkel) zwei dieser Stücke, lssen sich die übrigen berechnen. Auf wieviele Arten knn mn us 7 Elementen uswählen? Antwort: Auf J 7 N = 1 Arten. Somit sind theoretisch 1 verschiedene Berechnungsufgben möglich. Wählen Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit gnzzhligen Seitenlängen (s. z.b. Tbelle gnz m Anfng). Berechnen Sie lle 7 Stücke. Dies ist Ihr "Lösungsbltt". Formulieren Sie nun mit diesen Zhlen möglichst viele verschiedene Berechnungsufgben. Geben Sie die fertigen Aufgben mit Ihrem Nmen versehen b. Lösen Sie Ihre Aufgben uch selber wieder uf. - Einige werden sehr einfch, ndere eher schwierig sein. Txieren Sie Ihre Aufgben mit "einfch", "mittel", "schwierig".
mth_gew_techn_pythgors.nb 10 Lösungen 1. 18 mm. è!!!!! 17 3. 40 cm 4. x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 - (in Metern) = 1 - ÅÅÅÅ 4 4 5. è!!!!! 40 = è!!!!! 10 6. Schwierig ist z.b.: c = 5 cm, h =.4 cm. Gesucht: und b. (1): b = c h = 1 (): + b = 5 Es folgt: + b + b = 49 ï (3): + b = 7 und - b + b = 1 ï (4): - b = 1 ï = 8, = 4, b = 3. 5.8. è!!! - und è!!! 3 -Aufgben 1. Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge. Wir gross ist der Inkreisrdius?. Gegeben ist der Umfng u eines 30-60 -90 -Dreiecks. Wie lng sind die Seiten? 3. Einem Kreisbogen vom Rdius r ist ein Hütchen mit Öffnungswinkel 10 ufgesetzt. Gesucht ist die Höhe des Hütchens (von der Sehne bis zur Spitze). 4. Trpez mit Seiten, b, c, d. = Grundseite, c = Deckseite. Gegeben: c = 3 d, = 45, b = 150. Gesucht: usgedrückt durch d. 5. Einem 60 -Sektor mit Rdius r ist der grösstmögliche Hlbkreis so einbeschrieben, dss der Durchmesser uf einem Schenkel liegt und der Kreisbogen den ndern Schenkel berührt. Berechnen Sie den Hlbkreisrdius us r.
mth_gew_techn_pythgors.nb 11 6. 30 45 Berechnen Sie den Inhlt des punktierten Dreiecks us. 7*. Drücken Sie durch den Rdius r us (r = Rdius des Kreises). r r 8. Drücken Sie den Rdius x des einbeschriebenen Kreises durch us: 9. Drücken Sie den Flächeninhlt des gersterten Qudrtes durch und b us: b 10*. Einem Kreissektor mit Zentriwinkel 30 und Rdius r ist ein Qudrt einbeschrieben, so dss eine Seite uf einem Sektorschenkel liegt. Berechnen Sie die Seitenlänge x des Qudrtes us r.
mth_gew_techn_pythgors.nb 1 Lösungen: 1. è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6. x = u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!!, x = u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 3 + è!!!, xè!!! 3 = 3 u è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 + è!!! = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ u è!!! 3 3 + 1 3. h = r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! = r è!!! 3 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4. = 6 d è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! d 3 + 3d - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! 5. x = 8. x = r è!!! 3 + è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! + 1 6. I + è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 M 9. 7. = r "################ + è!!! 3 4 Hb - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 10. x = r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "################# 5 + è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5.9. Kreisberührufgben 1) Mn bestimme den Rdius y des grossen Hlbkreises ls Funktion von. b*) Mn berechne die Fläche A für = 4cm. Runden Sie uf cm genu. ) Gesucht: Rdius r des grossen Kreises usgedrückt durch die Qudrtseite. b*) Gesucht ist die schrffierte Fläche für = 96 mm uf gnze mm genu.
mth_gew_techn_pythgors.nb 13 3. Ziehen Sie in der Figur Hilfslinien zu den Berührpunkten. Berechnen Sie dnn den Rdius r des kleinen, oberen Kreises. (Grundufgbe) 4. Gesucht ist der Rdius des kleineren Hlbkreises usgedrückt durch. (Grundufgbe) 5. Gesucht ist der Rdius des Hlbkreises usgedrückt durch. (Mturufgbe)
mth_gew_techn_pythgors.nb 14 6. Gesucht ist x usgedrückt durch r (Vrinte: r = 16 cm). (Mturufgbe) Vorgehen bei Kreisberührungsufgben Ê Alle Berührrdien und Symmetriechsen einzeichnen. Ê Unbeknnte x wählen. Alle Ergänzungsstrecken durch x usdrücken und beschriften. Ê Pythgors ohne Wurzeln nwenden. Lösungen 1) y = ÅÅÅÅÅÅÅ 3 b) = 4 cm, y = 18 cm, A 1018 cm 7 ) r = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 41 b) 883 mm 96 3. r = ÅÅÅÅ 5 3 m 4. ÅÅÅÅ 5. ÅÅÅÅÅÅÅ 7 6. x = ÅÅÅÅÅÅÅ 3 r 3 6
mth_gew_techn_pythgors.nb 15 5.10. Weiteres Übungsmteril 1. Eine Person (Augenhöhe 1.6 m über dem Strndboden) steht m Meer und sieht ein Segelschiff (Mstenhöhe 15 m) ins Meer hinusfhren. Die Sicht ist äusserst klr. Mit der Zeit scheint ds Boot im Meer zu versinken, und schliesslich verschwindet uch die Mstspitze. In welcher Distnz zu den Augen der Person befindet sich zu diesem Zeitpunkt die Mstspitze des Segelschiffs? (Erdrdius = 6370 km). Gesucht ist x (r). Resultt exkt. 3. Gesucht ist x. 4. Diese Aufgbe führt uf eine qudrtische Gleichung: In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kthete 3 cm kürzer ls die Hypotenuse. Die ndere Kthete ist 3 cm kürzer ls der 4. Teil der längeren Kthete. Wie gross ist der Umfng des Dreiecks?
mth_gew_techn_pythgors.nb 16 5. Die Streckenzüge stehen jeweils senkrecht ufeinnder. Ges: x. Resultt exkt. 6. Die beiden Vierecke sind Qudrte. Gesucht ist A (). Resultt exkt.
mth_gew_techn_pythgors.nb 17 7. Wie gross ist der Rdius x des kleinen mittleren Kreises usgedrückt durch den Rdius r der Hlbkreise? 8. Wie gross ist die Fläche des kleinen Kreises in cm (uf 1 Stelle nch dem Komm genu)? Lösungen: 1. c. 18.3 km.. x = ÅÅÅÅÅÅÅ r 3. x = 4.8 cm 3 4. Die Seiten messen 13 cm, 10 cm und 7 cm, U = 70 cm. 5. è!!! 6 6. A = I 3 - è!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M 7. x = r ( è!!! - 1) 8. 59.1 cm
mth_gew_techn_pythgors.nb 18 5.11. Anhng 1 5.11.1. Indische Sulbsutrs In der lten indischen Kultur (um 1000 v.chr.) gb es die "Schnurlehre" (sulbsutr). Sie diente ls Anleitung zum Bu von Altären. Mn findet dort etw folgende Anleitung: Ê Ds Seil, welches entlng der Digonle eines Qudrtes gespnnt wird, liefert eine doppelt so grosse Fläche wie ds ursprüngliche Qudrt. Ê Ferner wird eine Konstruktion ngegeben, die zum Ziel ht, ein Qudrt zu erhlten, ds die gleich grosse Fläche ht wie zwei vorgegebene, unterschiedlich grosse Qudrte zusmmen. Wie könnte mn diese "Qudrtverschmelzung" mit Hilfe des Stzes von Pythgors durchführen? 5.11.. Der Stz von Pythgors für Smileys 1 3 Der Stz von Pythgors gilt uch für Smileys! Die Gesichtsflächen von Smiley 1 und Smiley zusmmen sind gleich gross wie die Gesichtsfläche von Smiley 3. Anloges gilt für lle Elemente des Bildes von Pul Klee unter 5..1.
mth_gew_techn_pythgors.nb 19 Anhng : Lösungswege zu 5.6. und 5.6.3 S. 6, 5.6.., Nr. 4 S.6, 5.6.3., Nr. 5 5) Sei x die Länge eines Schenkels, dnn ist x è!!! die Länge der Hypotenuse. Umfng = 30 = x + x + x è!!! = x + x è!!! = x( + è!!! 30 ) = 30 ï x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + è!!! b) x h x x/ x h = "################### 4 x - ÅÅÅÅÅÅ x 4 = "########## ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 15 x 15 Seite Höhe 15 15 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. A = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 Es ist A = è!!!!! è!!!!!! x 15 15 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 : è!!!!! 15 ï 1 = ÅÅÅÅÅÅ x 4 ï 4 = x ï x =. ï U = 5x = 10 cm. 4 = x è!!!!!! x x è!!!!!! x è!!!!!!
mth_gew_techn_pythgors.nb 0 c) s s 5 1 s x x h s s = "################## 1 + 5 = 13 A Rhombus = ÅÅÅÅÅÅÅ e f 4 10 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 10 = s h ï h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 10 13 ï x = ÅÅÅÅ h d) Skizze. d = 13 cm. Sei x = Breite ï "################## 13 - x = Länge Hlber Umfng = 17 = x + "################## 13 - x ï (17 - x) = "################## 13 - x ï H17 - xl = 169 - x ï 89-34x + x = 169 - x ï x - 34x + 10 = 0 ï x - 17x + 60 = 0 ï x = 1 cm, Länge = 5 cm. e) = ÅÅÅÅÅÅ 60 13 cm. x 5 x = 10 cm (Doppeltes von 5; siehe schrffiertes hlbes gleichseitiges Dreieck.)