4.3 Parabolische Gleichungen 120 121 [Moi01] P. Moin. Fundamentals of Engineering Numerical Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, Cambridge, 2001. [Sch99] M. Schäfer. Numerik im Maschinenbau. Springer, Berlin, 1999. [TAP97] J. C. Tannehill, D. A. Anderson, and R. H. Pletcher. Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer. Taylor & Francis, Washington, London, 2 nd edition, 1997. [Wes92] P. Wesseling. An Introduction to Multigrid Methods. Wiley, Chichester, 1992. [Wes01] P. Wesseling. Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer, Berlin, 2001. Kapitel 5 Berechnung inkompressibler Strömungen Oft wird bei der Berechnung von Strömungen Inkompressibilität angenommen, d. h. die Dichte ρ jedes materiellen Fluidpartikels bleibt im Verlauf der Strömung konstant, so dass für das Dichtefeld ρ(x, t) in der Eulerschen Betrachtungsweise gilt Dρ Dt ρ + u ρ = 0. (5.1) Zu beachten ist die Tatsache, dass die Dichte ρ(x, t) nicht konstant sein muss. Die Inkompressibilität ist eine Eigenschaft der Strömung und nicht des Fluids. Ob die Kompressibilität berücksichtigt werden muss, hängt von der Machzahl Ma = u/a (mit der Strömungsgeschwindigkeit u und der Schallgeschwindigkeit a) ab. Bei einer Machzahl von Ma 2 1 kann man die Strömung als inkompressibel betrachten. In der Praxis setzt man oft den Grenzwert bei Ma 0.3 an (für Luft also u 100m/s oder 360km/h). Aus der Kontinuitätsgleichung ρ/ + u ρ + ρdiv u = 0 und (5.1) folgt die Bedingung der Divergenzfreiheit u = 0, (5.2) das Strömungsfeld ist quellenfrei. In dieser Gleichung ist die Zeitableitung von ρ entfallen. Das System der Erhaltungsgleichungen ändert gegenüber dem kompressiblen Fall seine Natur und erfordert eine besondere Behandlung. 5.1 Grundgleichungen in primitiven Variablen Die Navier-Stokes-Gleichung reduziert sich unter der zusätzlichen Annahme ρ = const., welche wir im Folgenden treffen wollen, auf u + (u )u = P + ν u, (5.3)
5.2 Druckprojektion 122 123 5 Berechnung inkompressibler Strömungen mit der Abkürzung (im Folgenden ebenfalls als Druck bezeichnet) P := p/ρ. Die Kontinuitätsgleichung (5.2) und die Navier-Stokes-Gleichung (5.3) seien auf dem Bereich G mit Rand- und Anfangsbedingungen zu lösen, u = g, (5.4a) u(x,t = 0) = u 0 (x). (5.4b) Die Gleichungen haben im instationären Fall parabolischen und im stationären Fall ( u/ = 0) elliptischen Charakter. Die besondere Schwierigkeit bei der numerischen Lösung der Grundgleichungen besteht in der Erfüllung der Divergenzfreiheit, u = 0, und damit gekoppelt der Berechnung des Druckes P. Die Kontinuitätsgleichung enthält keine Zeitableitung, sondern stellt eine Nebenbedingung dar, unter der sich das Geschwindigkeitsfeld in der Zeit entwickelt. Diese wird dadurch erfüllt, dass sich der Druck P in jedem Moment so anpasst, dass die Lösung von (5.3) auch (5.2) erfüllt. 5.2 Druckprojektion Für das Verständnis der Problematik der Druckberechnung ist eine geometrische bzw. funktional-analytische Interpretation nützlich. Dazu sei zunächst daran erinnert, dass jedes auf G definierte Vektorfeld w gemäss Helmholtz additiv zerlegt werden kann in einen quellenfreien Anteil v und einen wirbelfreien Anteil φ, w = v + φ, (5.5) wobei div v = 0 ist und z.b. n v = 0 gewählt werden kann (die Helmholtz- Komponente v ist also parallel zum Rand von G). Wir finden bei gegebenem Vektorfeld w die Helmholtz-Komponenten v und φ, indem wir die Divergenz von Gleichung (5.5) berechnen div w = div v =0 + div φ div grad φ φ Wir erhalten also als Bestimmungsgleichung für φ. (5.6) φ = div w in G (5.7) n φ = n w. (5.8) Die Lösung φ von (5.7), (5.8) ist eindeutig bis auf eine additive Konstante. Nach der Berechnung von φ kann v aus Gleichung (5.5) bestimmt werden. Die Helmholtzzerlegung kann folgendermassen geometrisch interpretiert werden. Die Funktionen f und g seien in G definiert und integrierbar. Das Skalarprodukt (f,g) auf dem Raum vektorwertiger Funktionen sei definiert als (f,g) := f g dv. (5.9) G Durch Berechnung des Skalarprodukts (v, φ) = v φdv = G G φ div v dv = 0 (5.10) 0 erschliesst sich die geometrische Interpretation der Helmholtz-Zerlegung: v und φ sind orthogonal (siehe Abbildung 5.1). φ wirbelfreier Anteil v w quellenfreier Anteil Abbildung 5.1: Geometrische Interpretation der Helmholtz-Zerlegung eines Vektorfelds w als Projektion im Funktionenraum Die Helmholtz-Komponente v entspricht also der Projektion P des Vektorfelds w auf den Unterraum der divergenzfreien Funktionen mit verschwindender Normalkomponente auf dem Rand, Pw := v. (5.11) Damit ergibt sich die Bedeutung des Druckfeldes in der Navier-Stokes- Gleichung (5.3), umgeschrieben gemäss u v + P = (u )u + ν u φ w. (5.12)
5.3 Lösungsmethoden in primitiven Variablen 124 125 5 Berechnung inkompressibler Strömungen Wegen (5.2) und der Vertauschbarkeit der Ableitungen ist auch u/ quellenfrei und parallel zum Rand, und die zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfeldes u erfolgt im divergenzfreien Unterraum. Sie ergibt sich also durch Anwendung des Projektionsoperators P auf den Ausdruck (u )u + ν u u = P( (u )u + ν u), (5.13) womit der Druck P formal aus Gleichung (5.12) eliminiert ist. In der Praxis muss jedoch die Projektion P gerade mittels der Druckberechnung realisiert werden. Durch Anwendung des Divergenzoperators auf Gleichung (5.12) erhält man eine Poisson-Gleichung, also eine Gleichung vom elliptischen Typ, für den Druck P P = div ( (u ) u + ν u), (5.14) aus der man bei bekanntem u den Druck berechnen kann, wenn man Randbedingungen für den Druck kennt. 5.3 Lösungsmethoden in primitiven Variablen Im Laufe der Zeit wurden die verschiedensten Vorgehensweisen zur Lösung der gekoppelten Druck-Geschwindigkeits-Gleichungen entwickelt (siehe Literaturangaben am Ende des Kapitels), von denen wir hier nur wenige skizzieren. Die Spannweite reicht von der direkten Lösung des gekoppelten Systems in jedem Zeitschritt bis hin zu geschachtelten iterativen Verfahren mit allerlei Approximationen und Massnahmen zur Verbesserung der Konvergenz. Dabei wird jeweils für den Druck P eine elliptische Gleichung vom Typ der Poisson-Gleichung aufgestellt, die mit je nach Verfahren unterschiedlichen Randbedingungen direkt oder näherungsweise iterativ gelöst wird. Besondere Beachtung erfordert auch die Variablenanordnung in Bezug auf das diskrete Gitter. Verwendet man zentrale Differenzen in der Kontinuitätsgleichung und sind Druck und Geschwindigkeit in denselben Punkten diskretisiert (colocated grid), so können im diskreten Druckfeld unphysikalische, kurzwellige Oszillationen entstehen, die (in 2D) einem Schachbrettmuster entsprechen. Dieses Problem lässt sich vermeiden, indem man entweder die Gitterpunkte für den Druck auf einem in jede Raumrichtung um eine halbe Schrittweite versetzten Gitter (staggered grid) anordnet, oder durch andere Massnahmen wie geeignete Interpolationen. 5.3.1 Volldiskretisierte Gleichungen Um das Vorgehen bei Verwendung der u-p-gleichungen exemplarisch zu erläutern, diskretisieren wir die Navier-Stokes-Gleichung (5.3) auch räumlich. Dabei werden die Operatoren und durch diskretisierte Operatoren N und N = N N ersetzt. Gegebenenfalls sind dabei verschiedene Operatoren div N und grad N zu verwenden, N = div N grad N. Die Zeitintegration für die advektiven (nichtlinearen) Terme sei hier der Einfachheit der Darstellung halber mit dem expliziten Euler-Verfahren vorgenommen (nicht für die Praxis empfohlen, kann allerdings als Runge-Kutta-Unterschritt angesehen werden). Die diffusiven (viskosen) Terme werden mit dem verallgemeinerten Crank- Nicholson-Verfahren (Parameter θ) diskretisiert, um die restriktiven Zeitschrittbeschränkungen expliziter Verfahren bei kleinen Reynoldszahlen (grossem ν) zu umgehen. Der Druck P wird ebenfalls implizit (z. B. mit dem Euler-Verfahren) diskretisiert. Die voll diskretisierte Kontinuitäts- und Navier-Stokes-Gleichung ergibt sich demnach zu und N u n+1 = 0 (5.15) u n+1 u n = (u n N ) u n N P n+1 +ν { (1 θ) N u n + θ N u n+1} t (5.16) u n+1 = g. (5.17) Zur Herleitung einer Bestimmungsgleichung für den Druck P n+1 bildet man die Divergenz der diskretisierten Navier-Stokes-Gleichung (5.16), d.h. N (5.16), und erhält die Gleichung N P n+1 = 1 t ( N u n ) + ν(1 θ) N ( N u n ) N {(u n N ) u n }. 0 falls exakt N u n 0 (5.18) Die ersten beiden Terme auf der rechten Seite von Gleichung (5.18) verschwinden, wenn die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes u n zum alten Zeitschritt
5.3 Lösungsmethoden in primitiven Variablen 126 127 5 Berechnung inkompressibler Strömungen exakt null ist. Da allerdings die Divergenzfreiheit nur bis auf numerische Genauigkeit erfüllt ist, empfiehlt es sich, diese Terme mitzuführen, um ein zeitliches Anwachsen der Divergenzfehler zu vermeiden. Man beachte, dass die Operatoren diskret formuliert sind, so dass die Divergenz diskret ausgewertet verschwindet. Gleichung (5.18) ist eine Poisson-Gleichung für P n+1 und somit vom elliptischen Typ. Daher benötigt sie eine Randbedingung auf jedem Randpunkt. P n+1 muss so bestimmt werden, dass N u n+1 = 0 ist. Die Randbedingung stellt die einzige Kopplung zwischen dem Geschwindigkeitsfeld u n+1 und dem Druck P n+1 dar. Die Poisson-Gleichung (5.18) selbst ist entkoppelt von u n+1. Man erhält folgendes Gleichungssystem, bestehend aus einer Helmholtzgleichung für jede Geschwindigkeitskomponente und einer Poisson-Gleichung für P, das gelöst werden muss: Impulsgleichung (Helmholtzgleichung für u n+1 ) mit θν N u n+1 1 t un+1 N P n+1 = r r = 1 t un + (u n N ) u n ν(1 θ) N u n und der Randbedingung (5.19a) (5.19b) u n+1 = g. (5.19c) Poisson-Gleichung für den Druck N P n+1 = N r (5.20a) P n+1 derart, dass N u n+1 = 0. (5.20b) Die Kopplung zwischen P n+1 und u n+1 aufgrund der Randbedingung (5.20b) für die Poisson-Gleichung für den Druck P n+1 kann z.b. mit der Einflussmatrixmethode oder der Zwischenschritt-Methode behandelt werden. Mit letzterer verwandt sind die Druckkorrektur-Methoden. 5.3.2 Einflussmatrix-Methode Aus dem linearen Zusammenhang zwischen P n+1 und N u n+1 kann eine Bedingung für P n+1 hergeleitet werden. Dadurch ist es möglich, das Gleichungssystem für P n+1 und die drei Komponenten u n+1 i entkoppelt sequentiell zu lösen. Die Einflussmatrixmethode stellt eine exakte Lösung der Kopplungsbedingung dar und garantiert numerisch exakte Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes u n+1 (siehe [CHQZ06, DFM02] unter Influence Matrix Method ). Dementsprechend wird sie mit grossem Erfolg in Forschungscodes mit Diskretisierungen hoher Ordnung eingesetzt. Sie ist in ein- oder zweidimensionalen Problemen leicht anzuwenden, wird aber im Dreidimensionalen sehr aufwendig. 5.3.3 Zwischenschritt-Methode Bei der Zwischenschritt-Methode (fractional step method) wird Gl. (5.16) aufgespalten in folgende Teilschritte, wobei u eine Zwischenlösung bezeichnet, die den Druck nicht berücksichtigt und nicht divergenzfrei ist, (1) (2) u u n = (u n N ) u n + ν {(1 θ) N u n + θ N u } (5.21a) t u = g (5.21b) u n+1 u = N P n+1. (5.22) t Aus N (5.22) folgt mit der Bedingung, dass N u n+1 = 0 sein soll, die Poisson-Gleichung für den Druck N P n+1 = 1 t N u. (5.23a) Des weiteren erhält man als Randbedingung der Poisson-Gleichung aus (5.22) multipliziert mit dem Normalenvektor n auf zusammen mit den Randbedingungen (5.21b) und (5.17) die Neumann-Randbedingung n N P n+1 = 0. (5.23b)
5.3 Lösungsmethoden in primitiven Variablen 128 129 5 Berechnung inkompressibler Strömungen Für die Zeitintegration t n t n+1 wird zuerst Gl. (5.21a) mit (5.21b) gelöst. Offensichtlich ist im allgemeinen N u 0. Danach wird Gl. (5.23a) mit (5.23b) für den Druck P n+1 gelöst, welcher zur Berechnung von u n+1 nach Gl. (5.22) benötigt wird. Die Tangentialkomponenten der Randbedingung (5.17) für u n+1 werden bei dieser Methode allerdings nicht exakt erfüllt. Die Randbedingung (5.17) kann aber mit der Genauigkeit O( t) erfüllt werden, indem man (5.21b) ersetzt durch u = g + t N P n. (5.24) Man beachte, dass dann die Richtung n normal zu aufgrund (5.23b) identisch behandelt wird wie bei Verwendung von (5.21b). Für die Randbedingungen in den Richtungen s parallel zu gilt jedoch s u n+1 = sg+ O( t). Auch Korrekturen höherer Ordnung in t sind möglich [DFM02]. 5.3.4 Druckkorrektur-Methoden Nahe verwandt mit der Zwischenschritt-Methode sind die verschiedenen Druckkorrektur-Methoden [VM95, FP02, Sch99, Wes01]. Dabei wird in einem ersten Schritt (entsprechend (5.21a)) bereits der Druck P n berücksichtigt und danach noch eine Korrektur δp = P n+1 P n berechnet. Die bekannteste ist das sogenannte SIMPLE-Verfahren (semi-implicit method for pressure-linked equations), zu der zahlreiche Varianten (z.b. SIMPLER, PISO) entwickelt wurden, die oft eng verwoben sind mit speziellen Diskretisierungsverfahren. Sie sind in kommerziellen CFD-Codes weit verbreitet, da sie anpassungsfähig und bei geeigneter Anwendung (ggf. mit Unterrelaxation) auch effizient sind. Gemeinsam ist diesen Verfahren eine iterative Lösung der gekoppelten Gleichungen für u n+1 und P n+1, wobei nach den Differenzen der Lösung in aufeinanderfolgenden Iterationsstufen ( Korrekturen ) aufgelöst wird. Die diskreten Gleichungen werden durch Linearisierung und vereinfachende Approximationen so modifiziert, dass sie relativ einfach sequentiell iterativ gelöst werden können. Um Konvergenz zu erreichen, ist beim SIMPLE-Verfahren eine Unterrelaxation nötig. Für nähere Einzelheiten muss hier auf die genannte Literatur verwiesen werden. 5.3.5 Methode der künstlichen Kompressibilität Bei der Methode der künstlichen Kompressibilität wird die in (5.2) verloren gegangene Zeitableitung wieder künstlich eingeführt. Die Kontinuitätsglei- chung (5.2) wird ersetzt durch 1 P β 2 + u = 0. (5.25) Hierbei ist β ein freier Parameter, der eine Pseudo-Schallgeschwindigkeit repräsentiert. Zum Vergleich folgt aus der Isentropiebedingung für kompressible Strömungen 1 1 Dp a 2 + u = 0, (5.26) ρ Dt wobei a die Schallgeschwindigkeit und p = ρp ist. Während die bisher besprochenen Methoden für instationäre Strömungen konzipiert sind, ist die Methode der künstlichen Kompressibilität nur geeignet zur Berechnung stationärer inkompressibler Strömungen, welche nach Abklingen der zeitlichen Transienten asymptotisch erreicht werden. Dort verschwindet die Zeitableitung des Druckes in (5.25) und die Kontinuitätsgleichung (5.2) wird erfüllt. Das transiente Verhalten in der Zeit bis zum Erreichen der stationären Lösung ist allerdings unphysikalisch. Das Verfahren ist wegen der Einführung der künstlichen Zeitableitung des Druckes in der Kontinuitätsgleichung nicht zeitgenau und daher nicht anwendbar für instationäre Probleme. Die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes gemäss der Kontinuitätsgleichung (5.2) entspricht Gleichung (5.25), falls β. Aus diesem Grund muss β sehr gross gewählt werden. Die Wahl des Parameters β hat allerdings starken Einfluss auf die Stabilität und das Konvergenzverhalten des Verfahrens. Durch Ersetzen der Gl. (5.2) durch (5.25) wird das System hyberbolisch und kann mit einem entsprechenden Verfahren gelöst werden [Hir90]. 5.4 Alternative Formulierungen der Bewegungsgleichung Die störende Sonderrolle des Drucks bei der Lösung der Impulsgleichung (5.3) hat zu alternativen Formulierungen der Bewegungsgleichung geführt, in denen der Druck eliminiert ist. 5.4.1 Wirbelstärke-Vektorpotential-Formulierung Durch Verwendung der Variablen Wirbelstärke ω = rot u = u (5.27)
5.4 Alternative Formulierungen der Bewegungsgleichung 130 131 5 Berechnung inkompressibler Strömungen und Vektorpotential ψ mit u = rot Ψ = Ψ (5.28) (in 2D: Stromfunktion Ψ(x,y), Ψ = Ψ e z ) anstelle der primitiven Variablen u und p tritt der Druck p nicht mehr in den entsprechenden Transportgleichungen auf. Aus Gl. (5.28) folgt wegen ( a) 0 für beliebige Vektoren a, dass das Geschwindigkeitsfeld u automatisch die Kontinuitätsgleichung (5.2) erfüllt. Für das Vektorpotential ergibt sich die folgende Poisson-Gleichung Ψ = ω. (5.29) (Anmerkung: Für zweidimensionale Probleme ergibt sich (5.29) durch Einsetzen von (5.28) in (5.27). Bei dreidimensionalen Problemen beachtet man, dass ( Ψ ) = ( Ψ ) Ψ. Zu Ψ kann jedoch ein beliebiges Gradientenfeld Φ addiert werden, wobei Gl. (5.28) aufgrund ( Φ) = 0 weiterhin gilt. Das Gradientenfeld Φ wird so bestimmt, dass Ψ = Ψ + Φ divergenzfrei ist, d. h. Ψ = Ψ + Φ = 0, woraus Gl. (5.29) folgt.) Die für die Zeitintegration entscheidende Transportgleichung ist die Wirbeltransportgleichung, die man aus (5.3) mit (5.2) zu ω + (u ) ω (ω ) u = ν ω (5.30) erhält. Für zweidimensionale Probleme verschwindet der Wirbelstreckungs- Term (ω ) u in (5.30). Gleichungen (5.28) (5.30) bilden das Gleichungssystem, mit dem die inkompressible Strömung beschrieben wird. Die Randbedingungen an festen Wänden sind gegeben durch Ψ n = Ψ s = 0 (5.31) und ω n = 0. (5.32) Die Komponenten von ω parallel zu enthalten nur Geschwindigkeitsableitungen normal zu und sind im Allgemeinen nicht bekannt, sondern müssen gemäss ihrer Definition numerisch diskretisiert werden. Die Berechnung zweidimensionaler Probleme mit der Wirbelstärke- Vektorpotential-Formulierung, respektive Wirbelstärke-Stromfunktions- Formulierung, ist besonders effektiv und deshalb weit verbreitet, da sie nur die zwei skalaren Variablen ω = ω e z und Ψ = Ψ e z benötigt. Für dreidimensionale Probleme müssen jedoch insgesamt 6 Gleichungen für alle Komponenten von ω und Ψ gelöst werden, weswegen diese Formulierung aufwendiger ist als Methoden basierend auf den primitiven Variablen. 5.4.2 Wirbelstärke-Geschwindigkeits-Formulierung Eine weitere Möglichkeit für die Berechnung inkompressibler Strömungen ist die Verwendung der Variablen Wirbelstärke ω und Geschwindigkeit u anstelle des Vektorpotentials aus Kap. 5.4.1. Ebenso wie bei der Wirbelstärke-Vektorpotential-Formulierung wird die Wirbeltransportgleichung (5.30) mit (5.27) verwendet. Aus Gl. (5.27) und (5.2) ergibt sich u = ω (5.33) mit den Randbedingungen (5.4a) und (5.32). Auch hier begegnet man dem bereits genannten Problem der i. A. unbekannten Randbedingungen für die Tangentialkomponente der Wirbelstärke, das wieder nur durch direkte numerische Diskretisierung behandelt werden kann. Diesem prinzipiellen Kopplungsproblem kann man mit keiner Formulierung entrinnen. Referenzen [CHQZ06] C. Canuto, M. Y. Hussaini, A. Quarteroni, and T. A. Zang. Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains. Springer, Berlin, Germany, 2006. [DFM02] [FP02] [Hir90] M. O. Deville, P. F. Fischer, and E. H. Mund. High-Order Methods for Incompressible Fluid Flow. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. J. H. Ferziger and M. Peric. Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer, Berlin, 2002. C. Hirsch. Numerical Computation of Internal and External Flows. 1990. Vol. 1,2.