KAPITEL 8 Normalformen Definition 8.1 (Blockmatrizen). Sind 1. Blockmatrizen A K m 1 n 1,B K m 1 n 2,C K m 2 n 1 und D K m 2 n 2 so nennet man die Matrix X = ( A B C D ) K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) eine Blockmatrix und die Matrizen A,B,C,D Blöcke von X. Analog kann man Matrizen mit beliebig vielen Blöcken definieren, sofern die entsprechenden Größen der Matrizen zusammenpassen. Satz 8.2 (Produkt von Blockmatrizen). Es seien ( ) ( A B X = K (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) K L und Y = C D M N Blockmatrizen mit ) K (n 1+n 2 ) (p 1 +p 2 ) und dann ist A K m 1 n 1,B K m 1 n 2,C K m 2 n 1,D K m 2 n 2 K K n 1 p 1,L K n 1 p 2,M K n 2 p 1,N K n 2 p 2. XY = ( AK +BM AL+BN CK +DM CL+DN ) K (m 1+m 2 ) (p 1 +p 2 ). Satz 8.3 (Eigenschaften von quadratischen oberen Dreiecksblockmatrizen). Es sei ( ) A B X = K n n 0 C eine quadratische Blockmatrix mit Blöcken und Dann gilt: A K n 1 n 1,B K n 1 n 2,C K n 2 n 2 0 = 0... 0.. 0... 0 K n 2 n 1. a) X ist invertierbar, genau dann wenn A und C invertierbar sind. 34
b) Falls X invertierbar ist, gilt ( X 1 A 1 A 1 BC 1 ) = 0 C 1 c) e) d) det(x) = det(a) det(c) χ X = χ A χ C Spektrum(X) = Spektrum(A) Spektrum(C) Korollar 8.4. Für obere Dreiecksmatrizen D = (d i,j ) i,j=1,...,n mit d i,j = 0 falls i > j gilt a) det(d) = n i=1 d i,i b) Spektrum(D) = {d 1,1,...,d n,n }.
2. Invariante Unterräume Definition 8.5. Es sei V ein Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Einen Unterraum U von V nennt man eine f-invarianten Unterraum, falls f(u) U. Ist A K n n so nennt man einen Unterraum U K n einen A- invarianten Unterraum, falls AU := {Au u U} U. Definition 8.6. Es sei V ein Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Ist x V, so nennt man den Unterraum Z x (f) := span{x,f(x),f 2 (x),...} V den zyklischen Unterraum von f bezüglich x V. Bemerkung: Jeder zyklische Unterraum von f ist f-invariant. Definition 8.7. Es sei V ein Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Ist λ K ein Eigenwert von f, so nennt man Eig λ (f) = Kern(λ id f) = {x V f(x) = λx} den Eigenraum von f zum Eigenwert λ. Bemerkung: Jeder Eigenraum von f ist f-invariant. Satz 8.8. Sind λ 1 und λ 2 zwei unterschiedliche Eigenwerte eines Endomorphismus f : V V, so ist Eig λ1 (f) Eig λ2 (f) = {0}. Definition 8.9. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Und f : V V ein Endomorphismus. Nach Satz 7.8 und 7.16 lässt sich das charakteristische Polynom χ f in der Form χ f (t) = (λ 1 t) a 1...(λ k t) a k q(x) zerlegen, wobei λ 1,...,λ k die verschiedenen Eigenwerte von f sind und q ein Polynom ohne Nullstellen ist. a) Die Zahl a i nennt man algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ i. b) Die Zahl dimeig λi (f) nennt man geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ i. Satz 8.10. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Für jeden endomorphismus f : V V gilt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit. Lemma 8.11. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Ist λ ein Eigenwert eines Endomorphismus f : V V und Eig λ (f) der zugehörige Eigenraum. Für die Abbildung f : Eig λ (f) Eig λ (f), x f(x) gilt: a) χ f = (t λ) g mit g = dimeig λ (f) b) χ f ist ein Teiler von χ f.
3. Diagonalisierbarkeit Definition 8.12. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Einen Endomorphismus f : V V nennt man diagonalisierbar, falls es eine Basis B von V gibt, so dass die Darstellungsmatrix von f bezüglich B eine Diagonalmatrix ist. Eine quadratische Matrix A K n n nennt man diagonalsierbar, falls sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Satz 8.13. Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Ein Endomorphismus f : V V ist genau dann diagonalisierbar, wenn die Darstellungsmatrix von f bezüglich irgendeiner Basis diagonalisierbar ist. Satz 8.14. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum. Ein Endomorphismus f : V V ist genau dann diagonalisierbar, wenn V eine Basis bestehend aus Eigenvektoren von f besitzt. Eine Matrix A K n n ist genau dann diagonalsierbar, wenn K n eine Basis aus Eigenvektoren von A besitzt. Korollar 8.15. Es sei V ein Vektorraumm der Dimension n N. Zu einem Endomorphismus f : V V bezeichne λ 1,...,λ k K die verschiedenen Eigenwerte, Eig λ1 (f),...,eig λk (f) die entsprechenden Eigenräume und g 1,...,g k die entsprechenden geometrischen Vielfachheiten. a) Äquivalent sind: (i) f ist diagonalisierbar (ii) Eig λ1 (f)+ +Eig λk (f) = V (iii) k j=1 g j = dim(v) b) Hat f n verschiedene Eigenwerte, dann ist f diagonalisierbar. c) Ist f diagonalisierbar, so ist für jeden Eigenwert die algebraische Vilefachheit gleich der geometrischen Vielfachheit.
4. Nilpotente Endomorphismen Definition 8.16. Es sei V ein Vektorraum. Einen Endomorphismus f : V V nennt man nilpotent, falls es ein k N gibt, so dass f k die Nullabbildung ist. Eine Matrix A K n n nennt man nilpotent, wann es ein k N gibt, so dass A k = 0 ist. Lemma 8.17. Ist der Endomorphismus f : V V nilpotent, so ist 0 der einzige Eigenwert von f. Satz 8.18. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Dann sind äquivalent: a) f ist nilpotent b) Das Minimalpolynom von f ist ein Monom c) Es gibt eine Basis von V bezüglich derer die Darstellungsmatrix von f eine oberer Dreiecksmatrix ist deren Diagonalelemente alle 0 sind. Lemma 8.19. Es seien A,B K n n Matrizen welche AB = BA erfüllen. Es gilt: a) (A+B) n = n k=0 ( ) n A k B n k. k b) Ist B nilpotent, so ist auch AB nilpotent. c) Sind A und B nilpotent, so ist auch A+B nilpotent. Satz 8.20. Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen. Es seien A,N K n n, N nilpotent und AN = NA, dann gilt χ A = χ A+N.
5. Das Lemma von Bezout (für Polynome) Definition 8.21. Es seien p und q Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper K. a) p ist ein Teiler von q, falls es ein r K[x] gibt, so dass pr = q ist. In diesem Fall sagt man auch q ist ein Vielfaches von p. b) p und q heißen teilerfremnd, fall aus r teilt p und r teilt q folgt, dass r konstant ist. c) p heißt irreduzibel, wenn aus p = qr folgt, dass q oder r konstant ist. Lemma 8.22. Ist p K[x] irreduzibel und teilt p das Produkt fg für f,g K[x], so teilt p mindestens eines der beiden Polynome f,g. Satz 8.23. Jedes nichtkonstante normierte Polynom p K[x] kann auf (bis auf Reihenfolge) eindeutige Weise als Produkt normierter irreduzibler Polynome dargestellt werden. Definition 8.24. Es seien p,q K[x] Polynome mit p 0 und q 0. Das Polynom t heißt größter gemeinsame Teiler ( ggt(p,q)) von p und q, falls jeder andere gemeinsame Teiler von p und q ein Teiler von t ist. Lemma 8.25 (Bezout). Sind f,g K[x] teilerfremnd, so gibt es q 1,q 2 K[x], so dass fq 1 +gq 2 = 1 ist.
6. Zerlegung in f invariante Unterräume Lemma 8.26. Es sei V ein Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. a) Für jedes Polynom p K[x] ist Bild(p(f)) und Kern(p(f)) f- invariant. b) Sind p und q Polynome und ist p ein Teiler von q, so ist Kern(p(f)) Kern(q(f)). Satz 8.27. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Das Minimalpolynom m f sei das Produkt zweier normierter, nichtkonstanter, teilerfremnden Polynome r und s. dann gilt: a) Die Unterräume U := Bild(r(f)) und W := Bild(s(f)) sind beide f-invariant. b) Es gilt V = U W. c) Es gilt U = Kern(s(f)) und W = Kern(r(f)) Satz 8.28. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. Weiter sei m f = p a 1 1 pa 2 2...pa k k eine Zerlegung des Minimalpolynoms in normierte, irreduzible paarweise verschiedene Faktoren p 1. a) As gilt: V = Kern(p 1 (f) a 1 ) Kern(p 2 (f) a 2 ) Kern(p k (f) a k ). b) Es gibt eine Basis von V, so dass die Darstellungsmatrix von f bezüglich dieser Basis eine Blockmatrix mit Blöcken A 1 K d 1 d 1,..., A k K d k d k mit d i = dimkern(p i (f) a i ) ist. Korollar 8.29. a) Es sei dim(v) = n < und f : V V ein Endomorphismus. Es seien q 1,q 2,...q k die irreduziblen normierten nichtkonstanten Faktoren des Minimalpolynoms m f, also m f = q a 1 1...q a k k mit a 1,...,a k N. Dann gibt es eine Basis von V bezüglich derer die Darstellungsmatrix von f eine Blockdiagonalmatrix, mit quadratischen Blöcken A 1,A 2,...A k ist. Hier bei ist A i K d i d i mit d i = dimkern(q 1 (f) a 1 ). b) Es sei A K n n. Es seien q 1,q 2,...q k die irreduziblen normierten nichtkonstanten Faktoren des Minimalpolynoms m f, also m f = q a 1 1...q a k k mit a 1,...,a k N. Dann gibt es ein T GL n (K) und eine Blockdiagonalmatrix, so dass A = TBT 1 ist. Für die quadratischen Blöcke A i K d i d i gilt d i = dimkern(q 1 (A) a 1 ).
7. Die Jordan Normalform I Satz 8.30. Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen, V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K und f ein Endomorphismus mit linear zerfallendem charakteristischem Polynom k χ f (x) = (x λ j ) m j. j=1 Die λ j K sind hierbei die verschiedenen Eigenwerte von f (die m j also die algebraischen Vielfachheiten) Dann gibt es eine Basis von V, so dass die Darstellungsmatrix von f eine Blockdiagonalmatrix A 1 A 2... Ak mit A j = λ j E + N j K m j m j und N j nilpotent ist für die alle Einträge n l,s mit l s Null sind. Korollar 8.31. Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und A K n n. Dann sind äquivalent: (i) Das charakteristische Polynom von A zerfällt linear (ii) A ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix Lemma 8.32. Es seien M K p p und N K q q nilpotent. Dann gibt es zu jedem C K p q genau ein X K p q, so dass X = MX XN +C.
8. Die Jordan Normnalform II Satz 8.33. Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen, V ein Endlichdimensionaler Vektorraum und f : V V ein Endomorphismus. das Charakteristische Polynom von f sei linear zerfallend, d.h. χ f (x) = k (x λ j ) m j, λ i λ j falls i j. j=1 Dann gibt es eine Basis von f, so dass die Darstellungsmatrix von f Blockdiagonalmatrix A 1 A 2 A =, A j K m j m j... Ak ist. Jeder Block A j korrespondiert zum Eigenwert λ j und hat wieder Blockdiagonalgesatlt B j,1 B j,2..., B j,i K d i d i Bj,gj mit Blöcken der Form λ 1 0 ( ) λ 1...... (λ),,... 0 0 λ... 1 Kd i d i. λ Lemma 8.34. Ist V ein endlich dimensionaler Vektorraum, und ist f : V V ein nilpotenter Endomorphismus, so gibt es zyklische Unterräume Z x1 (f),...,z xk (f), so dass V = Z x1 (f) Z xk (f). Lemma 8.35. Ist V ein endlich dimensionaler Vektorraum, f : V V ein Endomorphismus, und V zyklisch (also V = Z x (f) für ein x V). Dann gibt es eine Basis von V, so dass die Darstellungsmatrix von V die Form 0 1 0 0... 0... 1 0 hat. Bemerkung: Haben A K n n und à Kn n die selbe Jordan Normalform (bis auf Vertauschung der Blöcke) so sind A und à ähnlich zueinander.
9. Die Jordan Normalform III Satz 8.36. Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen. a) Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K und f : V V ein Endomorphismus mit charakteristischem Polynom χ f (t) = k j=1 (t λ j) m j. Die Jordan Normalform von f ist bis auf Vertauschung der Blöcke eindeutig. b) Sind A K n n und à Kn n ähnlich und haben A wie à jeweils ein charakteristisches Polynom welches in lineare Faktoren zerfällt, dann haben sie bis auf Vertauschung der Blöcke die selbe Jordan Normalform. Bemerkung: Mit den Bezeichungen aus Satz 8.33 folgt: a) g i (also die Anzahl der Blöcke B j i) ist die geometrische Vielfachheit. b) Ist m f (x) = k j=1 (x λ j) s j das Minimalpolynom von f, so ist s j = max{d 1,...,d gj }.