3. Vorlesung. Lineare Algebra und Koordinatenwechsel. In dieser Vorlesung behandeln wir die Vorzüge von Koordinatenwechseln. Insbesondere werden wir über geeignete Koordinatenwechsle zu einer Klassifikation der lineare Abbildungen der Ebene kommen.. Invariante Geraden. Satz. Sei p A (x) : x Spur(A) x + det(a). Dann ist Beweis. durch Nachrechnen. p A (A) Satz. Die Eigenwerte der Matrix A Mat R sind gegeben durch λ / ( Spur(A) ± ) Spur (A) 4det(A) Beweis. Nach Definition sind die Eigenwerte λ R die Lösungen p A (λ), für das Minimalpolynom p A von A. Satz. Jede lineare Abbildung L : R R mit det L ist eine Bijektion. Beweis. Es gibt eine Matrix A Mat R mit Setze B : A. Dann ist L L A (L A L B )(v) L A (L B (v)) A(Bv) AA v v Klaus Johannson, Lineare Algebra (L/L5)
. Lineare Algebra (L/L5) Somit ist L A L B id. Ebenso zeigt man L B L A id Also ist L B eine Links- und eine Rechts-Inverse von L A. Demnach ist L L A eine Bijektion. Satz. Jede lineare Abbildung L : R R mit det L bildet Geraden auf Geraden ab. Beweis. Genauer bildet L die Gerade g { u + t(v u) t R } auf die Gerade L(g) : { L(u) + t(l(v) L(u)) t R } ab, denn L(u + t(v u)) L(u) + t(l(v) L(u)) da L eine lineare Abbildung ist. Satz. Sei L : R R eine lineare Abbildung mit det L und Spur(A) > Dann gibt es eine invariante Gerade, d.h. eine Gerade g R mit g und L(g) g Beweis. Da det A und SpurA >, hat L zwei verschiedene Eigenwerte λ / R. Zu jedem Eigenwert gibt es einen -dimensionalen Eigenraum E(L,λ i ) : ker(a λ i I) mit Also sind E(L,λ ) E(λ ) {} und R E(L,λ ) + E(L,λ ) g i : E(L,λ i ), i, zwei invariante Geraden.. Klassifikation von Linearen Abbildungen. Definition. Sei det A. Dann A heißt elliptisch Spur < A heißt parabolisch Spur Klaus Johannson, Lineare Algebra (L/L5)
A heißt hyperbolisch Spur >. 3 Koordinaten. 3 Beispiele. cos α sin α () Spur cos sin α cos α α + sin α <, for all α. Dies ist eine Drehung. b () Spur +. Dies ist eine Scherung λ (3) Spur λ + /λ λ >. 3. Koordinatenwechsel. Sei L : R R eine lineare Abbildung. Die Standard Einheitsvektoren e und e definieren das Standard Koordinatensystem. Angenommen wir entscheiden uns ein anderes Koordinatensystem zu wählen. Frage. Was müssen wir ändern. Antwort. Wir müssen die Beschreibungen von linearen Abbildungen ändern. Jede Beschreibung einer linearen Abbildung hängt nämlich von der Wahl eines Koordinatensystems ab. Sehen wir uns das jetzt einmal genauer an. Um eine lineare Abbildung L überhaupt anzugeben brauchen wir eine Matrix A Mat R. Diese könnte man eine Beschreibungsmatrix nennen. Denn sie beschreibt durch die Vorschrift L(x) : Ax eine lineare Abbildung. a b Die Koeffizienten c d dieser Matrix A sind (bzgl. der Basis e,e ) gegeben durch: Ae : ae + ce Ae : be + de Klaus Johannson, Lineare Algebra (L/L5)
4. Lineare Algebra (L/L5) Diese Koeffizienten ändern sich aber bei einer anderen Koordinatenwahl. Hierzu das am besten ein Beispiel zur Illustration: Beispiel. A und 3 5 Ae Ae und 3 5 3 5 ] ] 3 3 5 + + 5 Wir sagen die lineare Abbildung hat die Beschreibungsmatrix e,e. 3e + e e + 5e 3 5 bzgl. der Basis Wir ändern jetzt das Koordinatensystem indem wir ein neues Koordinatensystem statt durch die bisherigen Basisvektoren e,e festlegen, z. B. durch die Wahl der Vektoren v : und v : als neue Basisvektoren. Wie lautet nun die Beschreibungsmatrix B neuen Basis v,v? Es muss ja wieder gelten Betrachten wir Gleichung (). Wir haben () L(v ) Bv av + cv () L(v ) Bv bv + dv Av Also müssen wir das Gleichungssystem av 9 + cv a 3 5 ] + c Nun ist und so a c 9 ] 9 3 ] a c a b c d in der Klaus Johannson, Lineare Algebra (L/L5)
3 Koordinaten. 5 Also lautet die Beschreibungsmatrix für L im Koordinatensystem v,v : B 3?? Die zweite Spalte berechnet man genauso. Diesmal indem man das zweite Gleichungssystem () löst. In den meisten Fällen wird die Beschreibungsmatrix im neuen Koordinatensystem nicht einfacher aussehen. Aber es gilt: Satz. Determinante und Spur einer linearen Abbildung sind für jedes Koodrdinatensystem gleich. Beweis. ohne Beweis. Satz. Sei A Mat R eine Matrix mit det A und SpurA > Dann hat A zwei invariante Eigengeraden g,g. Seien v i g i nicht-verschwindende Vektoren. Dann ist die Beschreibungsmatrix für A bzgl. der neuen Basis v,v eine Diagonalmatrix. Beweis. Wir haben Av λ v und Av λ v also lautet die Beschreibungsmatrix in dem neuen Koordinatensystem λ B λ Dies beweist den Satz. Bemerkung. Wir sehen also, dass sich alle linearen Abbildungen mit det und Spur > geometrisch wie Diagonalmatrizen verhalten. Hieraus beweist man dann z.b. leicht, dass hyperbolische Matrizen Kreise auf Kreise usw. abbilden. Wir käonnen aber darauf nicht mehr engehen. Literature. K. Jänich, Lineare Algebra S. Lang, Linear Algebra H. Zieschang, Lineare Algebra und Geometrie Klaus Johannson, Lineare Algebra (L/L5)