1.1 Mengenlehre A A A B B A A B B C A C für elieige Mengen A, B, C (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (1) (2) (3) A B = B A A B = B A (Kommuttivgesetze) (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assozitivgesetze) (5) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) (Distriutivgesetze) (6) (7) 1.2 Zhlenereiche N Z Q R ntürliche gnze rtionle reelle Zhlen (Zhlenereiche) (8) c c für elieige,, c R (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (9) (10) (11) +, R (Arithmetisches Mittel von und ) 2 1 + 2 +...+ n n 1, 2,..., n R (Arithmetisches Mittel von 1, 2,..., n ), R + (Geometrisches Mittel von und ) n 1 2... n 1, 2,..., n R + (Geometrisches Mittel von 1, 2,..., n ) [; ] = {x R x (Ageschlossenes Intervll) [; ) = [; [ = {x R x < (Nch rechts hloffenes Intervll) (; ] = ]; ] = {x R < x (Nch links hloffenes Intervll) (; ) = ]; [ = {x R < x < (Offenes Intervll) ( ; ] = ] ; ] = {x R x (Ag. uneigentliches Intervll) ( ; ) = ] ; [ = {x R x < (Offenes uneigentliches Intervll) [; + ) = [; + [ = {x R x (Ag. uneigentliches Intervll) (; + ) = ]; + [ = {x R x > (Offenes uneigentliches Intervll) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) 1.3 Rechnen mit reellen Zhlen + = + = (Kommuttivgesetze) (24) ( + ) + c = + ( + c) ( ) c = ( c) (Assozitivgesetze) (25) ( + c) = + c ( + ) c = c + c (Distriutivgesetze) (26) + 0 = 1 = (Neutrle Elemente) (27) + ( ) = 0 1 = 1 (Inverse Elemente) (28) = ( 1) ( ) = (29) = + ( ) ( + ) = (30) ( ) = ( ) = ( ) (31)
= {, flls 0, flls < 0 (Betrg) (32) = = + + (Eigenschften des Betrges) (33) (34) (35) n! = 1 2... n (n + 1)! = n! (n + 1) nur definiert für n N (Fkultät) (36) (37) 1.4 Rechnen mit Brüchen = c c = : d : d = + = + = = Z,, c, d Z \ {0 (Erweitern mit c) (Kürzen mit d) (38) (39) (40) (41) 1 1 2 2 = 1 2 1 2 1 1 : 2 2 = 1 1 2 1 + 2 = 1 + 2, 1 2 = 1 2, 2 ( 2 0) 1 1 + 2 2 = 1 2 + 2 1 1 2 1 1 2 2 = 1 2 2 1 1 2 1, 2 Z, 1, 2, Z \ {0 (Multipliktion) (Division) (Addition) (Sutrktion) (42) (43) (44) (45) 1.5 Potenzen und Logrithmen 0 = 1 n = {{ für n N n ml n = 1 für n Z, n < 0 n = 2 = 1 2 n = 1 n m n = ( m ) 1 n = ( 1 n ) m = n m = ( n ) m für n N R, 0 R, > 0 m, n Z, n > 0 R, 0 (Potenz mit Bsis, gnzzhligem Exponenten n) (Qudrtwurzel us Rdiknd ) (n te Wurzel us Rdiknd ) (46) (47) (48) (49) (50) (Potenz mit Bsis, rtionlem Exponenten m n ) (51) 0 x = 0 für x R, x > 0 (52) n n = ( n ) n = für R, 0, n N (53) ( ) 2 = für R, 0 (54) 2 = für lle R (55) x y = x+y x = x y y (Erstes Potenzgesetz) (56) x x = ( ) x x = ( x )x (Zweites Potenzgesetz) (57) ( x ) y = x y (Drittes Potenzgesetz) (58) = = (Zweites Potenzges. für Wurzeln) (59)
( + ) 2 = ( + )( + ) = 2 + 2 + 2 ( ) 2 = ( )( ) = 2 2 + 2 ( + )( ) = 2 2 (Erste inomische Formel) (Zweite inomische Formel) (Dritte inomische Formel) (60) (61) (62) ( + )( ) = (63) log 1 = 0 (64) log = 1 (65) lg = log 10 (Zehnerlogritmhus) (66) ln = log e (Ntürlicher Logrithmus) (67) log = (68) log (u v) = log u + log v log ( u) = log v u log v (69) log ( n ) = n log (70) 2.1 Linere Gleichungen in einer Vrilen mx + t = 0, woei m 0 (Linere Gleichung in x) (71) x = t m (Lösung) (72) x = y x, y R x + = y + x = y R x = y y x = R, 0 (76) c x = c y (77) c R, c > 0, c 1 log c x = log c y, flls x, y > 0 (78) (73) (74) (75) 2.2 Qudrtische Gleichungen x 2 + x + c = 0, woei 0 (Qudrtische Gleichung in x) (79) x 1/2 = ± 2 4c = ± D, 2 2 flls D 0 (Lösungsformel) (80) D = 2 4c (Diskriminnte) (81) x 2 + x + c = (x x 1 )(x x 2 ), flls D 0 (Fktorisierung) (82) x 2 + px + q = 0 (Normlform) (83) x 1/2 = ± p 2 4q = ± D, flls D 0 (Lösungsformel) 2 2 (84) D = p 2 4q (Diskriminnte) (85) p = x 1 + x 2, q = x 1 x 2, flls D 0 (Stz von Viet) (86) x 2 + px + q = (x x 1 )(x x 2 ), flls D 0 (Fktorisierung) (87) 2.3 Gleichungen höherer Ordnung n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 = 0, woei n 0 (Gleichung der Ordnung n in x) (88)
2.4 Potenzgleichungen x =, woei 0 (Potenzgleichung in x) (89) x = 1 (Positive Lösung für > 0) (90) x 1/2 = ± 1 (Lösungen für Z gerde, > 0) (91) x = 1 (Lösung für Z ungerde, > 0) (92) x = ( ) 1 (Lösung für Z ungerde, < 0) (93) 2.5 Exponentilgleichungen x =, woei, > 0 (Exponentilgleichung in x) (94) x = log = lg 2.6 Ungleichungen = ln lg ln, flls 1 (Lösung) (95) x y x, y R x + y + R x y x y x y R, > 0 x y R, < 0 x y c x c y log c x log c y, flls x, y > 0 c x c y log c x log c y, flls x, y > 0 c R, c > 1 c R, 0 < c < 1 (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) 3.1 Linere Funktionen in einer Vrilen f(x) = mx + t (Linere Funktion, Steigung m, y Achsenschnitt t) (106) 3.2 Qudrtische Funktionen f(x) = x 2 + x + c f(x) = (x x 0 ) 2 + y 0 f(x) = (x x 1 )(x x 2 ), woei 0 (Qudrtische Funktion) (Scheitelpunktsform, Scheitel S(x 0, y 0 ) ) (Fktorisierte Form, Nullstellen x 1, x 2 ) (107) (108) (109) 3.3 Gnzrtionle Funktionen im llgemeinen f(x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0, woei n 0 (Gnzrtionle Funktion n-ten Grdes) (110)
3.4 Potenzfunktionen f(x) = x zw. llgemein f(x) = c (x x 0 ) + y 0 (Potenzfunktion) (111) 3.5 Exponentilfunktionen f(x) = x zw. llgemein f(x) = c x x 0 + y 0, woei > 0 (Exponentilfunktion) (112) 3.6 Gerochen rtionle Funktionen f(x) = mxm + m 1 x m 1 + + 1 x+ 0 nx n + n 1 x n 1 +... + 1 x + 0, woei m, n 0 (Gerochen rtionle Funktion) (113) 4.4 Technik des Aleitens f(x) f (x) f(x) f (x) x n x e x e x (x 1) n x n 1 x ln e x x e x log x 1 x ln ln x 1 x x (ln x 1) ln x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 1 tn x cos 2 x ln cos x tn x (Aleitungen einiger elementrer Funktionen) (114) (c f) (x) = c f (x) für c R (Homogenität) (115) (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) (Additivität) (116) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (Produktregel) (117) f (x) g = f (x) g(x) f(x) g (x), flls g(x) 0 (Quotientenregel) [g(x)] (118) 2 ) (g f) (x) = g (f(x) f (x) (Kettenregel) (119) 5 Integrlrechnung c f(x)dx = c f(x) ± g(x) dx = f(x)dx + c f(x)dx für c R (Homogenität) (120) f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx c f(x)dx ± f(x)dx g(x)dx (Additivität) (121) (Zusmmenfssen von Integrtionsintervllen) (Vertuschen der Integrtionsgrenzen) (122) (123) f(x)dx = 0 (124)
Kurvendiskussionen Symmetrien (gerde und ungerde Funktionen) f(x) = f( x) für lle x D f ist chsensymmetrisch zur y Achse/ f ist eine gerde Funktion (125) f(x) = f( x) für lle x D f ist punktsymmetrisch zum Ursprung/ f ist eine ungerde Funktion (126) Für gnzrtionle Funktionen f(x) = p(x) Ds Polynom p(x) esitzt nur gerde Exponenten f ist chsensymmetrisch zur y Achse/ f ist eine gerde Funktion (127) Ds Polynom p(x) esitzt nur ungerde Exponenten f ist punktsymmetrisch zum Ursprung/ f ist eine ungerde Funktion (128) Für gerochen rtionle Funktionen f(x) = p(x) Die Polynome p(x) und esitzen eide nur gerde Exponenten = f ist chsensymmetrisch zur y Achse/ f ist eine gerde Funktion (129) Die Polynome p(x) und esitzen eide nur ungerde Exponenten = f ist punktsymmetrisch zum Ursprung/ f ist eine ungerde Funktion (130) Schnittpunkt mit der y Achse (y Achsenschnitt zw. Nullwert) f(0) = ỹ (0, ỹ) ist der Schnittpunkt mit der y Achse/ der y Achsenschnitt ist gleich ỹ (131) Für gnzrtionle Funktionen f(x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 (0, 0 ) ist der Schnittpunkt mit der y Achse/ der y Achsenschnitt ist gleich 0 (132) Für gerochen rtionle Funktionen f(x) = mxm + m 1 x m 1 + + 1 x+ 0 nx n + n 1 x n 1 +... + 1 x + 0 0 0 = (0, 0 0 ) ist der Schnittpunkt mit der y Achse/ (133) der y Achsenschnitt ist gleich 0 0 Schnittpunkte mit der x Achse (Nullstellen) f( x) = 0 ( x, 0) ist ein Schnittpunkt mit der x Achse/ x ist eine Nullstelle von f (134)
Hochpunkte, Tiefpunkte, Sttelpunkte (lokle zw. reltive Extrem) f ( x) > 0 = f ( x) = 0 f ( x) < 0 = f ( x) = 0 f ( x) 0 = x, f( x) ist ein Tiefpunkt/ f esitzt ein lokles Minimum n der Stelle x x, f( x) ist ein Hochpunkt/ f esitzt ein lokles Mximum n der Stelle x x, f( x) ist ein Sttelpunkt (135) (136) (137) Wendepunkte f ( x) = 0 f ( x) 0 = x, f( x) ist ein Wendepunkt (138) Positivitätsereiche, Negtivitätsereiche Für gnzrtionle Funktionen f(x) Kndidten für einen Vorzeichenwechsel sind die Nullstellen von f(x). (139) Für gerochen rtionle Funktionen f(x) = p(x) Kndidten für einen Vorzeichenwechsel von f(x) sind die Nullstellen von p(x) sowie die Nullstellen von, lso die Lücken im Definitionsereich. (140) Monotonie f (x) 0 für lle x (, ) = f ist monoton steigend uf (, ) (141) f (x) > 0 für lle x (, ) = f ist streng monoton steigend uf (, ) (142) f (x) 0 für lle x (, ) = f ist monoton fllend uf (, ) (143) f (x) < 0 für lle x (, ) = f ist streng monoton fllend uf (, ) (144) Für gnzrtionle Funktionen f(x) Kndidten für einen Wechsel des Monotonieverhltens sind die Nullstellen von f (x), insesondere lso die reltiven Extremlstellen. (145) Für gerochen rtionle Funktionen f(x) = p(x) Kndidten für einen Wechsel des Monotonieverhltens sind die Nullstellen von f (x), insesondere lso die reltiven Extremlstellen, sowie die Nullstellen von, lso die Lücken im Definitionsereich. (146)
Krümmung f (x) 0 für lle x (, ) = f ist konvex (links gekrümmt) uf (, ) (147) f (x) > 0 für lle x (, ) = f ist streng konvex uf (, ) (148) f (x) 0 für lle x (, ) = f ist konkv (rechts gekrümmt) uf (, ) (149) f (x) < 0 für lle x (, ) = f ist streng konkv (, ) (150) Für gnzrtionle Funktionen f(x) Kndidten für einen Wechsel des Krümmungsverhltens sind die Nullstellen von f (x), insesondere lso die Wendestellen. (151) Für gerochen rtionle Funktionen f(x) = p(x) Kndidten für einen Wechsel des Krümmungsverhltens sind die Nullstellen von f (x), insesondere lso die Wendestellen, sowie die Nullstellen von, lso die Lücken im Definitionsereich. (152) Verhlten für x gegen ±, wgrechte Asymptoten Für gnzrtionle Funktionen f(x) = n x n + n 1 x n 1 + + 1 x + 0 { n gerde = limx + f(x) = + und lim x f(x) = + n > 0 n ungerde = lim x + f(x) = + und lim x f(x) = { n gerde = limx + f(x) = und lim x f(x) = n < 0 n ungerde = lim x + f(x) = und lim x f(x) = + (153) (154) (155) (156) Für gerochen rtionle Funktionen f(x) = mxm + m 1 x m 1 + + 1 x+ 0 nx n + n 1 x n 1 +... + 1 x + 0 m > n = lim x + f(x) = ± und lim x f(x) = ± m = n = lim x + f(x) = lim x f(x) = m n m < n = lim x + f(x) = lim x f(x) = 0 (157) (158) (159) Senkrechte Asymptoten Für gerochen rtionle Funktionen f(x) = p(x) q( x) = 0 p( x) 0 = f esitzt eine senkrechte Asymptote in x (160)