Mathematik für das Berufskolleg

Transkript

1 Michel Buhlmnn Mthemtik für ds Berufskolleg Dten- und Aufgbenblätter zur Mthemtik Version Essen 5

2 Vorwort Diese Smmlung us Dten- und Aufgbenblättern geht us einer jhrelngen Tätigkeit ls Nchhilfelehrer für Oberstufenschüler und Erwchsene hervor. Die einzelnen Dten- und Aufgbenblätter wurden in einer sinnvollen Reihenfolge zusmmengestellt. Zudem finden sich Rechenprogrmme zu den behndelten Themen uf meiner Homepge Die Mthemtik für ds Berufskolleg gliedert sich in: Anlysis sowie die Nebenfächer: Vektorrechnung, Wirtschftliche Anwendungen, Stochstik, Sttistik, Mthemtik in der Pris (Kosten- und Erlösrechnung u..). Essen im Mi 5, Michel Buhlmnn Impressum: /5 Wissenschftlicher Selbstverlg Michel Buhlmnn Sednstr. 5, D-58 Essen, Deutschlnd Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

3 Inhlt Dtenbltt: Reelle Zhlen, reelle Funktionen Aufgbenbltt: Reelle Funktionen Dtenbltt: Mße und Umrechnungen Dtenbltt: Gleichungen Aufgbenbltt: Gleichungen Dtenbltt: Linere Gleichungssysteme Aufgbenbltt: Linere Gleichungssysteme Dtenbltt: Gerden Aufgbenbltt: Gerden Dtenbltt: Prbeln Dtenbltt: Mittlere, momentne Änderungsrte, Ableitung Aufgbenbltt: Ableitungen Dtenbltt: Tngenten, Normlen Aufgbenbltt: Tngenten, Normlen Dtenbltt: Symmetrie von Funktionen Dtenbltt: Funktionsuntersuchung (gnz rtionle Funktionen, Polynome) Aufgbenbltt: Funktionsuntersuchung (gnz rtionle Funktionen, Polynome) Dtenbltt: Bestimmungsufgbe (gnz rtionle Funktionen, Polynome) Aufgbenbltt: Bestimmungsufgbe (gnz rtionle Funktionen, Polynome) Dtenbltt: Eponentilfunktionen, Asymptoten, Wchstum Aufgbenbltt: Eponentilfunktionen Dtenbltt: Trigonometrische Funktionen Aufgbenbltt: Trigonometrische Funktionen Dtenbltt: Etremwertufgben Aufgbenbltt: Etremwertufgben Dtenbltt: Integrle, Aufleitungen, Flächen Aufgbenbltt: Integrle, Aufleitungen, Flächen Dtenbltt: Grfisches Auf- und Ableiten Dtenbltt: Punkte und Vektoren Dtenbltt: Vektoren und Geometrie Aufgbenbltt: Punkte und Vektoren Dtenbltt: Vektoren und Gerden Aufgbenbltt: Vektoren und Gerden Aufgbenbltt: Vektorrechnung Dtenbltt: Wirtschftliche Anwendungen Aufgbenbltt: Wirtschftliche Anwendungen Dtenbltt: Dten, Digrmme, Sttistik Aufgbenbltt: Dten, Digrmme, Sttistik Dtenbltt: Stochstik Aufgbenbltt: Stochstik Musterufgben Anhng Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

4 Dtenbltt: Reelle Zhlen, reelle Funktionen Die reellen Zhlen R ist Zhlenmenge ller brechenden, periodischen und nichtperiodischen Dezimlzhlen. Auf den reellen Zhlen sind die Verknüpfungen und * für Addition (Subtrktion) und Multipliktion (Division) definiert: b, b, *b, /b (b ) Die Verknüpfungen mchen us den reellen Zhlen einen (lgebrischen) Körper mit positiven, negtiven Zhlen sowie Zhl und Kehrzhl. Zudem wird mit eine Ordnungsreltion uf den reellen Zhlen definiert, die Kleiner-gleich-Reltion mcht Zhlen vergleichbr. Mit - und ( unendlich ) sind Elemente gegeben, so dss: - < r < für jede reelle Zhl r gilt. Auf den reellen Zhlen lssen sich uf Grund der Ordnung (hlb-) offene, geschlossene Intervlle (Teilmengen) definieren, und zwr: mit reellen Zhlen, b, <b. - < r : (- ; ] - < r < : (- ; ) r b: [; b] < r b: (; b] r < b: [; b) < r < b: (; b) b r < : [b; ) b < r < : (b; ) Terme sind Rezepte, sind mthemtische Formeln, in die mn gegebenenflls Werte, Zhlen einsetzt. Mit Termen knn mn dher uf dieselbe Weise rechnen wie mit Zhlen, d.h. es gelten für Zhlen, b, c, d die Rechengesetze und Termumformungen (z.b. Punktrechnung vor Strichrechung, Klmmerrechnung [Klmmern uflösen, Ausklmmern):,, b b, ( b) c (b c),, (b c) b c, ( b)(c d) c d bc bd, - -, (), (-) -, -() -, -(-) ( b) b, -( b) - b,, Es gelten die binomischen Formeln: ( b b) b (. binomische Formel) ( b b) b (. binomische Formel) ( b b)( b) (. binomische Formel) Es gelten die Bruchgesetze: n c c c d bc,,,, b b n b b b b d bd n n,,, n n b b b b b b b b b c c, b d bd b c d d d, b c bc b c, bc b b Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

5 Es gelten die Potenzgesetze:,, b n n m n m, b n n n, n nm, m n n, n m n m ( ),, ( ) n (n ungerde), ( ) n (n gerde) n n n ( b) b, Es gelten die Wurzelgesetze: uch für llgemeine Wurzeln: b b, n n, b b, n (teilweises Wurzelziehen), n n m n m n,, n b n n b, n b n n b Es gelten die Potenzgesetze zur Eulerschen Zhl e,7888 : e, e e, e n m n m e e, e e n nm n e, m e n e, n n e e, n m n m ( e ) e, sowie die Logrithmengesetze des ntürlichen Logrithmus: ln, ln e, ln( b) ln lnb, ln ln lnb, r ln( ) r ln, ln ln, b ln e z z, ln e z z Auf den reellen Zhlen lssen sich Funktionen definieren. Anlysis ist die Mthemtik der Funktionen. Funktionen sind Abbildungen f: D f -> R von reellen Zhlen in reelle Zhlen, d.h.: sie ordnen vermöge einer Zuordnung -> f() y (Funktionsterm) jedem reellen des (mimlen) Definitionsbereichs D f genu ein reelles y des Wertebereichs W f zu. Funktionen können vervielfcht, ddiert, subtrhiert, multipliziert, dividiert, potenziert, verknüpft werden, d.h. es gilt: r f(), f()g(), f()-g(), f() g(), f()/g(), f() g() und g(f()) sind reguläre Funktionsterme. Wir unterscheiden: y m c Gerde y b c Prbel (. Grdes) n n f ( ) n n... Polynom, gnz rtionle Funktion (n. Grdes) b c f ( ) e d Eponentilfunktion f f ( ) sin( k) b f ( ) cos( k) b d ( ) b ce Eponentilfunktion mit linerem Anteil Für lle hier vorgestellten Funktionen gilt: D f R. Trigonometrische Funktion Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 5

6 Aufgbenbltt: Reelle Funktionen. Bestimme die Funktionswerte der Funktionen f() n den Stellen bzw. u. ) f ( ), -, 5, b) f ( ) 5, u -5, u, u 8 c) f ( ) ( 6),,, 6 d) f ( ) 5, -,, π e) f ( ) sin( ), u -, u, u, u 6 f) f ( ) cos( ), u -π, u, u π/, u π g) f ( ) sin( ) cos( ), -π/,, π h) f ( ) e, -ln(),, ln(), i) f ( ) e,, ln(), j) f ( ) e e 5, -,, ln() k) f ( ) e cos( π), u, u, u /. Zeichne die folgenden Funktionen f(): ) f ( ) 5 6 b) f ( ) ( ) 8 c) f ( ) d) f ( ) sin() e) f ( ) cos( π) f) f ( ) e g) f ( ) e 5 h) f ( ) 8 e e Lösungen:. f( ), f(u) / ),, 5 / b) 9, -, -7 / c), -7, / d), 8,5, / e) - /,,, - / f) -5, -, -, -5 / g) -, -, - / h) 5/,,5,, e / / i), ln, e / j) e /e 5,, / k),5, /e,5, e -/ Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 6

7 Dtenbltt: Mße und Umrechnungen Länge: Umrechnung km m dm cm mm km..... m :. dm : : cm : : : mm : : : : Fläche: Umrechnung km h m dm cm km h :..... : :... m : : :. dm : : : : cm : : : : : Volumen: Umrechnung km m dm l cm ml km m :... dm l : :. cm ml : : : Gewicht: Umrechnung t kg g mg t kg :... g : :. mg : : : Zeit: Umrechnung Tg h min sek Tg. 86. h, min,69, sek,57,7777,6667 Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 7

8 Dtenbltt: Gleichungen Gleichungen bestehen us zwei durch ein Gleichheitszeichen verbundene Terme (linke, rechte Seite der Gleichung; Term Term ), von denen mindestens einer eine Vrible (Unbeknnte) enthält. Gleichungen können (gegebenenflls) mit Gleichungsumformungen (mit Termumformungen) nch der Vrible umgeformt bzw. ufgelöst werden. Gleichungen sind d definiert, wo beide Terme definiert sind (Definitionsbereich der Gleichung). Die Lösungsmenge einer Gleichung umfsst die Unbeknnten, die die Gleichung lösen. Nch den in der Gleichung vorliegenden Termen werden Gleichungen liner, qudrtisch,, Potenz-, Eponentilgleichungen oder trigonometrische Gleichungen gennnt (Typen von Gleichungen). Im Folgenden seien lle Unbeknnten und Koeffizienten reell. Linere Gleichungen sind Gleichungen mit der Vriblen, die der Form: b mit den Zhlen, b genügen. Die Lösung der lineren Gleichung ist für dnn: Die linere Gleichung b entspricht dmit grfisch der Nullstelle einer Gerden y b mit Steigung und y-achsenbschnitt b. b Qudrtische Gleichungen sind von der Form: b c, b, c, b, c, b p, c q ± c c c c b ( b) b b b, b c b ± b c, p q p ± p Rein qudrtische Gleichung: Gleichung (Ausklmmern): chung (Mitternchtsformel): chung (p-q-formel): Gemischt qudrtische Gemischt qudrtische Glei- Gemischt qudrtische Glei- c Lösungen Lösungen (bei <), D b c ls Diskriminnte -> Lösungen (bei D<) D p q ls Diskriminnte Lösung (bei c), Lösung (bei D) Lösungen (bei c Lösungen (bei D>) -> Lösungen (bei D<) >) Lösung (bei D) Lösungen (bei D>) Qudrtische Gleichung ht die Form: ( ) (bei Lösungen, b ) Qudrtische Gleichung ht die Form: ( ) (bei Lösung ), ( )( ) (bei Lsg., ) q Qudrtische Gleichung ht die Form: ( ) (bei Lösung ), ( )( ) (bei Lsg., ) Qudrtische Gleichungen Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 8

9 Polynomgleichungen sind Gleichungen mit der Vriblen, die der Form: n n n- n- n- n- mit den Zhlen, n, nεn, genügen. Die Lösung der Polynomgleichung ist meist nicht über eine Formel bestimmbr (es sei denn in den Fällen n ), sondern vielfch über numerische Verfhren (Newton-Verfhren). Es gilt ber: Jedes Polynom lässt sich in ein Produkt us lineren und qudrtischen Fktoren p (), p (), p m () zerlegen, so dss folgt: p ( ) p ( )... pm ( ) p( ) p ( )... pm ( ) Durch Polynomdivision (Ausklmmern) lssen sich dmit Nullstellen bestimmen. Eine weitere Möglichkeit bieten Substitutionen, etw um us biqudrtischen Gleichungen qudrtische zu er hlten. Potenzgleichungen sind vom Typ n o.ä. und durch Ziehen der n-ten Wurzel zu lösen (n beliebige reelle Zhl, meist ). Es gelten bei Eponentilgleichungen mit uftretender Bsis e,788 (Eulersche Zhl) und bei Gleichungen mit dem ntürlichen Logrithmus,, b>, m, n, r beliebig die Potenzgesetze für die Eponentilfunktion y e der Bsis e: e, e e, e n m n m e e, ( e n ) m e e n nm n e, m e n e n m e, n n e e, sowie die Logrithmengesetze für den ntürlichen Logrithmus y ln: ln, ln e, ln( b) ln lnb, ln ln lnb, ln( r ) r ln, b ln ln Außerdem gilt für reelle z: ln e z z, ln e z z Eponentilgleichungen sind dnn durch Logrithmieren, Logrithmengleichungen durch Eponieren zu lösen. Trigonometrische Gleichungen sind von der Form: sin(k)b y bzw. cos(k)b y. Sie lssen sich u.. zurückführen uf Gleichungen der Form: Sinus: sin( k ), k π, k, k π,, (Vielfche von π) π sin( k ), k π, k,, π,, k π, k (jedes zweite ungerdzhlige Vielfche von π ) π, k π, k Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 9

10 Kosinus: sin( k ), cos( k ), π k, π π k,,, k (jedes zweite ungerdzhlige Vielfche von π ) π π π k, k,,, k (ungerdzhlige Vielfche von π ) π, k π, k π π cos( k ), k π, k, k π,,,,, k k (gerdzhlige Vielfche von π) π π cos( k ), k π, k π,,,, k k (ungerdzhlige Vielfche von π) Für besondere Werte von r in (*) ergeben sich bei den trigonometrischen Gleichungen uch besondere Lösungen. Die besonderen Werte sind der folgenden Tbelle zu entnehmen: Funktion \ π 6 sin bzw. r cos bzw. r π π π Regeln: Linere Gleichung: c b b c, Qudrtische Gleichung (normiert): p q p ± p q Qudrtische Gleichung (llgemein): b c, b ± b c Stz vom Nullprodukt (Fktoren eines Produktes gleich setzen) Beispiele: :7 8 Lösung: : 9 (p9, q-) ± ± ± 9 ± - Lösungen: -, 5 (, b5, c-) 5 ± 5 ( ) 5 ± 89 5 ± 7, -5,5 Lösungen: -5,5, ( )( ) (Stz vom Nullprodukt) bzw. : bzw.,5 ± Lösungen: -,,5, Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

11 Ausklmmern (Potenzen,,, usklmmern, Stz vom Nullprodukt nwenden) Biqudrtische Gleichung (Substitution: z ) Gleichungen mit der Eponentilfunktion e (Potenzgesetze, Auflösen nch e, Logrithmieren) r s r s, Potenzgesetze: r r r ( y) y, r rs s, y r ( r s rs ) r r y,,, Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen sin, cos, tn (Gesetzmäßigkeiten und Periodizität, Auflösen nch sin, cos, tn usw., Umkehrfunktionen sin -, cos - usw.) - (Ausklmmern) ( -) ± ± ± - Lösungen: -,, 6 (Substitution: z ) z z 6 (p-q-formel) 5 5 z ± 6 ± ± z z 9 (Rücksubstitution) 9 ± ± Lösungen: -, -,, e 78 (Logrithmieren) ln 78 - ln 78 : ln 78 ls Lösung e e 6 (Potenzgesetze) ( ) e 6 e (Substitution ze ) z z 6 (p-q-formel) 5 5 z ± 6 ± ± z z (Rücksubstitution) [ e ] e (Logrithmieren) ln ls Lösung sin(),5 π/6 kπ, 5π/6 kπ (k gnzzhlig) cos() cos() 5 : cos(),5 -π/ kπ, π/ kπ : -π/9 kπ/, π/9 kπ/ (k gnzzhlig) Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

12 Aufgbenbltt: Gleichungen. Löse die folgenden lineren Gleichungen: ) 7 b) 7 c) 5 6 d) 6 (5 ) ( 7) 8 e) 7 5 f) 5() 5 7( ) g) ( ) () () 8 h) 5 ( 8) 7(7 ) i) ( ) ( ) 6. Löse die folgenden qudrtischen Gleichungen: ) 79 b) 6 c) 8 d) 8 e) 8 f) 7 g),6,8 h) i) j) 6 k) l) 9 5 m) ( 7) (7 ) n) - o), -8. Löse die folgenden Polynomgleichungen: ) 6 b) 6 5 c) d) e) 8 f) g) 6 8 Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

13 h) 7 8 i) 6 j) ()( 9) k) ( )( ) 6 l) (8 )( 6). Löse die folgenden Eponentilgleichungen: ) 5 e b) e 6 8 c) 5e 7 e 5, d) e 5 e) e 7 5,5 f) e g) e 5, h) 8 e 6 Lösungen: ) / b) -/ / c) Huptnenner -> > / d) 6 / e) 9 / f) / g) / h) / i) Huptnenner -> 6() (-) -> -/7 ) -7; 7 / b) -; / c) -8; / d) ;,5 / e) -; / f) 6; 7 / g),;, / h),5 / i) -/; -8/5 / j) -7/; -/ / k) -;,5 / l) -/; 7/ m) -6,5-,5 -> -,5; 7 / n),5; /5 / o) keine Lösung ) -,, / b), 5/6 / c) -,, / / d), / e),,,,866 / f), 8/5, / / g) -, -,, / h) -, / i) - 6, -,, 6 / j) -, -,5, / k) -/,, / l) -, -, ) ln / b) / c) ln(/)/ / d) ln(7,5) / e) (ln(7,5)-)/ / f) -ln(,5) / g) ln / h) Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

14 Dtenbltt: Linere Gleichungssysteme I Ein lineres Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbeknnten hbe die Form: b () b () mit den reellen Vriblen,, den reellen Koeffizienten, und reellen Ergebnissen (rechten Seiten) b, b. Ds linere Gleichungssystem ht dnn entweder keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Zur Bestimmung der Vriblen und gilt Folgendes: Lösen von lineren Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Unbeknnten Gleichsetzungsverfhren: Beide Gleichungen () und () werden nch derselben Vriblen ufgelöst, die zwei Ausdrücke gleichgesetzt, die drus entstndene Gleichung nch der nderen Vriblen ufgelöst, die Lösung in eine der nch der ersten Vriblen ufgelösten Gleichung einsetzen, um die zweite Vrible zu errechnen. Einsetzungsverfhren: Eine Gleichung nch einer Vriblen uflösen, Vrible in die ndere Gleichung einsetzen, Lösung dieser Gleichung ermitteln, Lösung in die Gleichung für die ufgelöste Vrible einsetzen. Additionsverfhren: Hier führt die Addition des Vielfchen einer Gleichung zu der nderen zur Elimintion einer Vriblen. Die zweite Vrible knn bestimmt werden, Einsetzen in eine der Ursprungsgleichungen führt zur Bestimmung der nderen Vriblen. Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

15 Dtenbltt: Linere Gleichungssysteme II Ein (llgemeines) lineres Gleichungssystem bestehe us m Gleichungen (durchnummeriert von bis m) und n Unbeknnten und hbe die Form: b n n b () n n b () m m mn n b m mit den reellen Vriblen, n, den reellen Koeffizienten, mn und reellen Ergebnissen (rechten Seiten) b, b m. Sind lle Zhlen b, b m, so heißt ds linere Gleichungssystem homogen, nsonsten inhomogen. Ein Gleichungssystem mit mehr Vriblen ls Gleichungen (n > m) heißt unterbestimmt, eins mit mehr Gleichungen ls Vriblen (n < m) überbestimmt. In bgekürzter tbellrischer Drstellung (Mtridrstellung) lutet ds linere Gleichungssystem in der Form der durch die rechte Seite erweiterten Koeffizientenmtri: (m)... mn m n n mn b b... b m Im Flle einer beliebigen Anzhl von m Gleichungen und n Unbeknnten gilt hinsichtlich des Guß-Algorithmus zur Lösung des Gleichungssystems die folgende Vorgehensweise: Lösen von lineren Gleichungssystemen (Guß-Algorithmus) ) Ds linere Gleichungssystem us Gleichungen und Unbeknnten wird in Mtridrstellung umgeschrieben; einer Gleichung entspricht eine Zeile, einer Unbeknnten einer Splte in der Mtri, die rechte (Zhlen-) Seite des Gleichungssystems bildet die letzte Splte der Mtri; die Anzhl der Gleichungen und Unbeknnten knn uch verschieden sein. ) Beim Guß-Algorithmus werden, beginnend vom Anfngstbleu, Nullen unter der Huptdigonlen wie folgt erzeugt:. Schritt: Erzeugen von Nullen in der. Splte, beginnend mit der Gleichung in Zeile ; ist ds erste Element in Zeile und b ds erste Element in Zeile, so werden lle Mtrielemente in Zeile mit multipliziert, lle Mtrielemente in Zeile mit b multipliziert und Produkt minus Produkt ls neue Mtrielemente der Zeile gebildet (Vorgehensweise (*)). Ist ds erste Element in Zeile und b ds erste Element in Zeile, so gilt die entsprechende Vorgehensweise (*) usw., bis die letzte Mtrizeile erreicht ist. /. Schritt: Erzeugen von Nullen in der. Splte, beginnend mit der Gleichung in Zeile ; ist ds zweite Element in Zeile und b ds zweite Element in Zeile, so gilt die nloge Vorgehensweise (*), und dies weiter für Zeile usw., bis die letzte Mtrizeile erreicht ist. /. Schritt usw., bis die letzte Mtrisplte erreicht ist. Es entsteht ddurch ds Endtbleu des Algorithmus, ds uf die Art der Lösungen und die Lösungen des lineren Gleichungssystems hinweist gemäß den folgenden Fällen: Fll I eindeutige Lösung: /I) Ist im Endtbleu des Guß-Algorithmus die Digonlgestlt gegeben, so gilt für die Vrible z der letzten Splte mit dem dzugehörenden Mtrielement und dem Element b der rechten Seite: z b z b/. / Für die Vrible y der vorletzten Splte mit dem dzugehörenden Mtrielement c, dem Mtrielement d und dem Element e der rechten Seite gilt: cydz e cy e db/ y e/c db/(c) / usw., bis die Vrible der ersten Mtrisplte errechnet ist. /I) Die Lösungsmenge besteht in diesem Fll wegen der Eindeutigkeit der Lösung us einem Zhlentupel, lso: L {(l m t)} mit reellen Zhlen l, m, t. Fll II keine Lösung: /II) Ds Endtbleu enthält im Bereich der linken Seite eine Nullzeile, während die dmit korrespondierende rechte Seite ein Element f ist. /II) Wir erhlten lso die Gleichung: f und dmit einen Widerspruch. Ds linere Gleichungssystem besitzt keine Lösung: L { }. Fll III mehrdeutige Lösung: /III) Ds Endtbleu enthält im Bereich der linken Seite eine Nullzeile, während die dzugehörige rechte Seite ebenflls ein Element enthält. /III) Wir erhlten eine mehrdeutige Lösung, indem wir die Vrible z, dessen Digonlelement ist, gleich einem reellen Prmeter r setzen. Die Lösungsmenge ist dnn vom Typ L {(l(r) m(r) t(r)) rεr} mit lineren, von r bhängigen Funktionen l(r) l r l, m(r) m r m,, t(r) t r t. Bei mehreren Nullzeilen des Endtbleus sind uch entsprechend viele Vriblen gleich Prmetern r, s, zu setzen, die Komponenten der Lösungsmenge sind Linerkombintionen der Prmeter r, s, Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 5

16 Aufgbenbltt: Linere Gleichungssysteme. Löse die folgenden lineren Gleichungssysteme: ) - - 7y 6 z y - z b) - y - z 5 5 y z y 8z c) b - c -5-6 b - c 6-8 b - c 6 d) - b c d b - c d b - c 6d - 5 7b 5c - d e) - b c d 8 b - c d -5 b c - d 8 8-7b - 5c d -6 Lösungen:., y, z bzw., b. c, d ),5; -; -5 / b) ; -; / c) -8; ; 6 / d) ; ; ; / e) ; -8; ; - Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 6

17 Dtenbltt: Gerden Eine Gerde y m b besitzt die Steigung m und den y-achsenbschnitt b, d.h.: y mit Gerdensteigung ls Steigung zwischen den Punkten: y y m. Mit dem Punkt P( y ) und der Gerdensteigung m ergibt sich die Punktsteigungsform der Gerdy m b m y m b b N b Es gilt: S y ( b) ist y-achsenbschnittspunkt der Gerde (Schnittpunkt mit der y-achse), N( N ) Nullstelle der Gerden (Schnittpunkt mit der -Achse) uf Grund von: m N b, d.h.: b N m Die Steigung der Gerden errechnet sich mit zwei Gerdenpunkten P( y ) und Q( y ) ls: m y y Zu einer Gerden g: y m b gehört der Steigungswinkel α mit: tnα m α tn ( m) Schneiden sich die Gerden g: y m b und h: y m b, so gibt es einen Schnittpunkt. Der Schnittpunkt S ist durch Gleichsetzen der Gerden zu ermitteln: m b m b > S( S y S ) Gerden werden bestimmt durch zwei Punkte, die uf der Gerden liegen, oder durch einen uf der Gerde liegenden Punkt und die Gerdensteigung. Es gilt lso mit den Punkten P( y ) und Q( y ) die Zweipunkteform der Gerdengleichung: y y y y oder y y y y y ( ) y y y y Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 7

18 engleichung: y y m oder y m( ) y m m y Die Bestimmung einer Gerdengleichung y m b erfolgt uch über: ) m, b gegeben -> y m b b) m, P( y ) gegeben -> b y m -> y m b c) P( y ), Q( y ) gegeben -> lineres Gleichungssystem: y m b, y m b -> m, b -> y m b Eine zu einer Gerden g: y m c prllele Gerde h: y m c durch einen Punkt P( y ) lutet: y m( ) y m m y Die zu g: y m c senkrechte Gerde h: y m c durch einen Punkt P( y ) ergibt sich vermöge m m zu: y m ( ) y y. m m Beispiele (Gerden): ) Die Gerde g mit Steigung und y-achsenbschnitt -8 heißt: g: y 8. b) Die Gerde g durch den Punkt S y ( 7) und mit der Steigung - heißt: g: y - 7. c) Die Gerde g durch den Punkt P( ) und mit der Steigung - heißt: g: y - 7 wegen: y y ( ) y 7. d) Die Gerde g durch die Punkte P( ) und Q( ) heißt: g: y wegen: y y y y. e) Die Gerde g: y - 5 ht ls Achsenschnittpunkte: S y ( 5), N(,5 ). Der Steigungswinkel der Gerden beträgt: α tn - () 6,. f) Zu der Gerden g: y 5 7 ist die Gerde h: y 5 eine prllele Gerde durch den Punkt P( ), denn: Anstz: h: y m b Prllelität der Gerden g und h -> m 5 -> y 5 b P( ) liegt uf h -> 5 b -> b -> b -> y 5 g) Gegeben ist die Gerde g: y,5, gesucht ist eine zu g senkrechte Gerde h, die durch den Punkt P(- 6) läuft. Die Gerde h ht die Steigung m h -/m g -, so dss sich mit dem Anstz h: y m h b zunächst y b ergibt. Ds Einsetzen von P(- 6) in die Gerdengleichung führt zu: 6 - b -> 6-6 b -> b, lso zu: y. Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 8

19 Beispiele (Schnittpunkt von Gerden): y h: y m b S( y) g: y m b ) Für die Gerden g: y 5 und h: y - 7 ergibt ds Gleichsetzen: :5, Einsetzen von, in die Gerde g führt uf: y, 5 -,. Der Schnittpunkt der beiden Gerden g und h lutet lso: S(, -,). b) Für die Gerden g: y und h: y ergibt ds Gleichsetzen: - und dmit einen Widerspruch. Die Gerden schneiden sich lso nicht und sind prllel. Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 9

20 Aufgbenbltt: Gerden. Zeichne die folgenden Gerden in ein rechtwinkliges Koordintensystem. ) y b) y - 5 c) y,5 d) y e) y 5 f) y 7. Zeichne die folgenden Gerden in ein rechtwinkliges Koordintensystem. Berechne die Schnittpunkte der jeweiligen Gerden mit den Achsen des Koordintensystems. ) y b) y c) y 5 d) y - e) y f) y. Bestimme die Gerdengleichungen. ) P( ), m b) P(- ), m -,5 c) P(- -), m d) P( -), Q(6 8) e) P(- ), Q( ) f) P( 5), Q(5 ). Bestimme die prllelen Gerden durch den Punkt P. ) y, P( 7) b) y - 5, P(- ) c) y, P( 5) d) y 5, P(- ) e) y, P( -) 5 5 f) y, P( -) 6 5. Bestimme den Schnittpunkt der Gerden g und h. ) g: y, h: y b) g: y, h: y c) g: y 7, h: y d) g: y, h: y - 7 e) g: y, h: y f) g: y 5, h: y - 7 g) g: y 5, h: y - h) g: y 5, h: y,5 5 Lösungen: ) y-achsenbschnittspunkt S y ( b), Steigungsdreieck m n S y -> Gerde ymb ) S y ( -), N(,75 ) / b) S y ( ), N(-/ ) / c) S y ( ) N( ) / d) S y ( ), N(/ ) / e) S y ( ), N(- ) / f) S y ( ), N( ) ) y-5 / b) y-,5,5 / c) y,5-,5 / d) y,5-7 / e) y// / f) y-7 ) y / b) y-- / c) y-/9/ / d) y- / e) y, / f) y-5/6/ 5) S( ) / 5b) S( ) / 5c) S(7/9 7/9) / 5d) S(,5 ) / 5e) g h / 5f) S(-6/ /) / 5g) S(- -8) / 5h) S(- -6) Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

21 Dtenbltt: Prbeln Normlprbeln (mit dem Koeffizienten vor dem ) sind von der Form: y p q (Normlform) y ( d) c (Scheitelform) mit den Zhlen p, q und dem Scheitelpunkt S(d c). Normlform und Scheitelform können ineinnder überführt werden vermöge der qudrtischen Ergänzung: so dss gilt: p p y p q p p p d und c q und dmit: p q p ( ) y p p p q > S( q ) ( q ), Umgekehrt knn us jeder Scheitelform die Normlform der Prbel gebildet werden mittels der binomischen Formeln: mit: p -d, q d c. y ( d) c d d c p q Nullstellen, d.h. Schnittpunkte der Normlprbel mit der -Achse, sind Lösungen der Gleichung y, lso: y p q p p, ± q > N ( ), N ( ) p gemäß der p-q-formel. Je nch Diskriminnte (D q, unter der Wurzel der p-q-formel) gibt es keine (D<), eine (D), zwei Nullstellen (D>). Eistieren die beiden Nullstellen der Normlprbel, so ergibt sich der Scheitelpunkt S(d c) us:, Nullstellen > d, c d pd q, d.h.: der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen uf der Prbel. Der y-achsenbschnitt bzw. der y-achsenbschnittspunkt, d.h. der Schnittpunkt der Normlprbel mit der y-achse, folgt us, lso: > y q > S y ( q) Normlprbeln y ( d) c ergeben sich us der Grundprbel y durch Verschiebung des Scheitelpunktes im Ursprung O( ) um d nch rechts (d>) bzw. links (d<) und nch oben (c>) bzw. nch unten (c<) zum Scheitelpunkt S(d c). Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

22 Scheitelpunkt, Nullstellen, y-achsenbschnitt einer Normlprbel sind dnn: y p q 8 6 p p q N ( ) p N ( ) p q S( S y S ) S y ( q) Allgemeine Prbeln sind Funktionen von der Form: y b c (Normlform) y ( S ) y S (Scheitelform) mit den Zhlen, b, c,, und dem Scheitelpunkt S( S y S ). Die Prbel ist nch oben geöffnet, wenn >, nch unten geöffnet, wenn <; für - ergibt sich eine nch unten geöffnete Normlprbel. Ist -<<, so ist die Prbel gestucht, ist <- oder >, so ist die Prbel gestreckt im Vergleich zur Normlprbel. Normlform und Scheitelform können ineinnder überführt werden vermöge der qudrtischen Ergänzung: Also gilt: y b c Nullstellen errechnen sich us: b b b b c ( ) b y c b b c > S( y b c b ± b c, > N ( ), N ( ) ) c b Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

23 b c Je nch Diskriminnte (D, unter der Wurzel der -b-c-formel) gibt es keine (D<), eine (D), zwei Nullstellen (D>). Eistieren die beiden Nullstellen der Prbel, so ergibt sich der Scheitelpunkt S( S y S ) us:, Nullstellen > S, ys S bs c Der y-achsenbschnitt, d.h. der Schnittpunkt der Normlprbel mit der y-achse, folgt us, lso: > y c > S y ( c) Schnittpunkte zwischen zwei Prbeln p : y b c, p : y b c ergeben sich us der Gleichsetzung der Prbelterme: : : P c c b c b c ( ) (b b ) c c, yp P b P c P b P c b b P, ( b b ) ± ( b b ) ( )( c c ), ( ) y P P b P c P b P c mit P( P y P ) ls Schnittpunkt(e). Im Fll gibt es keinen oder einen Schnittpunkt oder es ergibt sich die Identität der beiden Prbeln; im Fll gibt es keinen, einen oder zwei Schnittpunkte. Schnittpunkte zwischen einer Prbel und einer Gerden p: y g: y m n folgen us der Gleichsetzung für Funktionsterme: b c m n (b m) c n ( b m) ± ( b m) ( c n) P,, y m n b c P P P P mit P( P y P ) ls Schnittpunkt(e). Es gibt keinen, einen oder zwei Schnittpunkte. b c und Beispiele (Prbeln): ) Die Prbel y 8 knn geschrieben werden ls y () 8 und besitzt dher den Scheitelpunkt S( 8). b) Die Prbel y 6 6 ( ) 9 ht den Scheitelpunkt S( -9). c) Es ergibt die qudrtische Ergänzung bei der nchstehenden Prbel den Scheitelpunkt S( y ). d) Die Prbel y 5 6 ht den Scheitelpunkt S(,5 -,5), die Nullstellen N(- ), N(6 ), den y-achsenbschnittspunkt S y ( -6). Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

24 e) Die Normlprbel mit Scheitelpunkt S(- ) lutet: y () f) Die Normlprbel y p q soll durch die Punkte P(- -5) und Q( -) gehen. Zur Bestimmung der Prbel wird ds folgende linere Gleichungssystem ufgestellt: P(- -5) > -5 (-) p (-) q > -p q -9 Q( -) > - p q > p q - Ds Auflösen des lineren Gleichungssystems führt uf: p,8; q -5,. Die Prbelgleichung lutet dmit: y,8 5,. g) Die Gerde g: y 5 und die nch oben geöffnete Normlprbel mit Scheitelpunkt S( -) schneiden sich in den Schnittpunkten S ( -) und S (6 7), denn Gleichsetzen von Prbel- und Gerdengleichung ergibt mit der Prbelgleichung y ( ) 69 67: (p-q-formel) ± ± (Ausrechnen), ±, 6 (Lösungen) Einsetzen der -Werte in die Gerdengleichung ergibt: y -, y 7 und dmit die eben gennnten Schnittpunkte. Der Abstnd der Schnittpunkte voneinnder ist dnn: (Stz des Pythgors: P( y ), Q( y ) -> ls Abstnd der Punkte P und Q). S S (6 ) (7 ( )) 8,9 8 PQ ( ) ( y y h) Die Prbel y 6 ht ls Achsenschnittpunkte: S y ( -6), N (-6 ), N (6 ). Die drei Punkte bilden ein gleichschenkliges Dreieck mit Fläche A gh/ 6/ 6 FE (Grundseite 6 g, Höhe h6) und mit Umfng u g 8,97 (Schenkel S y 8,9). ) N Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

25 Dtenbltt: Mittlere, momentne Änderungsrte, Ableitung Für zwei verschiedene Punkte P( y ) und Q( y ) uf der Zhlenebene ergibt sich die Steigung m ls: m y (Differenzenquotient) Der Steigung entspricht ein Steigungswinkel φ tn - (m). y Liegen die Punkte P und Q uf einer Funktion f: D f -> R, gilt lso: P( f( )) und Q( f( )), so wird der Differenzenquotient zur mittleren (durchschnittlichen) Änderungsrte der Funktion uf dem Intervll [ ; ] D f : f ( ) f ( ) m (mittlere Änderungsrte) Die mittlere Änderungsrte der Funktion f() uf einem vorgegebenen Intervll [; b] m f ( b) b f ( ) (mittlere Änderungsrte) D f ist: Hben für eine Funktion f: D f -> R und ein εd f die Punkte P und Q die Form P( f( )) und Q( h f( h)), so wird die mittlere Änderungsrte m( h) f ( h) h f ( ) beim Grenzübergng h -> im Flle der Eistenz des Grenzwerts zur momentnen Änderungsrte oder Ableitung der Funktion f im Punkt : f ( h) f ( ) m( h) m f '( ) h t (momentne Änderungsrte) h mit m t ls Steigung der Tngente t im Punkt P( f( )) n die Funktion f(): t: y f ( )( ) f ( ) (Tngente) ' Für eine Funktion f: D f -> R und ein εd f heißt f ( ) im Flle der Differenzierbrkeit von f in die Ableitung der Funktion f im Punkt. Die Ableitung f ( ) ist die Steigung oder Tngentensteigung von f in o, die Ableitungen in llen Punkten εd f bilden die Ableitungsfunktion f : D f -> R mit der Funktionsvorschrift f (). Höhere Ableitungen sind: f () (f ()), f () (f ()) usw. Die Ermittlung der Ableitungsfunktionen f () usw. erfolgt über die Ableitungsregeln (für Funktionen u(), v() und reelle Zhlen k, r): ' ( u ( ) v( ) ) u' ( ) v' ( ) ' ( u ( ) r) u' ( ) ' ( ( ) ) ku' ( ) ' ( u( v( )) ) u' ( v( )) v' ( ) (Summenregel) (dditive Konstnte) ku (multipliktive Konstnte, konstnter Fktor) (Kettenregel: äußere Ableitung innere Ableitung) Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 5

26 Für spezielle Funktionen (mit reellen, b, n, r) stellen sich die Ableitungsregeln wie folgt dr: ' n ' n n ' n ( r ), ( ) n, (( b) ) n( b) (Potenzregel) ' ' ( sin ) cos, ( cos ) sin, ' ' ( sin( b) ) cos( b), ( cos( b) ) sin( b) ( e ) ' e, ( b ) ' e e b ' ( ln ) (trigonometrische Funktionen) (ntürliche Eponentilfunktionen) (ntürliche Logrithmusfunktion) Beispiele (Ableitungen): 8 ) f ( ) > f '( ) 6 (Fktor-, Summen-, Potenzregel) 5 b) f ( ) ( ) > f '( ) (Fktor-, Summen-, Potenzregel) c) f ( ) > f '( ) (Fktor-, Summen-, Potenzregel) d) f ( ) 5sin > f '( ) 5cos (Summen-, Potenzregel, trigonometrische Ableitung) cos sin sin cos e) f ( ) > f '( ) (Summenregel, trigonometrische Ableitung) 5 5 f) f ( ) cos() > f '( ) sin() (Summenregel, trigonometrische Ableitung) g) f ( ) sin( π) > f '( ) π cos( π) (Summenregel, trigonometrische Ableitung) h) f ( ) e > f '( ) e (Summenregel, eponentielle Ableitung) i) f ( ) e e > f '( ) e e (Summenregel, eponentielle Ableitung) j) f ( ) e > f '( ) e (Fktorregel, eponentielle Ableitung, Kettenregel),5,5 k) f ( ) 5 e > f '( ) e (Summenregel, eponentielle Ableitung) Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 6

27 Aufgbenbltt: Ableitungen. Bilde die ersten beiden Ableitungen f (), f () der nchstehenden Funktionen f(): ) f ( ) 7 b) f ( ) 7 c) f ( ) d) f ( ) ( ) e) f ( ) 8 5 f) f ( ) cos sin g) f ( ) 5 cos() 6 π h) f ( ) sin( ) 5 i) f ( ) 5 8 sin 5 j) f ( ) e k) f ( ) e 6 7 l) f ( ) e 5 8,5 m) f ( ) e 5,5 n) f ( ) e e o) f ( ) e p) f ( ) e q) f ( ) 5 e r) f ( ) sin 5e e s) f ( ) ( 5 ) t) e f ( ) π ( 5) cos( π). Wie groß ist die Ableitung der Funktion f() n der Stelle bzw. u? ) f ( ), b) f ( ) ( 5), u - c) f ( ) 6 e e, d) f ( ) sin(), π Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 7

28 . An welchen Punkten stimmt die Ableitung der Funktion f() mit der Steigung m überein? 8 ) f ( ) 6, m b) f ( ) e, m 6 c) f ( ) sin, m,5, є[;π]. An welchen Punkten ht die Funktion f() wgerechte Tngenten? ) f ( ) b) f ( ) ( ) 8 c) f ( ) cos, є[-π;π] d) f ( ) e,5 5. An welchen Punkten ht die Funktion f() Tngenten, die prllel zur vorgegebenen Gerden sind? 7 ) f ( ), y b) f ( ), 5, y c) f ( ) e, y 6. An welchen Punkten ht die Funktion f() Tngenten, die senkrecht uf den vorgegebenen Gerden stehen? ) f ( ) 8, y,8 5 5 b) f ( ) ( 8), y 8 c) f ( ) cos( π ), y π π, є[;] Lösungen: ), / b) 6-7, 6 / c) -9 /, -9/ / d) //, / / e),8,, / f) sin cos, cos sin / π π g) -8sin(), -cos() / h) cos( ) 5, π sin( π ) / i) 5cos, -sin / j) -5e /, -5e / / k) e /6, e / / l) -8e -, 6e - / m) -e -,5 /5, e -,5 /5 / n) -,75e -,5,5e,,75e -,5,5e / o),e -, -,9e - / p) -e, e / q) 5-e -, e - / r) cos5e -, -sin-5e - / s) e( -5)/, e/ / t) π() πsin(π), π π cos(π). f ( ), f(u) / ) / b) / c) / d) 5. f () m / ) P (- /), P ( -/) / b) P( -) / c) P (π/ π/ ), P (π/ π/). f () / ) P(-,5-6,5) / b) P ( ), P ( -7/8) / c) P (π/ π/), P (5π/ 5π/) / d) P(ln -58ln) 5. f () y / 5) P(,5,75) / 5b) P ( /6), P (,5) / 5c) P(ln 9ln) 6. f () -/y / 6) - / 6b) P( -) / 6c) P(,5 ) Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 8

29 Dtenbltt: Tngenten, Normlen Tngenten sind Gerden t() y m t c t n eine Funktion f() in einem Punkt B( f( )) B(u f(u)), dem sog. Berührpunkt. Im Berührpunkt stimmen Funktion und Tngente in Funktionswert und Steigung überein, d.h. es gilt: f( ) y( ) t( ) f ( ) m t Möglichkeit Möglichkeit Möglichkeit Funktion f(), Stelle Funktion f(), Stelle u Funktion f(), Stelle. Ableitung f (). Ableitung f (). Ableitung f () Funktionswert f( ), Steigung f ( ) Funktionswert f(u), Steigung f (u) Anstz: y m c ls Tngentenformel Einsetzen in Tngentenformel Einsetzen in Tngentenformel Steigung m f ( ) Tngente: t: y f ( )( ) f ( ) ' Tngente: t: y f '( u)( u) f ( u) y-achsen-abschnitt c f( ) m Tngente Normlen sind Gerden n() y m n c n senkrecht zu einer Funktion f() in einem Punkt B( f( )) B(u f(u)), d.h. es gilt mit der Tngentensteigung m t f( ) y( ) n( ) m t mn, mn m t f ' ( ) Möglichkeit Möglichkeit Möglichkeit Funktion f(), Stelle Funktion f(), Stelle u Funktion f(), Stelle. Ableitung f (). Ableitung f (). Ableitung f () Funktionswert f( ), Steigung f ( ) Funktionswert f(u), Steigung f (u) Einsetzen in Normlenformel Einsetzen in Normlenformel Steigung Normle: n: y ( ) f ( ) f '( ) Normle: n: y ( u) f ( u) f '( u) Anstz: y m c ls Normlenformel m f '( y-achsen-abschnitt c f( ) m ) Normle Ein Berührpunkt B( y ) zwischen zwei Funktionen f() und g() ht die Eigenschften: f( ) g( ) y o f ( ) g ( ) Zur Bestimmung von Berührpunkten ist zunächst die einfche der beiden Gleichungen nch ufzulösen und in die ndere Gleichung zur Überprüfung der Gleichheit einzusetzen. Schnittpunkte S( y ), in denen sich Funktionen f() und g() senkrecht schneiden, genügen den Eigenschften: Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 9

30 f( ) g( ) y o g' ( ) f '( ) Zur Bestimmung dieser Schnittpunkte ist zunächst die einfche der beiden Gleichungen nch ufzulösen und in die ndere Gleichung zur Überprüfung der Gleichheit einzusetzen. Tngenten sind Gerden t: y f '( B )( B ) f ( B ) bzw. t: y f '( u)( u) f ( u) n eine Funktion f() in einem Punkt B( B f( B )) B(u f(u)), dem sog. Berührpunkt. Im Folgenden sollen Tngenten durch einen vorgegebenen Punkt P( y ) n eine Funktion f() gelegt werden: Möglichkeit Möglichkeit Möglichkeit Funktion f(), Berührstelle B Funktion f(), Berührstelle u Funktion f(), Berührstelle u. Ableitung f (). Ableitung f (). Ableitung f () Tngentengleichung mit Punkt P( y ) uf der Tngente: y f ( )( ) f ( ) (*) ' B B B Auflösen der Gleichung (*) nch B -> Lösung(en) B -> Berührpunkt(e) B( B f( B )) Einsetzen der Lösung(en) B in Tngentenformel -> Tngente(n) t: y f '( )( ) f ( ) B B B Tngentengleichung mit Punkt P( y ) uf der Tngente: y f ( u)( u) f ( ) (*) ' u Auflösen der Gleichung (*) nch u -> Lösung(en) u -> Berührpunkt(e) B(u f(u)) Einsetzen der Lösung(en) u in Tngentenformel -> Tngente(n) t: y f '( u)( u) f ( u) Steigung zwischen Berührpunkt und Punkt P( y ) ls Tngentensteigung im Berührpunkt: y f ( u) f '( u) (*) u Auflösen der Gleichung (*) nch u -> Lösung(en) u -> Berührpunkt(e) B(u f(u)) Einsetzen der Lösung(en) u in Tngentenformel -> Tngente(n) t: y f '( u)( u) f ( u) Tngente n eine Funktion durch einen Punkt Normlen sind Gerden n: y ( N ) f ( N ) f ' ( N ) bzw. n: y ( u) f ( u) f '( u) senkrecht zu einer Funktion f() in einem Punkt B( N f( N )) B(u f(u)). Im Folgenden sollen Normlen durch einen vorgegebenen Punkt P( y ) senkrecht zu einer Funktion f() gelegt werden: Möglichkeit Möglichkeit Möglichkeit Funktion f(), Schnittstelle N Funktion f(), Schnittstelle u Funktion f(), Schnittstelle u. Ableitung f (). Ableitung f (). Ableitung f () Normlengleichung mit Punkt P( y ) uf der Normle: y ( N ) f ( N ) f '( ) (*) N Auflösen der Gleichung (*) nch N -> Lösung(en) N -> Schnittpunkt(e) B( N f( N )) Einsetzen der Lösung(en) N in Normlenformel -> Normle(n) t: y f '( )( ) f ( ) N N N Normlengleichung mit Punkt P( y ) uf der Normle: y ( u) f ( u) f '( u) (*) Auflösen der Gleichung (*) nch u -> Lösung(en) u -> Schnittpunkt(e) B(u f(u)) Einsetzen der Lösung(en) u in Normlenformel -> Normle(n) t: y f '( u)( u) f ( u) Steigung zwischen Schnittpunkt und Punkt P( y ) ls Steigung der Normle im Schnittpunkt y f ( u) (*) u f '( u) Auflösen der Gleichung (*) nch u -> Lösung(en) u -> Schnittpunkt(e) B(u f(u)) Einsetzen der Lösung(en) u in Normlenformel -> Normle(n) t: y f '( u)( u) f ( u) Normle einer Funktion durch einen Punkt Nicht konstnte Gerden (uch Tngenten, Normlen), die keine Ursprungsgerden sind, bilden zusmmen mit der - und y-achse Dreiecke mit dem Koordintenursprung O( ), dem y- Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

31 Achsenbschnittspunkt S y ( y()) und der Nullstelle N( N ) ls Ecken. Dnn gilt die Flächenformel: A gh/ mit g N und h y(). Drüber hinus gibt es (Tngenten-Normlen-) Dreiecke, die von der Tngenten und Normlen in einem Kurvenpunkt P( f( )) sowie der - bzw. y-achse gebildet werden. Ecken der Dreiecke sind hier die Nullstellen von Tngente und Normle N t ( t ) und N n ( n ) sowie P bzw. die y- Achsenbschnittspunkte von Tngente und Normle S t ( y t ()) und S n ( y n ()) sowie P, so dss wieder die Flächenformel: A gh/ mit entsprechenden g und h greift. Beispiel (Tngenten-Normlen-Dreieck): Gegeben sei die Funktion f ( ). ) Für die Stelle sollen Tngente und Normle n f() im Punkt P( f( )) bestimmt werden. b) Wie groß sind Umfng und Flächen der Dreiecke zwischen Tngente, Normle und -/y-koordintenchse? Lösung: I. Es gilt zunächst: Tngentengleichung: t: y t f '( )( ) f ( ) f ()( ) f (), Normlengleichung: n: y ( ) f ( ) ( ) f () n f '( ) f (), Werte: f() -6, f () -5 > Punkt P( -6), Tngentensteigung m t -5, Normlensteigung m n -/(-5). Dreieck PS t S y mit y-achsenbschnittspunkten S t ( y t ()), S n ( y n ()) Dreieck PN t N n mit Nullstellen N t ( t ), N n ( n ) (y t > t, y n > n ) Dreiecksumfng: u b g (g: Grundseite) Dreieckfläche: A gh/ (h: Höhe) II. Dmit ergibt sich: Funktion: f() /-, Punkt: P( -6), Tngente: y t -5, Normle: y n Dreieck zwischen Tngente, Normle, y-achse: y t () > S t ( ) y n () -6. > S n ( -6.) Dreieck P( -6) S t ( ) S n ( -6.) > Seite d(p,s t ) ((- ) (y t -y ) ) /.98, Seite b d(p,s n ) ((- ) (y n -y ) ) /.96, Grundseite g y t ()-y n ().; Höhe h > Dreiecksumfng u bg.676, Dreieckfläche A gh/. Dreieck zwischen Tngente, Normle, -Achse: y t () > t.8 > N t (.8 ) y n () > n > N n ( ) Dreieck P( -6) N t ( ) N n (-6. ) > Seite d(p,n t ) (( t - ) (-y ) ) / 6.88, Seite b d(p,n n ) (( n - ) (-y ) ) /.59, Grundseite g t - n.; Höhe h f( ) 6 > Dreiecksumfng u bg 67.99, Dreieckfläche A gh/ 9.6 Grph: y f() /-, Tngente y t -5, Normle y n. - 6., Dreieckflächen Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

32 Aufgbenbltt: Tngenten, Normlen. Bestimme die Tngente n der Stelle bzw. u n die Funktion f(): ) f ( ), b) f ( ) ( )( 5), c) d) f ( ) e, u f ( ) sin 6, u π. Bestimme die Tngenten n den Nullstellen der Funktion f(): ) f ( ) ( )( ), b) f ( ) 6 e π c) f ( ) sin( ), 8. Bestimme die Wendetngente(n) der Funktion f(): ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) cos( π), -. Zeige, dss n den ngegebenen Stellen bzw. u Schnittpunkte oder Berührpunkte zwischen den Funktionen f() und g() vorliegen. ) f ( ), g ( ) 6, b) f ( ), g ( ), u, u 5 c) f ( ) sin, g ( ) cos(), u π/ 5. Ermittle die Berührpunkte zwischen den Funktionen f() und g(): ) f ( ) 5, g ( ), 5 b) f ( ), g ( ) 5, 5,5 c) f ( ) e, g ( ) 8 6. Bestimme die Normle n der Stelle bzw. u n die Funktion f(): ) f ( ) 9, - b) f ( ), 8 c) f ( ) e, u π d) f ( ) sin( ), Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

33 7. Überprüfe, ob sich die Funktionen f() und g() senkrecht schneiden: ) f ( ) 5, g ( ) 5 b) f ( ) 8, g ( ),5 7, c) f ( ), g( ) 8 d) f ( ), g ( ) 6 e) f ( ) sin( ), g ( ),5,5,5 e f) f ( ) e e, g ( ) ( ) e Lösungen: ) y 6-8 / b) y - /c) y / d) y, ) -: y 5,,5: y -,875,975, : y -6 / b) -5ln6: y,,75 / c) : y π, : y -π π, 8: y π-8π ) -: y -9-9 / b) /: y -5,,7 / c) -,5: y5,,56,,5: y -,,57. B Berührpunkt, S Schnittpunkt / ) B( ) / b) B( ), S(5 5) / c) B(π/ ) 5) B(,5 ) / 5b) B( ) / 5c) B( 8) 6) y,657,5 / 6b) y -,77,85 / 6c) y -,5- / 6d) y -,565,96 7) S( -) mit f() g() / 7b) S( 7) mit f() g() / 7c) S (- ), S ( ) / 7d) S( ) mit f() g() / 7e) S( ) mit f() g() / 7f) S (-,,57), S ( e/) mit f() g() Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

34 Dtenbltt: Symmetrie von Funktionen Definitionen: Eine Funktion f: D f -> R heißt (i.e.s.) chsensymmetrisch zur y-achse, wenn f(-) f() für lle єd f gilt. Sie heißt (i.e.s.) punktsymmetrisch zum Koordintenursprung O( ), wenn f(-) -f() für lle єd f gilt. Beispiele: ) f(), - 5 (chsensymmetrisch) b) f() -,5 (punktsymmetrisch) c) Für die gnz rtionle Funktion f(), - 5 lässt sich die Achsensymmetrie wie folgt nchweisen (gerde Hochzhlen von negtiven Bsen): f(-),(-) -(-) 5, - 5 f() Beispiel c) gibt Anlss zu folgenden Feststellungen: ) Eine gnz rtionle Funktion mit Potenzen von gerden Hochzhlen (,,, ) ist chsensymmetrisch. b) Eine gnz rtionle Funktion mit Potenzen von ungerden Hochzhlen (,, 5, ) ist punktsymmetrisch. c) Für gnz rtionle Funktionen mit Potenzen gleichzeitig von gerden und ungerden Hochzhlen ist keine Symmetrie (i.e.s.) erkennbr. Es gilt: Konstnte Funktionen f() c, c reell, sind chsensymmetrisch (c c, ls gerde Hochzhl). Letzteres erklärt sich us dem folgenden Stz: ) Vielfche und Summen von chsensymmetrischen Funktionen sind chsensymmetrisch. b) Vielfche und Summen von punktsymmetrischen Funktionen sind punktsymmetrisch. c) Gemischte Summen us chsensymmetrischen und punktsymmetrischen Funktionen sind weder chsensymmetrisch noch punktsymmetrisch. Weiter gilt für zwei Funktionen u() und v() und deren Produkt f() u() v() der Stz: ) u() chsensymmetrisch, v() chsensymmetrisch > f() chsensymmetrisch b) u() punktsymmetrisch, v() chsensymmetrisch > f() punktsymmetrisch Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg

35 c) u() chsensymmetrisch, v() punktsymmetrisch > f() punktsymmetrisch d) u() punktsymmetrisch, v() punktsymmetrisch > f() chsensymmetrisch Für trigonometrische Funktionen gilt: ) Die Sinusfunktion f() sin() ist punktsymmetrisch. b) Die Kosinusfunktion f() cos() ist chsensymmetrisch. c) Die Tngensfunktion f() tn() ist punktsymmetrisch. Die Eponentilfunktion f() e ist selbst nicht symmetrisch, jedoch sind Eponentilfunktionen mit chsensymmetrischen Eponenten chsensymmetrisch und gewisse Summen von Eponentilfunktionen wie f() e e - chsensymmetrisch oder wie f() e e - punktsymmetrisch. Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 5

36 Dtenbltt: Funktionsuntersuchung (gnz rtionle Funktionen, Polynome) Eine gnz rtionle Funktion (Polynom) f: R -> R ist vom Typ: f ( ) n n n n... (für ntürliche Zhlen n und reelle Koeffizienten,, n ). n heißt der Grd der gnz rtionlen Funktion. Die Kurvendiskussion ermittelt die Besonderheiten der us einer Funktion f() sich ergebenden Kurve im -y-koordintensystem, des Grphen von f(). Hinsichtlich einer gnz rtionlen Funktion f() heißt ds: Zentrle Punkte der Kurvendiskussion n n Funktion: f ( ) n n... I. Ableitungen (nch Potenz- und Summenregel sowie Regel vom konstnten Fktor): n n f '( ) n ( n )... f f ''( '''( ) n ) n n n n ( n ) n ( n )( n ) n... n n n( n )( n ) n ( n )( n )( n ) n... II. Nullstellen (Anzhl miml n; Gleichung f() lösen): f() ->,, -> N( ), N( ), (Nullstellen mit gerder Vielfchheit ls Hoch-/Tiefpunkte ohne Vorzeichenwechsel; Nullstellen mit ungerder Vielfchheit mit Vorzeichenwechsel) III. Hochpunkte, Tiefpunkte (Anzhl miml n-; Gleichung f () lösen, Lösungen in f () einsetzen): ) f () ->,, b) f ( ) < -> H( f( )) oder f ( ) > -> T( f( )); f ( ) < -> H( f( )) oder f ( ) > -> T( f( )); IV. Wendepunkte (Anzhl miml n-; Gleichung f () lösen, Lösungen in f () einsetzen): ) f () ->,, b) f ( ) -> W( f( )); f ( ) -> W( f( )); IV. Sttelpunkte liegen vor, wenn (nch III. und IV.) gilt: f ( ), f ( ), f ( ) -> S( f( )) Kurvendiskussion gnz rtionler Funktionen Zusätzliche Punkte der Kurvendiskussion V. Monotonie (steigende [wchsende], fllende Monotonie [nch III.]; bei bwechselnden Hoch- und Tiefpunkten,,, n mit < < < n, ls Stelle im jeweiligen Monotonieintervll): Monotonieintervll (-, ): f() monoton steigend ( ls Hochpunkt, f ( )>) oder monoton fllend ( ls Tiefpunkt, f ( )<); Monotonieintervll (, ): f() monoton fllend ( ls Hochpunkt, ls Tiefpunkt, vorheriges Intervll mit steigender Monotonie, f ( )<) oder monoton steigend ( ls Tiefpunkt, ls Hochpunkt, vorheriges Intervll mit fllender Monotonie f ( )>); Monotonieintervll ( n, ): f() monoton fllend ( n ls Hochpunkt, vorheriges Intervll mit steigender Monotonie f ( )<) oder monoton steigend ( n ls Tiefpunkt, vorheriges Intervll mit fllender Monotonie, f ( )>) VI. Krümmung (Links-, Rechtskrümmung, Konveität, Konkvität [nch [IV.]; bei Wendepunkten,,, n mit < < < n, ls Stelle im jeweiligen Krümmungsintervll): Krümmungsintervll (-, ): f() links gekrümmt (bei Tiefpunkt im Intervll, f ( )>) oder rechts gekrümmt (bei Hochpunkt im Intervll, f ( )<); Krümmungsintervll (, ): f() rechts gekrümmt (bei Hochpunkt im Intervll, vorheriges Intervll mit Linkskrümmung, f ( )<) oder links gekrümmt (bei Tiefpunkt im Intervll, vorheriges Intervll mit Rechtskrümmung, f ( )>); Krümmungsintervll ( n, ): f() rechts gekrümmt (bei Hochpunkt im Intervll, vorheriges Intervll mit Linkskrümmung, f ( )<) oder links gekrümmt (bei Tiefpunkt im Intervll, vorheriges Intervll mit Rechtskrümmung, f ( )>) VII. Symmetrie: ) Achsensymmetrie (zur y-achse): f(-) f() oder: nur gerde Eponenten im Term von f() (gerde) b) Punktsymmetrie (zum Ursprung): f(-) -f() oder: nur ungerde Eponenten im Term von f() (ungerde) c) f() chsensymmetrisch -> f () punktsymmetrisch -> f () chsensymmetrisch usw. f() punktsymmetrisch -> f () chsensymmetrisch -> f () punktsymmetrisch usw. 6 Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 6

37 VIII. Verhlten für betrgsmäßig große (->, ->- ) (n ls Grd der gnz rtionlen Funktion): n > n ungerde n gerde -> f() -> f() -> ->- f() -> - f() -> n < n ungerde n gerde -> f() -> - f() -> - ->- f() -> f() -> - Kurvendiskussion gnz rtionler Funktionen Beispiel (gnz rtionle Funktionen): Gegeben ist die gnz rtionle Funktion. Grdes f ( ) (8 ). Kurvendiskussion: I. Definitionsbereich D f R II. Ableitungen f (), f (), f () III. Nullstellen des Polynoms mit notwendiger und hinreichender Bedingung: f ( ) I. Definitionsbereich: D f R. Ds Polynom ist für lle R definiert, stetig und (beliebig oft) differenzierbr. Neben der Drstellung der Funktion ls Produkt verwenden wir durch Auflösen der Klmmer die Drstellung: f ( ) (8 ) 8. Wegen den Potenzen und ist eine (gerde oder ungerde) Symmetrie nicht erkennbr. II. Ableitungen: Die letzte Form von f verwenden wir beim Ableiten: f ( ) f '( ) Funktion. Ableitung f ''( ) f '''( ) 6. Ableitung. Ableitung III. Nullstellen: Es folgt us der Drstellung der Funktion ls Produkt: f ( ) (8 ) Nullstellen der Funktion sind somit:, 8. Also: N ( ), N (8 ). IV. Etremwerte (ls Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: f '( ) und hinreichender Bedingung für die E mit f '( ) : E f ''( E ) < E rel. Mimum f ''( E ) > E rel. Minimum V. Wendepunkte (ls Nullstellen der. Ableitung) mit notwendiger Bedingung: f ''( ) und hinreichender Bedingung für die W mit f ''( ) : f ' ''( W W ) W IV. Hoch- und Tiefpunkte: Notwendige Bedingung: Nullsetzen der. Ableitung ergibt: f '( ) (6 ) 6 6 Hinreichende Bedingung: Einsetzen der gefundenen Werte und 6 in die. Ableitung ergibt: f ''() knn weder ls Minimum noch Mimum erknnt werden (siehe dzu V.) f ''(6) 6 7 < ls reltives Mimum Bei 6 liegt ein reltives Mimum (Hochpunkt). Somit lutet der diesbezügliche Kurvenpunkt 6 wegen f(6) (8 6) 6 6 : H(6 6). V. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: Aus dem Nullsetzen der. Ableitung folgt: f ''( ) 6 ( ) Hinreichende Bedingung: Einsetzen der -Koordinte der potenziellen Wendepunkte in die. Ableitung ergibt: f '''() ls Wendepunkt f '''() 8 ls Wendepunkt Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 7

38 Wendepunkt Insbesondere liegt bei lso kein Hoch- und Tiefpunkt (siehe IV.), sondern ein Wendepunkt vor, und zwr ein Sttelpunkt mit Funktionssteigung f () gleich. Die Wendepunkte luten wegen f() und f() (8 ) 8 : W ( ), W ( 8). VI. Verhlten gegen ±, bhängig von der höchsten Potenz des Polynoms n n mit: n<, n ung.: -> f()->- ->- f()-> n<, n gerde: -> f()->- ->- f()->- VI. Verhlten für betrgsmäßig große : Der Term Polynomfunktion gilt: f ( ) f ( )... f ( )... ist die höchste Potenz in der und besitzt den negtiven Koeffizienten. Dmit VII. Wertetbelle VII. Wertetbelle: y f() ,5, VIII. Zeichnung im -y- Koordintensystem VIII. Zeichnung: y , -,5 -,5 -,75 -, -,5,5,5,,75,5,5 5, 5,75 6,5 7,5 8, 8,75-5 Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 8

39 Aufgbenbltt: Funktionsuntersuchung (gnz rtionle Funktionen, Polynome). Bestimme die Nullstellen, die Hoch-, Tief- und Sttelpunkte der Funktion f(). Wo ist f() monoton wchsend, wo monoton fllend? Ws lässt über die Symmetrie von f() ussgen? ) f ( ) 7 b) c) f ( ) 8 7 d) f ( ) 6 f ( ) 8. Untersuche die folgenden Polynomfunktionen (gnz rtionlen Funktionen) uf: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, Verhlten für betrgsmäßig große. Erstelle im -y- Koordintensystem eine Zeichnung der Funktion. ) f ( ) 8 b) c) f ( ) d) ( ) 6 f 8 f ( ) ( ) Lösungen:. H Hochpunkt, N Nullstelle, Sp Sttelpunkt, S y Schnittpunkt mit y-achse, T Tiefpunkt, W Wendepunkt. / ) S y ( 7), T(5 ) / b) N( )H( ), W( -6), T( -), N(6 ) / c) N(-5,58 ), T(- -57), W(-, -8,), N(-,95 ), H( 7), N(,95 ), W(, -8,), T( -57), N(5,58 ) / d) N(-8 ), T(-6 -), W(- -56), N( )Sp( ) ) N(- ), H(-/ 9,8), S y ( 8), W(/,7), N( )T( ) / b) N( )T( ), W(/,9), Sp( 5,) / c) N(- )H(- ), W(-/ -,77), T(-/ -,56), N( )S y ( ) / d) N(- ), H(-,5,8), W(-,5), N( )Sp( ) Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg 9

40 Dtenbltt: Bestimmungsufgbe (gnz rtionle Funktionen, Polynome) Eine gnz rtionle Funktion (Polynom) f: R -> R ist vom Typ: f ( ) n n n n... (für ntürliche Zhlen n und reelle Koeffizienten,, n ). n heißt der Grd der gnz rtionlen Funktion. Im Folgenden sei der Grd n. Im Rhmen von Bestimmungsufgben für gnz rtionle Funktionen werden die Koeffizienten des gesuchten Funktionsterms uf Grund gegebener Eigenschften der Funktion ermittelt: Gerden Funktion: y m b (m ls Steigung, b ls y-achsen-abschnitt) Punkt P( y ), Steigung m Punkte P( y ), Q( y ) y y Punktsteigungsform: y y m Zweipunkteform: y y y Umstellen zu: y m( ) y Umstellen zu: y ( ) y Ursprungsgerde y m (durch den Ursprung): Prbeln Funktion: Steigung: Michel Buhlmnn, Mthemtik für ds Berufskolleg m y y mit: m y y y f ( ) b c (Normlform), f ( ) ( S ) ys (Scheitelform) Scheitelpunkt S( S y S ): f ( ) ( S ) y Punkt P( y ): f ( ) ( S ) ys y -> S y Bestimmungsufgbe für Gerden y y S ( S ) Bestimmungsufgbe für Prbeln (. Grdes, Scheitelform) Funktion. Grdes Funktion. Grdes Funktion. Grdes Funktion und Ableitungen: f ( ) b c f ( ) b c d f ( ) b c d e f '( ) b f '( ) b c f ''( ) 6 b f '( ) b c d f ''( ) 6b c Unbeknnte, b, c-> Funktionseigenschften -> Gleichungen f ( y f '( ) b c ) b c y Unbeknnte, b, c, d -> Funktionseigenschften -> Gleichungen Linere Gleichungen vom Typ: f ( b c d y ) ) b c y ( ) 6 b y f '( f '' für bestimmte - und y-werte Aufstellen des lineren Gleichungssystems: Gleichungen mit Unbeknnten, b, gemäß den Funktionseigenschften: Punkt P( y ): f( ) y Nullstelle bzw. N( ): f( ) Ursprung O( ) ls Funktionspunkt: f() y-achsenbschnittspunkt S y ( y ): f() y Schnittstelle mit Funktion g(): f( ) g( ) 5 Unbeknnte, b, c, d, e -> 5 Funktionseigenschften -> 5 Gleichungen f ( y ) b c d e ) b c d y ( ) 6b c y f '( f ''