MATRIZEN und Determinanten und ihre Anwendung in Technik und Ökonomie von Dr. rer. nat. Günter Dietrich und Prof. Dr.-Ing. Henry Stahl 5., neubearbeitete Auflage Mit 63 Bildern und 133 Beispielen und Lösungen a VEB FACHBUCHVERLAG LEIPZIG
Inhaltsverzeichnis 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Der Matrixbegriff 11 Einleitung 11 Einführung des Matrixbegriffes 12 Beispiele für das Auftreten von Matrizen 12 Bedeutung der Matrizen für technisch-wissenschaftliche und ökonomische Probleme.. 15 Anwendungsbereich der Matrizen 10 Zusammenfassung 17 Grundlagen der Determinantenrechnung und der Lösung linearer Gleichungssysteme 18 3.3.2. Entwicklung der Determinante dritter Ordnung nach den Elementen einer Reihe 25 3.3.3. Der LAPLACESche Entwicklungssatz 27 3.4. Eigenschaften der Determinanten 29 3.4.1. Sätze über Determinanten... 29 3.4.2. Praktische Berechnung von Determinanten 31 3.5. Beispiele für die Anwendung der Determinanten 33 3.5.1. Anwendungsbeispiel aus der Vektoralgebra 33 3.5.2. Anwendungsbeispiel aus der analytischen Geometrie 34 3.5.3. Anwendungsbeispiel aus der Theorie der Funktionen von zwei und mehr Veränderlichen 35 3.5.4. Anwendungsbeispiel aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen 36 3.6. Zusammenfassung 37 3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.3. 3.3.1. Grundlagen der Determinantenrechnung 18 Das Koeffizientenschema eines linearen Gleichungssystems..' 18. 19 zweiter Ordnung 19 dritter Ordnung 21 w-ter Ordnung 24 Entwicklung von Determinanten 24 Unterdeterminanten und Adjunkten 24 4. Grundlagen der Lösung linearer Gleichungssysteme... 38 4.1. Die CRAMKRSche Regel 38 4.2. Vektoren im и-dimensionalen Raum 40 4.2.1. Definition des ra-dimensionalen Vektors 40 4.2.2. Rechenregeln für и-dimensionale Vektoren 41 4.3. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektorsystemen 45 4.3.1. Einführung 45 4.3.2. Definition der linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit 47
Inhaltsverzeichnis 4.3.3. 4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.5. 4.5.1. 4.5.2. 4.6. 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.4.1. 5.4.2. 5.4.3. 5.4.4. 5.4.5. 5.4.6. 5.5. 5.5.1. 5.5.2. 5.5.3. 5.5.4. 5.5.5. 5.6. 5.6.1. 5.6.2. Sätze zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektorsystemen 48 Lineare Abhängigkeit und Rang 50 Bang eines Vektorsystems... 50 Eang einer Matrix 51 Praktische Bestimmung des Ranges einer Matrix 53 Allgemeine lineare Gleichungssysteme 56 Allgemeine homogene lineare Gleichungssysteme 56 Allgemeine inhomogene lineare Gleichungssysteme... 62 Zusammenfassung 66 Grundlagen der Matrizenrechnung 68 Grundbegriffe und Ilechenregeln 68 Definition der Matrix 68 Typ der Matrix 69 Zusammenfassimg 71 Rechenregeln für Matrizen... 71 Der Matrizenkalkül 71 Gleichheit zweier Matrizen... 71 Nullmatrix 73 Addition und Subtraktion von Matrizen 74 Multiplikation einer Matrix mit einem Faktor 76 Zusammenfassung 78 Multiplikation zweier Matrizen 79 Einführung des Matrizenproduktes 79 Definition des Matrizenproduktes 85 Anwendungsbeispiel zur Matrizenmultiplikation 87 Vertauschbarkeit der Faktoren im Matrizenprodukt 89 Zusammenfassung 91 Matrizen und lineare Transformation 91 Lineare Transformation im dreidimensionalen Raum... 91 Lineare Transformation des w-dimensionalen Raumes 94 5.6.3. 5.6.4. 5.6.5. 6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.3.1. 6.3.2. 6.3.3. 6.3.4. 6.3.5. 6.3.6. 6.4. 6.4.1. 6.4.2. 6.4.3 6.5. 6.6. 7. 7.1. 7.1.1. 7.1.2. 7.1.3. 7.1.4. 7.2. Hintereinanderschalten 1 inearer Transformationen... 96 Spezielle lineare Transformationen und Koordinatentransformationen 99 Zusammenfassung 103 Weiterführung der Matrizenrechnung 104 Sondermatrizen 104 Transponierte Matrix... 104 Die zu einer Matrix entgegengesetzte Matrix 106 Spezielle quadratische Matrizen 106 Symmetrische Matrix 106 Antisymmetrische Matrix... 107 Zerlegung einer quadratischen Matrix in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil 108 Diagonalmatrix, Skalarmatrix, Einheitsmatrix 109 Determinante einer quadratischen Matrix 111 Dreiecksmatrix 113 Komplexe Matrizen 114 Komplexe Vektoren 114 Komplexe und konjugiert komplexe Matrix 115 Spezielle komplexe Matrizen.. 117 Übermatrix und Untermatrix 120 Zusammenfassung 125 Multiplikation von mehr als zwei Matrizen und Matrizenmultiplihation nach FALK 126 Multiplikation von mehr als zwei Matrizen 126 Das Produkt von drei und mehr Matrizen 126 Das distributive und assoziative Gesetz der Matrizenmultiplikation 128 Weitere Sätze zur Matrizenmultiplikation 129 Zusammenfassung 133 Matrizenmultiplikation nach FALK 133
Inhaltsverzeichnis 9 7.2.1. FALKSche Anordnung für zwei Matrizen 134 7.2.2. Summenproben 134 7.2.3. FALKSche Anordnung für mehrere Matrizen 137 7.2.4. Zusammenfassung 137 8. Praktische Verfahren zur Behandlung linearer Gleichungssysteme 137 8.1. Direkte Verfahren 138 8.1.1. Das Austauschverfahren 138 8.1.2. Der GAUsssche Algorithmus.. 146 8.2. Der verkettete Algorithmus.. 150 8.2.1. Prinzip und Rechenschema des verketteten Algorithmus.. 150 8.2.2. Die Durchführung des verketteten Algorithmus für b«= 0 158 8.3. Die praktische Bestimmung des Ranges einer Matrix 161 8.4. Die Lösung homogener Gleichungssysteme 162 8.5. Ill-conditioned lineare Gleichungssysteme 166 8.6. Lineare Gleichungssysteme mit komplexen Koeffizienten. 169 8.7. Iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 170 8.7.1. Vorbemerkungen 170 8.7.2. Allgemeine Grundlagen der Iterationsverfahren und Normen 172 8.7.3. Das jacobische Iterationsverfahren 175 8.7.4. Das GAUss-SEiDEL-Verfahren 179 8.8. Zusammenfassung 182 9. Die Kehrmatrix 183 9.1. Einführung und Definition der Kehrmatrix 183 9.2. Eigenschaften der Kehrmatrix 186 9.2.1. Die Elemente der Kehrmatrix 186 9.2.2. Die Kehrmatrix einer Transponierten, einer symmetrischen Matrix und eines Matrizenproduktes 190 9.2.3. Die Kehrmatrix einer Dreiecksmatrix 192 9.2.4. Orthogonale Matrizen 193 9.3. Praktische Bestimmung der Kehrmatrix mit Hilfe des verketteten Algorithmus... 198 9.4. Umkehrung eines Gleichungssystems 199 9.5. Matrizendivision 201 9.6. Zusammenfassung 203 Eigenwerte und Matrizengleichungen 204 10. Das Eigenwertproblem 204 10.1. Einführung des Eigenwertproblems 204 10.2. Eigenwerte und Eigenvektoren 209 10.2.1. Das System der Eigenvektoren 209 10.2.2. Modalmatrix und Spektralmatrix 211 10.2.3. Iterierte Vektoren 213 10.3. Charakteristische Gleichung und Cayley-Hamilton- Gleichung 215 10.4. Das Eigenwertproblem für symmetrische und hermitische Matrizen 217 10.5. Die allgemeine Eigenwertaufgabe 222 10.6. Eigenwertabschätzungen 224 10.6.1. Das Prinzip der Eigenwertabschätzungen 224 10.6.2. Spezielle Eigenwertabschätzungen 225 10.7. Zusammenfassung 228 11. Numerische Verfahren zur Eigenwertbestimmung 230 11.1. Allgemeine Bemerkungen zur numerischen Eigenwertbestimmung 230 11.2. Direkte Verfahren 231 11.2.1. Das Restgrößen verfahren... 231 11.3. Indirekte Verfahren 233 11.3.1. Die MiSES-Iteration 233 11.3.2. Die gebrochene Iteration... 237 11.3.3. RAYLEIGH- Quotient 239 11.3.4. Das JACOBI-Verfahren 243 11.4. Das RITZ-Verfahren 246 11.5. Zusammenfassung 249
10 Inhaltsverzeichnis 12. Matrizengleichungen 249 12.1. Lineare Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix 249 12.1.1. Allgemeine Bemerkungen... 249 12.1.2. Die Auflösung linearer Matrizengleichungen mit einer unbekannten Matrix 250 12.2. Matrizenfunktionen 252 12.2.1. Matrizenpolynome 252 12.2.2. Die Eigenwerte eines Matrizenpolynoms 257 12.2.3. Die Matrizenfunktionen e A, sin A und cos A 259 12.3. Matrizen und gewöhnliche Differentialgleichungen 263 12.3.1. Die Lösung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Hilfe von Matrizen 263 12.3.2. Übertragungsmatrizen 268 12.4. Zusammenfassung 273 13. Anwendung der Matrizen auf Probleme der Technischen Mechanik 274 13.1. Aufgabenstellung 275 13.2. Biegung des beliebig gestützten Balkens 276 13.2.1. Erläuterung des Grundgedankens für die Behandlung der Balkenbiegung mit Übertragungsmatrizen 276 13.2.2. Feldmatrix für die Balkenbiegung 277 13.2.3. Einführung von Bezugsgrößen zur Bildung der dimensionslosen Feldmatrix 283 13.2.4. Belastungsgrößen für die wichtigsten Belastungsfälle bei feldweise konstanter Biegesteifigkeit 285 13.2.5. Punktmatrix 286 13.2.6. Äußere Randbedingungen... 289 13.2.7. Innere Randbedingungen... 290 13.2.8. Erläuterung des Matrizenschemas 292 13.2.9. Beispiele aus der Statik 295 13.3. Die Behandlung von Schwingungsaufgaben 301 13.3.1. Biegeschwingungen 301 13.3.2. Die Übertragungsmatrizen des masselosen elastischen Stabes und einer Punktmasse. 303 13.3.3. 13.3.4. 13.3.5. 13.3.6. 13.4. 13.4.1. 13.4.2. 13.4.3. Die praktische Behandlung von Schwingungsaufgaben... 305 Die dimensionslose Übertragungsmatrix U t 307 Das Restgrößenverfahren... 308 Zwangsschwingungen des beliebig gestützten Balkens... 313 Methode der finiten Elemente. 316 Einleitung 316 Deformationsmethode und Steifigkeitsmatrix 317 Algorithmus und Beispiel... 319 14. Anwendung der Matrizen auf Probleme der Elektrotechnik... 321 14.1. Einleitung 321 14.2. Berechnung von Gleiehstromund Wechselstromnetzen 322 14.3. Anwendung von Matrizen in der Vierpoltheorie 333 15. Anwendung der Matrizen auf Probleme der Ökonomie 340 15.1. Einleitung 341 15.2. Problemstellung der linearen Optimierung 342 15.3. Formulierung des allgemeinen linearen Optimierungsproblems 345 15.4. Geometrische Deutung des Problems 347 15.4.1. Begriff der Erfüllungsmenge 347 15.4.2. Lineare Ungleichungssysteme in zwei und mehreren Variablen 348 15.5. Grafisches Lösungsverfahren. 350 15.6. Die Simplexmethode 351 15.6.1. Normalform des linearen Optimierungsproblems 351 15.6.2. Lösung des Beispiels ohne Verwendung der Simplexmethode 353 15.6.3. Lösung des Beispiels unter Verwendung der Simplexmethode 355 16. Aufgaben und Lösungen 362 Literatur- und Quellenverzeichnis 383 Sachwortverzeichnis 386