6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen Intervllen zwei mögliche ypen uneigentlicher Integrle Definition 6.4. (i) Sei f() uf D(f) (, b] definiert und uf jedem eilintervll [ +, b], >, integrierbr. Dnn setzt mn b f() d b + f() d, flls der Grenzwert eistiert und endlich ist. Dieser Wert heißt uneigentliches (Riemnnsches) Integrl. (ii) Sei f() uf D(f) [, b) definiert und uf jedem eilintervll [, b ], >, integrierbr. Dnn setzt mn b f() d b f() d, flls der Grenzwert eistiert und endlich ist. Dieser Wert heißt uneigentliches (Riemnnsches) Integrl. (iii) Sei g() uf D(g) [, ) definiert und uf jedem eilintervll [, ], >, integrierbr. Dnn setzt mn g() d g() d, flls der Grenzwert eistiert und endlich ist. Dieser Wert heißt uneigentliches (Riemnnsches) Integrl. (iv) Sei g() uf D(g) (, b] definiert und uf jedem eilintervll [, b], < b, integrierbr. Dnn setzt mn b g() d b g() d, flls der Grenzwert eistiert und endlich ist. Dieser Wert heißt uneigentliches (Riemnnsches) Integrl. Beispiele : () f() α, D(f) (, ], α < (für α stetig durch Stz 6..5 bgedeckt) α+ ( α d α + α+ ), α α + ln ln, α Es gilt α+, α + >, α + <, ln α d eistiert α >, α d α +, α >
4 6 Integrtion Beispiele : () f(), D(f) [, ) + d + rctn rctn d + (eistiert) nlog : d + (3) sin d cos cos e. nicht sin d eistiert nicht (4) sin d, sin sin stetig bei, : n, n N: n sin sin sin sin d d + d + + d (n) I I + ± I n n I k k (k) sin d, k N I k+ < I k, und I k (k ) k Stz 3.. Leibniz-Krit. n n () k+ I k k sin d eistiert (es gilt: sin d ) Lemm 6.4. Seien f, g, und h mit D(f) D(g) D(h) [, ) uf [, ] integrierbr für lle >, es gelte f() g(), [, ). (i) Ist g() d konvergent, so konvergiert uch (ii) Ist f() d divergent, so uch g() d. (iii) Flls h() d eistiert für lle >, so uch f() d; dbei ist h() d, es gilt f() d g() d. h() d h() d. Bemerkung : vgl. Stz 3..5 (Mjorntenkriterium für Reihen)
6.4 Uneigentliche Integrle 5 Beispiele : () cos d : cos, d cos d konv. cos d konv. (b) sin e d : sin e e, sin e d e d konv. e d ( e ) sin e d konv. (c) (d) sin sin d : d : sin sin d prt. Int. d sin sin sin cos d d cos sin, div. cos() cos cos d d eistiert nch () sin d d d div. div. sin d cos() konv. d konv., wie (c) Stz 6.4.3 (Integrlkriterium für Reihen) Gegeben sei eine unendliche Reihe mit n >, durch die mittels h() : n, [n, n), n n n N, eine Funktion h uf [, ) definiert wird. Weiterhin seien f und g uf [, ) gegeben mit f() h() g(), [, ). (i) Ist g() d konvergent, so konvergiert uch n n, es gilt n n g() d. (ii) Ist f() d divergent, so divergiert uch n n. B e w e i s : folgt sofort us Lemm 6.4., d n n h() d j j g() h() nch Konstruktion gilt f() j j j+
6 6 Integrtion Beispiel : n n ν : suchen geeignete Vergleichsfunktionen f(), g(), D(f) D(g) [, ) [n, n) f() : ( + ) ν n ν < ν, n N, g() : ( + ) ν g() d +, < ν, < (um zusätzlichen Pol bei zu vermeiden) d ν + ν ν..8.6.4. ν ν < für ν > 4 6 8 f() d Stz 6.4.3 (i) n d ( + ) ν n ν konvergent für ν > ( + ) ν ν, ν ln ( + ), ν für ν Stz 6.4.3 (ii) n n ν divergent für ν Die Γ Funktion Definition 6.4.4 Für > wird die Γ Funktion Γ() definiert durch Γ() : e t t. Γ() wird durch ein konvergentes uneigentliches Integrl definiert (d.h. Definition ist sinnvoll): e t t zu I : uneigentlich nur für < < : zu I : Γ() < t e t e t t t, sei > beliebig, t e t t e t e t c e t t e t t :I t, e t t konvergent für lle > + t e t t :I e. für > I konvergent e t e I konvergent
6.4 Uneigentliche Integrle 7 Stz 6.4.5 Γ() ist eine beliebig oft differenzierbre, konvee, positive Funktion uf (, ). Außerdem gilt: Γ(), Γ(), Γ() Γ( + ), >, Γ(n) (n )!, n N. B e w e i s : zeigen nur Γ( + ) Γ() Γ( + ) prt. Int. e t t e + e t t + e t t e t t + e t t e t t + e t t + + e + e t t Γ() e t t Γ(n) (n ) Γ(n ) (n )! Γ() (n )! Γ() Γ() Stz 5.3.4 MWS, Stz von Rolle Γ () streng monoton wchsend, d.h. e t (n )!, n N (, ) : Γ ( ) (, 466..., Γ( ), 8856... ) Γ () <, < < >, < < Γ() streng monoton fllend, < < wchsend, < < 5 5 5 3 4 5 Γ(), < 5