0 Elementre Rechenopertionen Die Einführung von Buchsten ls Vrile und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen führt zu dem Begriff des Terms (von lt. terminre estimmen).. Grundrechenrten mit Termen Addition und Sutrktion Addiert mn Zhlen, so knn mn dies in elieiger Reihenfolge tun und ei mehreren Summnden noch elieige Teilsummen ilden. Multipliktion und Division Vertuscht mn ei der Multipliktion die Fktoren, so sieht mn us der Summenschreiweise, dss mn zum gleichen Ergenis kommt. + 3 3 + 3 + 3 + 3 + 3 4 3 4 Summnden + 3 + 7 ( + 3) + 7 + (3 + 7) 4 + 4 + 4 3 4 3 Summnden Diese Rechengesetze gelten uch für Terme.. Vertuschungsgesetz (Kommuttivgesetz) + +. Zusmmenfssungsgesetz (Assozitivgesetz) + + c ( + ) + c + ( + c) 3. Die Null ist ds neutrle Element der Addition und Sutrktion + 0 Diese Rechengesetze gelten uch für Terme.. Vertuschungsgesetz (Kommuttivgesetz). Zusmmenfssungsgesetz (Assozitivgesetz) c ( ) c ( c) 3. Die Eins ist ds neutrle Element der Multipliktion und Division D eim Addieren rtionler Zhlen stets wieder eine rtionle Zhl entsteht, die Addition und Sutrktion nicht üer diese Zhlenmenge hinusführt, sgt mn: Die Zhlenmenge Q ist ezüglich der Addition geschlossen. D eim Multiplizieren rtionler Zhlen wieder eine rtionle Zhl entsteht, sgt mn: Die Zhlenmenge Q ist ezüglich der Multipliktion geschlossen. Die Division knn ls Multipliktion mit einem Bruch ufgefsst werden, so dss wir die Rechengesetze der Multipliktion uch uf die Division üertrgen können. Ds Rechnen mit Bruchtermen soll jedoch nochmls gesondert ehndelt werden. Die Sutrktion knn ls Addition der Gegenzhl von ( inverses Element von ), d. h. ls Addition der negtiven Zhl ( ) ufgefsst werden, so dss wir ei der Addition und Sutrktion nur noch von lgerischen Summen sprechen: + ( ). Die folgerichtige Einführung der Buchsten ls Vrile geht uf den Frnzosen Frnçois Viète (Viet) (540 603) zurück. Der Engländer Hrriot (560 6) führte die Verwendung von Kleinuchsten ein. Auf René Descrtes (596 650) geht die Gewohnheit zurück, für Vrile die letzten Buchsten, für gegeene Größen (Formvrilen) die Anfngsuchsten des Alphets zu wählen. Springer Fchmedien Wiesden GmH 07 H. Rpp, Mthemtik für Fchschule Technik und Berufskolleg, DOI 0.007/978-3-658-693-4_
. Grundrechenrten mit Termen.. Addition und Sutrktion (Rechnen mit Klmmertermen)... Negtive Zhlen Wenn wir zur Zhl die Gegenzhl ( ) ilden, ht ds Minuszeichen die Bedeutung eines Vorzeichens. Umgekehrt sind die positiven Zhlen die Gegenzhlen der negtiven, so dss wir uch positiven Zhlen ein Vorzeichen geen können: (+ ). Beim Rechnen mit diesen Klmmertermen erhlten wir folgende Klmmerregeln: Addition und Sutrktion + (+ ) + ( ) (+ ) ( ) Die Gegenzhl von (+ ) ist (+ ), die Gegenzhl von ( ) ist ( ), die Gegenzhl von ( ) ist + ( ). Dmit ist ( ) + und + ( ). Eine negtive Zhl wird sutrhiert, indem mn die Gegenzhl ddiert. Eine negtive Zhl wird ddiert, indem mn die Gegenzhl sutrhiert. Vorzeichen und Rechenzeichen können lso vertuscht werden. Beim Auflösen einer Plusklmmer + (...) leit ds Vorzeichen in der Klmmer unverändert. Beim Auflösen einer Minusklmmer (...) ändert sich ds Vorzeichen in der Klmmer... Klmmern in Klmmern Bei verschchtelten Klmmern sollte mn immer, die innerste Klmmer zuerst ufzulösen, drufhin die nächst äußere. Beim Auflösen oder Setzen einer Minusklmmer ändern sich ei llen Gliedern innerhl der Klmmer die Vorzeichen. Aus (+...) wird (...) und umgekehrt. Beim Auflösen oder Setzen einer Plusklmmer leien die Vorzeichen unverändert. Beispiele Durch Anwendung der Klmmerregeln erhält mn: Nch Auflösen der Klmmern werden die gleichrtigen Terme zusmmengefsst. Eine Klmmer ohne Vorzeichen ist immer eine Plusklmmer. Ds Pluszeichen wird in diesem Fll nicht geschrieen. [ ( (c + d))] [ ( c d)] [ + c + d] c d 7 + ( 3) ( ) + (4 ( 4)) (( ) 3) 7 3 + + 4 + 4 + + 3 8 4 + (5 6) ( ( + )) 4 + 5 6 + + + 8 (3 c) (7 6c + 4) 3 c 7 + 6c 4 4 4 + 4c Die Klmmer wurde von Michel Stifel (544) eingeführt, um zum Ausdruck zu ringen, dss in Aweichung von der Rechenreihenfolge die Klmmerusdrücke ei der Berechnung Vorrng hen, z. B. 5 (3 ) 5.
Elementre Rechenopertionen. Multipliktion und Division.. Multipliktion mit negtiven Zhlen. Ds Produkt 3 ( ) knn ls Summe dreier negtiver Zhlen geschrieen werden. Dei zeigt sich, dss ds Produkt einer positiven mit einer negtiven Zhl negtiv wird.. Entsprechend lässt sich uch ds Produkt ( ) 3 erklären, indem mn die Fktoren vertuscht: 3. Ds Produkt ( 3) ( ) lässt sich schreien: Drus ergeen sich die Rechenregeln: Ds Produkt zweier Fktoren mit gleichen Vorzeichen ist positiv. Ds Produkt zweier Fktoren mit ungleichen Vorzeichen ist negtiv. 3 ( ) 6 ( ) 3 3 ( ) 6 ( 3) ( ) [( 3) ] [ (3 )] 3 + 6 (+ ) (+ ) (+ ) ( ) ( ) (+ ) ( ) ( ) Beispiele. ( 4) ( ) + (4 ) 8 (minus ml minus plus). ( ) (3x) ( 3x) 6x (minus ml plus minus) 3. ( 3) ( x) ( ) ( 3) + (3 x) ( 3) + (3 x 3) 36x.. Multipliktion mit Null (Nullprodukt) Ds Produkt 6 0 lässt sich us der Summenschreiweise erklären: Drus ergit sich: Enthält ein Produkt den Fktor Null, so ist ds Produkt Null. (Stz vom Nullprodukt) 6 0 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 (Nullprodukt) Beispiel Mit dem Stz vom Nullprodukt lssen sich kuische Gleichungen uf neenstehende Weise lösen, wenn die Gleichungen in Linerfktoren ufgesplten sind. (x ) (x + ) (x 5) 0 (x ) 0 (x + ) 0 (x 5) 0 x x x3 5
. Multipliktion und Division 3..3 Multipliktion mit Summentermen Einen Zusmmenhng zwischen den Rechenopertionen der Addition und der Multipliktion stellt ds Distriutivgesetz 3 dr. Ds Produkt 3 ( + ) führt in dditiver Schreiweise zu dem Ergenis 3 + 3. Drus erhält mn ds Distriutivgesetz ( Verteilungsgesetz) Ein Fktor wird mit einer Summe multipliziert, indem mn den Fktor mit jedem Summnden multipliziert und die Produkte ddiert. 3 ( + ) (+) + (+) + (+) + + + + + 3 3 (+c) + c Distriutivgesetz Produkte zweier Summenterme Ds Produkt 7 ( + ) knn ls Produkt zweier Summenterme geschrieen werden, wenn wir für 7 (3 + 4) schreien. Zu diesem Ergenis kommen wir lso, wenn wir die Multipliktion nch folgender Regel durchführen: Algerische Summen werden multipliziert, indem mn jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der nderen Summe multipliziert und die Produkte ddiert. 7 ( + ) 7 7 (3 + 4) ( + ) 3 + 3 + 4 + 4 7 7 (+) (c+d)c+d+c+d Geometrisch lässt sich ds Produkt der lgerischen Summen n einem Rechteck vernschulichen. Die Gesmtfläche setzt sich us den vier Einzelflächen zusmmen: ( + ) (c + d) c + d + c + d Sinngemäß knn dieses Ergenis uch uf ds Produkt ( ) (c d) üertrgen werden, d sich jede Differenz ls Summe schreien lässt: ( ) (c d) ( + ( )) (c + ( d)) c dc d c+d d c + d c c d Beispiele. (3x )(c + ) 3cx 6x c. (x + 5)( + 3) x x 3x 5 5 5 3. (x )(+3)( c) (x )( c + 6 3c) x cx6x 3cx c 6 3c 3 distriuere (lt.) verteilen, ufteilen
4 Elementre Rechenopertionen..4 Binomische Formeln Berechnen Sie durch Ausmultiplizieren die Produkte ) ( + ) ( + ) ) ( ) ( ) c) ( + ) ( ) Lösung ) ( + ) ( + ) + + + + ) ( ) ( ) + ( ) c) ( + ) ( ) + + Zweigliedrige Summen werden Binome gennnt. Die Produkte gleichrtiger Summenterme können uch in Potenzschreiweise geschrieen werden. Drus ergeen sich die inomischen Formeln. Binomische Formeln ( + ) + + ( ) + ( + ) ( )
. Multipliktion und Division 5 Beispiele. (x + ) x x. (n ) n n 3. (x ) (x + ) x 4. 0 (00 + ) 0 000 + 400 + 4 0404 5. 97 (00 3) 0 000 600 + 9 9409 6. 97 03 (00 3) (00 + 3) 0 000 9 999 7. (x x) (x ) x (x) + (x) x 4 4x 3 + 4x 8. (n + ) (n ) n 3 n + n n 3 + n n oder (n+) (n+) (n-)(n-)( n +n+) n 3 + n n Aufgen zu.. Addition und Sutrktion und.. Klmmern in Klmmern. 6 + ( 45 + 7). 6 ( 45 + 7) 3. 6 ( (45 (7 (5 + ( 4))))) 4. ( 567) (5 3) ( 8 ( 5 + 3)) 5. 555 ( (57 78) (78 57) + ( 56 + 7) ( ( 3 ))) Fssen Sie die Terme durch Auflösen der Klmmern zusmmen und setzen Sie die ngegeenen Zhlenwerte in die Ergenisse ein. 6. 7x ( y 4,3x) ( 5,7x,7y) (,5y,x) mit x und y 7. 5 7 + 5 (8 6) (7 5) mit, 8. 7xy (0x + y) (3xy + x) + 5xy (3,5xy 5,8xy) mit x und y 9. 3 (( 6x 7,5) 6,5 3x (4 + 0,3x)) mit x 3 und 7 x 0.,5 5,6x 3 6,x 6 6 mit,5, 3,5 und x zu.. Multipliktion 0. 3 5c 0. 3 7c 03. 4 5m 3 n 04. 7,5 c 05. 3,5 + 7,5 06.,4 0,4x,5x 07. 4,5x,3 + 3 3,5 x 08. 3,7x,5x 9 09. ( 3x) ( ) ( ) 0. ( 3,) (,7). 4 ( 7) ( c). x 5y ( 7z) ( ) 3. ( ) ( 0,7) (,4) ( 3,) ( 0,8),6
6 Elementre Rechenopertionen 4. (,9p) (,8q) (,7pq) ( 3) + 0,4 ( p) ( q) 5. 0,5 ( 0,7x) 4 (0,6x) (,) + 3x (,4) 6. 5 (,3m) (,3n)x + (,9mx) (3,n) ( 4,3) 7. 0,5,5 ( c) + 7,5c ( 5) ( 3) 3c 8. 3,5xy + ( 6,5x) ( y) + ( 3y),x 0,5 9. 0. c 3,3c( 4,) (,) 3 4 3 7 x( 4,5y)(,5)( 3) 7,4xy3 3 5 7 zu..3 Multipliktion mit Summentermen. 5 ( ). 7 (x ) 3. (x 3y) 5 4. 3 ( ) 5. 3 (x y + z) ( ) 6. 6 (7c 3 0,5) 7. 4 (3 ) 3 8. ( ) (7y 5x) 9. ( x) (4y + 3) ( ) 30. 4 (y x) + 5x 3. 3 (4 7) 5 ( 4) 3. 4 + 3 ( ) + 6 ( 9) 33. (,7) ( 4 + c) + ( c) (,5) 34. (x + y) ( 3,z) (,8z) (y x 3) 35. (,) (7,3c 9,4 + ) (,5 c) (,3) 36. ( + ) (c ) 37. (x 4) (y ) 38. ( ) ( c) 39. ( ) (x y) 40. (3 ) (x y) 4. ( ) (x 3y) 4. (m + n) ( + c) 43. (m c + n) ( x) ( ) 44. ( + c) (x + y ) 45. 3x ( c) (4 3d) zu..4 Binomische Formeln 46. (m + n) 58. ( c) 70. (5x y) (5x + y) 47. (n ) 59. ( ) 7. (,3 x) (x +,3) 48. ( + 4) 60. (p + q) 7. ( x) (x + ) ( ) 49. (r + ) 6. (,5x 0,7y) 73. ( ) ( + ) 50. ( c) 6. (,3 +,6) 74. (3x y) ( y + 3x) 5. ( 4x) 63. (0, 0,) 75. ( + ) ( + + ) 5. (4s 3r) 64. ( 3) ( + 3) 76. ( ) ( + ) 53. (5x ) 65. ( + y) ( y) 77. (x ) (x + ) (x + ) 54. (3x + 0,5y) 66. (3x + y) (3x y) 78. (p 5q) 0pq + (p + 5q) 55. (0,5u v) 67. (4m 5) (4m + 5) 79. (x ) (y + ) xy + x 5 (y ) 56. ( + c) 68. ( ) ( + ) 80. (0,9x 0,3) (0,3 0,9x)+ 9 (0,3x + 0,) 57. ( + + c) 69. (x ) ( + x)
. Multipliktion und Division 7..5 Quotienten us positiven und negtiven Zhlen Die Division ist die Umkehrung der Multipliktion. Dividiert mn die Zhl durch die Zhl und ist nicht ein Vielfches von, so stellt der Quotient eine neue Zhl dr, die mn Bruchzhl oder kurz Bruch nennt. : c ( Quotientenwert) Brüche, deren Zähler und Nenner durch zwei gnze Zhlen drgestellt werden können, nennt mn rtionle Zhlen. Die Menge der rtionlen Zhlen wird mit Q ezeichnet. Vorzeichenregeln Negtive Brüche entstehen, wenn negtive Zhlen durch ntürliche (positive) Zhlen geteilt werden. Die Division einer positiven Zhl durch eine negtive Zhl führt eenflls zu einem negtiven Bruch. Die Division einer negtiven Zhl durch eine negtive Zhl führt durch Erweitern mit ( ) zur Division zweier positiver Zhlen und dmit zu einem positiven Bruch. ( 4) 4 5 5 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Die Beispiele zeigen, dss ds Vorzeichen vor einem Bruchstrich in den Zähler oder in den Nenner üernommen werden knn. Zusmmenfssung Der Quotient us Termen mit gleichem Vorzeichen ist positiv. Der Quotient us Termen mit ungleichen Vorzeichen ist negtiv. 0 (+ ) : (+ ) + ( : ) ( ) : ( ) + ( : ) ( ) : (+ ) ( : ) (+ ) : ( ) ( : )
8 Elementre Rechenopertionen Die Null in Divisionsufgen Für die Null gelten nicht lle Rechenregeln des Bruchrechnens. Ein Bruch mit dem Zähler Null ht den Wert Null, denn 0 0. 0 0 Dies gilt jedoch nur mit der Einschränkung, dss nicht uch Null ist. 0 0 undefiniert Beweis: Die Null ist ds neutrle Element der Addition: 0 0 + 0 + 0 +... Dmit könnte der Bruch, wenn 0 0 entsprechend definiert werden könnte, in folgender Form 0 000... 0 0 0...... 0 0 0 0 0 geschrieen werden. Dmit wäre jede Zhl möglich, der Bruch ist somit nicht definierr. Auch ist ein undefinierter Term, der zu 0 Widersprüchen führen würde. 0 undefiniert Beweis: Die Multipliktion ist die Umkehrung der Division, dmit wäre 0. Andererseits ist jedes 0 Produkt mit dem Fktor Null gleich Null (Stz vom Nullprodukt): 0 0 0. Fsst mn die eiden letzten Ergenisse, ei denen jedes Ml durch Null dividiert wurde zusmmen, so gilt: Durch Null drf mn nicht dividieren.
. Multipliktion und Division 9..6 Rechnen mit Bruchtermen..6. Brüche ls rtionle Zhlen Brüche werden mit Hilfe von Bruchstrichen oder in Dezimlschreiweise geschrieen. Dei sind nur solche Dezimlzhlen rtionle Zhlen, deren Ziffernfolgen nch dem Komm rechen oder periodisch sind.. Umwndlung von Stmmrüchen 4 in Dezimlzhlen : 0,5 _ 3 : 3 0,33333... 0, 3 (gelesen: 0 Komm Periode 3) 4 : 4 0,5 : 6 0,6666... 0,6 (gelesen: 0 Komm Periode 6) 6 : 7 0,4857 4857 0,4857 7 : 9 0,... 0, 9 : 0,0909... 0,09 : 0,08333... 0,083 Ds Vielfche des Bruches erhält mn durch Multiplizieren der Periode. Dei treten immer 7 dieselen Periodenziffern in zyklischer Vertuschung uf. 7 0, 4857 0, 8574 3 7 3 0, 4857 0, 4857 4 7 4 0, 4857 0, 5748 usw. 4 Stmmrüche sind Brüche mit dem Zähler. Die ürigen Brüche lssen sich ls Vielfches von Stmmrüchen drstellen, z. B. 7 7.
0 Elementre Rechenopertionen. Umwndlung von Dezimlzhlen in Brüche 0,5 5 (Die Dekdenzhl im Nenner entspricht der Stellenzhl.) 000 8 Bei periodischen Dezimlzhlen ist die Umrechnung nicht mehr in gleicher Weise möglich, denn 0,... ist nicht dssele wie 0,. Wie erhlten wir diesen Wert? Wir wndeln dzu den unendlichen Dezimlruch in eine Summe von Dezimlrüchen um und führen folgende Berechnungen durch:. Beispiel x 0, 0,... 0, + 0,0 + 0,00 +...... 0 00 000 0x,...... 0 00 000 0x 0,... 0 00 000 (von 0x wird x gezogen) 9x,000... drus folgt, dss x0, 9. Beispiel x 0,00 0,0000...? 000x,000000... 000x 0,000000... (von 000x wird x gezogen) 999x, drus folgt, dss x 0,00 999 3. Beispiel x 0,08 3 0,0833333... 8,3333... 80,3333... 00 00 83 8 830,... 9 3 5 00 00 00 300 drus folgt, dss x0,083 Bei der Bruchumwndlung eines periodischen Dezimlruches müssen so viele 9-er Ziffern in den Nenner geschrieen werden, wie Periodenziffern vorhnden sind.
. Multipliktion und Division..6. Multipliktion von Bruchtermen Brüche werden multipliziert, indem mn Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Beispiele Erscheinen eim Multiplizieren von Bruchtermen in Zähler und Nenner gleiche Fktoren, so lssen sie sich kürzen.. Bei negtiven Termen sind die Vorzeichenregeln zu echten.. c c d d 0, d 0 x 3 x3 x 3 3 6 x 6 x6 x Summen sind in Klmmern zu schreien. Bei mehrgliedrigen Summen knn die Multipliktion mit Hilfe des Distriutivgesetzes durchgeführt werden. Mn könnte er uch den zweiten Summenterm mit Hilfe des Huptnenners zu einem einzigen Bruchterm zusmmenfssen und nschließend die Multipliktion durchführen. 3. 4. x y, 5 x ( x y ), 5 x x 6 x 4,5 x y 4 x 5x x x x 5x x x xx 4 0 x Bei Summentermen ist ds Distriutivgesetz nzuwenden. 5. 0x 5x x 5x 4 0x 5x 0x 0x x 8x 5x 0x 5 7 5 4 8 8 Auch in diesem Fll git es mehrere Berechnungsmöglichkeiten. Wir wollen hier die Klmmern usmultiplizieren. 6. ()
Elementre Rechenopertionen..6.3 Division von Bruchtermen Die Division ist die Multipliktion mit der Kehrzhl. Drus folgt: Ein Bruchterm wird durch einen zweiten dividiert, indem mn mit dem Kehrwert des zweiten Bruchterms ( Kehrwert des Divisors) multipliziert. c d d 0,c 0 c Beispiele Bei Doppelrüchen ist der Huptruchstrich zu kennzeichnen. Ds Qudrt der Summe (x + y) ist in ein Produkt zu zerlegen. Die Terme und c d müssen fktorisiert werden... 3. 4. 6 4 65y 4 : 5y 5y 5y4 5 x x x x xx x x y (x y) c d c d c d (xy) (xy)(xy) xy ()(c d) (c d) (c d)( )( ) Die mehrgliedrige Summe wird zunächst zu einem Bruchterm zusmmengefsst. Der Zähler lässt sich nch der. inomischen Formel umformen. 5. m n m mnn n m mn mn mn (m mnn ) (mn) mn (mn) mn (mn) m n mn Wie wir gesehen hen, entstehen eim Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen neue Terme, die sich durch Kürzen vereinfchen lssen. Es dürfen jedoch nur Fktoren gekürzt werden. Zähler und Nenner müssen deshl in Fktoren zerlegt werden. Dieses Zerlegen in Fktoren knn uf verschiedene Weise erfolgen. Wir wollen die Möglichkeiten des Fktorisierens im Folgenden noch einml zusmmenstellen.
. Multipliktion und Division 3 Kürzen von Bruchtermen ) Fktorisieren von Zhlen und Potenzen Zhlen und Potenzen sind in Fktoren zu zerlegen.. In mnchen Fällen ist der neutrle Fktor hinzuzufügen.. Brüche mit gleichem Zähler und Nenner hen den Wert. 4. 3. xyz 3xz 4yz 34xyzz 3xz 6 6 8 63 3 ( ) ( )x ( ) x x 3x4y (3x4y) 4y3x (3x4y) ) Fktorisieren durch Ausklmmern Durch Umkehrung des Distriutivgesetzes + c ( + c) lässt sich eine Summe in ein Produkt verwndeln. Der Term x wird umgeformt in x. Dmit lässt sich ls Fktor usklmmern. In den folgenden Beispielen lässt sich zunächst kein gemeinsmer Fktor erkennen, deshl wird nur teilweise usgeklmmert. Ddurch entsteht ein gemeinsmer Summenterm ls Fktor, der usgeklmmert werden knn.. m + m cm m (+-c). D d (D d ) 4 4 4 3. x x (x ) 4. ( ) 5. x + x + y + y x + y + (x + y) (x + y) + (x + y) (xy)( ) 6. x + x x ( x) + x ( x) (x)( x) 7. 3x 6 x + 3 (x ) (x ) (x)(3 ) 8. xz x yz + y z + x (z ) y (z ) (z ) (z) (xy )
4 Elementre Rechenopertionen c) Fktorisieren mit Hilfe der Binomischen Formeln Durch Umkehrung der Binomischen Formeln lssen sich lgerische Summen in Produkte verwndeln.. 5x 9y (5x) (3y) 5x3y)(5x 3y). 0,49x (0,7x) (0,7x )(0,7x ) 3. x + 0x + 5 x + 5x + 5 4. sin + 4 sin + 4 (sin ) (x 5) 5. 36 tn tn tn + tn 36 tn 6 tn tn + tn (6tn tn ) 6. sin (sin )(sin ) sin sin sinα Erweitern von Bruchtermen Die Brüche,, 4,... hen lle denselen Wert. Sie sind durch Erweitern entstnden. 4 8 Unter Erweitern versteht mn die Formänderung eines Bruches durch Multiplizieren von Zähler und Nenner mit dem gleichen Term ( 0). Ds Erweitern wird huptsächlich ngewndt eim Addieren und Sutrhieren, um ungleichnmige Brüche oder Bruchterme gleichnmig zu mchen. Um im Nenner keinen negtiven Term zu hen, wird der Bruch mit ( ) erweitert. Der Zähler soll uf die Form ( ) gercht werden... 3. T T T3 T 0,T3 0 T T T 3 3 33 7 3 7 3 73 37 ( ) ( ) ( ) () ( ) xy (xy) ( ) yx Der Nenner soll uf die Form x y gercht werden. Dzu ist eine Erweiterung mit (x + y) erforderlich. 4. ( )( )(xy) y x ( )( x y)(x y) xy x y
. Multipliktion und Division 5..6.4 Addition und Sutrktion von Bruchtermen Die Rechenregeln des Bruchrechnens gelten uch für die Bruchterme. Bruchterme mit gleichen Nennern (gleichnmige Bruchterme) werden ddiert zw. sutrhiert, indem mn die Zähler ddiert zw. sutrhiert und die Nenner eiehält... c c cc x y 3y 3x x x x xy3y3x 5x4y x x Ungleichnmige Bruchterme müssen durch Erweitern uf den Huptnenner zuerst gleichnmig gemcht werden. 3. x x 3y () 3y 3y x x3y x3y 3yx Um den Bruchterm in der einfchsten Form zu erhlten, sollte der Huptnenner ds kleinste gemeinsme Vielfche (kgv) ller Einzelnenner sein. 3y 3y 6y x 6xy x 3y 3y 6xy Wenn die Nenner us verschiedenen lgerischen Summen estehen, muss für die Brüche ein gemeinsmer Huptnenner ls kleinstes gemeinsmes Vielfches gesucht werden, um die Brüche gleichnmig zu mchen. Nur so lssen sich die Brüche zusmmenfssen. Der Huptnenner ist im folgenden Beispiel (x 5) (x + 5). 4. x x 4x x5 x0 x 5 x5x x5x 4x x5x5 x5x0 (x 5) x 4x 0x 0 (x x 5x 5) 8x (x 5) x 0x 5 (x 5) (x 5) x 5 (x 5) (x5)(x5) x0
6 Elementre Rechenopertionen Aufgen zu..6. Brüche ls rtionle Zhlen Verwndeln Sie folgende us unendlichen periodischen Dezimlzhlen estehende Quotienten und Produkte in Brüche mit gnzzhligen Zählern und Nennern.. 0,3 0,09 3. 0,09 0,0830, 5. 0,090,07 0,00 7. 0,50,5 0,50,. 0,083 0,5 4. 0,4857 0, 0,4857 6. 3,85430,75 8,570,3 8.,083 0, 4,083 zu..6. und..6.3 Multipliktion und Division von Bruchtermen x mn 9. 4n 3 ( x) 9. 0. 3 sin x tn x 3 3sinx.. x 0. x sin x sinx cos x nx. : xn 3. 4. mn x nm n m x x x x (x) x x. : sin cos sin cos 3. : sin sin x y 5. xy xy xy 6. xy x y 7. x y x y x 4x 3x 4. : nm 3m m n 6n xy 5. y : y : x x x x 6. : x y y x xy 8. x y xy 7. (x)(4 4) : x ()( x)
. Multipliktion und Division 7 Kürzen von Bruchtermen Vereinfchen Sie folgende Bruchterme durch Kürzen. 8. 4x 7y 9. 30. 3. 3. 33. 34. 35. 36. 48x x 33 6 6 39 x 3 x6 ( n) (n)(n) (x)()x x( ) 8 37. 38. 39. 40. 4. 4. 43. 44. 3x ()(3x) (x )( ) (x )( ) m n ( n m) 4 (5x7y)(x ) (5x 49y )(x) 4 4 () () sin x cos x cos x(cos x ) sin sin sin cos tn tn Erweitern von Bruchtermen Erweitern Sie folgende Bruchterme uf den neuen Nenner. 45. 46. 47. x x 49. x x 4 xx 7x 50. x 3 69 x xx x x 4x4x x 5. 4x 4x x 4x 48. x3 x x 8x8 5. x x
8 Elementre Rechenopertionen zu..6.4 Addition und Sutrktion von Bruchtermen Fssen Sie folgende Brüche durch Addieren zw. Sutrhieren zusmmen. 53. x x 6. 54. 55. 3x 4x x x 63. 3 3 64. 4x 3 x x x x 5 5 0 56. x 3 5 x x4 x4 65. x 3x x x 4x4 57. x x x 66. x x 3x x x x3 58. 4 4 x3 x x,5 67. 3 8 x3 x5 x x5 59. 3 x x 68. x x 60. 8x y x xy xy yx 69. x 0 6 53 53 5 9 6. 3x x 5x x x x 70. 4 4 6 4
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