Theoretische Physik I: Klssische Mechnik Dirk H. Rischke Wintersemester 2009/2010
Inhltsverzeichnis 1 Mthemtische Vorereitungen 1 1.1 Vektoren..................................... 1 1.1.1 Einführung............................... 1 1.1.2 Definition eines Vektors........................ 2 1.1.3 Definition des krtesischen Koordintensystems........... 3 1.1.4 Rechenregeln für Vektoren....................... 4 i
1 Mthemtische Vorereitungen 1.1 Vektoren 1.1.1 Einführung 16.10.2009 Wir hen ein intuitives Verständnis von Nturvorgängen: Beispiel 1: Morgens geht die Sonne uf, ends geht sie unter. Frge: Wrum geht sie uf und unter? Beispiel 2: Wenn die Sonne ufgeht, wird es hell. Frge: Ws läßt die Sonne scheinen? Beispiel 3: Ein Bll, der losgelssen wird, fällt zu Boden (ds erühmte Apfel-Experiment von Sir Isc Newton!). Frge: Ws läßt den Bll fllen? Die Physik efßt sich mit der Erklärung intuitiv kzeptierter, er uch neuer, islng unverstndener Erfhrungsttschen mit Hilfe wissenschftlicher Methoden. Die experimentelle Physik efßt sich mit der Beochtung von erfhrren Ttschen durch reproduzierre Experimente. Die Theoretische Physik efßt sich mit der Erklärung der Beochtung mit Hilfe mthemtisch-nlytischer Methoden. Mnche meiner Kollegen fssen ds so zusmmen: Der Experimenttor lättert die Seiten im Buch der Ntur um, der Theoretiker liest in ihm. Um die Gesetzmäßigkeit zu verstehen, wrum der Bll zu Boden fällt, müssen wir zunächst seine Bewegung eochten und quntittiv (nicht nur qulittiv) erfssen. Mit nderen Worten, wir müssen festlegen, zu welchem Zeitpunkt er sich n welchem Ort efindet. Bei gerdliniger Bewegung ist dies esonders einfch, s. A. 1.1. Dieses einfche Beispiel mcht deutlich, dss physiklische Größen durch die Ange von drei Größen estimmt sind: Dimension, Mßeinheit und Mßzhl. Beispiele sind in Telle 1.1 ufgeführt. Physiklische Größen, die durch diese drei Größen estimmt sind, nennt mn in der Physik sklre Größen, oder kurz Sklre. Es git er uch Größen, die zusätzlich die Ange einer Richtung enötigen. Ein Beispiel ist die Geschwindigkeit. Im oen gennnten Beispiel des fllenden Blls zeigt die Geschwindigkeit nch unten. Solche Größen nennt mn vektorielle Größen, oder kurz Vektoren. Dies ist verllgemeinerr: es git Größen, die durch die Ange von zwei, drei, vier etc. Richtungen definiert sind. Diese Größen nennt mn Tensoren zweiter, dritter, vierter etc. Stufe. Ein Vektor ist ein Tensor erster Stufe, ein Sklr ein Tensor nullter Stufe. 1
1 Mthemtische Vorereitungen Lnge " l=0 Zeit t=0 l=1m t=1s Aildung 1.1: Ein nch unten fllender Bll. Dimension Mßeinheit Mßzhl Länge Meter (m) (z.b.) 1 Zeit Sekunde (s) (z.b.) 1 Msse Kilogrmm (kg) (z.b.) 82 Tempertur Grd Celsius ( o C) (z.b.) 36.5 Telle 1.1: Beispiele für physiklische Größen mit Dimension, Mßeinheit und Mßzhl. 1.1.2 Definition eines Vektors Der einfchste Vektor in der Mechnik ist der Ortsvektor. Er mißt den Astnd eines Rumpunktes von einer vorher festgelegten Ausgngsposition, dem Ursprung eines vorher festgelegten Koordintensystems, s. A. 1.2. Im oen gennnten Beispiel des fllenden Blles sei der Koordintenursprung die Position des Blles zum Zeitpunkt t = 0. Zum Zeitpunkt t = 1s ist die Position des Blles 1m nch unten vom Koordintenursprung entfernt. Der Ortsvektor des Blles zeigt deshl nch unten und ht die Länge 1m. Bei einer eindimensionlen Bewegung (wie im Beispiel des fllenden Blles) ist die 0 r Aildung 1.2: Der Ortsvektor r des nch unten fllenden Blls us A. 1.1. 2
1.1 Vektoren Richtung klr und mn enötigt nicht unedingt einen Vektor, um diese festzulegen. Die Sche verkompliziert sich, wenn die Bewegung des Blles zwei- oder dreidimensionl wird. Im llgemeinen eschreien Ortsvektoren r Punkte im dreidimensionlen Euklidschen Rum E 3. Bevor mn einen Ortsvektor definieren knn, enötigt mn den Koordintenursprung O. Der Ortsvektor eines Punktes A ergit sich dnn ddurch, dss mn den Ursprung O mit A verindet. Die Richtung des Ortsvektors ergit sich us der Festlegung, die Strecke OA von O nch A zu durchlufen, s. A. 1.3. A O Aildung 1.3: Der Ortsvektor des Punktes A. Jeder Vektor ht eine Länge (einen Betrg), =, (1.1) und eine Richtung, die durch einen Vektor vom Betrg eins, einen sog. Einheitsvektor, festgelegt wird: â =, â = 1. (1.2) Der Betrg eines Vektors ist vom Bezugs- oder Koordintensystem unhängig. Die Richtung eines Vektors knn sich er ei einem Wechsel des Bezugs- zw. Koordintensystems scheinr ändern, wenn sie durch ihre Koordinten im neuen Bezugssystems usgedrückt wird. Hierzu später mehr. 1.1.3 Definition des krtesischen Koordintensystems Ds einfchste Bezugs- zw. Koordintensystem sind drei senkrecht, d.h. rechtwinklig ufeinnderstehende Gerden, die sich in einem gemeinsmen Punkt, dem Koordintenursprung O, schneiden, s. A. 1.4. Diese Gerden nennt mn Achsen des Koordintensystems. Mn git ihnen Richtungen, und zwr so, dss sie in der Reihenfolge (1,2,3) zw. (x, y, z) ein rechtshändiges System ilden. Worn sieht mn, dss es sich um ein rechtshändiges System hndelt? Die folgenden Finger der rechten Hnd ilden ein solches System: Dumen = x, Zeigefinger = y, Mittelfinger = z. Eine weitere Möglichkeit ist, die Gerde 1 uf kürzestem Weg in die Gerde 2 zu drehen. Dnn zeigt die Gerde 3 in die Richtung der Bewegung einer Rechtsschrue. Ein solches rechtshändiges Koordintensystem nennt mn krtesisches Koordintensystem. 3
1 Mthemtische Vorereitungen 3 z 2 y O x 1 Aildung 1.4: Rechtshändiges Koordintensystem. Es git uch linkshändige Koordintensysteme. Sie lssen sich nicht durch stetige Drehungen (welche eine sog. kontinuierliche Symmetrieopertion drstellen) in rechtshändige üerführen, sondern nur durch eine Rumspiegelung (eine sog. diskrete Symmetrieopertion) m Ursprung des Koordintensystems, d.h. lle Koordintenchsen kehren ihre Richtung um, s. A. 1.5. 1 x O y 2 z 3 Aildung 1.5: Linkshändiges Koordintensystem. 1.1.4 Rechenregeln für Vektoren Voremerkungen 1. Mn ezeichnet zwei Vektoren ls gleich, wenn sie die gleiche Länge und die gleiche Richtung ufweisen. Sie ruchen nicht den gleichen Ausgngspunkt zu hen, s. A. 1.6. Mit nderen Worten, Vektoren sind frei verschier. 4
1.1 Vektoren = Aildung 1.6: Zwei gleiche Vektoren. 2. Zu jedem Vektor git es einen gleich lngen, er ntiprllelen Vektor. 3. Ein sog. Einheitsvektor ist ein Vektor vom Betrg 1 (s. o.). Addition von Vektoren 1. Prllelogrmmregel: Gegeen seien zwei Vektoren und, vgl. A. 1.7(). Mn verschiee nun so, dss der Fußpunkt von n der Spitze von zu liegen kommt. Der Summenvektor + eginnt m Fußpunkt von und endet n der Spitze von, s. A. 1.7(). Die Addition von Vektoren ist einfch, d zwei Vektoren eine Eene ufspnnen. Mn knn sie sich lso einfch grphisch verdeutlichen. + () () Aildung 1.7: Addition von Vektoren mit Hilfe der Prllelogrmmregel. 2. Kommuttivität: Dies wird unmittelr us A. 1.8 deutlich. 3. Assozitivität: + = +. (1.3) ( + ) + c = + ( + c). (1.4) Auch dies knn mn sich grphisch vernschulichen, d drei Vektoren mximl den dreidimensionlen Rum ufspnnen, vgl. A. 1.9. 5
1 Mthemtische Vorereitungen + Aildung 1.8: Verdeutlichung der Kommuttivität der Vektorddition. c (+)+c=+(+c) + +c Aildung 1.9: Verdeutlichung der Assozitivität der Vektorddition. 4. Sutrktion: = + ( ). (1.5) Die Sutrktion des Vektors von Vektor ergit sich us der Addition des zu ntiprllelen Vektors zu Vektor, s. A. 1.10. Der Vektor ist ein Vektor, der von der Spitze von zur Spitze von zeigt. 5. Sutrhiert mn von sich selst, so ergit sich der sog. Nullvektor 0, = 0;. (1.6) Er ist der einzige Vektor, der keine Richtung ht, dmit ist er gleichzeitig ein Sklr, 0 = 0. Für lle Vektoren gilt + 0 =. (1.7) Die Eigenschften (1.3), (1.4), (1.6) und (1.7) edeuten, dss die Gesmtheit der Vektoren im E 3 eine kommuttive Gruppe ilden. 6
1.1 Vektoren Aildung 1.10: Verdeutlichung der Vektorsutrktion. 7
Literturverzeichnis [1] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 1: Klssische Mechnik (Springer, Berlin) [2] W. Greiner, Theoretische Physik Bnd 1: Mechnik I (Hrri Deutsch, Thun & Frnkfurt m Min) [3] R. Jelitto, Theoretische Physik 1: Mechnik I (AULA-Verlg, Wiesden) [4] R. Dreizler, C. Lüdde, Theoretische Physik 1: Theoretische Mechnik (Springer, Berlin) [5] L.D. Lndu, E.M. Lifshitz, Lehruch der Theoretischen Physik I: Mechnik (Hrri Deutsch, Thun & Frnkfurt m Min) [6] H. Goldstein, Klssische Mechnik (Akdemische Verlgsgesellschft Wieden) [7] J.M. Knudsen, P.G. Hjorth, Elements of Newtonin Mechnics (Springer, Berlin) 8