Bonusmaterial Matrizen und Determinanten. Reihen und Spalten Elementarmatrizen

Bonusmaterial Matrizen und Determinanten Zahlen in Reihen und Spalten 6 6 Elementarmatrizen 3 3 3 Wir betrachten die Matrix A = 3 3 3 R 3 3 3 3 3 Die folgende Multiplikation reeller Matrizen 0 0 3 3 3 3 3 3 0 /3 0 3 3 3 = 0 0 3 3 3 3 3 3 bewirkt eine elementare Zeilenumformung an A, nämlich das Multiplizieren der zweiten Zeile von A mit dem Faktor /3 Vertauscht man die Faktoren, berechnet man also 3 3 3 0 0 3 3 3 3 3 0 /3 0 = 3 3, 3 3 3 0 0 3 3 so bewirkt diese Multiplikation eine elementare Spaltenumformung an A Man kann auch das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile durch eine Matrizenmultiplikation ausdrücken, so ist etwa 0 0 3 3 3 3 3 3 /3 0 3 3 3 = 0 0 3 3 3 3 3 3 die Addition des /3-fachen der ersten Zeile zur zweiten? Welche Zeile ändert sich, wenn der Faktor /3 an der Stelle 3, dieser Matrix steht? Ein Vertauschen der Faktoren bewirkt wieder eine entsprechende Umformung an den Spalten: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 3 3 /3 0 = 3 3 0 0 3 3? An welcher Stelle muss der Faktor /3 stehen, damit die zweite Spalte des Produktes nur als Komponenten hat? In der Tat lässt sich jede elementare Zeilenumformung bzw elementare Spaltenumformung an einer Matrix A K m n durch Multiplikation einer Matrix von rechts bzw von links darstellen Matrizen, die dies bewirken, werden wir Elementarmatrizen nennen Elementarmatrizen stellen elementare Zeilenumformungen bzw Spaltenumformungen dar Die elementaren Zeilenumformungen bzw elementaren Spaltenumformungen an einer Matrix A K m n sind die Umformungen i Zwei Zeilen bzw Spalten von A werden vertauscht; ii eine Zeile bzw Spalte wird mit einem Faktor λ = 0 multipliziert; iii zu einer Zeile bzw Spalte wird das Vielfache einer anderen Zeile bzw Spalte addiert Wir untersuchen nun, welche Matrizen diese Zeilen- bzw Spaltenumformungen an der Matrix A K m n durch Multiplikation von rechts bzw links bewirken Für λ K und i, j {,, m} mit i = j nennt man die m m-matrizen der Form D i λ := λ i i

6 Matrizen und Determinanten Zahlen in Reihen und Spalten und λ N i,j λ := j m m-elementarmatrizen i z i z i + z j z i + z j A = z j z j z j + z i + z j z i + z j = z i } {{ } =N i,j A z i + z j + z i z i =N i,j N j,i N i,j A } {{ } =N j,i N i,j A D j z j z i Kommentar: Die Matrizen D i λ für λ K \{0} und N i,j λ für λ K sind invertierbar, so ist D i λ das Inverse zu D i λ und N i,j λ jenes zu N i,j λ Damit führen also die Elementarmatrizen auch zum Vertauschen der Zeilen z i mit z j also zur elementaren Zeilenumformung i Diese Vertauschung bewirkt also letztlich die Matrix Für die m n-matrix A = z z m mit den Zeilenvektoren z,, z m K n berechnen wir nun die folgenden Matrizenprodukte: z z z i z i D i λ A = λ z i und N i,j λ A = z i + λ z j z i+ z i+ z m z m Also bewirkt die Matrizenmultiplikation von D i λ von links an A die Multiplikation der i-ten Zeile von A mit λ bzw die Matrizenmultiplikation von N i,j λ von links an A die Addition des λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile Diese beiden Multiplikationen bewirken also gerade für λ = 0 im ersten Fall die elementaren Zeilenumformungen der Art ii und iii an A Wir überlegen uns nun, welche Matrix das Vertauschen zweier Zeilen z i und z j für i = j von A bewirkt Wir multiplizieren an A von links Elementarmatrizen: P i,j := D j N i,j N j,i N i,j = 0 = 0 i j i j Man nennt P i,j eine Permutationsmatrix, sie vertauscht durch Multiplikation von links an A die Zeilen z i und z j Warum gilt P = E n für jede n n-permutationsmatrix?? Analog kann man nun auch elementare Spaltenumformungen von A durch Multiplikation von n n-elementarmatrizen von rechts an A K m n darstellen So bewirkt die n n-matrix D i λ mit λ = 0 durch Multiplikation von rechts an A eine Multiplikation der i-ten Spalte von A mit dem Faktor λ Und die Multiplikation von N i,j λ von rechts an A bewirkt die Addition des λ-fachen der i-ten Spalte zur j-ten Spalte Arens et al, Mathematik, ISBN: 978-3-874-758-9, Spektrum Akademischer Verlag, 008

6 Elementarmatrizen 3 Spaltenrang ist gleich Zeilenrang und damit der Rang einer Matrix Eine Matrix A = a ij K m n hat Zeilenstufenform, wenn sie von der Form a j 0 a rj mit Zahlen a iji = 0 ist Mittels elementarer Zeilenumformungen kann jede Matrix A = a ij K m n auf Zeilenstufenform gebracht werden Den Rang einer Matrix haben wir dabei in einem Abschnitt im Buch auf Seite 470 als die Anzahl r der von der Nullzeile verschiedenen Zeilen in der Zeilenstufenform von A definiert Wir überlegen uns nun, dass diese Definition sinnvoll ist, also die Zahl r durch die Matrix A eindeutig bestimmt ist Für die Matrix z A = = s,, s n z m nennen wir den Untervektorraum z,, z m K n, der von den Zeilenvektoren erzeugt wird, bzw s,,s n K m, der von den Spaltenvektoren erzeugt wird, den Zeilenraum bzw Spaltenraum von A Die Dimension des Zeilenraumes nennen wir den Zeilenrang von A und die Dimension des Spaltenraumes den Spaltenrang von A Übt man an der Matrix A elementare Zeilenumformungen aus, so verändert sich dabei der Zeilenrang nicht Etwas erstaunlich, aber tatsächlich begründbar ist, dass Zeilenumformungen auch den Spaltenrang nicht ändern Und umgekehrt ändern Spaltenumformungen weder den Spalten- noch den Zeilenrang Bringt man die Matrix A mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform A, so bilden die von der Nullzeile verschiedenen Zeilen der Matrix A eine Basis des Zeilenraumes der Matrix A Damit ist also r = rg A gerade der Zeilenrang und somit eindeutig festgelegt Um A zu erhalten, haben wir dabei m m-elementarmatrizen D i λ und N i,j λ mit λ K von links an A multipliziert Wir bezeichnen das Produkt dieser dabei auftretenden Elementarmatrizen mit L: LA= A = 0 r 0 0 Der Spaltenrang s von A ist derselbe wie jener von A, da Zeilenumformungen den Spaltenrang nicht ändern Nun gehen wir noch einen Schritt weiter Wir wenden nun auf die Matrix A mit Rang bzw Zeilenrang r elementare Spaltenumformungen an, um A auf die Gestalt A = Er 0 K m n 0 0 zu bringen Dabei ist E r K r r die r r-einheitsmatrix und die auftauchenden Nullmatrizen sind entsprechend gewählt Weil A den Spaltenrang r hat und der Spaltenrang von A gleich dem von A ist, muss also r = s, d h Zeilenrang von A gleich Spaltenrang von A gelten Zu jeder der durchgeführten Spaltenumformung gehört eine n n-elementarmatrix Das Produkt aller hierbei auftretenden Elementarmatrizen bezeichnen wir mit R, also gilt LAR = Er 0 0 0 Und weil das Produkt invertierbarer Matrizen wieder invertierbar ist, erhalten wir: Der Rang einer Matrix Für jede Matrix A K m n gilt: Der Rang von A ist gleich dem Zeilenrang von A und dieser ist gleich dem Spaltenrang von A Es gibt invertierbare Matrizen L K m m und R K n n, sodass Er 0 LAR =, 0 0 wobei r der Rang von A ist Eine Matrix mit rga = r hat also r linear unabhängige Vektoren unter ihren Zeilenvektoren z,, z m und unter ihren Spaltenvektoren s,, s n Beispiel Der Rang der Matrix A := 3 4 7 3 3 8 7 8 4 3 4 3 3 R4 5 ist hier leichter durch elementare Zeilenumformungen zu ermitteln Addition des -fachen der vierten zur dritten, des 3-fachen der vierten zur zweiten und des -fachen der vierten zur ersten Zeile, anschließende Addition der dritten zur zweiten und des 3-fachen der dritten zur ersten Zeile und schließlich Vertauschen von Zeilen überführt A Arens et al, Mathematik, ISBN: 978-3-874-758-9, Spektrum Akademischer Verlag, 008

4 6 Matrizen und Determinanten Zahlen in Reihen und Spalten in 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 An dieser Zeilenstufenform können wir ablesen: rga = 5 0 0 0 An der Matrix B := R 3 3 führt 3 3 0 man besser Spaltenumformungen durch, um den Rang zu bestimmen: Zur zweiten Spalte addiere man das - fache der vierten Spalte und zur dritten Spalte das - fache der vierten, sodann erkennt man den Spaltenrang und damit den Rang 3 Anwendungsbeispiel Eine invertierbare Matrix A K n n hat nach einem Ergebnis im Buch auf Seite 54 den Maximalrang n Dann kann A mit elementaren Zeilenumformungen auf die Form gebracht werden und mit weiteren 0 solchen Umformungen schließlich in die Einheitsmatrix E n umgewandelt werden Jede Umformung bedeutet eine Multiplikation von links mit einer Elementarmatrix Daher existieren zu der invertierbaren Matrix A Elementarmatrizen T,,T k mit sodass T k T A = E n, T k T = T k T E n = A Jede invertierbare Matrix A lässt sich mittels elementarer Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix E n überführen Wendet man dieselben Umformungen in derselben Reihenfolge auf E n an, so erhält man A Dieses Vorgehen zum Invertieren einer invertierbaren Matrix ist genau dasselbe, das wir in einem Abschnitt im Buch auf Seite 54 geschildert haben Man schreibt E n rechts neben A, also A E n und wendet die Umformungen, die A in E n überführen, gleichzeitig auf E n an, man erhält also E n A Die Matrix A ist dann das Inverse A von A Kommentar: Wir haben mitbegründet: Jede invertierbare Matrix ist ein Produkt von Elementarmatrizen Ein Algebraiker würde diesen Sachverhalt wie folgt ausdrücken: Die Gruppe der invertierbaren Matrizen über einem Körper wird von den Elementarmatrizen erzeugt? Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen 0 0 A := 6 3 3, B := 0 0 3 3 0 5 6 3 6 Zur Fehlerabschätzung bei der numerischen LR-Zerlegung Computeralgebrasysteme verwenden zur Lösung eines linearen Gleichungssystems häufig eine LR-Zerlegung der Koeffizientenmatrix Dabei kommt es zu Rundungsfehlern Der Fehler, den man bei der LR-Zerlegung macht, hält sich für kleine Matrizen in Grenzen Wir führen zu jeder quadratischen Matrix A R n n und jedem Vektor v R n eine Kenngröße ein, um abschätzen zu können, welche Fehler beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mittels der LR-Zerlegung entstehen können Für die Matrix A = a ij R n n bezeichne n A := max a i=,, n ij j= die Zeilennorm der Matrix A Um A zu bestimmen, bildet man also die Summen der Beträge der Einträge der n Zeilen und erhält so n positive reelle Zahlen Als A wählt man dann den maximalen gefundenen Wert Für Vektoren v = v v n R n definieren wir analog: v := max i=,, n { v i } Nun gehen wir davon aus, dass wir das Gleichungssystem A x = b auf einem Rechner mit der Maschinengenauigkeit ε mittels einer LR-Zerlegung mit Pivotsuche von A R n n mit den Matrizen L und R gelöst haben Dabei haben wir den Vektor v als Näherungslösung erhalten Dann gilt für den Fehler b A v, den der Rechner bei dieser Näherung gemacht hat: n + ε b A v L R v, falls nε / nε Wir verzichten auf eine Begründung dieser Abschätzung Arens et al, Mathematik, ISBN: 978-3-874-758-9, Spektrum Akademischer Verlag, 008

63 Symmetrische und schief-symmetrische Matrizen 5 Kommentar: Es besagt b A v =0, dass v die exakte Lösung des Systems A x = b ist 63 Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A R n n heißt symmetrisch, wenn A = A T erfüllt ist; sie heißt schiefsymmetrisch, wenn A = A T gilt Die Menge der symmetrischen bzw schiefsymmetrischen n n-matrizen über R wollen wir hier mit Sn, R bzw An, R bezeichnen Wir begründen: Es sind Sn, R und An, R Untervektorräume des R n n mit: dim Sn, R = nn+ und nn dim An, R = Jede Matrix M R n n besitzt genau eine Darstellung M = S + A mit S Sn, R, A An, R Bevor wir den allgemeinen Fall behandeln, sehen wir uns zunächst exemplarisch den Fall n = an Es gilt dim R = 4 Die Standardbasis des R ist B = {E, E, E, E } mit E = 0 00, E = 0 00, E = 00 0, E = 00 0 a b Die Darstellung von A = R c d als Linearkombination der kanonischen Basis ist A = a E + b E + c E + d E Wir setzen S = 0 0 = E + E, T = 0 0 = E + E Weil S und T linear unabhängig sind, ist {E, E, S, T} eine Basis des R Die Symmetrie bzw Schiefsymmetrie von A lässt sich folgendermaßen ausdrücken: A = A T b = c A = ab bd = = a 0 00 + d 00 0 + b 0 0 E, E, S, A = A T a = d = 0 und b = c A = 0 c c 0 = c 0 0 T Demnach ist {E, E, S} eine Basis von S, R, also dim S, R = 3, und {T} ist eine Basis von A, R, also dim A, R = Jede Matrix lässt sich auf genau eine Weise als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben: a b = c d a b+c b+c d } {{ } S, R + = a E + d E + b + c 0 b c b c 0 } {{ } A, R S b c Sind nun A, B Sn, R, dha T = A, B T = B, so folgt A + B T = A T + B T = A + B,dhA + B Sn, R, und λ A T = λ A T = λ A für λ R, dhλ A Sn, R Die Menge Sn, R ist demnach ein Untervektorraum des R n n Der Beweis für schiefsymmetrische Matrizen geht genauso So folgt etwa aus A T = A, B T = B sogleich A+B T = A T + B T = A B = A + B Wir kommen nun zu dem allgemeinen Fall: Wir gehen von der Standardbasis B ={E ij i, j n} des R n n aus Eine Matrix A = a ij R n n ist genau dann symmetrisch, wenn a ij = a ji für i<jgilt In diesem Fall kann man in der Darstellung A = n i,j= a ij E ij die beiden Summanden a ij E ij + a ji E ji zu einem einzigen, nämlich a ij E ij + E ji zusammenfassen Somit ist S ={E ii i n} {E ij + E ji i<j n} eine Basis von Sn, R, und es gilt dim Sn, R = S = nn + / Die MatrixA ist genau dann schiefsymmetrisch, wenn a ii = a ii,dha ii = 0 für alle Elemente in der Hauptdiagonalen von A gilt und a ij = a ji für i<j Man sieht dann analog, dass A ={E ij E ji i<j n} eine Basis von An, R ist Es folgt dim An, R = A = nn / Für eine beliebige Matrix M R n n gilt M = M + MT + M MT =S =A mit S T = M T + M T T = M T + M = S, dh S Sn, R, und A T = M T M T T = M T M = A,dhA An, R Ist M = S + A eine weitere solche Darstellung, so gilt S + A = S + A, und folglich ist S S = A A Sn, R An, R eine Matrix, die zugleich symmetrisch und schiefsymmetrisch ist Da die Nullmatrix 0 R n n die einzige Matrix mit dieser Eigenschaft ist, folgt S = S, A = A, und wir haben auch die Eindeutigkeit der Darstellung gezeigt T Arens et al, Mathematik, ISBN: 978-3-874-758-9, Spektrum Akademischer Verlag, 008

6 6 Matrizen und Determinanten Zahlen in Reihen und Spalten Anwendung: Galilei-Transformation Wir vergleichen Zeit- und Ortskoordinaten ein und desselben Ereignisses, betrachtet aus zwei verschiedenen Bezugssystemen S und S Dabei bewege sich das Bezugssystem S relativ zum Bezugssystem S mit einer konstanten Geschwindigkeit v = v e + v e + v 3 e 3 Wir wählen im Bezugssystemen S bzw S ein kartesisches Koordinatensystem z x,y,z mit Ursprung O und Zeitkoordi- nate t bzw x,y,z mit Ursprung O und Zeitkoordinate t Durch Angabe von vier Werten für Orts- und Zeitkoordinaten wird ein Ereignis im jeweiligen Bezugssystem erklärt; zur Zeit z P t i ereignet sich am Ort x i,y i,z i in S i etwas, etwa ein Zusammenstoß von Teilchen Wir schreiben für ein solches Ereignis P im Bezugssystem S i kurz P = t i,x i,y i,z i x O S y O x S y Angenommen, wir kennen die vier Koordinaten t, x, y, z eines Ereignisses P im Bezugssystem S Welche Koordinaten t,x,y,z hat dieses Ereignis dann im Bezugssystem S? Wir stellen im Folgenden den Zusammenhang zwischen diesen Koordinaten her Wir nehmen vorerst an, dass wir in den beiden Bezugssystemen dieselbe absolute Zeit verwenden dürfen, also insbesondere t = t Dies führt zur Galilei-Transformation, die für Geschwindigkeiten gilt, die klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sind Vereinfachend nehmen wir an, dass zum Zeitpunkt t = 0 = t die Ursprünge O und O zusammenfallen Gegeben ist ein Ereignis P = t,x,y,z in S Wir bestimmen die Koordinaten dieses Ereignisses bezüglich des Koordinatensystems im Bezugssystem S Wir gehen von t = t = t aus und erhalten für die einzelnen Ortskoordinaten des Ereignisses P x = x v t, y = y v t, z = z v 3 t Diesen Übergang von den Koordinaten eines Ereignisses bezüglich eines Bezugssystems zu den Koordinaten des Ereignisses bezüglich eines anderen Bezugssystems nennt man Galilei-Transformation Dieser Zusammenhang lässt sich mit einer Matrix A beschreiben, es gilt t 0 0 0 t x y = v 0 0 x v 0 0 y z v 3 0 0 z =:A Die Matrix A ist invertierbar, und zwar gilt 0 0 0 A = v 0 0 v 0 0 v 3 0 0 Damit erhalten wir die Koordinaten eines Ereignisses P = t,x,y,z im Koordinatensystem von S aus folgender Gleichung t 0 0 0 t v 0 0 x y = z v 0 0 v 3 0 0 x y z Ein Einstein sches Postulat besagt, dass die Lichtgeschwindigkeit c in allen Bezugssystemen die gleiche Größe hat Damit widerspricht die Galilei-Transformation diesem Postulat Bewegt sich nämlich das Bezugssystem S nur in x -Richtung gegenüber dem Bezugssystem S mit der Geschwindigkeit v, so hat ein Lichtstrahl im Bezugssystem S in y -Richtung vom Bezugssystem S aus betrachtet, die Geschwindigkeit c + v >c Für kleine Geschwindigkeiten stimmt die Galilei-Transformation mit den experimentellen Beobachtungen überein, für hohe Geschwindigkeiten jedoch ist eine andere Transformation zu wählen dies ist die Lorentz-Transformation Arens et al, Mathematik, ISBN: 978-3-874-758-9, Spektrum Akademischer Verlag, 008

64 Die Vandermonde-Matrix 7 Beispiel und Es gilt etwa 6 3 6 9 0 4 = + 5 9 4 0 Sn, R An, R 3 = 3 3 3 3+ 3+ Sn, R + 3 0 0 3+ 3+ 0 3 0 0 An, R 64 Die Vandermonde-Matrix Sind x 0,x,, x n verschiedene und y 0,y,,, y n beliebige reelle Zahlen, so existiert nach der Anwendung zur Newton-Interpolation im Kapitel 5 genau ein Polynom p R[X] n, d h vom Grad kleiner oder gleich n, mit px i = y i für alle i {0,,, n} Wir begründen dieses Ergebnis erneut mithilfe der Determinante Dabei spielt die sogenannte Vandermonde-Matrix eine wichtige Rolle Zu zeigen ist die Existenz und Eindeutigkeit reeller Zahlen a 0,, a n mit der Eigenschaft y i = a 0 + a x i + +a n x n i für i = 0,, n Es ist dann p = a 0 + a X + +a n X n R[X] n das eindeutig bestimmte Polynom mit der gewünschten Eigenschaft Die n + Gleichungen in liefern ein lineares Gleichungssystem für die n + zu bestimmenden Koeffizienten a 0,a,, a n R Das Gleichungsystem lautet ausführlich a 0 x 0 + a x + + a n x n = y a 0 x 0 + a x + + a n x n = y a 0 xn 0 + a x n + + a n xn n = y n Als Koeffizientenmatrix erhalten wir die sogenannte n + n + -Vandermonde-Matrix x 0 x0 x n 0 x x x n V = = xj i Rn+ n+ x n xn xn n Es existiert genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems, also das eindeutig bestimmte Polynom p = a 0 + a X + +a n X n mit a n,, a,a 0 R, wenn die Determinante der Vandermonde-Matrix von Null verschieden ist Wir berechnen nun diese Determinante Wir lassen die erste Spalte unverändert und subtrahieren von der zweiten Spalte das x 0 -fache der ersten Spalte, von der dritten Spalte das x 0 -fache der zweiten Spalte usw det V = 0 0 0 x x 0 x = x 0x x n x 0x n x n x 0 xn x 0x n xn n x 0x n 0 0 0 x x 0 x x 0 x x x 0 x n = x n x 0 x n x 0 x n x n x 0 x n n x x n = x i x 0 i= x n x n Bei diesem Schritt haben wir also die n + n + - Vandermonde-Matrix auf eine n n-vandermonde-matrix zurückgeführt Induktiv folgt nun unter Beachtung von det = die Formel det V = n n j=0 i=j+ x i x j Dies wird meistens in der Kurzform x 0 x0 x n 0 x x x n = i x j i>jx x n xn xn n geschrieben Es ist det V = 0 x i = x j für alle i = j Also existiert genau dann ein eindeutig bestimmtes Polynom p = a 0 + a X + +a n X n R[X] n mit px i = y i für i = 0,, n, wenn die vorgegebenen Stellen x 0,, x n verschieden sind Arens et al, Mathematik, ISBN: 978-3-874-758-9, Spektrum Akademischer Verlag, 008

8 6 Matrizen und Determinanten Zahlen in Reihen und Spalten Antworten der Selbstfragen S Die dritte Zeile S An der Stelle, es geht aber auch die Stelle 3, S Weil P bedeutet, dass zwei Mal vertauscht wird, damit wird die ursprüngliche Vertauschung gerade rückgängig gemacht S 4 Es gilt rg A = und rg B = 3 Arens et al, Mathematik, ISBN: 978-3-874-758-9, Spektrum Akademischer Verlag, 008