1 Binomische Formeln I 1.1 Binomische Formeln mit zwei Variablen (a + b = a + ab + b (1 (a b = a ab + b ( a + b ab 1 ab a +b (a + b(a b = a b (3 1. Binomische Formeln mit 3 und n Variablen (a+b+c = [(a+b+c] = (a+b +(a+bc+c = a +ab+b +ac+bc+c = a + b + c + ab + ac + bc An diesem Beispiel und unter Berücksichtigung der bekannten Binomischen Formeln mit zwei Variablen kann man leicht erkennen wie eine Binomische Formel mit n Variablen aussehen muss. n n n a i = a i + a i a j (4 i=1 Summenzeichen Σ i=1 i=1 j n j>i n a i = a 1 + a +... + a n 1 + a n (5 i=1 Zeichen Bedeutung a i Allgemeiner Summenterm i Summentermindex 1 untere Summentermgrenze n obere Summentermgrenze Σ Summenzeichen 3 Binomische Formeln II 3.1 Binomische Formeln der Grade null bis vier Definition: (a + b 0 = 1 (a + b 0 = 1 (6 (a + b 1 = a + b (7 (a + b = a + ab + b (8 (a + b 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (9 Anschaulich: (a + b 3 = 1 a 3 b 0 + 3a b 1 + 3a 1 b + a 0 1 b (a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 3ab 3 + b 4 (10 Die Koeffizienten der Lösung einer Binomischen Formel mit Variablen nten Grades entsprechen den Binomialkoeffizienten nten Grades des Pascal schen Dreiecks. 1
3. Pascal sches Dreieck der Binomialkoeffizienten Grad 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 3.3 Binomische Formel fünften Grades Nach dem Prinzip des Pascal schen 1 Dreiecks folgt: (a + b 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b + 10a b 3 + 5ab 4 + b 5 (11 3.4 Summe der Binomialkoeffizienten Die Summe einer Reihe der Binomialkoeffizienten im Pascal schen Dreieck ist immer (Grad der Reihe. 3.4.1 Beispiel: Grad 4 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 4 = 16 3.5 Berechnen der Binomialkoeffizienten (am Beispiel des fünften Grades ( 5 5 ( 5 Definition: = 0 (1 0 ( 5 = 5 1 1 = 5 (13 ( 5 = 5 4 = 10 (14 1 ( 5 = 5 4 3 = 10 (15 3 1 3 ( 5 = 5 4 3 1 3 4 = 5 (16 4 = 5 4 3 1 1 3 4 5 = 1 (17 3.6 Allgemeine Formel für Binomialkoeffizienten der Ordnung n ( n n(n 1(n... (n k + 1 = k k! 0 < k n (18 1 Pascal, Blaise, französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph. 19.Juni 163, 19. August 166
3.7 Bildungsgesetz des Pascal schen Dreiecks k sei die Spalte in der sich der gewählte Binomialkoeffizient befindet und n sei der Grad. ( ( ( n n n + 1 + = (19 k k + 1 k + 1 3.8 Symmetrie des Pascal schen Dreiecks k sei die Spalte in der sich der gewählte Binomialkoeffizient befindet und n sei der Grad. ( ( ( ( ( ( 4 4 5 5 5 5 = = = 1 3 1 4 3 ( ( n n Allgemein: = (0 k k n 3.9 Binomischer Satz (a + b n = n i=0 4 Quadratische Gleichungen 4.1 Allgemeine quadratischer Gleichung ax bx c quadratischer Term linearer Term absolutes Glied ( n a n i b i (1 i ax + bx + c = 0 a, b, c Q a 0 ( 4. Normierte quadratische Gleichung x + b a x + c = 0 a, b, c Q a 0 a x + px + q = 0 (3 4.3 Herleitung der pq Formel x + px + q = 0 x + px + p 4 + q = p 4 ( x + p p = 4 q x + p p = 4 q x 1 = p p 3 4 q
x = p p + 4 q 4.4 Definition: Diskriminante Der Ausdruck p 4q ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung. 4.5 Allgemeines zur pq Formel x 1/ = p ± p 4 q (4 1. Ist der Radikand genau gleich null (p 4q = 0, dann hat die quadratische Gleichung eine Lösung im Bereich reeller Zahlen.. Ist der Radikand größer als null (p 4q > 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen im Bereich der reellen Zahlen. 3. Ist der Radikand kleiner als null (p 4q < 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen. 5 Vieta scherwurzelsatz I Viète 5.1 Herleitung des Vieta schen Wurzelsatzes I Durch Addition der zwei Gleichungen der pq Formel 5.1.1 Bedingung x 1 und x seien Lösungen einer quadratischen Gleichung. 5.1. Herleitung 5.1.3 Beispiel: I x 1 = p + p 4 q II x = p p 4 q +I III x 1 + x = p (5 f(x = x + 7x + 10 x 1 = x = 5 p = 7 Viète, François, französischer Mathematiker, 1540, 13. Dezember 1603 4
5.1.4 Anwendung x 1 + x = p 5 = 7 = p 5. Herleitung des Vieta schen Wurzelsatzes II Durch Multiplikation der zwei Gleichungen der pq Formel 5..1 Bedingung x 1 und x seien Lösungen einer quadratischen Gleichung. 5.. Herleitung I x 1 = p + p 4 q II x = p p 4 q I III x 1 x = q (6 5..3 Gleichung III ausführlich errechnet 5..4 Beispiel 5..5 Anwendung ( ( p x 1 x = 4 q p p 4 q p ( ( p p = 5.3 Zusammenfassung 4 q p 4 q p ( p = 4 q p = q 4 f(x = x + 7x + 10 x 1 = x = 5 q = 10 x 1 x = p ( 5 = 10 = q Es gibt zwei Vieta sche Wurzelsätze, wobei der Erste aus dem Produkt und der Zweite aus der Summe der zwei Gleichungen der pq Formel entstehen. x 1 + x = p x 1 x = q (7 5
6 Polynome 6.1 Definition: Polynom nten Grades p(x = a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n +... + a 0 x 0 = a i, x i Q 0 i n 6. Definition: Normiertes Polynom nten Grades n a i x i (8 n 1 p(x = x n + a n 1 x n 1 + a n x n +... + a 0 x 0 = x n + a i x i (9 6.3 Allgemeines x i Q 0 i n a i Q 0 i n 1 Sind alle a i Q, dann ist das Ergebnis des Polynoms eine algebraische Zahl. Sind alle a i Q, dann ist das Ergebnis des Polynoms eine transzendente Zahl. 6.4 Auflistung der Polynome 0ten bis 4ten Grades Grad Bezeichnung Formel Formel mit Σ n = 0 - p 0 = a n - n = 1 linear p 1 = a n x + a 0 - n = quadratisch p = a n x + a 1 x + a 0 a i x i 3 n = 3 - p 3 = a n x 3 + a x + a 1 x + a 0 a i x i 4 n = 4 - p 4 = a n x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 a i x i 6.4.1 Auflistung der normierten Polynome 0ten bis 4ten Grades Die normierten Polynome erhält man, wenn man a n = 0 in der Tabelle aus Kapitel 6.4 setzt. 7 Vieta scher Wurzelsatz II 7.1 Anwendung auf normierte Polynome mit n Variablen n =, 3, 4 7.1.1 Bedingung x 1, x,..., x n seien Nullstellen eines normierte Polynoms nten Grades. i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 6
7.1. Auflistung Grad Variablen Vieta scher Wurzelsatz n = x 1, x a 0 = ( 1 n x 1 x a 1 = ( 1 n 1 (x 1 + x n = 3 x 1, x, x 3 a 0 = ( 1 n x 1 x x 3 a 1 = ( 1 n 1 (x 1 x + (x 1 x 3 + (x x 3 a = ( 1 n (x 1 + x + x 3 n = 4 x 1, x, x 3, x 4 a 0 = ( 1 n x 1 x x 3 x 4 a 1 =( 1 n 1 (x 1x x 3 + x 1x x 4 + x 1x 3x 4 + x x 3x 4 3 a =( 1 n (x 1 x x + x 1 x 3 x + x 1 x 4 x + x x 3 x + x x 4 x + x 3 x 4 x a 3 = x 1 + x + x 3 + x 4 7. Konstruktion eines normierten Polynoms 4ten Grades mit dem Vieta schen Wurzelsatz 7..1 Bedingung x 1 = 1, x = 0, x 3 = 1, x 3 = seien die gewählten Nullstellen des Polynoms 7.. Konstruktion p 4 (x = x 4 + a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 a 0 = ( 1 4 x 1 x x 3 x 4 = 0 a 1 = ( 1 3 (x 1 x x 3 + x 1 x x 4 + x 1 x 3 x 4 + x x 3 x 4 = (0 + 0 + 0 = a = ( 1 (x 1 x x + x 1 x 3 x + x 1 x 4 x + x x 3 x + x x 4 x + x 3 x 4 x = (0 1 +0+0+ = 1 a 3 = x 1 + x + x 3 + x 4 = 1 + 0 + 1 + = p 4 (x = x 4 + x 3 x + x (30 7.3 Konstruktion eines normierten Polynoms 3ten Grades mit dem Vieta schen Wurzelsatz 7.3.1 Bedingung x 1 = 1, x = 1, x 3 = seien die gewählten Nullstellen des Polynoms p 3 (x = x 3 + a x + a 1 x + a 0 a 0 = ( 1 3 x 1 x x 3 = a 1 = ( 1 (x 1 x + (x 1 x 3 + (x x 3 = 1 + = 1 a = ( 1 n (x 1 + x + x 3 = ( 1 + 1 + = 3 Wie viele Summanden gibt es? ( 4 3 = 4 p 4 (x = x 3 x + x + (31 7
7.4 Berechnung der Nullstellen des konstruierten Polynoms p 3 (x Wir nehmen an, dass die Vorkenntnisse aus Kapitel 7.3 nicht bekannt seien. p 3 (x = x 3 x + x + 7.4.1 Untersuchung des absoluten Gliedes = a 0 a 1 a z.b.: = 1 1 Probe: p 3 (1 = 1 1 + = 0 Bei x = 1 liegt eine Nullstelle x 01 = 1 p 3 (x ist ohne Rest durch (x 1 teilbar. p 3 (x = r (x (x 1 (3 7.5 Darstellung eines Polynoms durch Linearfaktoren und Beweis der Behauptung p 3 (x ist ohne Rest durch (x 1 teilbar 7.5.1 Behauptung Jedes Polynom ist durch Linearfaktoren darstellbar. 7.5. Bedingung x 01, x 0,..., x 0n seien Nullstellen eines Polynoms nten Grades. 7.5.3 Annahme p n (x = x n + a n 1 x n 1 + a n x n +... + a 0 x 0 p n (x = (x x 01 (x x 0... (x x 0n (33 Nun ist leicht zu erkennen, warum p 3 durch (x x 0i teilbar ist. 7.5.4 Reduzierung des Grades von p 3 (x durch Polynomdivision x 3 x x + : (x 1 = x x x 3 x x x x +x x + x + 0 r(x = x x x 0/03 = p p ± 4 q x 0 = 1 x 03 = 8
7.5.5 Beweis p 3 (x = (x + 1(x 1(x = x 3 x x + (34 Die Gleichung 34 ist der Beweis, der Annahme aus Kapitel 7.5.1, dass jedes Polynom durch Linearfaktoren darstellbar ist. 8 Komplexe Zahlen 8.1 Aufbau des Zahlensystems 1a Natürliche Zahlen N = {1,, 3,..., n,...} 1b Natürliche Zahlen inkl. 0 N 0 = {0, 1,,..., n,...} Ganze Zahlen I/Z = {..., 10, 9,..., 1, 0, 1,,...} 3 Rationale Zahlen Q = {x x = p q, p, q Z, q 0} 4 Reelle Zahlen R = {x x = p q x p q } 5 Komplexe Zahlen C = {z = x + iy x, y R, i = 1} 8. Mengentheoretisches Zeichen 8..1 Sprechweise N Z N ist enthalten in Z 8.. Beispiel N Z Q R C 8.3 Einführung der Komplexen Zahlen x + 1 = 0 x = 1 x 1/ = ± 1 1 = i (35 1 = i = 1 i = 1 i = 1 i 3 = i i 4 = 1 (36 i 5 = i = 1 i 6 = 1 i 7 = i i 8 = 1 (37 8.4 Real- und Imaginärteil einfache Gleichung mit komplexen Zahlen: Z = 5 + 4i RZ = 5 IZ = 4 Realteil R Imaginärteil I Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn der Real- und der Imaginärteil der Zahl gleich sind. Beispiel: a + ib = (α + γ + iβ a = α + γ b = β 9
8.5 Vieta scher Wurzelsatz im Zahlenraum C 8.5.1 Voraussetzung x 1 = + i x = i seien die Lösungen f(x = 0 einer quadratischen Gleichung f(x. 8.5. Beweis der Gültigkeit des Vieta schen Wurzelsatzes in C p = x 1 + x = ( + i + ( i = 4 q = x 1 x = ( + i( i = 4 i = 5 4 f(x = x 4x + 5 (38 8.5.3 Probe 16 x 1/ = ± 4 5 = ± 1 (39 x 1 = + i x = i 8.5.4 Ergebnis Der Vieta sche Wurzelsatz gilt auch in C. 8.6 Grundrechenarten in C In den folgenden Beispielen werden immer die Werte z 1 = +3i und z = 4+5i zugrunde gelegt. 8.6.1 Addition 8.6. Subtraktion 8.6.3 Multiplikation 8.6.4 Division z 1 + z = 6 + 8i (40 z 1 z = i (41 z 1 z = ( + 3i(4 + 5i = 8 + 10i + 1i 15 = 7 + i (4 z 1 = + 3i z 4 + 5i 5 z 1 = + 3i z 4 + 5i 4 5i ( + 3i(4 + 5i 3 + i = = = 1 (3 + i (43 4 5i 16 + 5 1 41 RZ = 3 41 IZ = 41 (44 4 Siehe auch Formel 36 im Kapitel 8.3 i = 1 5 erweitern mit Z = 4 5i um den Nenner rational zu machen. 10
8.7 Beweis von a ib im Bereich in C 8.7.1 Annahme w = a ib = z w = z C z = α + iβ 8.7. Beweis Ziel: α und β in Abhängigkeit von a und b berechnen a + ib = α + iβ ( a + ib = (α + iβ a + ib = α β + αβ a = α β 6 (45 b = αβ (46 α = b β in Gleichung 45 einsetzen a = b 4β β aβ = b 4 β4 β 4 + aβ b 4 = 0 Substitution von β mit B (β = B p(b = B + ab b 4 B 1 = a a + 3 + b 4 B = a a 3 + b 4 Weil β R darf nur B i 0 genutzt werden. B 1 > 0 B < 0 β 1 = a a + 4 + b b α 1 = 4 a + β = a a + 4 + b b α = 4 a + a 4 + b 4 a 4 + b 4 (47 (48 6 Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn der Real- und der Imaginärteil gleich sind. Siehe Kapitel 8.4 11
9 Polarkoordinaten 9.1 Bezugssystem festlegen eines Nullpunktes von dem Nullpunkt wird eine Gerade mit der Gleichung (bezogen auf ein cartesisches Koordinatensystem g(λ = λ (1 0 mit 0 < λ Mit dem Nullpunkt werden konzentrische Kreise gelegt. Mit diesem Koordinatensystem lässt sich außer dem mit dem Nullpunkt jeder beliebige Punkt im Koordinatensystem beschreiben. Der Punkt wird durch den Berührungspunkt eines der konzentrischen Kreise mit dem Radius r mit einem Vektor vom Ursprung aus mit der Länge r mit dem Winkel ϕ zu der gelegten Gerade g(λ, der entgegen den Uhrzeigersinn angelegt wird. Die Polarkoordinaten werden mit r und ϕ angegeben. r 0 π < ϕ < π 9. Umrechnung von cartesischen- zu Polarkoordinaten a und b seinen die cartesischen Koordinaten von z = a + i b r = a + b 7 (49 ( b ϕ = arctan (50 a Bei einer komplexen Zahlen nennt z nicht nur die Polarkoordinate ϕ, sondern auch das Argument von z = arg(z 9.3 Umrechnung von Polar- zu cartesischen Koordinaten 9.4 Quadratwurzeln a = r cos(ϕ (51 b = r sin(ϕ (5 z = r(cos(ϕ + i sin(ϕ (53 w = z Z = w z = R e iϕ w = r e iψ w = r e iψ Aus w = z folgt: r = R r = R ψ 1 = ϕ ψ 1 = ϕ (54 Anmerkung: Hier fehlen noch Grafiken... 7 Nach Satz des Pythagoras 8. a und b sind die Katheten des Dreiecks mit dem bekannten Punkt P = (a/b und der X-Koordinate P x = (a/0 und der Y-Koordinate P y = (0/b a + b = c c = a + b 8 Pythagoras, von Samos, griechischer Philosoph, um 580 v. Chr., um 496 v. Chr 1
10 Gruppen, Körper und Vektorräume 10.1 Definition: Gruppe Eine Menge G mit den Elementen (a, b, c, d,... in der eine Operation (z.b.: +,,,... erklärt ist heißt Gruppe (z.b.:(g,,wenn 1. (a die Operation abgeschlossen ist, das heißt für beliebige a, b, c,... G Beispiel: ab = c c G (b die Operation eindeutig ist, das heißt: Es gibt genau ein Element c mit c = ab. Die Operation muss nicht kommutativ sein. (z.b.: ab ba. das assoziative Gesetz gilt. (abc = a(bc = abc 3. es bezüglich des Operators ein neutrales Element gibt (meist e (z.b.: ae = a 4. es zu jedem a G genau ein inverses Element a 1 gibt. (z.b.: aa 1 10. Allgemeines zu Gruppen Gilt in einer Gruppe G für alle ab = ba, so heißt die Gruppe kommutativ oder Abelsch 9 Die Ordnung der Gruppe entspricht der Anzahl ihrer Elemente. 10.3 Beispiel einer Gruppe fünfter Ordnung ϕ 0 = 0 ϕ 1 = π 5 ϕ = 4π 5 ϕ 3 = 6π 5 ϕ 4 = 8π 5 }{{} 5 1 r 10.4 Beispiel einer Multiplikationstabelle einer Gruppe fünfter Ordnung + π 4π 6π 8π / π 0 5 5 5 5 π 4π 6π 8π 0 0 5 5 5 5 π π 4π 6π 8π 5 5 5 5 5 0 4π 4π 6π 8π π 5 5 5 5 0 5 6π 6π 8π π 4π 5 5 5 0 5 5 8π 8π π 4π 6π 5 5 0 5 5 5 Anmerkung: Wenn die Ordnung einer Gruppe eine Primzahl ist, so sind alle Gruppen dieser Ordnung isomorph, das heißt: alle Gruppen haben vom Prinzip her die gleiche Multiplikationstabelle. 10.5 Restklasse Betrachtet werden nur Zahlen aus I I / n =Restklassen mod(n (Sprich: modulo n Einteilung der ganzen Zahlen I nach dem Rest der bei der Division durch n bleibt. 9 Abel, Niels Henrik, norwegischer Mathematiker 05. August 180, 06. April 189 13
10.5.1 I / Nullklasse 0 = {..., 8, 6, 4,, 0,, 4, 6, 8,...} Einsklasse 1 = {..., 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7,...} 10.5. I / 3 Nullklasse 0 = {..., 6, 3, 0, 3, 6,...} Einsklasse 1 = {..., 5,, 1, 4, 7,...} Zweiklasse = {..., 4, 1,, 5, 8,...} 10.6 Klassenteilung (Partition Eine Klassenteilung der Menge M liegt vor, wenn M in Teilmengen k 1,..., k n so zerlegt werden kann, dass jedem Element von M in genau eine Teilmenge von k i liegt. M = k 1 k k 3... k n 1 k n = 10.7 Restklasse mod(4 n k n (55 i=1 k i k j = o 1 i j n (56 Der Einfachheit halber wird die doppelte Spalte, die durch das neutrale Element entsteht nicht mehr mit aufgeschrieben. Siehe auch Kapitel 10.4 für eine Multiplikationstabelle mit Berücksichtigung des neutralen Elements. 10.7.1 Multiplikationstabelle + / 4 5 0 1 3 1 3 0 3 0 1 3 0 1 Wie an der Multiplikationstabelle von + / 4 zu erkennen ist, ist mod(4 für die Operator,,+ eine Gruppe. In jeder Zeile und Spalte kommt jedes Element und das neutrale Element genau ein mal vor. 10.7. Multiplikationstabelle / 4 5 0 1 3 1 1 3 0 3 3 1 Wie an der Multiplikationstabelle von / 4 zu erkennen ist, ist mod(4 für die Operator,, keine Gruppe. In den Zeilen und Spalten kommen einige Elemente doppelt oder gar nicht vor. 14
10.7.3 Multiplikationstabelle / 5 5 0 1 3 4 1 3 4 0 3 4 0 1 3 4 0 1 4 0 1 3 Wie an der Multiplikationstabelle von + / 5 zu erkennen ist, ist mod(5 für die Operator,,+ eine Gruppe. In jeder Zeile und Spalte kommt jedes Element und das neutrale Element genau ein mal vor. 10.8 Definition: Körper Eine Menge K in der zwei Operatoren + und erklärt sind heißt Körper, wenn 1. (K, + eine kommutative Gruppe ist. (K, eine kommutative Gruppe ist 3. Die distributiven Gesetze gelten z.b.: (a + bc = ac + bc a, b, c K Beispiel: Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen sind Beispiele für unendliche Zahlenkörper. 10.9 Definition: Vektorraum Eine Menge V heißt Vektorraum, wenn 1. (V, + eine kommutative Gruppe ist.. mit jedem α K und jedem v V der Ausdruck (αv V definiert ist. 3. die distributiven Gesetze gelten. (a α(v 1 + v = αv 1 + αv (b v 3 (β + γ = βv 3 + γv 3 Die Elemente der Menge V heißen Vektoren. 10.9.1 Beispiele für Schreibweisen für Vektoren Es gibt mehrere Arten Vektoren zu schreiben. Es ist also das gleiche mit a und a gemeint. Vektoren werden gewöhnlicher Weise mit kleinen Buchstaben dargestellt. (z.b.: a. Die einzelnen Elemente eines Vektors werden ebenfalls mit kleinen Buchstaben dargestellt, allerdings wird hier oft ein Index genutzt. (z.b. ( a 1 a Die Variablen werden im Zusammenhang mit Vektoren mit kleinen griechischen Buchstaben dargestellt. (z.b.: λ oder auch µ ( b1 Globales Beispiel: g : x = a + λ b 15
10.10 Definition von neuen Operatoren 10.10.1 Beispiel: oplus für Addition von Vektoren V = {( a1 a, ( b1 b, ( c1 c },... a, b, c,... R In dem Vektorraum V wird ein + definiert. ( ( ( a1 b1 a1 + a = a b b 1 + b Die zu definierende Vektorsumme wurde zurückgeführt auf die definierte Summe zweier reeller Zahlen. Damit ist die Vektorsumme vollständig definiert. 10.10. Beweis: mathbfr ist mit dem definierten und ein Vektorraum über den reellen Zahlen 10.10.3 Beispiel: für Multiplikation reeller Zahlen mit Vektoren α ( a1 a ( αa1 = αa α, a 1, a R Auch bei der Multiplikation von einer reellen Zahl α mit einem Vektor ( a 1 a wurde der zu definierende Operator auf den bekannten Operator,, im Bereich der reellen Zahlen zurückgeführt. 10.10.4 Vektorraum der Paare reeler Zahlen R R a = ( a1 a ( b1 b = α R b ( a + a1 + b 1 b := (57 a + b ( αa1 α a := R R (58 αa 10.10.5 Beweis: R ist mit dem definierten oplus und ein Vektorraum über den reellen Zahlen 1. und sind erklärt und abgeschlossen.. Es gilt das assoziative Gesetz ( a1 + b 1 a + b + ( c1 c ( a + b + c = a + ( b + c ( a1 + b 1 + c 1 = = a + b + c ( a1 a + ( b1 + c 1 c + b 3. Es gibt ein neutrales Element für den Operator 0 = ( 0 0 und für 0 = ( 0 0. 16
4. Es gibt ein inverses Element a = ( a 1 a 5. Es gelten die distributiven Gesetze (( ( (( ( α a + a1 b1 a1 + b 1 α(a1 + b 1 b = α + = α = a b a + b 1 α(a + b ( ( ( ( ( αa1 + αb 1 αa1 αb1 a1 b1 = = + = α + α = α a + α αa + αb αa αb a b b 6. Es ist zusätzlich eine abelsche Gruppe 10.10.6 Beweis: Polynome dritten Grades bilden einen Vektorraum über R 1. I a(x = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 II b(x = b 0 + b 1 x + b x + b 3 x 3 I III a(x + b(x = (a 0 + b 0 + (a 1 + b 1x + (a + b x + (a 3 + b 3x 3 Die Addition von Polynomen ist definiert und abgeschlossen.. Das kommutative und das assoziative Gesetz gelten, da nur reelle Zahlen addiert werden. 3. Es gibt ein neutrales Element: Das Nullpolynom 0(x = 0 4. Es gibt ein inverses Element: a(x = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 5. Das distributive Gesetz gilt: αa(x = αa 0 + αa 1 x + αa x + αa 3 x 3 10.10.7 Veranschaulichung der Paare reeller Zahlen 11 Lineare Algebra 11.1 Lineare Un und Anhängigkeit b heißt Linearkombination von (a1, a,..., a n, wenn gilt: b = α1 a 1 + α a +... + α n a n 11.1.1 Der Nullvektor 0 als Linearkombination 1. alle a i = 0 0 = α 1 a 1 + α a +... + α n a n. Gibt es noch andere Möglichkeiten? Siehe folgende Kapitel 11.1. Lineare Unabhängigkeit Die Vektoren (a 1, a,..., a n heißen linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur kombinieren lässt, wenn alle α i = 0 sind. nur wenn alle α i = 0 sind kann der Nullvektor linear kombiniert werden. 17
11.1.3 Lineare Abhängigkeit Die Vektoren (a 1, a,..., a n heißen linear abhängig, wenn es mindestens einen Satz a i gibt mit mindestens einen a i 0 gibt der die Linearkombination des Nullvektors ist. wenn alle α i = 0 sind. Es gibt neben der trivialen Linearkombination des Nullvekors mit allen a i = 0, mindestens eine weitere Linearkombination des Nullvektors. 11.1.4 Beispiel I: Lineare Unabhängigkeit Sind die Vektoren a 1 = ( 1 1 und a = ( 1 0 linear abhängig? ( 0 = α 1 a 1 + α a 0 ( ( ( 0 1 1 = α 1 + α 0 1 0 I α 1 + α = 0 II II α 1 = 0 III α = 0 11.1.5 Beispiel I: Lineare Abhängigkeit Sind die Vektoren a 1 = ( 1 1 und a = ( linear abhängig? ( 0 = α 1 a 1 + α a 0 ( ( ( 0 1 = α 1 + α 0 1 Lösungen 1. α 1 = 0 α = 0. α 1 = α I α 1 + α = 0 II α 1 + α = 0 11.1.6 Lineare Abhängigkeit in Systemen mit dem Nullvektor 0 Behauptung: abhängig. Ein Vektorsystem, dass den Nullvektor 0 enthält ist stets linear Voraussetzung: V = { a 1 = 0, a,..., a n } Beweis: 0 = α 1 a 1 + α a +... + α n a n Beispiel: α 1 = 1 α = 0... α n = 0 18
11.1.7 Lineare Abhängigkeit in Systemen ohne den Nullvektor 0 Voraussetzung: v sei ein linear abhängiges Vektorsystem { a 1,..., a n } ohne den Nullvektor 0 Behauptung: Da das Vektorsystem linear abhängig ist, ist mindestens einer der Vekoren als Linearkombination der anderen darstellbar. Beweis: 0 = α 1 a 1 + α a +... + α n a n α 1 1 0 = a 1 + α 1 α a + α 1 α 3 a 3 +... + α 1 α n a n 11.1.8 Lineare Abhängigkeit von Vektoren a 1 = α 1 α a α 1 α 3 a 3... α 1 α n a n (59 Zwei Vektoren a 1 0 und a 0 sind linear abhängig, wenn a 1 = λ a λ 0 11. Erzeugende Systeme 11..1 Voraussetzung a 1 λ a = 0 (60 b = n i=1 α i a i a i V, α R b sei die Linearkombination von { a1,..., a n } 11.. Definition Das Vektorsystem { a 1,..., a n } heisst erzeugendes System, wenn sich jeder Vektor vecb i als Linearkombination von { a 1,..., a n } darstellen lässt. 11..3 Beispiel V = { a 1,..., a n } sei ein linear abhängiges, erzeugendes System. Das heißt: Es gibt mindestens einen Vektor veca n in V, der sich als Linearkombination der anderen Vektoren aus V darstellen lässt. Der Vektor veca n wird aus dem Vektorsystem entfernt. 1. V n 1 { a 1,..., a n 1 } ist linear abhängig, dann wird wieder ein Vektor a n 1 der sich als Linearkombination der anderen Vektoren aus V n 1 darstellen aus dem System entfernt. Dieser Schritt wird wiederholt, bis Punkt zwei eintritt.. V n 1 { a 1,..., a n 1 } ist linear unabhängig. Dann ist r die Anzahl der entfernten Vektoren. Und das neue Vektorsystem V n r { a 1,..., a n r } Dieses System nennt man minimales Erzeugenden System oder Basis Wird ein Vektor aus einer Basis entfernt, so verliert sie ihre Eigenschaft als Basis 19
11..4 Definition: Basis Die Basis von V ist ein minimales Erzeugenden System, oder anders ausgedrückt ein maximal linear unabhängiges System. 11..5 Maximal linear unabhängiges System a 1 0 { a 1 } a 1, a 0 { a 1, a }.. a 1,..., a r { a 1,..., a r } a r sei der letztmögliche linear unabhängige Vektor von V. Damit ist V eine Basis. 11..6 Definition: Dimension Die Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis. Die Invarianz der Dimensionen tritt ein, wenn die Basis von V unendlich viele Elemente hat. 11..7 Beispiel: Basis der Dimension V = R ( b1 b = b Erzeugenden System: V = b sei bekannt {( 1, ( 0, 1 I α 1 +α 3 = b 1 II II α +α 3 = b I I i α 1 = b 1 α 3 I ii α = b α 3 ( } 1 1 Das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar. V ist kein minimales erzeugenden System und V ist linear abhängig. ( 1 ( 1 ist die Linearkombination von 1 ( 0 + 0 1. ( 1 1 ist nicht notwendig für das erzeugenden System uns wird daher aus V entfernt. Das neue erzeugenden System V i besteht nun aus zwei linear unabhängigen Vektoren ( ( 1 0 und 0 1. V i ist eine dimensionale Basis. 11.3 Lineare Gleichungssysteme 11.3.1 Inhomogene Gleichungssysteme Ein inhomogenes Gleichungssystem hat m Gleichungen und n Variablen. Wobei gilt: n m 0
Allgemeines inhomogenes Gleichungssystem 1 Beweise 1.1 Direkter Beweis a 11 x 1 +a 1 x +... +a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +... +a n x n = b..... a m1 x 1 +a m x +... +a mn x n = b m a 1 x 1 + a 1 x 1 +... + a 1 x 1 bn Aus Aussage A (Voraussetzung folgert man die Aussage B (Behauptung. Aus A B (Aus A folgt B A ist hinreichend für B und B ist notwendig für A. (Aus B muss nicht zwangsweise A gefolgert werden können 1.1.1 Beispiel Behauptung: Das Produkt zweier gerade Zahlen ist stets ungerade. Voraussetzung: Zwei ungerade Zahlen U 1 und U Behauptung: Beweis: U 1 = a + 1 U = b + 1 U 1 U = c + 1 a Z a Z c Z U 1 U = (a + 1(b + 1 = ab + a + b + 1 = (ab + a + b + 1 = c + 1 }{{} c 1. Beweis durch Äquivalenzumformung Aus der Voraussetzung wird eine Behauptung gefolgert und aus der Behauptung die Voraussetzung. 1..1 Beispiel Behauptung: Für a, b R gilt stets ab a + b Beweis: ab a + b ab 0 a ab + b 0 (a b Die Behauptung ist sicher richtig, da ein Quadrat reeller Zahlen immer größer oder gleich Null ist. Der eigentlich Beweis muss rückwärts gelesen werden. Es wird also aus einer definitiv richtigen Voraussetzung (0 (a b durch umkehrbare Schritte etwas sicher richtiges gefolgert. 1
1.3 Indirekter Beweis Es wird eine Behauptung versucht zu beweisen. Zum Beispiel: Aus A folgt B. Im indirekten Beweis wird angenommen, dass B falsch ist und daraus gefolgert dass A nicht gilt. Wenn dies gilt ist die Behauptung bewiesen, da A als richtig vorausgesetzt wurde. 1.3.1 Beweis Behauptung: R Annahme: R Voraussetzung: Beweis: = p q, wobei p und q teilerfremd sind und p, q Z, q 0 = p q = p q q = p q ist gerade p ist gerade Das ist der Widerspruch, da wenn beide Seiten gerade wären, wären sie nicht teilerfremd. 1.4 Beweis durch vollständige Induktion Bei einer vollständigen Induktion wird aus der Voraussetzung durch erlaubte mathematische Operatoren die Richtigkeit von (n + 1 gefolgert. 1.4.1 Beweis von n Behauptung: i=1 Induktionsanfang: n = 1 i = n (n + 1 1 i=1 n i=1 i = n (n + 1 i = 1 = 1 (1 + 1 = 1 Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für n 1 Induktionsschritt: 1 + + 3 +... + n = n (n + 1 +(n + 1 1 + + 3 +... + n + (n + 1 = n (n + 1 + (n + 1
1 + + 3 +... + n + (n + 1 = (n + 1( n + 1 1 + + 3 +... + n + (n + 1 = (n + 1( n + 1 + + 3 +... + n + (n + 1 = n + 1 (n + 1.4. Beweis des Binomischen Satzes (a + b n = n Behauptung: Induktionsanfang: n = 1 (a + b n = (a + b 1 = n i=0 ( 1 a 1 + 0 ( n a n i b i i i=0 ( 1 b 1 = a + b 1 Induktionsvoraussetzung: Für n 1 gilt: ( ( n n (a + b n = a n b 0 + a n 1 b 1 +... + 0 1 Induktionsschritt: ( n (a + b n = a n b 0 + 0 (a + b n+1 = (a + b n+1 = ( n+1 0 ( n 0 a n+1 + ( n a n 1 b 1 +... + 1 ( n ( 1 a n b+... + n n ab n ( n 1 a n b+... + ( n n 1 ab n + a n+1 + ( n+1 1 a n b+... + ( n+1 n 1.4.3 Beweis von: n > n für n 0 Probe: n = 0 0 > 0 1 > 0 n = 1 1 > 1 > 1 n = > 4 > Induktionsanfang: n = > ( n i a n i b i ( n a 0 b n (61 n ( n a 0 b n (a + b (6 n ( n n a 1 b n ( n+1 n+1 Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für n b n+1 b n+1 Induktionsschritt: n > n (63 n+1 > n? > n + 1 n? > n + 1 n 1? > 1 + n 1 1 > n 1 da n > n + 1 stimmt die Behauptung. (64 3
1.4.4 Beweis von n > n für n 5 Probe: n = 0 0 > 0 1 > 0 n = 1 1 > 1 > 1 n = = 4 = 4 n = 3 3 < 3 8 < 9 n = 4 4 = 4 16 = 16 n = 5 5 > 5 3 = 5 n = 6 6 > 6 64 > 36 Induktionsanfang: n = n > n 5 = 3 > 5 = 5 (65 Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für festes n 5 Induktionsschritt: n > n (66 n+1 > n? > n + n + 1 n? > n + n + 1 n? > n + 1 +(n + 1 (n + 1 > 4n + Richtig, da die Aussage für n 5 zutrifft. 1.4.5 Beweis von n ν=1 ν = 1 6n(n + 1(n + 1 Probe: n = 1 1 = 1 6 1 3 = 1 n = 1 + = 1 6 3 5 = 5 n = 3 1 + + 3 = 1 6 3 4 7 = 14 Induktionsanfang: n = 1 1 = 1 6 1 3 = 1 Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für feste n 1 Induktionsschritt: 1 + +... + n = 1 6 (n(n + 1(n + 1 +(n + 1 (67 1 + +... + n + (n + 1 = 1 (n(n + 1(n + 1 + (n + 1 6 [ ] 1 1 + +... + n + (n + 1 = (n + 1 n(n + 1 + (n + 1 6 1 + +... + n + (n + 1 n(n + 1 + 6n + 6 = (n + 1 6 1 + +... + n + (n + 1 = 1 6 (n + 1 [ n + n + 6n + 6 ] 4
1 + +... + n + (n + 1 = 1 6 (n + 1 [ n + 7n + 6 ] (68 (n + ((n + 1 + 1 ist der zu suchende Teil im Induktionsschluss. 1 (n + 1 stimmt mit Ziel überein 6 da: (n+((n+1+1 = (n+(n+3 = n +3n+4n+6 = n +7n+6 1.4.6 Beweis von n ν 3 = 1 4 n (n + 1 ν=1 Probe: n = 1 1 3 = 1 4 1 = 1 n = 1 3 + 3 = 1 4 4 3 = 9 n = 3 1 3 + 3 + 3 3 = 1 4 9 4 = 9 4 16 = 36 Induktionsanfang: n=1 1 3 = 1 4 1 = 1 (69 Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei richtig für feste n 1 Induktionsziel: 1 3 + 3 +... + n 3 + (n + 1 3 = 1 4 (n + 1 (n + Induktionsschritt: 1 3 + 3 +... + n 3 = 1 4 n (n + 1 +(n + 1 3 (70 1 3 + 3 +... + n 3 + (n + 1 3 = 1 4 n (n + 1 + (n + 1 3 ( 1 1 3 + 3 +... + n 3 + (n + 1 3 = (n + 1 4 n + (n + 1 ( n 1 3 + 3 +... + n 3 + (n + 1 3 = (n + 1 + 4n + 4 4 1 3 + 3 +... + n 3 + (n + 1 3 = 1 4 (n + 1 (n + 4n + 4 13 Ungleichung und Beträge 13.1 Betrag 1. (a a = b a = a + b b a { a wenn a 0 a wenn a < 0 = min(a, b,wenn a < b a + a 0 = a = b (71 5
(b a > b b = min(a, b a + b b a (c a < b a = min(a, b = a + b (b a = a + b + b a = b. (a a = b a + b b a a + b b a (b a > b a = max(a, b = a + b (b a = a = max(a, b,wenn a > b a + b + b a = a = b (c a < b b = max(a, b a + b + b a a + b + b a = a + b (b a = a + b + b a = a = b 6