Vorlesung Geometrie für Lehramt Gymnasium, Wintersemester 4/5 Lösungen zu Übungsblatt Aufgabe. ( Punkte Beweisen Sie: Jeder reguläre Weg besitzt eine orientierungsumkehrende Parametrisierung nach der Bogenlänge. Lösung zu. Es sei c : R n ein regulärer Weg. Weil ein ntervall mit nichtleerem nneren ist, ist auch = { t R t ein ntervall mit nichtleerem nneren. Die durch ψ(t := t gegebene Abbildung ψ: ist bijektiv und glatt und erfüllt ψ =, ist also ein orientierungsumkehrender Diffeomorphismus. nsbesondere ist c ψ: R n ein regulärer Weg. Nach Lemma.4.9 aus der Vorlesung besitzt jeder reguläre Weg, also auch c ψ: R n, eine orientierungserhaltende Umparametrisierung nach der Bogenlänge. Es gibt daher einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus ϕ: J, so dass c ψ ϕ nach der Bogenlänge parametrisiert ist. Weil ψ ϕ orientierungsumkehrend ist (denn ψ ist orientierungsumkehrend und ϕ ist orientierungserhaltend, ist c ψ ϕ eine orientierungsumkehrende Parametrisierung von c nach der Bogenlänge. Aufgabe. (4 Punkte Der Weg c : [,] R sei durch c(t := t t + 5 8 t / + definiert. Zeigen Sie, dass er regulär ist. Geben Sie eine orientierungserhaltende Umparametrisierung von c nach der Bogenlänge an. Berechnen Sie die Länge von c. (Tipp: Für den gesuchten umparametrisierenden Diffeomorphismus ϕ betrachten Sie die Funktion ψ := ( + ϕ. Lösung zu. Weil für alle t [,] c (t t = t = ( + t = + t = + t > gilt, ist c regulär. Wir suchen einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus ϕ: J [, ], sodass c ϕ eine Umparametrisierung von c nach der Bogenlänge ist, also c (ϕ(tϕ (t = für alle t J gilt. Diese Bedingungen erfüllt ein Diffeomorphismus ϕ: J [,] genau dann, wenn für alle t J gilt: ϕ (t = + ϕ(t. ( Die durch ϕ(t := t + 4 definierte Abbildung ϕ: [, ] 5 R ist glatt und > und erfüllt ϕ (t = = t+4 +ϕ(t > für alle t [, 5 ]. Letzteres zeigt auch, dass ϕ streng monoton steigend, also insbesondere injektiv, ist. Wegen ϕ( = und ϕ ( 5 = gibt es nach dem Zwischenwertsatz zu jedem r [,] ein t [, 5 ] mit ϕ(t = r ; also ist ϕ auch surjektiv. Weil ϕ monoton ist, gilt außerdem ϕ ([, 5 ] [ [,]. Also ist ϕ:, 5 ] [,] ein Diffeomorphismus, der ( erfüllt (und daher orientierungserhaltend ist.
Vorlesung Geometrie für Lehramt Gymnasium, Wintersemester 4/5 Die durch c(t = ( t + 4 t + 4 + 4 8 ( t + 4 / + gegebene Abbildung c : [, 5 ] R ist somit eine orientierungserhaltende Umparametrisierung von c nach der Bogenlänge, und c hat die Länge 5. Anmerkungen zu. Wenn man nur die Länge von c berechnen will, geht das natürlich einfacher direkt; man muss dazu keine Parametrisierung nach der Bogenlänge bestimmen. Wir wussten a priori nach Lemma.4.9 der Vorlesung, dass Gleichung ( eine Lösung hat. Weder aus.4.9 noch aus der obigen Lösung von Aufgabe geht aber hervor, wie man eine Lösung ϕ konkret berechnet. (Gleichung ( ist eine gewöhnliche Differentialgleichung; die meisten von hnen haben die Lösungstechniken für solche Gleichungen noch nicht in einer Vorlesung kennengelernt. Dazu benutzt man den Tipp aus der Aufgabenstellung: Man betrachtet die Funktion ψ := ( + ϕ. Wenn ϕ: J [,] eine Lösung von ( ist, dann gilt für alle t J: ψ (t = ( + ϕ(t ϕ (t = ; es gibt also ein a R, sodass ψ(t = t + a und damit ϕ(t = t + a (wegen ϕ(t + [,] R für alle t J gilt. Der Rest ist dann einfach. Aufgabe. ( + + Punkte Wenn c : R n ein Weg und A eine reelle n n-matrix ist, dann bezeichne Ac : R n den durch t A (c(t gegebenen Weg. Für λ R bezeichne λc : R n den durch t λ (c(t gegebenen Weg. (a Es sei c : R n ein Weg, und U O(n sei eine orthogonale Matrix. Beweisen Sie, dass dann Uc dieselbe Länge wie c hat; und dass Uc genau dann regulär ist, wenn c regulär ist. (b D sei eine reelle n n-diagonalmatrix mit den Diagonalelementen a,..., a n. Wir betrachten a min := min { a i i {,...,n, a max := max { a i i {,...,n. Beweisen Sie, dass für jeden Weg c in R n und jedes λ R gilt: a min L(c L(Dc a max L(c, L(λc = λ L(c. (cverallgemeinerung von (b: A sei eine symmetrische reelle n n-matrix. Wir betrachten λ min := min { λ λ ist ein Eigenwert von A, λ max := max { λ λ ist ein Eigenwert von A. Beweisen Sie, dass für jeden Weg c in R n und jedes λ R gilt: λ min L(c L(Ac λ max L(c.
Vorlesung Geometrie für Lehramt Gymnasium, Wintersemester 4/5 Lösung zu (a. Eine Matrix U O(n erfüllt für alle v, w R n die Gleichung Uv,U w = v, w, insbesondere Uv = v. Für alle t gilt also (Uc (t = U (c (t = c (t. Daraus folgt, dass Uc genau dann regulär ist, wenn c regulär ist. Wir erhalten außerdem L(Uc = (Uc (t dt = c (t dt = L(c. Lösung zu (b. Es sei c : R n ein Weg. Wegen a (Dc (t = Dc a (t =... a n c (t c (t a c (t. =. c n (t a n c n (t gilt Mit a min L(Dc = (Dc (t dt = a c (t + + anc n(t dt. c (t = a min c (t + + a min c n (t a c (t + + an c n (t amax c (t + + amax c n (t = amax c (t folgt daraus a min L(c = a min c (t dt L(Dc amax c (t dt = amax L(c. Für λ R gilt λc = (λc, wobei die n n-einheitsmatrix ist. ndem wir das bisher Bewiesene auf A = λ anwenden, erhalten wir λ L(c L(λc λ L(c, also L(λc = λ L(c. Lösung zu (c. Weil A symmetrisch ist, gibt es nach dem Spektralsatz eine Diagonalmatrix D und ein U O(n mit A = UDU, wobei die Eigenwerte von A die Diagonalelemente von D sind. Weil auch U eine orthogonale Matrix ist, erhalten wir, indem wir Teil (b und zweimal (a benutzen, L(Ac = L((UDU c = L(U (DU c = L(DU c λ max L(U c = λ max L(c und L(Ac = L(DU c λ min L(U c = λ min L(c. Aufgabe 4. ( + + Punkte, plus maximal Bonuspunkte für Verbesserungen von Teil (c (a Zeichnen Sie die Spur der Kurve γ = [c] mit c : R R t ( cos(t sin(t Was für ein geometrisches Objekt ist diese Spur? Beweisen Sie, dass c periodisch ist. Bestimmen Sie die Periode von c. ( (b Beweisen Sie: 9 6 + + 4 L e (γ. (Tipp: Betrachten Sie z.b. die Parameterwerte t {, π 6, π, π. ntegrieren ist unnötig. (c Beweisen Sie: L e (γ 4π..
Vorlesung Geometrie für Lehramt Gymnasium, Wintersemester 4/5 (Mit entsprechenden Programmen kann man ausrechnen, dass L e (γ ungefähr gleich 9.688448 ist. Das zählt aber nicht als Beweis, da Sie nicht wissen, wie die Programme auf dieses Ergebnis kommen und ob es überhaupt korrekt ist. Die untere Abschätzung 9.5786548... L e (γ aus Teil (b liegt schon relativ nah an 9.688448; die Länge einer Kurve von unten abzuschätzen ist immer leicht, weil man dazu nur einige Punkte auf der Kurve berechnen muss. Obere Abschätzungen der Länge sind schwerer, weil man dazu die gesamte Kurve kennen muss. Sie bekommen in Teilaufgabe (c bis zu drei Bonuspunkte, wenn Sie eine bessere obere Abschätzung von L e (γ beweisen als 4π.5664. Die Zahl der Bonuspunkte richtet sich danach, wie gut hre Abschätzung ist; eine Abschätzung durch eine Zahl < bringt Punkte. Nur korrekt und vollständig bewiesene Abschätzungen werden gewertet. Sie dürfen dabei Wurzeln und Sinus- und Cosinuswerte mit hrem Taschenrechner o. Ä. berechnen. Solche Rechnungen sind nämlich unproblematisch, im Gegensatz zu numerischen ntegrationen. Teil (b kann und soll aber ohne Taschenrechner etc. bewiesen werden. Lösung zu 4(a. Die Spur ist eine Ellipse mit Mittelpunkt (,, deren große Halbachse die Länge hat und entlang der ersten Koordinatenachse verläuft und deren kleine Halbachse die Länge hat und entlang der zweiten Koordinatenachse verläuft: Offensichtlich ist c periodisch mit Periode π. Lösung zu 4(b. Nach Satz.4.7 aus der Vorlesung gilt für alle a,b R mit a < b die Umgleichung c(a c(b L ( c [a,b]. Mit der Substitutionsregel und sin(π ± t = sin(t und cos(π ± t = cos(t berechnen wir L e (γ = = π π = = = 4 π c (t π dt = 4sin(t + cos(t dt 4sin(t + cos(t dt + π/ π/ 4sin(t + cos(t dt π 4sin(t + cos(t dt + 4sin(t + cos(t dt 4sin(t + π + cos(t + π dt π/ = 4L ( c [,π/] = 4 (L ( c [,π/6] + L c [π/6,π/] + L c [π/,π/] ( c ( 4 ( c π ( 6 + c π 6 c π ( + c π c π. 4sin(π t + cos(π t dt Bekanntlich gilt sin( = = cos( π und cos( = = sin( π und sin( π 6 = = cos( π und damit cos( π 6 = = sin( π. (Falls hnen die letzten vier Gleichungen nicht bekannt vorkommen, können Sie z.b. in das Additionstheorem sin(x = sin(x 4sin(x den Wert x = π 6 einsetzen und x + 4x = (x + (x benutzen, um sin( π 6 = zu beweisen. Die anderen Gleichungen folgen dann leicht. 4
Vorlesung Geometrie für Lehramt Gymnasium, Wintersemester 4/5 Damit erhalten wir ( c ( L e (γ 4 ( c π ( 6 + c π 6 c π ( + c π c π ( ( cos π ( ( = 4( 6 sin ( π + cos π 6 cos π ( ( 6 sin ( π 6 sin π + cos π sin ( π (( ( ( = 4 + + ( (4 ( ( = + + + + 4 + ( ( = 9 6 + + 4. ( Lösung zu 4(c. Der durch c(t = cos(t sin(t gegebene Weg c : [,π] R hat die Länge π. Die Diagonalmatrix D := ( erfüllt c [,π] = D c. Nach Aufgabe (b gilt daher L e (γ = L ( c [,π] = L(D c L( c = 4π. Bessere Abschätzungen zu 4(c. Es gibt viele Methoden, eine bessere obere Abschätzung von L e (γ zu beweisen; wir schauen uns im Folgenden nur eine an, die auf der Cauchy Schwarz-Ungleichung beruht. Eventuell kennen Sie die folgende Aussage bereits aus hrer Analysis-Vorlesung: Für alle a,b R mit a < b und jede stetige Funktion F : [a,b] R gilt b a F (t dt (b a b a F (t dt. Beweis. Die stetigen Funktionen [a, b] R bilden einen reellen Vektorraum C ([a, b], R bezüglich punktweiser Addition und punktweiser skalarer Multiplikation. Auf diesem (unendlichdimensionalen Vektorraum ist durch b f, g := f (tg (tdt R a ein Skalarprodukt.,. definiert. Also gilt (mit dem üblichen Beweis, den Sie aus der linearen Algebra kennen für alle f, g C ([a,b],r die Cauchy Schwarz-Ungleichung f, g f, f g, g. m Fall f = F und g = ist das die behauptete Gleichung. Daraus folgt π L e (γ = = = π 4sin(t + cos(t dt π ( 4sin(t + cos(t dt = [ 5 π t 4 sin(t π < 9.94588. ] π π π ( 5 cos(t dt (Diese Abschätzung könnte man noch verbessern, indem man [, π] in Teilintervalle zerlegt und die Cauchy Schwarz-Ungleichung auf jedes Teilintervall anwendet. 5
Vorlesung Geometrie für Lehramt Gymnasium, Wintersemester 4/5 Anmerkungen zu 4. Der Umfang einer Ellipse mit den Halbachsenlängen a,b lässt sich im Fall a b nicht durch eine elementare Formel ausdrücken; d.h. durch einen Ausdruck, der in endlich vielen Schritten dadurch entsteht, dass man jeweils im i +ten Schritt (endlich viele Ausdrücke konstruiert, indem man Ergebnisse des i ten Schritts, natürliche Zahlen und die Variablen a,b nimmt und sie addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert oder eine der Funktionen exp, ln, sin, cos, arcsin auf sie anwendet. (Der Umfang eines Kreises vom Radius a ist durch die elementare Formel 4arcsin(a gegeben. Falls hre Schüler Sie später einmal fragen, wie man den Umfang einer Ellipse berechnet, ist die beste integralfreie Antwort vermutlich folgende: Die Exzentrizität einer Ellipse, deren große Halbachse die Länge a und deren kleine Halbachse die Länge b hat, ist definiert als die Zahl e(a,b := b a [,[. (nsbesondere ist e(a, a = die Exzentrizität eines Kreises vom Radius a. Der Umfang der Ellipse ist ( (i! e(a,b i U (a,b = πa i (i!. ( i i= Weil für jedes i > der i te Summand der Reihe negativ ist, liefert diese Formel auf einfache Weise obere Abschätzungen des Umfangs, nämlich die endlichen Teilsummen der Reihe. (Für Aufgabe 4c wird eine solche Abschätzung aber nur dann als Lösung akzeptiert, wenn Sie einen Beweis der Formel ( dazu geschrieben haben. Sie sehen am Beispiel der Ellipse auch, dass man selbst für eine so einfache Matrix wie D = ( und einen so einfachen Weg wie [,π] t die Länge von Dc nicht auf einfache Weise berechnen kann. ( cos(t sin(t 6