3.2 Spline Interpolation

3.2 Spline Interpolation 3.2 Spline Interpolation Ein wesentlicer Defekt der globalen Interpolation aus dem vorerigen Abscnitt ist, dass die interpolierenden Polynome starke Oszillationen zwiscen den Stützstellen mit immer größeren Werten annemen. Der Grund ist die generisce Steifeit, die durc die implizite Forderung von C -Übergängen in den Stützstellen gegeben ist. Die Steifeit kann dadurc reduziert werden, dass die globale Funktion als stückweise polynomiale (Teil)- Funktionen bzgl. der Zerlegung a = x 0 < x <... < x n < b zusammengesetzt wird. In den Stützstellen x i werden dann geeignete Differenzierbarkeitseigenscaften gefordert. Am äufigsten werden in der Literatur sogenannte kubisce Splines verwendet. Allerdings at eine spezielle Klasse, die linearen Splines, eine besondere Bedeutung für die numerisce Lösung von Differentialgleicungen mit Hilfe der Finite Elemente Metode [0, 2]. Das wesentlice Ziel dieses Abscnitts liegt im Verständnis der stückweisen Approximation. Dieses Konzept erlaubt die gleicmäßige Abscätzung der Konvergenz und verindert Oszillationen am Rand des Intervalls, wie sie in Beispiel 3.5 auftreten. y i y i f(x) I i a = x 0 x i x i b = x n Abbildung 3.4: Spline-Interpolation. Das globale Intervall (wie vorer [a, b] =: I) wird in Teilintervalle I i = [x i, x i ] mit der Länge i = x i x i unterteilt. Die Feineit der gesamten Intervallunterteilung wird durc := max i=,...n i carakterisiert. Zur Definition der Splinefunktion (kurz Spline) seien die Vektorräume von stückweisen polynomialen Funktionen wie folgt gegeben: S k,r [a, b] := {p Cr [a, b], p Ii P k (I i )}, k, r {0,, 2,...}. Zu einem Satz gegebener Stützwerte (die wie in Abscnitt 3. aus gegebenen Datenwerten oder Funktionswerten stammen können) in dem Gesamtintervall I, wird eine Interpolierende p S k,r [a, b] mit Hilfe von geeigneten Interpolationsbedingungen bestimmt. Wir diskutieren nun einige Beispiele, wobei der Fokus auf der Idee des ganzen Prozesses liegt und weniger auf der Beweisfürung bei Fragen zu Existenz, Eindeutigkeit und Felerabscätzung. Beispiel 3.7 (Stückweise lineare Interpolation). Die stückweise lineare Lagrange-Interpolierende (d.. k =, r = 0) approximiert eine gegebene Funktion f auf [a, b] durc einen Polygonzug 59

3 Interpolation und Approximation y i p y i f(x) I i a = x 0 x i x i b = x n Abbildung 3.5: Stückweise lineare Interpolation p einer Funktion f. in den Stützstellen x i, i = 0,..., n: mit den Interpolationsbedingungen p S,0 [a, b] = {p C[a, b], p I i P (I i )}, p(x i ) = f(x i ), i = 0,..., n. Anwendung der Felerabscätzung für die Lagrange-Interpolation separat auf jedem I i liefert die globale Felerabscätzung Für Scrittweite gilt max x [a,b] f(x) p(x) 2 2 max x [a,b] f (x). (3.6) max f(x) p(x) 0 ( 0), x [a,b] gleicmäßig auf dem gesamten Intervall. Im Gegensatz ierzu eralten wir für n also für größer werdenden Polynomgrad keine gleicmäßige Konvergenz! Bemerkung 3.8. Wir alten fest, dass eine gleicmäßige Approximation für Splines durc (3.6) gewärleistet ist, falls 0 (d.. eine immer größer werdende Anzal von Stützstellen). Es ist wictig, dass eine größere Anzal von Stützstellen bei der Lagrange- Interpolation nict ilft, da ier die Anzal Stützstellen an den Polynomgrad gekoppelt sind. D.. eine größere Anzal von Stützstellen impliziert automatisc einen öeren Polynomgrad. Allerdings können öere Ableitungen der zu interpolierenden Funktion f starkes Wacstum aben, wodurc die gleicmäßige Felerabscätzung in (3.5) nictig wird. Die Interpolierende des vorangegangenen Beispiels wird mit Hilfe der sogenannten Knotenbasis von S (,0) ([a, b]) konstruiert. Diese Knotenbasis bestet aus den Hutfunktionen φ i S (,0) [a, b], i = 0,..., n, die durc die Bedingung φ i (x j ) = δ ij 60

3.2 Spline Interpolation φ i (x) I i x i x i x i+ Abbildung 3.6: Lineare Knotenbasisfunktion - auc Hutfunktion genannt. eindeutig bestimmt sind. Die Interpolierende p von f erlaubt dann die Darstellung in Form von n p(x) = f(x i )φ(x i ). i=0 Diese Konstruktion stellt die Analogie zur Lagrangescen Darstellung des Lagrange-Interpolationspolynoms er. Im Gegensatz zu dieser globalen Sictweise arbeiten wir aber bei den Splines lokal, da die Hutfunktionen φ i nur in den direkt an der jeweiligen Stützstelle x i angrenzenden Teilintervallen von Null verscieden ist (siee Abbildung 3.6). Bemerkung 3.9. Aus den biserigen Betractungen der linearen Splines eralten wir die Erkenntnis, dass eine öere globale Glatteit (spric Differenzierbarkeit) offensictlic nict sinnvoll zu erzielen ist. Man mace sic nocmals klar, dass an den Stützstellen keine Differenzierbarkeit vorliegen kann (wegen r = 0) und versuce sic den Fall r = vorzustellen. Bemerkung 3.20. Bei Interesse an öeren Vorlesungen zur Numerik sollte das Konstruktionsprinzip der linearen Splines nict vergessen werden, da es die Grundlage der Finite Elemente Tecnik bildet [0, 2]. Wie in Bemerkung 3.9 erläutert, ist die Konstruktion von linearen Splines mit öeren globalen Glatteitseigenscaften nict one weiteres möglic. Eröt man jedoc den lokalen Polynomgrad auf jedem Teilintervall, so kann mit Hilfe der Interpolationsbedingungen öere Glatteit erzielt werden. Dies fürt auf die kubiscen Splines, d.. k = 3. Beispiel 3.2 (Stückweise kubisce Interpolation). Es sei auf jedem Teilintervall I i ein kubisces Polynom vorgescrieben, d.. k = 3 mit r = 0, so dass S (3,0) [a, b]. Die Interpolationsbedingungen für den Fall r = 0 (d.. globale Stetigkeit) lauten p(x i ) = f(x i ). 6

3 Interpolation und Approximation Zur eindeutigen Bestimmung eines kubiscen Polynoms sind in jedem I i vier Bedingungen notwendig, so dass zwei zusätzlice Interpolationspunkte vorgegeben werden: p(x ij ) = f(x ij ), wobei x ij I i, i =,..., j =, 2. Durc diese stückweise kubisce Lagrange-Interpolation ist eindeutig ein global stetiger Spline p S (3,0) [a, b] festgelegt. Anstatt die Interpolationsbedingung durc Zwiscenwerte x ij (x i, x i ) anzureicern ist es auc möglic Ableitungswerte vorzugeben: Beispiel 3.22 (Stückweise kubisce Hermite-Interpolation). Es sei wiederum auf jedem Teilintervall I i ein kubisces Polynom vorgescrieben, d.. k = 3 und dieses Mal mit r =, so dass S (3,) [a, b]. Die Interpolationsbedingungen für den Fall r = (d.. globale Stetigkeit und einmalige globale Differenzierbarkeit) lauten p(x i ) = f(x i ), p (x i ) = f (x i ) Durc diese vier Bedingungen p S (3,) [a, b] eindeutig festgelegt. Bemerkung 3.23. Nutzt man zusätzlic zu den Punktwerten die Ableitungsinformation in den Stützstellen zur Konstruktion einer Interpolierenden, so wie in Beispiel 3.2 gesceen, dann sprict man von Hermite-Interpolation. Diese Interpolationsaufgabe kann für globale und lokale Interpolationen genutzt werden, siee Satz 3.6 Satz 3.24. Für den kubiscen Spline p (d.. k = 3) mit r = 0 oder r = zur Approximation der Funktion f gilt die globale Felerabscätzung max x [a,b] f(x) p(x) 4! 4 max x [a,b] f (4) (x). Zur eindeutigen Bestimmung einer stückweise kubiscen Funktion sind auf jedem Intervall I i vier Bedingungen erforderlic. Dennoc untersceiden sic die Sätze an Bedingungen in den beiden betracteten Beispielen. Bei der stückweise kubiscen Lagrange Interpolation in Beispiel werden in den n Intervallen jeweils vier Bedingungen p(x ij ) = f(x ij ) gestellt, wobei an den Intervallenden x i die gleice Interpolationsbedingung doppelt auftauct. Insgesamt ist die stückweise kubisce Lagrange Interpolation durc 3n + Bedingungen gegeben. Die stückweise Hermite Interpolation in Beispiel at auc vier Bedingungen pro Intervall. An den Intervallenden treten nun jedoc 2 Bedingungen doppelt auf, so dass sic global 2n + 2 Bedingungen ergeben. Soll die globale Regularität der Interpolation weiter gesteigert werden, so sclägt der triviale Ansatz zusätzlic p (x i ) = f (x i ) zu fordern fel, da dies zu secs Bedingungen pro Teilintervall füren würde (bei nur vier Unbekannten von eines kubiscen Polynoms). 62

3.2 Spline Interpolation Es ist dennoc möglic für eine stückweise kubisce Interpolation global C 2 ([a, b]) zu erreicen. Dies wird durc den kubiscen Spline realisiert, welcer auf dem Prinzip der Energieminimierung basiert. Zu Stützstellen x i für i = 0,..., n wird eine Funktion s S (3,2) gesuct mit der Eigenscaft: s(x i ) = f(x i ) = y i, i = 0,..., n, b a s (x) 2 dx = min!. Die Ableitungswerte von s(x) müssen in den Stützstellen keiner Interpolationsbedingung genügen, s(x) muss global lediglic stetig zweimal differenzierbar sein (d.., die Ableitungswerte von s(x) müssen an den Enden der Teilintervalle stetig sein) und die Energie, also das Integral über die zweiten Ableitungen muss minimiert werden. Hieraus ist wol auc der Begriff Spline entsprungen, da seine Übersetzung ins Deutsce der Biegestab ist. Man stelle sic einen elastiscen Stab vor, welcer an gewissen Punkten festgealten wird, dazwiscen jedoc eine freie Form annemen darf. Nac pysikaliscen Grundprinzipien wird diese Form die Energie des Stabes minimieren. Das Energieminimierungsprinzip ist öcst wictig und tritt in der Natur und Alltag äufig auf (z.b. Seifenäute). Man mace sic klar, dass eine minimale Energie den geringsten Energieverbrauc bedeutet und damit Treibstoffkosten gespart werden kann. Diese Form des Splines ist die am äufigsten genutzte Spline-Interpolationsaufgabe und at z.b. große Anwendungen in der Computergrafik. Matematisc ausgedrückt bedeutet Energieminimierung im Falle des Splines: b a s (x) 2 dx = min! bzgl. aller möglicen interpolierenden (inreicend glatten) Funktionen. Definition 3.25 (Kubiscer Spline). Eine Funktion s n : [a, b] R wird kubiscer Spline bzgl. Zerlegung a = x 0 < x <... < x n = b genannt, wenn gilt i) s n C 2 [a, b]. ii) s n [xi,x] P 3, i =,... n. Falls zusätzlic iii) s n(a) = s n(b) = 0 gilt, so eißt der Spline natürlic. 63

3 Interpolation und Approximation Satz 3.26 (Existenz, Energieminimierung und Felerabscätzung kubiscer Splines). Es sei f eine gegebene zu interpolierende Funktion oder y 0,..., y n eine Reie von Messwerten. Durc x 0, x,..., x n seien n + paarweise versciedene Stützstellen gegeben. Der durc die Interpolationsvorscrift s n (x i ) = f(x i ) = y i R, i = 0,..., n, s n(a) = y a R, s n(b) = y b R bescriebene kubisce Spline existiert. Er ist eindeutig bestimmt durc die Vorgabe der zweiten Ableitungsinformationen. Sei weiter g C 2 ([a, b]) beliebig mit g(x i ) = f(x i ) = y i mit x i [a, b] sowie y a = g (a) und y b = g (b). Dann gilt das Prinzip der Energieminimierung: b a s n(x) 2 dx b Falls f C 4 [a, b], so gilt die Felerabscätzung a g (x) 2 dx, g C 2 [a, b]. max a x b f(x) s n(x) 2 4 max a x b f (4) (x). Beweis: Siee [9], S. 43-47. 3.3 Numerisce Differentiation In diesem Abscnitt befassen wir uns mit einer einfacen numeriscen Aufgabe: zu einer gegebenen Funktion f : [a, b] R soll in einem Punkt x 0 (a, b) die Ableitung f (x 0 ) oder die n-te Ableitung f (n) (x 0 ) berecnet werden. Wir geen davon aus, dass es mit vertretbarem Aufwand nict möglic ist, die Funktion f(x) symbolisc zu Differenzieren und die Ableitung an der Stelle x 0 auszuwerten. Wir benötigen also Approximationsverfaren zur Bestimmung der Ableitung. Die grundlegende Idee wird durc das folgende Verfaren bescrieben: Verfaren 3.27 (Numerisce Differentiation). Die Funktion f : [a, b] R wird durc ein Polynom p(x) interpoliert. Die n-te Ableitung f (n) (x 0 ) wird durc die n-te Ableitung des Polynoms p (n) (x 0 ) approximiert. Im Folgenden entwickeln wir einige einface Verfaren zur Approximation von Ableitungen, welce auf der Interpolation beruen. Lineare Interpolation Wir interpolieren f(x) linear in den Stützstellen x 0 sowie x 0 + : p (x) = f(x 0 ) x 0 + x + f(x 0 + ) x x 0, p (x) = f(x 0 + ) f(x 0 ). 64

3.3 Numerisce Differentiation Wir approximieren in x = x 0 und eralten mit Taylorentwicklung von f(x 0 + ) um x 0 p (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) = f (x 0 ) + 2 f (x 0 ) + O( 2 ), bei gegebener Differenzierbarkeit von f eine Approximation der ersten Ableitung von erster Ordnung, also p (x 0) = f (x 0 ) + O(). Diese erste Approximation eißt einseitiger Differenzenquotient. Dabei kann zur Approximation natürlic auc eine Stützstelle x 0 links von der Auswertungsstelle gewält werden: p (x) = f(x 0) f(x 0 ) = f (x 0 ) + 2 f (x 0 ) + O( 2 ). Insbesondere bei der Diskretisierung von gewönlicen Differentialgleicungen aben sic für diese beiden Varianten die Begriffe Vorwärtsdifferenzenquotient und Rückwärtsdifferenzenquotient etabliert (je nacdem, ob die weitere Stützstelle nac vorne x 0 + oder zurück x 0 greift). Aus Symmetriegründen ersceint es ebenso sinnvoll, das Interpolationspolynom in der Mitte zwiscen den beiden Stützstellen auszuwerten. Wir legen daer ein lineares Interpolationspolynom durc die beiden Stützstellen x 0 und x 0 + : ˆp (x) = f(x 0 ) x 0 + x 2 + f(x 0 + ) x x 0 + 2, ˆp (x) = f(x 0 + ) f(x 0 ). 2 Wir approximieren wieder bei x 0 und eralten mit Taylorentwicklung beider Terme um den Mittelpunkt x 0 wegen f(x 0 ± ) = f(x 0 ) ± f (x 0 ) + 2 2 f (x 0 ) ± 3 6 f (x 0 ) + 4 24 f (iv) (x 0 ) + O( 5 ), die bessere Approximation von zweiter Ordnung: ˆp (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 = f (x 0 ) + 2 6 f (x 0 ) + O( 4 ). (3.7) Diese wictige Approximation wird zentraler Differenzenquotient genannt. Das Ausnutzen von Symmetrie beim Entwurf von numeriscen Verfaren fürt oft zu einer besseren Konvergenzordnung als zunäcst erwartet. So ein Veralten wird im Allgemeinen Superapproximation genannt. Eine lineare Interpolation p P eignet sic nict zur Approximation öerer Ableitungen, da p konstant ist. Quadratisce Interpolation Wir interpolieren f(x) mit Hilfe der drei Stützstellen x 0, x 0, x 0 + durc ein quadratisces Polynom: p 2 (x) = f(x 0 ) (x 0 x)(x 0 + x) 2 2 + f(x 0 ) (x x 0 + )(x 0 + x) 2 + f(x 0 + ) (x x 0 + )(x x 0 ) 2 2. 65

3 Interpolation und Approximation In x = x 0 gilt für erste und zweite Ableitungen: p 2(x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ), p 2 2(x 0 ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 ) + f(x 0 ) 2. Für die erste Ableitung ergibt sic erstaunlicerweise wieder der zentralen Differenzenquotienten, der scon durc lineare Interpolation ergeleitet wurde. Dies ist der Ursprung der Bezeicnung Superapproximation: mit Hilfe der linearen Interpolierenden wird ein Ergebnis erreict, das eigentlic erst bei quadratiscer Interpolierender zu erwarten wäre. Für die zweite Ableitung eralten wir mit Taylorentwicklung: p 2(x 0 ) = 2f(x 0) + f(x 0 ) + f(x 0 + ) 2 = f (x 0 ) + 2 2 f (iv) (x 0 ) + O( 4 ) den zentrale Differenzenquotient für die zweite Ableitung. Wir können auf der Basis von p 2 auc einen einseitigen Differenzenquotienten für die zweite Ableitung erleiten. Dies erfolgt durc Approximation von f (x 0 ) p 2 (x 0 ). Wieder mit Taylorentwicklung eralten wir p (x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 ) + O( 2 ) lediglic eine Approximation erster Ordnung. Neben der Ordnung des Interpolationspolynoms p(x) kommt es entsceidend auf die entsprecende Wal der Stützstellen an. Wir betracten ein Beispiel: Beispiel 3.28. Es sei f(x) = tan(x). Wir sucen eine Approximation von ( ) ( ) f 0.7864477329659274, f 0.72686983835874. 2 2 Zur Approximation verwenden wir für die vier biser diskutieren Differenzenquotienten zu versciedenen Scrittweiten > 0: In Abbildung 3.7 tragen wir die Feler der Approximationen gegenüber der Scrittweite auf. Hier ist deutlic der Unterscied zwiscen linearer und quadratiscer Ordnung in zu erkennen. Stabilität Abscließend untersucen wir die Stabilität der Differenzenapproximation. Die Koeffizienten der versciedenen Formeln wecseln das Vorzeicen, somit bestet die Gefar der Auslöscung. Exemplarisc füren wir die Stabilitätsanalyse für die zentralen Differenzenapproximation zur Bestimmung der ersten Ableitung durc. Wir geen davon aus, dass die 66

3.3 Numerisce Differentiation f( 2 +) f( 2 ) f( 2 +) f( 2 ) 2 f( 2 +2) f( 2 +)+f( 2 ) 2 f( 2 +) 2f( 2 )+f( 2 ) 2 2 0.598954 0.76594 0.623692 0.65056 4 0.69227 0.78046 0.745385 0.706667 8 0.73986 0.784969 0.763733 0.72740 6 0.763405 0.786079 0.753425 0.725577 32 0.775004 0.786356 0.74230 0.726540 64 0.780747 0.786425 0.73534 0.726782 Exakt 0.786448 0.786448 0.726862 0.726862 Tabelle 3.: Differenzenapproximation von f (/2) (zwei Tabellen links) und f (/2) (rects) der Funktion f(x) = tan(x). Dabei ist jeweils der einseitige bzw. der zentrale Differenzenquotient genutzt worden. Approximation der ersten Ableitung Einseitig Zentral Approximation der zweiten Ableitung Zentral Einseitig 0. 0. 0.0 0.0 Feler Feler 0.00 0.00 0.000 0.000 e-05 0.0 0. e-05 0.0 0. Abbildung 3.7: Feler bei der Differenzenapproximation der ersten (links) und zweiten (rects) Ableitung von f(x) = tan(x) im Punkt x 0 = 2. Funktionswerte an den beiden Stützstellen nur feleraft (mit relativem Feler ǫ eps) ausgewertet werden können und eralten: p (x 0 ) = f(x 0 + )( + ǫ ) f(x 0 )( + ǫ 2 ) ( + ǫ 3 ) 2 = f(x 0 + ) f(x 0 ) ( + ǫ 3 ) + ǫ f(x 0 + ) ǫ 2 f(x 0 ) + O(eps 2 ). 2 2 Für den relativen Feler gilt p (x 0 ) p (x 0 ) p (x 0 ) eps + f(x 0 + ) + f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) eps + O(eps2 ). Im Fall f(x 0 + ) f(x 0 ) also f (x 0 ) 0 kann der Feler beliebig stark verstärkt werden. Je kleiner gewält wird, umso größer wird dieser Effekt, denn: f(x 0 + ) f(x 0 ) = 2f (x 0 ) + O( 2 ). 67

3 Interpolation und Approximation Dieses Ergebnis ist gegenläufig zur Felerabscätzung für den Differenzenquotienten (3.7). Bei der numeriscen Approximation müssen beide Feleranteile addiert werden: f (x 0 ) p (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) p (x 0 ) f (x 0 ) + p (x 0 ) p (x 0 ) f (x 0 ) 3 2 + O( 4 ) + max ξ f(ξ) f (x 0 ) eps + O(eps2 ). Für kleines steigt der Rundungsfeleranteil. Der Gesamtfeler wird minimal, falls beide Feleranteile balanciert sind, also im Fall: 2 eps 3 eps. 3.4 Ricardson Extrapolation zum Limes Eine wictige Anwendung der Interpolation ist die Extrapolation zum Limes. Die Idee lässt sic am einfacsten anand eines Beispiels erklären. Wir wollen die Ableitung f (x 0 ) einer Funktion f im Punkt x 0 mit Hilfe des einseitigen Differenzenquotienten berecnen: a() := f(x 0 + ) f(x 0 ). Der Scrittweitenparameter bestimmt die Qualität der Approximation a() f (x 0 ). Für 0 gilt (bei Vernaclässigung von Rundungsfelern) a() f (x 0 ). An der Stelle = 0 lässt sic a() jedoc nict auswerten. Die Idee die Extrapolation zum Limes ist es nun, ein Interpolationspolynom p(x) durc die Stützstellenpaare ( i, a( i )) für eine Folge von Scrittweiten 0,,..., n zu legen und den Wert p(0) als Approximation für a(0) zu verwenden. Es stellt sic die grundlegende Frage: at die Interpolierende in den Stützstellen 0,..., n auc Aussagekraft außeralb des Intervalls I := [min i i, max i i ]? Beispiel 3.5 lässt dies zunäcst nict vermuten. Hier war die Approximationseigenscaft durc Oszillationen in Punkten zwiscen den Stützstellen scon am Rande des Intervalls I stark gestört. Wir betracten dennoc ein einfaces Beispiel: Beispiel 3.29 (Extrapolation des einseitigen Differenzenquotienten). Zu f C 3 ([a, b]) sei a() = f(x 0 + ) f(x 0 ) = f (x 0 ) + 2 f (x 0 ) + 2 6 f (ξ x0,), (3.8) die einseitige Approximation der ersten Ableitung. Wir legen durc die Stützstellen (, a()) sowie (/2, a(/2)) das lineare Interpolationspolynom, p(t) = ( ) t 2 a() + 2 ( ) t 2 ( ) a, 2 68

3.4 Ricardson Extrapolation zum Limes und werten dieses an der Stelle t = 0 als Approximation von a(0) aus: ( ) a(0) p(0) = 2a a(). 2 Für a(/2) sowie a() setzen wir die Taylor-Entwicklung (3.8) ein und eralten mit ( p(0) = 2 f (x 0 ) + ) ( 4 f (x 0 ) + 2 24 f (ξ x0,/2) f (x 0 ) + ) 2 f (x 0 ) + 2 6 f (ξ x0,) = f (x 0 ) + O( 2 ), eine Approximation der ersten Ableitung von zweiter Ordnung in der Scrittweite. Dieses Extrapolationsprinzip lässt sic mit weiteren Stützstellen und Interpolation mit Polynomen von größerem Grad fortsetzen. Dieses Beispiel zeigt, dass durc das Prinzip der Extrapolation es grundsätzlic möglic ist, die Ordnung eines Verfarens durc gescickte Kombination der Ergebnisse a( i ) zu verbessern. Eine solce Vorgeensweise, bei der Ergebnisse eines numeriscen Verfarens weiter verarbeitet werden, wird Postprocessing genannt. Satz 3.30 (Einface Extrapolation). Es sei a() : R + R eine n + mal stetig differenzierbare Funktion mit der Summenentwicklung n a() = a 0 + a j j + a n+ () n+, j= mit Koeffizienten a j R sowie a n+ () = a n+ +o(). Weiter sei ( k ) k=0,,... mit k R + eine monoton fallende Scrittweitenfolge mit der Eigenscaft Es sei p (k) n 0 < k+ k ρ <. (3.9) P n das Interpolationspolynom zu ( k, a( k )),..., ( k+n, a( k+n )). Dann gilt: Beweis: In Lagrangescer Darstellung gilt a(0) p (k) n (0) = O( n+ k ) (k ). p (k) n (t) = n i=0 a( k+i )L (n) k+i (t), L(n) k+i = n l=0,l i t k+l k+i k+l. (3.0) Für die Lagrangescen Basispolynome gilt die Bezieung: n r = 0, r k+il (n) k+i (0) = 0 r =,..., n, i=0 ( ) n n i=0 k+i r = n +. (3.) 69

3 Interpolation und Approximation Der Nacweis erfolgt durc Analyse der Lagrangescen Interpolation von t r für versciedene Exponenten r. Wir setzen die Entwicklung von a() in die Polynomdarstellung (3.0) ein und eralten für t = 0: p (k) n (0) = n n a 0 + a j j k+i + a n+( k+i ) n+ k+i i=0 j= Mit (3.) und a n+ ( k+i ) = a n+ + o( k+i ) folgt: n n (0) = a 0 + a n+ ( ) n i+k + p (k) i=0 n i=0 L(n) k+i (0). o() n+ k+i L(n) k+i (0). Mit der Scrittweitenbedingung (3.3) k+i ρ i k gilt für die Lagrangescen Basispolynome in t = 0: L (n) n k+i (0) = n l=0,l i k+i k+l ρ i l = c(ρ, n). (3.2) l=0,l i Insgesamt folgt mit k+i k p (k) n = a(0) + ( ) n a n+ n+ k + o( n+ k ). Die Scrittweitenbedingung ist notwendig zum Abscätzen von L (n) k+i = O() und verindert das starke Oszillieren der Basisfunktionen bei t = 0 wie in Beispiel 3.5 beobactet. Eine zulässige Scrittweitenfolgen zur Extrapolation ist i = 0. Die einface Wal 2 i i = 0 /i ingegen ist nict zulässig, da ier k+ / k gilt und eine Abscätzung in Scritt (3.2) nict mer gleicmäßig in k möglic ist. Um die Extrapolationsvorscrift auf ein gegebenes Verfaren anzuwenden, werden die Approximationen p (k) n (0) mit Hilfe des Neville-Scemas aus Algoritmus berecnet. Wir füren ierzu Beispiel 3.29 fort: Beispiel 3.3 (Extrapolation des Differenzenquotienten). Wir approximieren die Ableitung von f(x) = tan(x) an der Stelle x 0 = 0.5 und berecnen die Approximationen mit dem einseitigen Differenzenquotienten. Exakter Wert tan (0.5) 0.78645: a() p kk p k,k+ p k,k+2 p k,k+3 2 0.59895 0.59895 0.78530 0.78836 0.78650 2 2 0.6923 0.6923 0.78759 0.78673 2 3 0.73986 0.73986 0.78695 2 4 0.7634 0.7634 Die Ricardson-Extrapolation spielt ire Stärke erst dann voll aus, wenn die zugrundeliegende Funktion a() eine spezielle Reienentwicklung besitzt, welce z.b. nur gerade 70

3.4 Ricardson Extrapolation zum Limes Potenzen von beinaltet. Für den zentralen Differenzenquotienten gilt bei inreicender Regularität von f: a() := f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 = f (x 0 ) + n i= f (2i+) x 0 (2i + )! 2i + O( (2n+) ). Die Idee ist es nun, diese Entwicklung bei der Interpolation auszunutzen und nur Polynome in, 2, 4,... zu berücksictigen. Der zentrale Differenzenquotient ist kein Einzelfall. Bei der numeriscen Quadratur werden wir das Romberg-Verfaren kennenlernen, welces ebenso auf der Extrapolation einer Vorscrift mit Entwicklung in 2 berut. Auc bei der Approximation von gewönlicen Differentialgleicungen lernen wir mit dem Gragg scen Extrapolationsverfaren eine Metode kennen, die auf diesem Prinzip berut. Daer formulieren wir one Beweis denn allgemeinen Satz zur Ricardson-Extrapolation: Satz 3.32 (Ricardson-Extrapolation zum Limes). Es sei a() : R + R für ein q > 0 eine q(n + ) mal stetig differenzierbare Funktion mit der Summenentwicklung n a() = a 0 + a j qj + a n+ () q(n+), j= mit Koeffizienten a j R sowie a n+ () = a n+ +o(). Weiter sei ( k ) k=0,,... eine monoton fallende Scrittweitenfolge k > 0 mit der Eigenscaft 0 < k+ k ρ <. (3.3) Es sei p (k) n Dann gilt: P n (in q ) das Interpolationspolynom zu ( q k, a( k)),..., ( q k+n, a( k+n)). a(0) p (k) n (0) = O( q(n+) k ) (k ). Beweis: Der Beweis ist eine einface Modifikation von Satz 3.3 und kann im Wesentlicen mit Hilfe der Substitution k = q k übertragen werden. Für Details, siee [9]. Prinzipiell erlaubt die Ricardson-Extrapolation bei inreicender Regularität eine beliebige Steigerung der Verfarensordnung. Üblicerweise werden jedoc nur einige wenige Extrapolationsscritte aus den letzten Verfarenswerten k, k+,..., k+n verwendet. Die Extrapolation wird am einfacsten mit dem modifizierten Neville-Scema durcgefürt. Algoritmus 3.33 (Modifiziertes Neville-Scema zur Extrapolation). Für 0,,..., n sei a( i ) bekannt. Berecne: f ür k = 0,..., n s e t z e a k,k := a( k ) 2 f ür l =,..., n und 3 f ür k = 0,..., n l berecne 4 a k,k+l := a k,k+l a k+,k+l a k,k+l q k+l q k 7

3 Interpolation und Approximation Wir scließen die Ricardson-Extrapolation mit einem weiteren Beispiel ab: Beispiel 3.34 (Extrapolation des zentralen Differenzenquotienten). Wir approximieren die Ableitung von f(x) = tan(x) an der Stelle x = 0.5 mit dem zentralen Differenzenquotienten und Extrapolation. Exakter Wert ist tan (0.5) 0.7864477329: a() = p kk p k,k+ p k,k+2 p k,k+3 2 0.7659456 0.7867493883 0.7864537207 0.7864477443 2 2 0.780460580 0.786472999 0.7864478377 2 3 0.784969295 0.7864493603 2 4 0.786079344 Bereits die jeweils erste Extrapolation p k,k+ liefert weit bessere Ergebnisse als die Extrapolation des einseitigen Differenzenquotienten. Die beste Approximation verfügt über 8 rictige Stellen. 72