Euklidische Normalformen der dreidimensionalen Quadriken Es existieren 17 verschiedene Typen räumlicher Quadriken mit folgenden Normalformen: Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-1
Euklidische Normalformen der dreidimensionalen Quadriken Es existieren 17 verschiedene Typen räumlicher Quadriken mit folgenden Normalformen: Kegelige Quadriken Normalform Bezeichnung x1 a1 + x a + x 3 a3 x1 a1 + x a x 3 a3 x1 a1 + x a x1 a1 x a x1 a1 = 0 Punkt = 0 (Doppel-)Kegel = 0 Gerade = 0 schneidende Ebenen = 0 Doppelebene Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-
Mittelpunktsquadriken Normalform x 1 x a1 x a 3 a3 x 1 x a1 + x a 3 a3 x 1 a1 + x + x a 3 a3 x1 + x a1 + x a 3 a3 x 1 x a1 a x 1 a1 + x a x1 + x a1 a x 1 a1 x1 a1 Bezeichnung = 1 (leere Menge) = 1 zweischaliges Hyperboloid = 1 einschaliges Hyperboloid = 1 Ellipsoid = 1 (leere Menge) = 1 hyperbolischer Zylinder = 1 elliptischer Zylinder = 1 (leere Menge) = 1 parallele Ebenen Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-3
Parabolische Quadriken Normalform x1 + x a1 a + x x 1 a 1 a x1 a1 Bezeichnung = x 3 elliptisches Paraboloid = x 3 hyperbolisches Paraboloid = x parabolischer Zylinder Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-4
Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten c 0. Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-5
Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten c 0. Die Größen a i werden positiv angesetzt und heißen Hauptachsenlängen der Quadrik. Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-6
Die Normalformen sind eindeutig bis auf Permutation der Indizes und bei kegeligen Quadriken bis auf Multiplikation mit einer Konstanten c 0. Die Größen a i werden positiv angesetzt und heißen Hauptachsenlängen der Quadrik. (Doppel-)Kegel schneidende Ebenen ¾ ½ ½ Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-7
zweischaliges Hyperboloid einschaliges Hyperboloid ½ ¾ ½ Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-8
Ellipsoid hyperbolischer Zylinder ½ ½ Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-9
elliptischer Zylinder elliptisches Paraboloid ¾ ½ ½ Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-10
hyperbolisches Paraboloid parabolischer Zylinder ½ ½ Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken 1-11
Beispiel: Normalform und der Typ der Quadrik 5 4 0 Q : x t 4 3 4 x + (, 1, ) x + = 0 0 4 1 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -1
Beispiel: Normalform und der Typ der Quadrik 5 4 0 Q : x t 4 3 4 x + (, 1, ) x + = 0 0 4 1 charakteristisches Polynom der Matrix p(λ) = λ 3 9λ 9λ + 81 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -
Beispiel: Normalform und der Typ der Quadrik 5 4 0 Q : x t 4 3 4 x + (, 1, ) x + = 0 0 4 1 charakteristisches Polynom der Matrix p(λ) = λ 3 9λ 9λ + 81 Nullstellen λ 1 = 9, λ = 3, λ 3 = 3 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -3
normierte Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ i u 1 = 1, u = 1 1, u 3 = 1 3 3 3 1 1 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -4
normierte Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ i u 1 = 1, u = 1 1, u 3 = 1 3 3 3 1 Vorzeichen so gewählt, dass ein Rechtssystem entsteht 1 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -5
normierte Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ i u 1 = 1, u = 1 1, u 3 = 1 3 3 3 1 Vorzeichen so gewählt, dass ein Rechtssystem entsteht Drehmatrix U = (u 1, u, u 3 ) = 1 1 1 3 1 1 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -6
normierte Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ i u 1 = 1, u = 1 1, u 3 = 1 3 3 3 1 Vorzeichen so gewählt, dass ein Rechtssystem entsteht Drehmatrix U = (u 1, u, u 3 ) = 1 1 1 3 1 Substitution x = Uy y t 9 0 0 0 3 0 0 0 3 y + (0, 3, 0) y + = 0 1 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -7
quadratische Ergänzung z = y + (0, 1, 0) t Diagonalform 0 = 9y 1 + 3y 3y 3 + 6y + Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -8
quadratische Ergänzung z = y + (0, 1, 0) t Diagonalform 0 = 9y 1 + 3y 3y 3 + 6y + = 9y 1 + 3(y + 1) 6y 3 3y 3 + 6y + Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -9
quadratische Ergänzung z = y + (0, 1, 0) t Diagonalform 0 = 9y1 + 3y 3y3 + 6y + = 9y1 + 3(y + 1) 6y 3 3y3 + 6y + = 9z1 + 3z 3z3 1 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -10
quadratische Ergänzung z = y + (0, 1, 0) t Diagonalform 0 = 9y 1 + 3y 3y 3 + 6y + = 9y 1 + 3(y + 1) 6y 3 3y 3 + 6y + = 9z 1 + 3z 3z 3 1 Skalierung Normalform ξ 3 1/3 + ξ 1 1/9 + ξ 1/3 = 1 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -11
quadratische Ergänzung z = y + (0, 1, 0) t Diagonalform 0 = 9y 1 + 3y 3y 3 + 6y + = 9y 1 + 3(y + 1) 6y 3 3y 3 + 6y + = 9z 1 + 3z 3z 3 1 Skalierung Normalform ξ 3 1/3 + ξ 1 1/9 + ξ 1/3 = 1 Q: einschaliges Hyperboloid mit Hauptachsenlängen und Mittelpunkt a 3 = 1/3, a 1 = 1/3, a = 1/3 x M = Uy M = U z }{{} M U =(0,0,0) t 0 1 0 = /3 1/3 /3 Euklidische Normalform der dreidimensionalen Quadriken -1