Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Universität der Bundeswehr München Einführung in die Mehrdimensionale Variationsrechnung (Vorlesungsskript) Univ. Prof. Dr. sc. math. Joachim Gwinner
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 2 3 Variationsprobleme von Mehrfachintegralen - notwendige Bedingungen Problemstellung, Voraussetzungen, Bezeichnungen Statt x [a, b]... x = (x 1, x 2,..., x m ) Gebiet R m Statt Punkt-Punkt-Problem... Problem mit vorgegebenen Randwerten: Gesucht ist eine Vektorfunktion y 0 mit den Komponenten y i = yi 0 (x 1,..., x m ), (i = 1,..., n), die auf dem Rand feste vorgegebene Werte annimmt und die das Integral I[y] = f(x, y, y ) dx zum (relativen) Minimum macht. Dabei bezeichnen x = (x 1,..., x m ); dx = dx 1 dx 2... dx m (m-fache Integration) y = (y 1,..., y n ) y = (y 1,1,..., y 1,m, y 2,1,..., y 2,m,..., y n,1,..., y n,m ) wobei y i, = y i ; i = 1,..., n; = 1,..., m Voraussetzung an : Normalgebiet (stückweise glatter Rand); es soll der Gaußsche Integral-Satz gelten: Für eine stetig differenzierbare Vektorfunktion Φ gilt div Φ(x) dx = Φ n do Dabei ist do das Oberflächenelement und n der Einheitsnormalenvektor, der fast überall auf dem Rand definiert ist und nach außen zeigt. Spezialisieren wir Φ = F C 1 () für eine skalare Funktion F und für einen fixierten Index, setzen Φ j = 0 für alle übrigen Indices j, dann erhalten wir folgende Formel der mehrdimensionalen partiellen Integration: F dx = F n do Dabei ist n = cos(n, x ) die Komponente in Richtung des Einheitsnormalenvektors n.
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 3 Naheliegend sind die folgenden Funktionenräume: C 1 ()... Vektorraum, der auf stetig differenzierbaren (Vektor-)Funktionen CS 1()... Vektorraum, der auf stetigen (Vektor-)Funktionen F, für die es eine Zerlegung von in endlich viele Normalgebiete k gibt, so daß F auf jedem k stetig differenzierbar (fortsetzbar auf den Rand) ist Normen auf C 1 (), bzw. CS 1 () bei beschränktem : Tschebyscheff-Norm: y 0 := max y(x), bzw. y 0 := max max y i (x), bei Vektorfunktionen y. x i=1,...,n x y 1 := y 0 + max { y,1 0,..., y,m 0 } bei (Vektor-) funktionen y in CS 1(). Dabei bezeichnet y, = y die partielle Ableitung. Bei Komponenten von Vektorfunktionen schreiben wir y i, = y i. Lebesgue-Norm: y L 2 = { y i (x) 2 dx} 1 2 i entsteht aus dem Skalarprodukt < y (1), y (2) > L 2= y (1) i y (2) i i dx Damit ist C()) ein Skalarproduktraum (Praehilbertraum) versehen mit diesem Skalarprodukt.. Durch Vervollständigung (Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen) entsteht der Raum L 2 (). Es ist L 2 () Sobolev-Norm: C() C 1 S () = C 1 (), aber C 1 () ist dicht in L 2 () y H 1 = { [ y i (x) 2 + [ y i, (x) 2 ] dx} 1 2 i entsteht aus dem Skalarprodukt < y (1), y (2) > H 1 = [y (1) i y (2) i i + y (1) i, y(2) i, ] dx Damit wird C 1 () zu einem Skalarproduktraum. Durch Vervollständigung entsteht der Sobolevraum H 1 ().
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 4 i.a.: H 1 () C k () falls k 1, aber C () dicht H 1 () Falls = (a, b), d.h.ein Intervall = 1 -dimensionales Gebiet, dann sind die H 1 Funktionen absolut stetig und fast überall differenzierbar. Bemerkung. Vollständigkeit, d.h. die Verwendung von Hilbert-Räumen ist wichtig bei Existenzfragen (Anwendung von Lax-Milgram und Verallgemeinerungen), auf die wir im folgenden aber nicht näher eingehen. Das Gateaux-Differential und die 1. notwendige Bedingung vgl. 1. Kapitel 4 IV Wir gehen aus von dem linear normierten Funktionenraum V = C 1 (), bzw C 1 S (). Bedingungen an zur Konkurrenz zugelassenen Funktionen y V : y = g (vorgegebene Funktion); weiterhin c i (x) < y i (x) < d i (x) (c i, d i vorgegebene Funktionen) auf und definieren so eine Teilmenge U V. Ansatz von Lagrange: y = y 0 + ε η mit Testfunktion η Raum der Testfunktionen η (mit η = 0) ist Teilraum W V ; U ist W offen. Unabhängig von der Normierung liefert Satz 1 aus 4 DI(y 0, η) = 0 für alle η W als notwendige Bedingung dafür, daß y 0 ein relatives Minimum für I erzeugt. Sei im folgenden f mindestens C 2. Dann können wir zu I(ε) = f(x, yi 0 (x) + ε η i (x), yi,(x) 0 + ε η i, (x)) dx DI(y 0, η) berechnen : di(ε) dε ε=0 = { n [fy 0 i (x) η i (x) + i m fy 0 i, (x) η i, (x)]} dx
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 5 Also 1. notwendige Bedingung für ein relatives Minimum ( ) { n [fy 0 i (x) η i (x) + i=1 für alle η W. Dabei ist fy 0 i (x) = f y i (x, y 0 (x), y 0 (x)) f 0 y i,(x) = m fy 0 i,(x) η i, (x)]} dx = 0 =1 f y i, (x, y 0 1(x),..., y 0 n(x), y 0 1,1(x),..., y 0 n,m(x)) η i, (x) = η i (x) In dieser notwendigen Bedingung stören die η i,! Das Fundamentallemma und die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen Hilfssatz 3.1 (FL) Sei R m ein Normalgebiet, F C(). Es gelte F (x) h(x) dx = 0 für alle h C 1 () mit h = 0. Dann ist F 0 in. Beweis indirekt. Annahme: x 0 : F (x 0 ) 0 Wegen Stetigkeit können wir annehmen o.b.d.a., daß x 0. Es sei F (x 0 ) > 0. Wegen Stetigkeit gibt es abgeschlossenen Ball B(x 0, ρ), in dem F (x) > 0 ist. Konstruiere eine Funktion h C 1 () so, dass h > 0 in B(x 0 0, ϱ), = 0 sonst, damit wird h = 0. Eine solche Funktion h ist zum Beispiel die Glockenfunktion 0 für x x 0 ϱ h(x) = exp x x 0 2 x x 0 2 ϱ 2 für x x 0 < ϱ
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 6 Dabei bezeichnet die euklidische Norm. Darum wird F h > 0 Widerspruch! q.e.d. Sei die Menge U der zur Konkurrenz zugelassenen Funktionen enthalten in C 1 (). Betrachte in ( ) fy 0 i, (x) η i, (x) = (fy 0 x i, (x) η i (x)) (fy 0 x i, (x)) η i (x) Andererseits mit Gaußschem Integral-Satz (fy 0 x i, (x) η i (x)) dx = yi,(x) 0 η i (x) n do = 0 Somit schreibt sich ( ) F L n {fy 0 i (x) i=1 f 0 y i (x) m =1 m =1 f 0 y i, (x)} η i (x) dx = 0 f 0 y i, (x) = 0 (i = 1,..., n). Dies sind die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen Lösungen y 0 mit Komponenten y i = y 0 i (x) heißen wieder Extremalen. Das Haarsche Lemma (anstelle des Lemmas von Du Bois-Reymond) Zu p [1, ) definiert man bekanntlich die Lebesgue-Normen für (Vektor-) Funktionen auf einem Gebiet R m und den Funktionenraum f L p := f(x) p dx L p () := {f : R, bzw. R n messbar mit f L P < + } 1/P
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 7 Im folgenden der Fall p = 1, also der Raum der summierbaren Funktionen auf. Aus der Maßtheorie und der Theorie der reellen Funktionen benötigen wir (siehe zum Beispiel I.P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Akademie-Verlag. 1961) Lemma 3.1 (L1) (Satz von Fubini) Sei beschränktes Gebiet R m, I = (c, d) beschränktes Intervall R. Sei G L 1 ( ) auf dem Gebiet = I. Dann gilt a) Für fast alle x I, d.h. für alle x I 1 I, wobei Lebesguessches Mass λ(i 1 ) = λ(i) = d c, ist die durch x G(x, x ) definierte Funktion G(x, x ) L 1 () b) Die durch G(x, x ) dx für x I 1 g(x ) = beliebig sonst in I definierte Funktion g L 1 (I). c) Es gilt G(x, x ) dx dx = d c g(x ) dx Integral über Produktmenge = iteriertes Integral Lemma 3.2 (L2) Ist ϕ L 1 (0, R), so ist die durch r (0, R) ψ(r) = r 0 ϕ(t) dt definierte Funktion ψ stetig, fast überall (f.ü.) in [0, R] differenzierbar und ψ (r) = ϕ(r). Lemma 3.3 (HS) (Haarsches Lemma) Seien A ( = 1,..., m), B C S () [allgemeiner: L 1 ()] und es gelte { m } A (x) h (x) + B(x) h(x) dx = 0 =1
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 8 für alle Funktionen h CS 1() mit h = 0. Dann ist für beliebige x 0 und fast alle ϱ > 0 mit K(x 0, ϱ) A n do = B dx. K(x 0,ϱ) K(x 0,ϱ) Beweis Wähle aus eine beliebige Kugel K(x 0, R) aus, setze mit r = x x 0 (Euklidische Länge) und Parametern ϱ, ϱ mit R ϱ > ϱ > 0 speziell für h die Funktion 0 für r ϱ h(x) = ϱ r für ϱ r ϱ ϱ ϱ für ϱ > r 0 in obige Voraussetzung ein. Mit der Bezeichnung (x 0, ϱ, ϱ ) = K(x 0, ϱ )\ K(x 0, ϱ) erhalten wir hieraus (Beachte partielle Ableitung h = 0 außerhalb von!) ( ) K(x 0,ϱ) Bh dx + (x 0,ϱ,ϱ ) B h dx + (x 0,ϱ,ϱ ) A h dx = 0 Einführung von Kugelkoordinaten zum Koordinatenursprung x 0 mit Koordinaten x 0 und n = cos(n, x ) = x x 0 r Wir schreiben h(x) = h(r, ϕ 1,..., ϕ m 1 ). Dann ist h, = h = h r r = h r r h wegen = 0 für alle λ = 1,..., m 1. Es ist ϕ λ r 2 = m (x x 0 ) 2, also r = 1 r (x x 0 ), folglich =1 h, = h r 1 r (x x 0 ) = h r cos(n, x ) (= h r n )
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 9 Bezüglich der Kugelkoordinaten wird K(x 0, ϱ) = (0, ϱ) mit Einheitssphäre = {x IR m x x 0 = 1}, dx = r m 1 d dr mit Oberflächenelement d auf Mit L1 wird aus ϱ (ϱ ϱ)b r m 1 d dr + ϱ (ϱ r) B r m 1 d dr 0 ϱ ϱ A cos(n, x ) r m 1 d dr = 0 ϱ Mit L2 liefert die Differentiation nach ϱ für fast alle ϱ 0 = (ϱ ϱ) B ϱ m 1 d ϱ B r m 1 d dr (ϱ ϱ) B ϱ m 1 d + A 0 cos(n, x ) ϱ m 1 d Rücktransformiert ergibt dies B dx = A n do q.e.d. K(x 0,ϕ) K(x 0,ϱ) Die Euler-Lagrangeschen Gleichungen in Integralform Wende auf ( ) das Lemma von Haar an für und erhalte m =1 K(x 0,ϱ) η i CS(), 1 A = fy 0 i,, B = fy 0 i fy 0 i, n do = fy 0 i dx (i = 1,..., n) K(x 0,ϱ)
ME Variationsrechnung und Optimale Steuerung FT 2013 10 Dies sind die Euler-Lagrangeschen Gleichungen in Integralform. Wiederum läßt sich hieraus für glatte y 0 C 1 () die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen herleiten, denn dann ist A = fy 0 i, C 1 () und B = fy 0 i C() Mit dem Gaußschen Integralsatz, d.h. genauer mit partieller Integration folgt nämlich aus der Aussage des Haarschen Lemmas K(x 0,ϱ) A dx = K(x 0,ϱ) B dx Division durch das Volumen von K(x 0, ϱ), Anwendung des Mittelwertsatzes, Grenzübergang ϱ 0 liefert So erhalten wir A (x 0 ) = div A(x 0 ) = B(x 0 ) für beliebige x 0. Satz 3.1 Dafür, daß y 0 unter den Vergleichsfunktionen y CS 1 () ein relatives Minimum für das Funktional I[y] = f(x, y, y ) dx erzeugt, ist notwendig, daß für fast alle Kugeln K(x 0, ϱ) die Euler- Lagrangeschen Gleichungen in Integralform gelten. Auf allen glatten Stücken sind notwendig die Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen erfüllt. Spezialfall n = 1, m = 2; u := y 1, x = x 1, y = x 2 ; Oberflächenelement do = Bogenelement ds Tangentenvektor t = ( dx, ) ( dy ds ds, Normalenvektor n = dy, ) dx ds ds Euler-Lagrangeschen Gleichungen in Integralform für Kreise K = K(x 0 y 0, ϱ) und deren Rand K fu 0 dx dy = {fu,x 0 dy fu,y 0 dx}. K K