Mathematik in Strömungen Ein Rätsel und ein Paradoxon László Székelyhidi Jr.
Leonardo da Vinci 1452-1519
Tinte und Sirup
Tinte und Sirup Wirbelstürme
Tinte und Sirup Wirbelstürme Turbulenzen beim Fliegen
Wie groß ist der Luftwiderstand eines Balls?
Ein Tennisball im Windtunnel
R
Strömung U R Geschwindigkeit U Radius Dichte ρ R? Kraft F
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ U 2
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ U 2
Einheiten: U m s R m F mg s 2 ρ g m 3 ρ U 2 R 2
Strömung U R Newton (1687) : F proportional zu ρr 2 U 2
Strömung U R Newton (1687) : F = ρr 2 U 2 c w c w : Widerstandskoeffizient
F = c w ρr 2 U 2 Dreisatz: Wenn der Ball 2x größer/schneller ist, dann ist die Widerstandskraft 4x größer.
F = c w ρr 2 U 2 F R U ρ (bei konstanter Dichte )
F = c w ρr 2 U 2 F Falsch R U ρ (bei konstanter Dichte )
Das Paradoxon Experimente zeigen: Bei einer bestimmten kritischen Größe und Geschwindigkeit sinkt die Widerstandskraft mit wachsender Geschwindigkeit! G. Eiffel (1912)
F = c w ρr 2 U 2 Bei einer bestimmten kritischen Größe und Geschwindigkeit sinkt die Widerstandskraft mit wachsender Geschwindigkeit! Der Grund: c w nicht wirklich konstant c w RU
typische Größe und Geschwindigkeit eines Golfballs c w RU
typische Größe und Geschwindigkeit eines Golfballs c w RU
Mathematische Beschreibung der Strömung
Beschreibung der Strömung I.
Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen
Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen
Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen
Beschreibung der Strömung I. mit der Position X(t) von jedem Flüssigkeitsteilchen
Wir müssen gleichzeitig die Position von jedem Flüssigkeitsteilchen beschreiben
Wir müssen gleichzeitig die Position von jedem Flüssigkeitsteilchen beschreiben
Beschreibung der Strömung II.
Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung
Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit x u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung
Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit x u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung
Beschreibung der Strömung II. mit der Geschwindigkeit u(x, t) an jedem Punkt x der Strömung
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)?
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? u(x, t) = Geschwindigkeit der Strömung am Punkt x X(t) = Position eines Flüssigkeitsteilchens
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? u(x, t) = Geschwindigkeit der Strömung am Punkt x X(t) = Position eines Flüssigkeitsteilchens Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Geschwindigkeit= dx(t) dt = u(x(t),t)
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u
Was ist der Zusammenhang zwischen u(x, t) und X(t)? Beschleunigung= d 2 X dt 2 = tu + u u
Die Gleichungen der Strömungsmechanik
Die Gleichungen der Strömungsmechanik I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft II. Erhaltung der Masse alles was reinfließt muss wieder rausfließen
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft II. Erhaltung der Masse alles was reinfließt muss wieder rausfließen
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ d2 X dt 2 = Kraft
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= Kraft Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p Druck p Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit
Druck entsteht wegen dem Gesetz der Erhaltung der Masse
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p + u Druck Kraft = Widerstand auf Grund von Zähigkeit der Flüssigkeit
I. Das Newton sche Gesetz Masse x Beschleunigung = Kraft ρ ( t u + u u)= p + u drei Gleichungen für vier Unbekannten u =(u 1,u 2,u 3 ) und p
Die Gleichungen der Strömungsmechanik I. Das Newton sche Gesetz ρ ( t u + u u)= p + u II. Erhaltung der Masse alles was reinfließt muss wieder rausfließen
Erhaltung der Masse x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = (pro sekunden)
Erhaltung der Masse x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = 1 u 1 (pro sekunden)
Erhaltung der Masse x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = 1 u 1 (pro sekunden)
Erhaltung der Masse - die Divergenz x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus =
Erhaltung der Masse - die Divergenz x 2 x 1 Flüssigkeit rein - Flüssigkeit raus = 1 u 1 + 2 u 2
Erhaltung der Masse - die Divergenz x 2 x 1 div u = 1 u 1 + 2 u 2 + 3 u 3
Die Gleichungen der Strömungsmechanik I. Das Newton sche Gesetz ρ( t u + u u)= p + u II. Erhaltung der Masse div u =0
Die Navier-Stokes Gleichungen I. Das Newton sche Gesetz ρ( t u + u u)= p + u II. Erhaltung der Masse div u =0 vier Gleichungen für vier Unbekannten
Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?
Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?...oder können Singularitäten auftreten?
Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?...oder können Singularitäten auftreten? z.b. immer schneller und schneller rotierende Wirbel...
Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung?...oder können Singularitäten auftreten?
Das Rätsel Haben diese Gleichungen in jeder Situation eine Lösung? Millenium Preisfrage des Clay Mathematical Instituts in den USA Preis: $1 million
Wie reich auch immer die Fantasie des Menschen ist, Natur ist tausendfach reicher. Henri Poincaré (1897)
Tennis und Mathematik: http://wings.avkids.com/tennis/project/index.html Millenium Preisfragen: http://www.claymath.org/millennium/