Vorkurs Mathematik 2 3 LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN 3 Lösen von Gleichungssystemen Zu Beginn des Kurses haben wir folgendes Gleichungssystem gelöst: 2 + 3y = 5 () + 2y = 4 (2) In diesem Beispiel haben wir genau eine Lösung erhalten. Ist dies immer so? Um diese Frage u beantworten betrachten wir das Problem geometrisch. Verschiedene Lösungsmengen Wir haben ein Gleichungssystem a + by = e (3) c + dy = f (4) Beide Gleichungen können u Geradengleichungen der Form y = m + b umgeformt werden,.b. (3) u y = a b + e b. (Wir seten hier b = voraus, denn mit b = wäre die Aufgabe einfach u lösen.) Ihre jeweilige Lösungsmenge ist also eine Gerade. Die gemeinsamen Lösungen sind also die Punkte, die auf beiden Geraden liegen. h h g g g h (a) Geraden kreuen sich (b) Geraden sind parallel (c) Geraden fallen aufeinander Was gibt es da für Möglichkeiten und wie häufig treten die verschiedenen Fälle auf? Für Fall (c) müssen g und h genau gleich sein, für Fall (b) müssen sie mindestens dieselbe Steigung haben und im Fall (a) sind wir sobald sie verschiedene Steigungen haben. Also ist Fall (a) (mit Abstand) am wahrscheinlichsten, dann Fall (b) und am unwahrscheinlichsten ist Fall (c). Dieses Resultat gilt auch für n Gleichungen mit n Unbekannten. Anahl Gleichungen= Anahl Unbekannte Wie sieht es aus wenn die Anahl Gleichungen m nicht mit der Anahl Variablen n übereinstimmt? 35
Vorkurs Mathematik 2 3 LÖSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN m < n: Man denke nur an m =, n = 2, eine Gleichung der Form a + by = c. Dies ist, gemäss vorher, eine Geradengleichung und hat somit unendlich viele Lösungen. m =, n = 2 ist kein Speialfall, falls m < n kann es unendlich viele Lösungen geben. Haben wir mehrere Gleichungen (m > ), so kann es auch vorkommen, dass die Gleichungen einander widersprechen. In diesem Fall gibt es keine Lösung. m > n: Hieru denke man wieder an Geraden: Nehmen wir m = 3, n = 2, 3 Geraden. Was für Möglichkeiten gemeinsamer Punkte gibt es? Vergleiche dau die folgende Abbildung. P= ( p, y p) (a) Geraden haben gemeinsamen Schnittpunkt P (b) Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt (c) alle drei Geraden fallen aufeinander Es gibt die gleichen drei Möglichkeiten wie vorhin! Wie wahrscheinlich sind die verschiedenen Möglichkeiten? Damit Fall (c) eintritt müssen die Gleichungen dieselben Geraden liefern, m und b der Gerade sind bereits durch eine Gleichung festgelegt. In Fall (a) muss nur P auf jeder Gerade liegen, jede Gleichung kann ein anderes m haben, allerdings ist das ugehörige b dann durch P festgelegt, denn y p = m p + b. Im Fall (b) muss nur gelten, dass wir nicht in Fall (a) oder in Fall (c) sind. Fall (b) ist hier also (mit Abstand) am wahrscheinlichsten (die Gleichungen müssen naheu keine Bedingungen erfüllen), gefolgt von Fall (a) und dann Fall (b). Es dürfte klar sein, dass es sich gleich verhält, wenn wir 4 oder mehr Geraden, also 4 oder mehr Gleichungen haben. Und auch für mehr als wei Variablen lässt sich dieses Resultat verallgemeinern. Wir fassen usammen: Sat. Sei n die Anahl Variablen und m die Anahl Gleichungen. Dann gilt n > m: Entweder gibt es unendlich viele Lösungen oder die Gleichungen widersprechen sich und es gibt keine Lösung. n = m: Meistens gibt es genau eine Lösung, dass es keine oder unendlich viele gibt kann aber auch vorkommen. n < m: Meistens gibt es gar keine Lösung, dass es genau eine oder unendlich viele gibt kann aber auch vorkommen. 36
Vorkurs Mathematik 2 4 VEKTOREN Wie wahrscheinlich die verschiedenen Fälle genau sind, und was es für Unterscheidungskriterien es gibt, sind Sachen die man in einem fortgeschrittenen Kurs untersuchen könnte, hier würden sie allerdings den Rahmen sprengen. Lösen von Gleichungssystemen mit n Variablen Hier erweist sich das Additionsverfahren als die robusteste Methode. Man benutt alle(!) m Gleichungen, um m Gleichungen u erhalten, die nur noch von n Variablen abhängen. Dies tut man solange, bis man nur noch eine Gleichung hat. Wir nehmen die Lösung(en) dieser Gleichung und seten sie in die vorher aufgetauchten Gleichungen ein, um Schritt für Schritt die Werte der anderen Variablen u erhalten. Alle Gleichungen muss man verwenden, weil das ignorieren einer Gleichung der Preisgabe der Bedingung gleichkommt, die die Gleichung an die Lösungsmenge des Systems stellt. Beispiel (für n = m = 3). Wir wollen 2 + y = 3 (5) 3 + 2y + = 5 (6) + y + 2 = 6 (7) mit dem Additionsverfahren lösen. Wir addiern (5) u (6) und (5) weimal u (7) hinu (N.B.: Es werden alle drei Gleichungen verwendet!) und erhalten 5 + 3y = 8 (8) 3 + 3y = 2 (9) nun multipliieren wir (9) mit und addieren die Gleichungen. Wir erhalten 2 = 6 und so = 3. Dies seten wir in (8) oder (9) ein und erhalten y =. Nun seten wir und y in eine der ursprünglichen drei Gleichungen ein und erhalten: = 4. 4 Vektoren Der Begriff des Vektors Vektoren sind gerichtete Grössen, also Gegenstände, die neben einer Grösse auch noch eine Richtung haben. Bislang haben wir nur mit skalaren Grössen gearbeitet, Gegenständen, die nur eine Grösse haben. Beispiele für skalare Grössen: Temperatur, Gewicht, Höhe 37
Vorkurs Mathematik 2 4 VEKTOREN Beispiele für Vektoren: - Kraft: Einerseits hat eine Kraft eine Stärke, andererseits eine Richtung in der sie wirkt.. - Bewegung: Einerseits hat eine Bewegung eine Geschwindigkeit, andererseits eine Richtung in der sie stattfindet. ) Oder, ein wenig abstrakter: - Punkte im Raum: Einerseits haben sie einen Abstand vom Ursprung, andererseits eine Richtung in der sie liegen. Darstellung von Vektoren p P y Vektoren werden meist als Türme von Zahlen, manchmal auch als Zeilen beschrieben. Im ersten Fall spricht man von Spaltenvektoren und im weiten Fall von Zeilenvektoren. Beispiel. 2 3 4, 7, 2.5 3/ 4. oder auch (5,, 8) oder, etwas abstrakter a b c, y oftmals aber auch abgekürt mit Pfeil.B.: v,a. Wenn wir einen Vektor a haben, so schreiben wir ihn epliit als a a 2 a 3 Die a i beeichnet man als Koordinaten., Operationen mit Vektoren Was kann man mit Vektoren tun? - Addieren: a + b = a a 2 a 3 + b b 2 b 3 := a + b a 2 + b 2 a 3 + b 3 Man sagt auch: Die Vektoren werden koordinatenweise addiert. a + b a b 38
Vorkurs Mathematik 2 4 VEKTOREN Beispiel. 3 6 5 + 7 8 = 4 6 - Mit einem Skalar multipliieren: c a := c a c a 2 c a 3 wobei c eine gan normale Zahl ist. Später werden wir statt c a nur noch ca schreiben. c a a Beispiel. 4 2 7 9 = 8 28 36 - Skalarprodukt: Zwei Vektoren werden multipliiert und liefern uns ein Skalar: a b = a a 2 b b 2 := a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 3 b 3 Beispiel. 2 5 3 7 9 = 2 7 + 5 + 3 9 = 46 - Betrag nehmen: Dies heisst Grösse des Vektors rausfinden: a := a 2 + a2 2 + a2 3, wenn a = a a 2 a 3 Beachte: Wegen dem Skalarprodukt gilt: a a = a a 2 a a 2 = a 2 + a 2 2 + a 2 3 a 3 a 3 und so Beispiel. Sei a = (3, 4, ). Dann ist a = a a a = 3 2 + 4 2 + 2 = 25 = 5 39
Vorkurs Mathematik 2 5 GERADEN IN EBENE UND RAUM - Normieren: Dies bedeutet den Vektor u einem Vektor gleicher Richtung, aber der Länge machen: a a := a a Je nachdem woran wir arbeiten lohnt es sich Vektoren als frei im Raum oder, in dem man einen Ursprung wählt, relativ ueinander u betrachten. Freie Vektoren beeichnet man als Richtungsvektoren, an einen Ursprung gebundene als Ortsvektoren. y y (a) Richtungsvektor (b) Ortsvektor Wie bestimmt man den Winkel wischen wei Vektoren? Mit Hilfe des Skalarprodukts! Es gilt die Formel ur Berechnung des Winkels wischen wei Vektoren. Seien a, b wei Vektoren und γ der von ihnen eingeschlossene Winkel. a Dann gilt a b γ a b = cos γ b 5 Geraden in Ebene und Raum In der Ebene Wir haben gesehen, dass Geraden in der Ebene durch Gleichungen der Form y = m+b beschrieben werden können, wobei m die Steigung und b der y-achsenabschnitt sind. Nun wollen wir Geraden durch Vektoren ausdrücken.dau nehmen wir einen beliebigen Punkt p auf der Geraden g. Sei nun q ein anderer Punkt von g und r = q p der Vektor von p nach q. Nun sieht man, dass alle Punkte von g durch Vielfache von r, angehängt an p beschrieben werden: g = {p + tr t R} oder epliiter: Sei (, y) ein Punkt in g. Dann gilt p r = + t = p + tr für ein t R y p 2 r 2 4
Vorkurs Mathematik 2 5 GERADEN IN EBENE UND RAUM g P q r Q g P tr g p p y (a) Gerade durch Gleichung y = m + b gegeben y (b) Gerade mit wei Punkten P, Q und r y (c) Gerade durch Vektoren gegeben Beispiel. Wir wollen die Gerade g, gegeben durch y = 2 + 5 mittels Vektoren darstellen. Dau brauchen wir wei Punkte auf g. Als Erstes nehmen wir den Punkt p mit =. Die Gleichung liefert p = (, 7). Dann nehmen wir q mit = 2. Wir erhalten q = (2, 9). Wir bilden r = q p = (2, 9) (, 7) = (, 2). Nun sind die Punkte von g gegeben durch = + t = p + tr für ein t R y 7 2 Wir überprüfen die Richtigkeit unserer Darstellung, in dem wir sie in die Geradengleichung einseten: y = 2 + 5 = 2( + t) + 5 = 2 + 2t + 5 = 7 + 2t Also erfüllen die Punkte für alle t die Gleichung. Im Raum Nun gehen wir in den Raum. Hier gibt es keine einfache Beschreibung wie in der Ebene mehr. Aber mit Vektoren klappts. Gleich wie in wei Dimensionen wählen wir p, q und somit r und alles läuft genau gleich, ausser dass die Vektoren jett drei statt wei Koordinaten haben. Die Gerade g wird wiederum beschrieben durch: g = {p + tr t R} Diese Darstellung von Geraden durch Vektoren wird als Parameterdarstellung beeichnet, wobei die Variable t der Parameter ist. Zu jedem Punkt auf der Geraden gehört genau ein Wert des Parameters. Ferner beeichnet man r als den Richtungsvektor der Geraden. Notation: Ist g in Parameterdarstellung gegeben so schreibt man kur g : p g + tr g. 4
Vorkurs Mathematik 2 5 GERADEN IN EBENE UND RAUM Anwendungen Nun können wir verschiedene Probleme mit Geraden angehen, um Beispiel: - Liegt ein gegebener Punkt a auf der Geraden g? - Beschreibe die Gerade g, die durch die Punkte a und b geht. Beispiel. Wir wollen eine Aufgabe des ersten Typs lösen. Seien die Punkte von g gegeben durch y = 2 4 6 + t 7 3 4 Wir wollen überprüfen ob q = (6,, 4) auf g liegt. Damit der Parameter t auf der -Koordinate den richtigen Wert liefert, muss er den Wert 2 haben, also gilt t = 2. Warum? Für das gesuchte t muss gelten 2 + 7t = = q = 6. Nun überprüfen wir, ob es auf den anderen Koordinaten für dieses t auch stimmt. Und tatsächlich: y = 4 + 2 3 = = q 2 und = 6 + 2 4 = 4 = q 3. Also liegt q auf g.. Lagen von Geraden im Raum Was für Lagen können wei Geraden g und h im Raum ueinander haben? Es gibt vier Arten: (a) sich schneidend, d.h. g und h haben genau einen gemeinsamen Punkt (b) kollinear (parallel), d.h. g und h haben die gleiche Richtung (c) usammenfallend, d.h. g = h (d) windschief: g und h schneiden sich nicht und haben nicht die gleiche Richtung Man beachte, dass Fall (c) ein Speialfall von Fall (b) ist. Damit ergeben sich weitere Probleme: - Was für eine Lage haben wei gegebene Geraden g und h ueinander? - Falls sich g und h schneiden, wo ist der Schnittpunkt? - Finde eine Gerade h durch einen Punkt p, so dass h parallel u einer gegebenen Gerade g ist. Wie geht man solche Probleme an? Kriterien für die Bestimmung von Lagen. Es seien wei Geraden g : p g + tr g und h : p h + s r h gegeben. Dann gilt. g und h sind kollinear r g ist ein Vielfaches von r h, d.h. es gibt ein λ R\{} so dass r g = λr h 42
Vorkurs Mathematik 2 6 EBENEN IM RAUM 2. g und h schneiden sich Es gibt genau ein t R und auch genau ein s R, so dass p g + tr g = p h + sr h Man beachte, dass wir uns, wenn es unendlich viele t und s gibt, die das Gleichungssystem lösen, in Fall (c) befinden und das Kriterium von automatisch erfüllt ist. Wenn es genau eine Lösung gibt, so befinden wir uns in Fall (a). In diesem Fall kann man sich nach dem Winkel wischen den beiden Geraden fragen. Mit Hilfe der Skalarproduktformel findet man ihn leicht: Sat (Winkel wischen wei Geraden). Es seien g : p g + t r g und h : p h + s r h gegeben. Dann gilt für den Winkel γ wischen g und h cos γ = r g r h r g r h. 6 Ebenen im Raum Darstellungen Parameterdarstellung Sei E eine Ebene im Raum. Wir wollen sie durch Vektoren beschreiben. Dau wählen wir einen Punkt a auf der Ebene und die Richtungsvektoren p und q von wei nicht gleichgerichteten Geraden in E, die durch a gehen. q a p b E y 43
Vorkurs Mathematik 2 6 EBENEN IM RAUM Anhand des Bilds sehen wir, dass ein beliebiger Punkt b von E durch Vielfache von p und q, angehängt an a beschrieben werden kann. Somit gilt E = {a + tp + sq t, s R} oder epliiter: Sei (, y, ) ein Punkt in E. Dann gilt y = a a 2 + t p p 2 + s q q 2 = a + tp + sq für je ein t, s R () a 3 p 3 q 3 Analog u der Parameterdarstellung für Geraden schreiben wir, wenn E wie oben gegeben ist, kur E : a + tp + sq. Beispiel. Wir wollen die -y-ebene darstellen. Als a wählen wir den Ursprung (,, ). Eine Gerade, die in der -y-ebene liegt, ist die -Achse. Ein möglicher Richtungsvektor für sie ist (,, ). Eine andere, nicht gleichgerichtete Gerade ist die y-achse. Als ihren Richtungsvektor können wir (,, ) nehmen. Also bilden folgende Punkte die -y- Ebene: y = + t + s mit t, s R Wie sehen denn t und s konkret für einen Punkt aus? Wir nehmen um Beispiel den Punkt (3, 4, ). Wir wollen t und s so finden 3 4 = + t + s gilt und sehen schnell, dass wir dies mit und nur mit t = 3 und s = 4 erhalten. Koordinatendarstellung Gleichung () können wir als drei Gleichungen in den Variablen t und s auffassen: = a + p t + q s y = a 2 + p 2 t + q 2 s = a 3 + p 3 t + q 3 s Durch Elimination von t und s erhalten wir eine Gleichung in, y, der Form A + By + C = D mit A, B, C, D R (2) die jeder Punkt in E erfüllt. Umgekehrt kann man verifiieren, dass jeder Punkt (, y, ) der (2) erfüllt, in E liegt. Wir haben analog ur Geradengleichung in der Ebene eine einfache Gleichung gefunden, deren Lösungsmenge eine Ebene im Raum ist. 44
Vorkurs Mathematik 2 6 EBENEN IM RAUM Beispiel. Sei E gegeben durch y = + t + s mit t, s R In Gleichungen übersett: = t s = t s y = + t + s = t = + t + s = s Wir addieren die weite Gleichung ur ersten hinu. Übrig bleibt + y = s = s Und weiter addieren wir die neue weite Gleichung ur neuen ersten hinu. Dies liefert + y + = Also haben wir wie erwünscht eine Gleichung der Form (2) mit A = B = C = D = erhalten. Begriffe Wir haben nun also wei Darstellungen der Ebene im Raum, einerseits mit Vektoren, andererseits als Lösungsmenge einer Gleichung. Erstere heisst Parameterdarstellung, wobei t, s als Parameter beeichnet werden; lettere Koordinatendarstellung, wobei die Gleichung selbst als Koordinatengleichung beeichnet wird. Anwendungen Mit diesen Werkeugen lassen sich folgende Probleme bearbeiten: - Liegt ein gegebener Punkt p in einer gegebenen Ebene E? - Finde die Parameter-/Koordinatendarstellung der Ebene durch die Punkte a, b,c - Finde die Parameter-/Koordinatendarstellung der Ebene die eine gegebene Gerade g und einen Punkt p enthält - Wo schneidet eine Gerade g, die nicht in einer Ebene E selbst liegt, diese Ebene? - Finde die Schnittgerade weier nicht paralleler Ebenen E und E 2 45
Vorkurs Mathematik 2 6 EBENEN IM RAUM Beispiel. Als Beispiel wollen wir eine Aufgabe des vierten Typs lösen. Wir wollen die Gerade, die durch (2,, 2) und (, 2, ) geht mit der Ebene E von vorhin, gegeben durch + y + =, schneiden. Die Gerade ist gegeben durch y = 2 2 + t Wir seten, y und in die Gleichung von E ein: (2 t) + ( + t) + (2 t) = mit t R Dies führt auf t = 4. Wir seten 4 als Parameter der Gerade ein. Dies gibt uns den Schnittpunkt ( 2, 5, 2). Wir überprüfen ob dieser Punkt tatsächlich in der Ebene liegt + y + = 2 + 5 2 = Normalenvektor Anschaulich ist klar, dass es (bis auf Vielfache) genau einen Richtungsvektor n gibt, der senkrecht auf alle in einer Ebene liegenden Vektoren steht. Diesen Vektor nennt man Normalenvektor, er steht normal d.h. senkrecht auf die Ebene. n E y 46
Vorkurs Mathematik 2 6 EBENEN IM RAUM Man kann eigen, dass folgende Formel gilt: Berechnung des Normalenvektors. Sei E durch A+By +C = D gegeben. Dann ist n = (A, B, C) ein Normalenvektor von E. Anwendungen Wie bestimmt man den Winkel wischen wei Ebenen E, E 2? Sat (Winkel wischen wei Ebenen). Seien E, E 2 wei nichtparallele Ebenen. Dann ist der Winkel wischen den beiden Ebenen genau derjenige wischen den beiden Normalenvektoren. (Diesen Winkel kann man mit dem Skalarprodukt berechnen. Die Formel dau steht auf Seite 4.) Ein weiteres Problem: Wie bestimmt man den Abstand eines Punkts p von einer Ebene E? Dieses Resultat wollen wir herleiten. Wieder kommt uns der Normalenvektor u Hilfe. Sei a = n n der normierte Normalenvektor. Gesucht ist der Betrag des Vielfachen von a, welches p und E verbindet. p a E y Wir müssen die Gerade durch p mit Richtung a mit E schneiden. Oder abstrakter: 47
Vorkurs Mathematik 2 7 KOMBINATORIK Finde t so dass p + t a in E liegt, also die Gleichung A + By + C = D von E erfüllt. Pro memoria: a = n, wobei n = A B und somit n = A n 2 + B 2 + C 2 C Wir seten die Gerade in die Gleichung ein: Umgeschrieben gibt das Nun ist Also Und so A(p + t A n ) + B(p 2 + t B n ) + C(p 3 + t C n ) = D (A 2 + B 2 + C 2 ) n Ap + Bp 2 + Cp 3 + (A2 + B 2 + C 2 ) t = D n = (A2 + B 2 + C 2 ) A2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2 = n Ap + Bp 2 + Cp 3 + n t = D t = D (Ap + Bp 2 + Cp 3 ) n = D (Ap + Bp 2 + Cp 3 ) A2 + B 2 + C 2 Und weil der Abstand positiv ist, nehmen wir den Betrag hiervon: t = D (Ap + Bp 2 + Cp 3 ) A2 + B 2 + C 2 = Ap + Bp 2 + Cp 3 D A2 + B 2 + C 2 wobei die lette Umformung nur aus ästhetischen Gründen getätigt wurde. Wir haben folgenden Sat bewiesen: Sat (Abstand wischen Punkt und Ebene). Sei p = (p, p 2, p 3 ) ein beliebiger Punkt im Raum. Dann gilt für den Abstand d wischen p und der Ebene E durch A + By + C = D definiert d = Ap + Bp 2 + Cp 3 D () A2 + B 2 + C 2 Formel () wird als Hessesche Normalenform beeichnet. 7 Kombinatorik In der Kombinatorik geht es ums Zählen von Möglichkeiten. Alle hier vorgestellten Formeln lassen sich von einer einelnen Formel, der sogenannten Produktregel der Kombinatorik, herleiten. Grundsätlich reicht es somit aus, sich diese eine Formel u merken. 48