B I Angabe Vor dem Louvre, dem berühmten Pariser Kunstmuseum, wurde im Jahr 989 eine Glaspyramide erbaut, welche den unterirdisch liegenden Haupteingang beherbergt. Diese Pyramide wurde der Cheops-Pyramide nachempfunden. Die Seitenlänge der quadratischen, nach unten offenen Grundfläche beträgt 5 m und die Spitze S liegt lotrecht über deren Mittelpunkt in einer Höhe von m. In einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem LE m sind der B 5; 5; zwei Eckpunkte der in der x, x Ebene liegenden horizontalen Grundfläche. Die Skizze zeigt die prinzipielle Lage der Pyramide. Ursprung O und der Punkt Geben Sie die Koordinaten der beiden Eckpunkte A und C sowie der Spitze S an. Der Punkt A liegt auf der x Achse und hat vom Koordinatenursprung eine Entfernung A 5 von 5LE: Der Punkt C liegt auf der x Achse und hat vom Koordinatenursprung eine Entfernung C 5 von 5LE: Der Punkt S liegt senkrecht über der Mitte des Quadrats ABCO, somit folgt für die Koordinaten von S: S7,5 7,5 4 Bestimmen Sie eine Parameter- und eine Normalengleichung der Ebene E, in der die Punkte A, B und S liegen. Mögliches Teilergebnis : E : x 7,5x 77 E : x OA AB AS 5 5 5 7,5 5 E : x 5 7,5 5 7,5 E : x 5 7,5 7,5 5 5 5 7,5 E 5 n 57,5 57,5 7,5 7,5 E : n x a folgt dann: Für die Normalengleichung 5 E : x 7,5
Die Koordinatengleichung würde man so erhalten: A5 in x 7,5x c einsetzen: 5 7,5 c c 77 Somit folgt: E : x 7,5x 77 4 Berechnen Sie den Neigungswinkel einer Seitenfläche gegenüber der Grundfläche. Der Neigungswinkel zwischen der Ebene E und der Grundfläche ist identisch mit dem Schnittwinkel der beiden Normalenvektoren dieser beiden Ebenen. Der Normalenvektor der Ebene E (Ebene durch A, B und S) ist: ne 7,5 Der Normalenvektor der Grundfläche ( x x Ebene ) ist: n 7, 5 7,5 cos 5,5 79, 5 7,5 4 Berechnen Sie den Flächeninhalt einer der vier gläsernen Seitenflächen. Für den Flächeninhalt des von den Vektoren AB und AS aufgespannten Dreiecks ABS gilt: 7,5 77 F ABS AB AS 5 7,5 77 6,5 49,95 6,5 5. An einem Punkt S befestigten Seil wurde eine nach allen Seiten gleichmäßig Licht abstrahlende Lampe so aufgehängt, dass die Lichtstrahlen im Schwerpunkt jeder Seitenfläche senkrecht auftreffen. 7 5. 5 Zeigen Sie, dass der Punkt M ; ; der Schwerpunkt des Dreiecks ABS ist, und 6 zeigen Sie, dass der Aufhängepunkt P der als punktförmig angenommenen Lampe unterhalb der offenen Grundfläche OABC liegt. Für den Ortsvektor des Schwerpunkts M des Dreiecks ABS gilt: m a b s
5 5 7, 5 87, 5 m 5 7, 5 5, 5 M ; ; 6 5 5 6 Das Seil an welchem die Lampe hängt wird beschrieben durch die Geradengleichung: 7,5 g : x 7,5 Das Licht soll senkrecht auf den Schwerpunkt M der Seitenfläche treffen; dieser Lichtstrahl wird beschrieben durch die Geradengleichung: 6 5 h : x 7,5 Der Schnittpunkt der beiden Geraden liefert die Position P der Lampe. Also: g h 7,5 6 5 7,5 7,5 Man erhält nun folgendes Gleichungssystem (das recht einfach zu lösen ist): 5 7,5 6 66 7,5 7,5 w 5 67 66 9 Da das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist gibt es auch einen Schnittpunkt. Diesen 5 erhält man, indem man in die Geradengleichung g einsetzt: 7,5 7,5 g : x 7,5 5 57 7,5 P 7,5 7,5 57 57 Da die x Koordinate des Punktes P negativ ist ( x ), liegt der Punkt P unterhalb der Grundfläche. 5 5. Die Position der Lampe kann für spezielle Lichteffekte durch Veränderung der Seillänge verändert werden. Berechnen sie den Abstand der Lampe von der Seitenkante OS, wenn die Lampe auf Höhe der x, x Ebene angebracht wird. Für die Position der Lampe gilt: L7,5 7,5 Nun bildet man eine Hilfsebene F senkrecht zu OS durch den Punkt L: 7, 5 7,5 F : 7, 5 x 7,5 7,5 und setzt den allgemeinen Geradenpunkt der Geraden durch O und S: : x 7,5 in die Ebene F ein:
7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 96,5 6,5 5 9 Setzt man dieses nun in die Geradengleichung von ein, so erhält man den Schnittpunkt R. 4875 7,5 486 5 4875 4875 4875 695 x 9 7,5 486 R 486 486 9 695 9 Für den Abstand d gilt dann: 4875 88 486 7,5 486 4875 88 88 88 695 d LR 7,5 486 486 486 486 9 6, 44 695 695 9 9 Bemerkung: Es wäre auch in Ordnung anstatt mit den Brüchen mit gerundeten Dezimalbrüchen zu rechnen! 5 6 Vor der Pyramide steht ein senkrechter Fahnenmast, dessen Spitze F die Koordinaten,5 F4; ; 8 besitzt. Paralleles Sonnenlicht mit dem Richtungsvektor l erzeugt auf der Seitenfläche ABS der Pyramide den Schattenpunkt F S der Spitze F. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes F S. 4,5 Für den Sonnenstrahl gilt: s : x 8 Nun bildet man s E (man setzt also s in E ein): 4,5 5 7,5 8 5,5 7,5 8 5,5 7,5 8 9 5 5 9 4
595 4,5 8 8 9 5 65 4 eingesetzt in s: x F 9 S 8 9 5