4 Phononen I: Gitterschwingungen

101 4 Phononen I: Gitterschwingungen Schwingungen in Kristallen mit einatomiger Basis............... 102 Erste Brillouin-Zone............................ 105 Gruppengeschwindigkeit.......................... 106 Langwelliger Grenzfall........................... 107 Experimentelle Kraftkonstanten...................... 107 Gitter mit zwei Atomen in der primitiven Basis................. 108 Quantisierung elastischer Wellen......................... 113 Impuls der Phononen................................ 114 Inelastische Streuung durch Phononen...................... 114 Zusammenfassung................................. 116 Aufgaben...................................... 117 Kapitel 5 behandelt die thermischen Eigenschaften von Phononen.

102 4 Phononen I: Gitterschwingungen Schwingungen in Kristallen mit einatomiger Basis Betrachten wir die elastischen Schwingungen eines Kristalls mit einem Atom in der primitiven Elementarzelle. Wir wollen die Frequenz einer Gitterwelle in Abhängigkeit vom Wellenvektor, der die Welle beschreibt, und den elastischen Konstanten berechnen. Die mathematische Lösung des Problems ist am einfachsten, wenn man als Ausbreitungsrichtungen die [100]-, [110]- und [111]-Richtungen im kubischen Kristall betrachtet. Dies sind die Richtungen der Würfelkante, der Flächendiagonalen und der Raumdiagonalen. Breitet sich eine Welle in einer dieser Richtungen aus, dann bewegen sich immer ganze Netzebenen in Phase; die Auslenkung ist dabei entweder parallel oder senkrecht zur Richtung des Wellenvektors. Wir können die Auslenkung der Ebene s aus ihrer Gleichgewichtslage mit einer einzigen Koordinate u s beschreiben. Das Problem ist dann eindimensional. Für jeden Wellenvektor gibt es drei Schwingungszustände (Moden), einen mit longitudinaler Polarisation (Bild 4.2) und zwei mit transversaler Polarisation (Bild 4.3). Wir nehmen an, dass die elastische Reaktion des Kristalls eine lineare Funktion der Kraft ist. Das ist gleichbedeutend mit der Annahme, dass die elastische Energie eine quadratische Funktion der relativen Verschiebungen zweier beliebiger Punkte im Kristall ist. Im Gleichgewicht verschwinden die linearen Glieder im Ausdruck für die Energie, wie in Bild 3.6 für das Minimum zu sehen ist. Kubische Glieder und solche höherer Ordnung können für genügend kleine elastische Deformationen vernachlässigt werden. Entsprechend nehmen wir an, dass die Kraft auf die Ebene s, die durch Verschiebung der Ebene s + p entsteht, proportional zur Differenz ihrer Auslenkungen u s+p u s ist. Der Kürze wegen betrachten wir nur Wechselwirkungen nächster Nachbarn, so Zeichen Name Feld Elektron Photon Phonon Plasmon Magnon Elektromagnetische Welle Elastische Welle Kollektive Elektronenschwingung Magnetisierungswelle Polaron Elektron + elastische Deformation Exziton Polarisationswelle Bild 4.1: Die wichtigen Elementaranregungen in Festkörpern.

Schwingungen in Kristallen mit einatomiger Basis 103 dass p = ±1 ist. Die Gesamtkraft auf die Ebene s durch die Ebenen s ± 1 ist F s = C(u s+1 u s ) + C(u s 1 u s ). (4.1) Dieser Ausdruck ist linear in den Auslenkungen und hat die Form des Hookeschen Gesetzes. Die Konstante C ist die Kraftkonstante zwischen nächst benachbarten Ebenen und ist für Longitudinal- und Transversalwellen verschieden. Es ist vorteilhaft, C für ein Atom der Ebene zu definieren, so dass F s die Kraft auf ein einzelnes Atom in der Ebene s ist. Die Bewegungsgleichung eines Atoms der Ebene s ist dann M d2 u s dt 2 = C(u s+1 + u s 1 2u s ), (4.2) wobei M die Masse eines Atoms ist. Wir suchen nach Lösungen, in denen die Auslenkungen die Zeitabhängigkeit exp( iωt) haben. Dann ist d 2 u s /dt 2 = ω 2 u s und u s 1 u s u s+1 u s+2 u s+3 u s+4 K a s 1 s s + 1 s + 2 s + 3 s + 4 Bild 4.2: Gestrichelte Linien: Netzebenen in ihrer Gleichgewichtslage. Durchgezogene Linien: Netzebenen, wie sie bei einer Longitudinalwelle ausgelenkt werden. Die Koordinate u beschreibt die Auslenkung der Ebenen. u s 2 u s 1 u s u s+1 us+2 K Bild 4.3: Auslenkung der Netzebenen in einer Transversalwelle.

104 4 Phononen I: Gitterschwingungen aus (4.2) wird Mω 2 u s = C(u s+1 + u s 1 2u s ). (4.3) Dies ist eine Differenzengleichung in den Auslenkungen u und hat Lösungen für laufende Wellen der Form: u s±1 = uexp(iska)exp(±ika). (4.4) Darin ist a der Abstand der Netzebenen und K der Wellenvektor. Der Wert von a hängt von der Richtung von K ab. Aus (4.3) wird unter Benutzung von (4.4) { ω 2 Muexp(isKa) = Cu exp[i(s + 1)Ka] } + exp[i(s 1)Ka] 2exp(isKa). (4.5) Kürzen wir uexp(iska) auf beiden Seiten, so bleibt ω 2 M = C[exp(iKa) + exp( ika) 2]. (4.6) Mit der Identität 2 cos Ka = exp(ika) + exp( ika) erhalten wir die Dispersionsrelation ω(k) ω 2 = (2C/M)(1 cos Ka). (4.7) Der Rand der ersten Brillouin-Zone liegt bei K = ±π/a. Mit (4.7) zeigen wir, dass die Steigung von ω(k) verschwindet: dω 2 /dk = (2Ca/M)sin Ka = 0 (4.8) bei K = ±π/a, denn hier wird sinka = sin(±π) = 0. Die besondere Bedeutung von Phononen, deren Wellenvektoren auf dem Zonenrand liegen, erläutern wir weiter unten an Hand von Gleichung (4.12). Unter Verwendung einer trigonometrischen Identität lässt sich (4.7) schreiben als ω 2 = (4C/M)sin 2 1 2 Ka, ω = (4C/M)1/2 sin 1 2Ka. (4.9) In Bild 4.4 ist ω in Abhängigkeit von K aufgetragen.

Schwingungen in Kristallen mit einatomiger Basis 105 1,2 1,0 ω 4C/M 0,8 0,6 0,4 0,2 0 π a ω 4C/M = sin 1 2 Ka 0 K π a Erste Brillouin-Zone 2π a Bild 4.4: Frequenz ω in Abhängigkeit vom Wellenvektor K. Der Bereich K 1/a oder λ a entspricht der Kontinuumsnäherung; dort ist ω direkt proportional zu K. Erste Brillouin-Zone Welcher Bereich von K hat für elastische Wellen eine physikalische Bedeutung? Nur solche K, die in der ersten Brillouin-Zone liegen. Nach (4.4) ergibt sich für das Verhältnis der Auslenkungen benachbarter Netzebenen u s+1 u s = uexp[i(s + 1)Ka] uexp(iska) = exp(ika). (4.10) Der Bereich von π bis +π für die Phase Ka umfasst alle unabhängigen Werte der Exponentialfunktion. Der Bereich unabhängiger K-Werte kann also eingeschränkt werden auf π Ka π oder π a K π a. Dieser Bereich ist die erste Brillouin-Zone des linearen Gitters, wie sie in Kapitel 2 definiert wurde. Die Extremwerte sind K max = ±π/a. Wellenvektoren außerhalb der ersten Brillouin-Zone (Bild 4.5) reproduzieren lediglich Gitterbewegungen, die bereits durch Werte innerhalb der Grenzen ±π/a beschrieben werden. Wir können einen K-Wert außerhalb dieser Grenzen behandeln, indem wir ein ganzzahliges Vielfaches von 2π/a subtrahieren, das so gewählt ist, dass es zu einem Wellenvektor innerhalb dieser Grenzen führt. Ist K ein Wellenvektor außerhalb der ersten Zone und K = K 2πn/a (n ist eine ganze Zahl) liegt innerhalb der ersten Zone, dann wird aus dem Auslenkungsverhältnis (4.10) u s+1 /u s = e ika = e i2πn e i(ka 2πn) = e ik a, (4.11)

106 4 Phononen I: Gitterschwingungen a Bild 4.5: Die Welle der weißen Kurve übermittelt keine Information, die nicht auch durch die schwarze Kurve gegeben wird. Man braucht nur Wellenlängen größer als 2a, um die Bewegung wiederzugeben. denn es ist exp(i2πn) = 1. Die Auslenkung kann also immer durch einen Wellenvektor innerhalb der ersten Zone beschrieben werden. 2πn/a ist ein reziproker Gittervektor, weil 2π/a ein solcher ist. Durch Subtraktion eines geeigneten reziproken Gittervektors von K erhält man immer einen äquivalenten Wellenvektor in der ersten Brillouin-Zone. An den Grenzen K max = ±π/a der Brillouin-Zone stellt die gefundene Lösung u s = uexp(iska) der Gleichung (4.3) keine laufende, sondern eine stehende Welle dar. An den Zonenrändern gilt sk max a = ±sπ, und damit u s = uexp(±isπ) = u( 1) s. (4.12) Dies ist die Gleichung einer stehenden Welle: Atome benachbarter Netzebenen bewegen sich gegenphasig, da u s = ±1, je nach dem ob s gerade oder ungerade ist. Die Welle bewegt sich weder nach rechts noch nach links. Diese Situation ist der Bragg-Reflexion von Röntgenstrahlen äquivalent: Ist die Bragg- Bedingung erfüllt, so kann sich eine laufende Welle nicht mehr im Gitter fortpflanzen; vielmehr baut sich durch Hin- und Herreflexionen eine stehende Welle auf. Der kritische Wert K max = ±π/a, den wir hier gefunden haben, erfüllt die Bragg- Bedingung 2dsin θ = nλ, und zwar ist θ = π/2, d = a, K = 2π/λ, n = 1 und damit λ = 2a. Bei Röntgenstrahlen kann n außer 1 auch andere ganzzahlige Werte annehmen, da die Amplitude einer elektromagnetischen Welle auch im Raum zwischen den Atomen ihre Bedeutung beibehält; die Amplitude der Auslenkung einer elastischen Welle besitzt dagegen nur am Ort der Atome selbst eine Bedeutung. Gruppengeschwindigkeit Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist die Gruppengeschwindigkeit, die durch v g = dω/dk oder v g = grad K ω(k) (4.13) gegeben ist. Darin ist grad K der Gradient bezüglich K. Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der Energie in einem Medium transportiert wird.

Schwingungen in Kristallen mit einatomiger Basis 107 Aus der Dispersionsrelation (4.9) ergibt sich die Gruppengeschwindigkeit (Bild 4.6) zu v g = (Ca 2 /M) 1/2 cos 1 2Ka. (4.14) Sie ist am Zonenrand, bei K = π/a, gleich null. Hier ist die Welle, wie in (4.12), eine stehende Welle und wir erwarten, dass die Gruppengeschwindigkeit verschwindet. 1,0 v g Ca2 /M 0,5 0 0 π/(2a) π/a K Bild 4.6: Gruppengeschwindigkeit v g in Abhängigkeit von K für das Modell aus Bild 4.4. Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit null. Langwelliger Grenzfall Für Ka 1 ergibt die Entwicklung cos Ka = 1 1 2 (Ka)2, so dass die Dispersionsrelation (4.7) die einfache Form ω 2 = (C/M)K 2 a 2 (4.15) annimmt. Das Ergebnis, dass die Frequenz im langwelligen Grenzfall direkt proportional zum Wellenvektor ist, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Schallgeschwindigkeit in diesem Grenzfall unabhängig von der Frequenz ist. Wie in der Kontinuumstheorie der elastischen Wellen gilt auch hier v = ω/k, da im Kontinuumsgrenzfall Ka 1 ist. Experimentelle Kraftkonstanten In Metallen können die wirksamen Kräfte recht große Reichweiten haben, da sie durch die Leitungselektronen von Ion zu Ion übertragen werden. Es wurden Wechselwirkungen zwischen Netzebenen beobachtet, die bis zu 20 Ebenen voneinander entfernt waren. Eine Aussage über die Reichweite der Kräfte können wir machen, wenn wir die Dispersionsrelation für ω kennen. Die Verallgemeinerung der Dispersionsbeziehung (4.7) auf p nächste Ebenen lässt sich leicht finden und ist durch ω 2 = (2/M) p>0 C p (1 cos pka) (4.16a)

108 4 Phononen I: Gitterschwingungen gegeben. Wir lösen nach den Kraftkonstanten C p der zwischen den Ebenen wirkenden Kräfte auf, indem wir beide Seiten mit cos(rka) multiplizieren (r ist ganzzahlig) und über den Bereich der unabhängigen K-Werte integrieren M π/a π/adkω 2 K cos rka = 2 p>0 C p π/a dk(1 cos pka)cos rka = 2π C r a. π/a (4.16b) Das Integral verschwindet, außer für p = r. Somit ist C p = Ma 2π π/a π/a dkωk 2 cos pka (4.17) die Kraftkonstante der Ebene p für den Fall einer Struktur mit einatomiger Basis. Gitter mit zwei Atomen in der primitiven Basis Die Dispersionsrelationen zeigen neue, charakteristische Eigenschaften bei Kristallen mit mehr als einem Atom in der primitiven Basis. Betrachten wir beispielsweise die NaCl- oder die Diamantstruktur, mit zwei Atomen in der primitiven Elementarzelle. Für jede mögliche Polarisation in einer gegebenen Fortpflanzungsrichtung liefert die Dispersionsrelation ω(k) zwei Zweige, die als akustischer und optischer Zweig bezeichnet werden. Es gibt also longitudinale (LA) und transversale akustische (TA) Schwingungszustände (Moden), sowie longitudinale (LO) und transversale optische (TO) Schwingungszustände (Bild 4.7). Befinden sich p Atome in der primitiven Elementarzelle, dann liefert die Dispersionsrelation 3p Zweige: 3 akustische und 3p 3 optische. So haben Germanium (Bild 4.8a) und KBr (Bild 4.8b) mit jeweils zwei Atomen pro primitiver Elementarzelle je sechs Zweige: einen LA, zwei TA, einen LO und zwei TO. Die Gesetzmäßigkeit für die Anzahl der Zweige folgt aus der Zahl der Freiheitsgrade der Atome. Mit p Atomen in der primitiven Elementarzelle und N primitiven Elementarzellen gibt es insgesamt pn Atome. Jedes Atom hat drei Freiheitsgrade, einen für jede der Richtungen x,y,z; dies ergibt für den Kristall eine Gesamtzahl von 3pN Freiheitsgraden. Die Anzahl der erlaubten K-Werte für einen einzelnen Zweig ist nun gerade N für eine Brillouin-Zone 1. 1 Wir zeigen in Kapitel 5 durch die Anwendung periodischer Randbedingungen auf die Schwingungszustände des Kristalls, dass es gerade einen K -Wert im Volumen (2π) 3 /V im Fourierraum gibt. Das Volumen einer Brillouin-Zone ist (2π) 3 /V Z, wobei V Z das Volumen einer primitiven Elementarzelle des Kristalls bezeichnet. Daher ist die Anzahl der erlaubten K -Werte in einer Brillouin-Zone gleich V/V Z; was gerade N, der Anzahl der primitiven Elementarzellen im Kristall entspricht.

Gitter mit zwei Atomen in der primitiven Basis 109 [ ( )] 1/2 1 2C M 1 + 1 M 2 Optischer Phononenzweig 1/2 (2C/M 2) M 1 > M 2 (2C/M 1) 1/2 Akustischer Phononenzweig π/a K Bild 4.7: Optischer und akustischer Phononenzweig der Dispersionsrelation eines linearen Gitters mit zwei verschiedenen Atomsorten. Die Grenzfrequenzen für K = 0 und K = K max = π/a sind eingezeichnet; a ist die Gitterkonstante. Daher haben der LA- und die beiden TA-Zweige eine Gesamtzahl von 3N Moden; dafür werden 3N Freiheitsgrade benötigt. Die verbleibenden (3p 3)N Freiheitsgrade entfallen auf die optischen Zweige. Wir betrachten nun einen kubischen Kristall, bei dem Atome mit der Masse M 1 auf einer Schar von Netzebenen liegen und Atome mit der Masse M 2 auf einer zweiten Schar von Ebenen, die zwischen denen der ersten Schar angeordnet sind (Bild 4.9). Es ist nicht wesentlich, dass die Massen verschieden sind; aber wenn die Atome der Basis nicht gleichwertig sind, müssen sie entweder verschiedene Kraftkonstanten oder verschiedene Massen besitzen. Wir bezeichnen mit a die Entfernung, nach der sich 10 TO Phononenfrequenz in 10 12 Hz 8 LO 6 LA 4 2 TA 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K/K max, in [111]-Richtung Bild 4.8a: Phononendispersionsrelationen von Germanium in der [111]-Richtung bei 80 K. Die beiden TA-Phononenzweige verlaufen am Zonen- 1 2 1 2 rand K max = 2π a (1 ) waagerecht. Die LOund TO-Zweige fallen bei K = 0 zusammen; 2 dies ist eine Folge der Kristallsymmetrie von Ge. Dieser Verlauf wurde von G. Nilsson und G. Nelin mit inelastischer Neutronenstreuung gemessen.

110 4 Phononen I: Gitterschwingungen 5 LO Phononenfrequenz in 10 12 Hz 4 3 2 1 0 0 TO LA TA K/K max, in [111]-Richtung Bild 4.8b: Dispersionsrelationen für Kaliumbromid KBr in [111]-Richtung, gemessen bei 90 K, nach A.D.B. Woods, B.N. Brockhouse, A. Cowley und W. Cochran. Die für K = 0 extrapolierten Werte der TO- und LO-Zweige bezeichnet man mit ω T und ω L. die Atome einer Sorte in einer Richtung senkrecht zu den betrachteten Netzebenen wiederholen. Wir betrachten nur solche Wellen, deren Ausbreitungsrichtungen mit Symmetrierichtungen zusammenfallen, bei denen die Netzebenen nur jeweils eine Atomart enthalten. Solche Richtungen sind die [111]-Richtung in der NaCl-Struktur und die [100]-Richtung in der CsCl-Struktur. Wir nehmen an, dass jede Ebene nur mit ihren nächsten Nachbarebenen in Wechselwirkung tritt und dass die Kraftkonstanten für alle nächst benachbarten Ebenenpaare gleich sind. In diesem einfachen Fall erhalten wir unter Berücksichtigung von Bild 4.9 u s 1 v s 1 u s v s u s+1 v s+1 M 1 M 2 K Bild 4.9: Kristallstruktur mit zwei Atomsorten der Massen M 1 und M 2, die durch die Kraftkonstante C zwischen benachbarten Ebenen verbunden sind. Die Verschiebungen der Atome M 1 sind mit u s 1, u s, u s+1,... bezeichnet, die der Atome M 2 mit v s 1, v s, v s+1. In Richtung des Wellenvektors K ist die Wiederholungslänge a. Die Atome werden hier in ihrer unverschobenen Position gezeigt. a

Gitter mit zwei Atomen in der primitiven Basis 111 für die Bewegungsgleichungen die Ausdrücke M 1 d 2 u s dt 2 = C(v s + v s 1 2u s ), M 2 d 2 v s dt 2 = C(u s+1 + u s 2v s ). (4.18) Wir suchen nach Lösungen in Form laufender Wellen, jedoch mit verschiedenen Amplituden u, v in aufeinander folgenden Ebenen: u s = uexp(iska)exp( iωt), v s = v exp(iska)exp( iωt). (4.19) Wir erinnern uns an die Definition von a in Bild 4.9, dass a die Entfernung zwischen den nächsten gleichartigen Ebenen und nicht zwischen den nächst benachbarten Ebenen ist. Nach Einsetzen von (4.19) in (4.18) erhalten wir ω 2 M 1 u = Cv[1 + exp( ika)] 2Cu, ω 2 M 2 v = Cu[exp(iKa) + 1] 2Cv. (4.20) Diese homogenen, linearen Gleichungen besitzen nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante der Koeffizienten von u und v verschwindet: 2C M 1 ω 2 C[1 + exp( ika)] C[1 + exp(ika)] 2C M 2 ω 2 = 0 (4.21) oder M 1 M 2 ω 4 2C(M 1 + M 2 )ω 2 + 2C 2 (1 cos Ka) = 0. (4.22) Zwar kann man diese Gleichung exakt nach ω 2 auflösen, aber es ist einfacher, die Grenzfälle Ka 1 und Ka = ±π am Zonenrand zu untersuchen. Für kleine Werte von Ka ist cos Ka = 1 1 2 K2 a 2 +..., und die beiden Lösungen von (4.22) sind ω 2 = 2C ( 1 M 1 + 1 M 2 ) (optischer Zweig), (4.23) ω 2 = 1 2 C M 1 + M 2 K 2 a 2 (akustischer Zweig). (4.24)

112 4 Phononen I: Gitterschwingungen Die Ausdehnung der ersten Brillouin-Zone ist π/a K π/a, wobei a die Wiederholungslänge des Gitters ist. Bei K max = ±π/a sind die Lösungen ω 2 = 2C/M 1, ω 2 = 2C/M 2. (4.25) In Bild 4.7 ist gezeigt, wie ω für M 1 > M 2 von K abhängt. Die Auslenkungen der Teilchen in den TA- und TO-Zweigen sind in Bild 4.10 dargestellt. Für den optischen Zweig finden wir bei K = 0 durch Einsetzen von (4.23) in (4.20) u v = M 2 M 1. (4.26) Die Atome schwingen gegeneinander, ihr Schwerpunkt bleibt dabei in Ruhe. Tragen die beiden Atome ungleichnamige Ladungen (wie in Bild 4.10), so kann man eine solche Bewegung durch das elektrische Feld einer Lichtwelle anregen; deshalb nennt man diesen Zweig den optischen Zweig. Für ein allgemeines K wird das Verhältnis u/v komplex, wie es sich aus jeder der beiden Gleichungen (4.20) ergibt. Eine andere Lösung für das Amplitudenverhältnis bei kleinen K ist u = v, wie es als Grenzfall für K = 0 aus (4.24) folgt. Die Atome (und ihre Schwerpunkte) bewegen sich gemeinsam, wie bei akustischen Schwingungen langer Wellenlänge, daher die Bezeichnung akustischer Zweig. Für bestimmte Frequenzen gibt es keine wellenähnlichen Lösungen: hier für Frequenzen zwischen (2C/M 1 ) 1/2 und (2C/M 2 ) 1/2. Dies ist ein charakteristisches Merkmal elastischer Wellen in vielatomigen Gittern. Am Rand K max = ±π/a der ersten Brillouin-Zone tritt eine Frequenzlücke auf. + + + + + Optische Mode + + + + + Akustische Mode Bild 4.10: Transversale optische und transversale akustische Wellen in einem linearen Gitter aus zwei verschiedenen Atomsorten, veranschaulicht durch die Teilchenauslenkung für zwei Schwingungsmoden derselben Wellenlänge. K K

Quantisierung elastischer Wellen 113 Quantisierung elastischer Wellen Die Energie einer Gitterschwingung ist quantisiert. Das entsprechende Energiequant nennt man Phonon, in Analogie zum Photon einer elektromagnetischen Welle. Die Energie eines elastischen Schwingungszustands der Kreisfrequenz ω ist ǫ = (n + 1 2 ) ω, (4.27) wenn der Zustand zur Quantenzahl n angeregt, der Schwingungszustand also von n Phononen besetzt ist. Der Term 1 2 ω ist die Nullpunktsenergie des Schwingungszustandes. Er tritt sowohl bei Phononen als auch bei Photonen auf und ist eine Folge der Äquivalenz zum quantenmechanischen harmonischen Oszillator der Frequenz ω, dessen Energieeigenwerte ebenfalls (n + 1 2 ) ω sind. Die Quantentheorie von Phononen wird in Anhang C entwickelt. Man kann nun das mittlere Amplitudenquadrat der Phononen bestimmen. Betrachten wir hierzu eine stehende Welle mit der Amplitude u = u 0 cos Kxcos ωt, wobei u die Auslenkung eines Volumenelements aus seiner Gleichgewichtslage bei x bedeutet. Die Energie des Zustandes ist, wie bei jedem harmonischen Oszillator, im zeitlichen Mittel zur Hälfte kinetische, zur Hälfte potentielle Energie. Bezeichnen wir die Massendichte mit ρ, so ist die Dichte der kinetischen Energie durch 1 2 ρ( u/ t)2 gegeben. Für das Kristallvolumen V ergibt die Integration über das Volumen die kinetische Energie 1 4 ρv ω2 u 2 0 sin2 ωt. Der zeitliche Mittelwert der kinetischen Energie ist also 1 8 ρv ω2 u 2 0 = 1 2 (n + 1 2 ) ω, (4.28) da < sin 2 ωt >= 1 2 ist. Für das Amplitudenquadrat findet man dann u 2 0 = 4(n + 1 2 ) /ρv ω. (4.29) Diese Formel verknüpft die Auslenkung in einem gegebenen Schwingungszustand mit der Phononenbesetzungszahl n des Zustands. Welches Vorzeichen besitzt nun ω? Die Bewegungsgleichungen, wie etwa (4.2), sind Gleichungen für ω 2, und wenn ω 2 positiv ist, dann kann ω positiv oder negativ sein. Die Energie eines Phonons muss jedoch positiv sein. Deshalb ist es zweckmäßig, ω positiv zu wählen. Wenn das Gitter instabil ist, dann wird ω 2 negativ und damit die Frequenz ω imaginär.

114 4 Phononen I: Gitterschwingungen Impuls der Phononen Ein Phonon mit dem Wellenvektor K tritt mit Teilchen wie Photonen, Neutronen und Elektronen in Wechselwirkung, ganz so, als hätte es einen Impuls K. Wir zeigen nun, dass ein Phonon in einem Gitter dennoch keinen physikalischen Impuls besitzt. Der Grund hierfür ist, dass die Koordinate eines Phonons (außer für K = 0) mit den Relativkoordinaten der Atome verknüpft ist. So ist in einem H 2 -Molekül die Koordinate (r 1 r 2 ) der Schwingung der beiden Atome eine Relativkoordinate und besitzt keinen linearen Impuls. Die Schwerpunktskoordinate 1 2 (r 1+r 2 ) gehört zu dem gleichförmigen Bewegungszustand K = 0 und kann einen Impuls besitzen. In Kristallen existieren Wellenvektor-Auswahlregeln für erlaubte Übergänge zwischen Quantenzuständen. In Kapitel 2 haben wir gefunden, dass die elastische Streuung eines Röntgenphotons durch einen Kristall durch die Wellenvektor-Auswahlregel k = k + G (4.30) bestimmt wird. Dabei ist G ein Vektor des reziproken Gitters, k der Wellenvektor des einfallenden Photons und k der Wellenvektor des gestreuten Photons. Bei der Reflexion erfährt der Kristall als Ganzes den Rückstoß G; dieser gleichförmige Impulszustand wird aber fast nie explizit in Betracht gezogen. Gleichung (4.30) ist ein Beispiel für die Regel, dass der gesamte Wellenvektor der miteinander wechselwirkenden Wellen in einem periodischen Gitter bis auf die Addition eines reziproken Gittervektors erhalten bleibt. Der wahre Impuls des Gesamtsystems bleibt immer streng erhalten. Wird bei der inelastischen Streuung eines Photons ein Phonon mit dem Wellenvektor K erzeugt, so nimmt die Auswahlregel der Wellenvektoren die folgende Form an k + K = k + G. (4.31) Wird ein Phonon K in dem Prozess absorbiert, so gilt stattdessen die Beziehung k = k + K + G. (4.32) Die Beziehungen (4.31) und (4.32) sind natürliche Verallgemeinerungen von (4.30). Inelastische Streuung durch Phononen Die Dispersionsrelationen von Phononen ω(k) bestimmt man meist durch inelastische Neutronenstreuung, die mit der Emission oder Absorption eines Phonons einhergeht. Ein Neutron sieht das Kristallgitter hauptsächlich durch Wechselwirkung mit den

Inelastische Streuung durch Phononen 115 Atomkernen. Die Kinematik der Streuung eines Neutronenstrahls an einem Kristallgitter wird durch die allgemeine Auswahlregel für Wellenvektoren k + G = k ± K (4.33) und durch den Energieerhaltungssatz beschrieben. K ist der Wellenvektor des in dem Prozess erzeugten (+) oder absorbierten ( ) Phonons; G ist ein beliebiger Vektor des reziproken Gitters. Wir wählen G so, dass K in der ersten Brillouin-Zone liegt, wie dies für ein Phonon der Fall sein muss. Die kinetische Energie des einfallenden Neutrons ist p 2 /2M n, wobei M n die Masse des Neutrons ist. Der Impuls p ist durch k gegeben, wobei k der Wellenvektor des Neutrons ist. Damit ist 2 k 2 /2M n die kinetische Energie des einfallenden Neutrons. Bezeichnet man den Wellenvektor des gestreuten Neutrons mit k, so ist die Energie des gestreuten Neutrons 2 k 2 /2M n. Der Energiesatz ist dann 2 k 2 = 2 k 2 ± ω. (4.34) 2M n 2M n Hier ist ω die Energie des Phonons, das im Streuprozess erzeugt (+) oder absorbiert ( ) wurde. Um aus (4.33) und (4.34) die Dispersionsrelation zu bestimmen, ist es nötig, experimentell den Energiezuwachs oder Energieverlust der gestreuten Neutronen als Funktion der Streurichtung k k zu messen. Die Ergebnisse solcher Messungen für Germanium und KBr sind in Bild 4.8 dargestellt; Bild 4.11 zeigt die Ergebnisse für Natrium. In Bild 4.12 ist ein Neutronenspektrometer abgebildet, wie man es für die Untersuchung von Phononen benutzt. Frequenz in 10 12 Hz 4 2 [100] Longitudinal Transversal 0 0 1 0 0 [110] 0 1 1 0 2 2 Wellenvektor in Einheiten 2π/a [111] 0 1 1 1 2 2 2 Bild 4.11: Dispersionskurven von Natrium bei 90 K, gemessen mit Hilfe der inelastische Neutronenstreuung für Phononen, die sich in [100]-, [110]- und [111]-Richtung ausbreiten. (Woods, Brockhouse, March und Bowers)

116 4 Phononen I: Gitterschwingungen Bild 4.12: Ein dreiachsiges Neutronenspektrometer in Brookhaven. (Mit freundlicher Genehmigung von B.H. Grier) Zusammenfassung Ein Phonon ist die Quanteneinheit einer Gitterschwingung. Ist ω die Kreisfrequenz, so beträgt die Energie eines Phonons ω. Wird ein Phonon mit dem Wellenvektor K durch inelastische Streuung eines Photons oder Neutrons erzeugt, dessen Wellenvektor sich dabei von k zu k ändert, so wird dieser Prozess durch folgende Auswahlregel bestimmt: k = k + K + G, G ist ein reziproker Gittervektor. Alle Gitterwellen können durch Wellenvektoren beschrieben werden, die im reziproken Raum innerhalb der ersten Brillouin-Zone liegen. Gibt es p Atome in der primitiven Elementarzelle, so hat die Phononendispersionsrelation 3 akustische und 3p 3 optische Zweige.

Aufgaben 117 Aufgaben 1. Lineares Gitter aus identischen Atomen. Gegeben sei eine Longitudinalwelle u s = ucos(ωt ska), die sich in einem linearen Gitter aus Atomen der Masse M ausbreitet. Der Abstand zwischen nächsten Nachbarn sei a, die Kraftkonstante der Wechselwirkung zwischen ihnen C. (a) Zeigen Sie, dass die Gesamtenergie der Welle gegeben ist durch E = 1 2 M s ( ) 2 dus + 1 dt 2 C s (u s u s+1 ) 2, wobei s über alle Atome läuft. (b) Setzen Sie u s in diesen Ausdruck ein und zeigen Sie, dass für das Zeitmittel der Gesamtenergie pro Atom 1 4 Mω2 u 2 + 1 2 C(1 cos Ka)u2 = 1 2 Mω2 u 2 gilt, wobei im letzten Schritt der Ableitung für diese Aufgabe die Dispersionsrelation (4.9) benutzt wurde. 2. Wellengleichung im Kontinuum. Zeigen Sie, dass sich für große Wellenlängen die Bewegungsgleichung (4.2) zur Wellengleichung 2 u t 2 = u v2 2 x 2 des elastischen Kontinuums vereinfacht, wobei v für die Schallgeschwindigkeit steht. 3. Basis aus zwei verschiedenen Atomen. Für das in den Gleichungen (4.18) bis (4.26) behandelte Problem sollen die Amplitudenverhältnisse u/v für die beiden Zweige bei K max = π/a bestimmt werden. Zeigen Sie, dass bei diesem K-Wert die beiden Gitter entkoppelt erscheinen: Eines der Gitter bleibt in Ruhe, während das andere sich bewegt.

118 4 Phononen I: Gitterschwingungen 4. Kohn-Anomalie. Wir nehmen an, die interplanare Kraftkonstante C p zwischen den Ebenen s und s + p sei C p = A sin pk 0a pa, wobei A und k 0 Konstanten sind und p alle ganzen Zahlen durchläuft. Eine solche Form erwartet man für Metalle. Verwenden Sie diese Beziehung zusammen mit Gleichung (4.16a), um einen Ausdruck für ω 2 und ebenso für ω 2 / K zu finden. Beweisen Sie, dass für K = k 0 der Ausdruck ω 2 / K unendlich wird. Trägt man ω 2 oder ω gegen K auf, so ergibt sich bei k 0 eine vertikale Tangente: In der Phononendispersionsrelation ω(k) tritt bei k 0 ein Knick auf. 5. Kette aus zweiatomigen Molekülen. Untersuchen Sie die Normalschwingungen einer linearen Kette, in der die Kraftkonstanten der Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn abwechselnd C und 10C betragen. Die Massen seien gleich und der Abstand nächster Nachbarn sei a/2. Bestimmen Sie ω(k) bei K = 0 und K = π/a. Fertigen Sie eine grobe Skizze der Dispersionsrelation an. Diese Aufgabe stellt ein einfaches Modell für einen Kristall aus zweiatomigen Molekülen wie z.b. H 2 dar. 6. Schwingungen der Atome in einem Metall. Betrachten wir punktförmige Ionen der Masse M und der Ladung e, eingebettet in einen gleichförmigen See von Leitungselektronen. Die Ionen sollen in einem stabilen Gleichgewicht sein, wenn sie sich an den Gitterplätzen eines regelmäßigen Gitters befinden. Wird ein Ion um eine kleine Strecke r aus seiner Gleichgewichtslage entfernt, so ist die Rückstellkraft hauptsächlich durch die Wirkung der elektrischen Ladung innerhalb einer Kugel mit Radius r verursacht, deren Mittelpunkt die Gleichgewichtslage des Ions ist. Die Anzahldichte der Ionen (oder der Leitungselektronen) sei zu 3/4πR 3 angenommen, wodurch R definiert sei. (a) Zeigen Sie, dass für die Frequenz eines einzelnen in Schwingung versetzten Ions die Beziehung ω = (e 2 /MR 3 ) 1/2 gilt. (b) Schätzen Sie grob den Wert dieser Frequenz für Natrium. (c) Schätzen Sie unter Benutzung von (a) und (b) die Größenordnung der Schallgeschwindigkeit im Metall. *7. Weiche Phononenzustände. Betrachten Sie eine Kette von Ionen mit gleicher Masse aber abwechselnder Ladung, e p = e( 1) p sei die Ladung des p-ten Ions. Das Potential zwischen den Atomen setzt sich aus zwei Beiträgen zusammen: (1) einer kurzreichweitigen Wechselwirkung der Kraftkonstanten C 1R = γ, die nur zwischen Diese Aufgabe ist ziemlich schwierig.

Aufgaben 119 nächsten Nachbarn wirkt, sowie (2) einer Coulomb-Wechselwirkung zwischen allen Ionen. (a) Zeigen Sie, dass der Beitrag der Coulomb-Wechselwirkung zu den atomaren Kraftkonstanten gleich C p C = 2( 1) p e 2 /p 3 a 3 ist, wobei a die Gleichgewichtsentfernung nächster Nachbarn ist. (b) Zeigen Sie mit (4.16a), dass die Dispersionsrelation wie folgt geschrieben werden kann: ω 2 /ω0 2 = 1 sin2 2 Ka + σ ( 1) p (1 cos pka)p 3. p=1 Hierbei wurden die Abkürzungen ω 2 0 = 4γ/M und σ = e2 /γa 3 benutzt. (c) Zeigen Sie, dass ω 2 am Zonenrand Ka = π negativ ist (instabiler Zustand), wenn σ > 0,475 oder 4/7ζ(3) ist, wobei ζ die Riemannsche Zetafunktion ist. Zeigen Sie ferner, dass die Schallgeschwindigkeit bei kleinen Ka imaginär ist, wenn σ > (2ln 2) 1 = 0,721 ist. ω 2 geht also durch Null, und das Gitter ist für einige Werte von Ka in dem Intervall (0,π) instabil, falls 0,475 < σ < 0,721 ist. Man sollte bemerken, dass das Phononenspektrum nicht das eines zweiatomigen Gitters ist, da die Wechselwirkung eines jeden Ions mit seinen Nachbarn dieselbe ist wie die eines jeden anderen Ions.