Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug der etsprechede Fuktioe, da für kleie x R die Terme höherer Ordug verachlässigbar sid. G 5 (Kietische Eergie eies relativistische Teilches). Nach Albert Eistei beträgt die Gesamteergie eies Teilches der Masse m E = mc. Dabei ist c die Lichtgeschwidigkeit. Die Masse ist jedoch vo der Geschwidigkeit v des Teilches abhägig; es gilt m = m ( v c ). Hier ist m die Ruhemasse des Teilches; die Ruheeergie ist demach E = m c. Die kietische Eergie ist defiiert als E ki = E E. Bereche mit Hilfe der biomische Reihe die kietische Eergie E ki. Kommt dir der erste Term der berechete Reihe bekat vor? Da v < c, gilt E ki = mc m c = m c ( ) ( v) c = m v + 3 8 m v ( v c ) + Glieder höherer Ordug. Der Term m v repräsetiert die kietische Eergie im klassische Fall (v c), der Term 3 8 m v ( v c ) ist das Glied iedrigster Ordug der Abweichug zwische dem relativistische Fall ud dem klassiche Fall. G 6 (Tayloretwicklug). Durch Itegratio der Taylorreihe der Ableitug vo arcsi : [, ] R bestimme ma die Taylorreihe der Fuktio arcsi mit Etwicklugspukt.
Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8, Übug, Lösugsskizze Für x < liefert der Umkehrsatz der Differetialrechug ud Satz VII..3 (arcsi) (x) = x = ( x ) = = ( ) ( ) x = = ( Wege arcsi() = erhalte wir aus Satz VI.3. damit die Etwicklug ) x. arcsi(x) = = ( ) + x+. Ud wege ( ist ) + = ( )( 3) 3 ( + )()( ) 4 arcsi(x) = x + 6 x3 + 3 4 x5 + 5 336 x7 +... G 7 (Cauchys Beispiel). Betrachte die Fuktio f : R R defiiert durch f(x) := {e x, für x, für x =. (a) Zeige, dass f C (R) ud f () () = für N gilt. (b) Bereche die zugehörige Taylorreihe vo f a der Stelle. Auf welcher Teilmege M R ist T (f) koverget? Auf welcher Teilmege N R gilt f = T (f). (a) Um eizusehe, dass f C (R) ud f () () = für N gilt, bemerke wir zuächst, dass f auf R vo der Klasse C ist ud f () (x) für x vo der Form f () (x) = p ( x e x ) ist, wobei p (t) = ud p (t) für ei N ei Polyom vom Grade 3 i der Variable t ist (Iduktio). Wege p ( x x e x ) = gilt f C (R) ud f () () = für N. (b) Nach Teilaufgabe (a) gilt = f ()()! x =, d.h. die Taylorreihe T (f) kovergiert auf gaz R gege die Nullfuktio. Somit stimmt die Fuktio f ur a der Stelle mit ihrer Taylorreihe überei. Es ist also eie besoders schöe Eigeschaft, we eie C - Fuktio eie auf eiem Itervall I R kovergete Taylorreihe besitzt ud durch diese dargestellt wird.
Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8, Übug, Lösugsskizze 3 Hausübug H 5 (Vertauschug vo Limes ud Itegratio I). Es sei f (x) = xe x für x [, ). (a) Für welche x [, ) kovergiert f (x) puktweise gege eie Fuktio f(x)?. Bestimme f(x) für diese x [, ). (b) Ist die Kovergez gleichmässig? Hiweis: Betrachte die Maxima vo f. (c) Gilt f (x)dx = f(x)dx? (a) Es gilt f (x) = für alle x [, ), d.h. die Folge (f ) kovergiert auf x [, ) puktweise gege die Nullfuktio. (b) Es gilt (f ) (x) = ( x )e x. Der kritische Pukt ist x =. Dass bei wirklich ei Maximum vorliegt rechet ma leicht ach, ist aber für die Aufgabe uwichtig. Es folgt f (x ) = e ud f (x ). Wege f f = f e liegt also keie gleichmäßige Kovergez vor. (c) Es ist f (x)dx = f (x)dx f(x)dx. d dx (e x )dx =, aber f(x)dx =. Folglich ist H 6 (Vertauschug vo Limes ud Itegratio II). Es sei f (x) = x e x für x [, ). Ma zeige, dass die Folge (f ) auf [, ) gleichmäßig gege kovergiert, aber Ist dies ei Widerspruch zu Satz VI.3.? f (x)dx >. Es gilt (f ) (x) = e x ( x ). Daraus sieht ma, dass f im Itervall [, ] mooto wächst ud im Itervall [, [ mooto fällt. Sie immt also für x = ihr absolutes Maximum a, ud es gilt f (x) f = e für alle x [, ) ud alle. Daraus folgt die gleichmäßige Kovergez der Fuktioefolge (f ) gege. Nu bereche wir die Itegrale f (x)dx = e dx = R R e dx.
Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8, Übug, Lösugsskizze 4 Mit der Substitutio t = x wird also R e f (x)dx = R R/ dx = te t dt, R/ te t dt = te t dt. Das Itegral te t dt ist u echt positiv, da es geometrisch de Flächeihalt zwische dem Graph des Itegrade ud der positive x-achse agibt (Skizze!). Also gilt f (x)dx >. Dies ist kei Widerspruch zu Satz VI.3., da wir dort über eie beschräkte Teilmege vo R itegriert habe. H 7 (Ei elliptisches Itegral). Das besoders oft auftretede Itegral K(k) := π dx k si (x), k < wird auch (vollstädiges) elliptisches Itegral.Gattug geat. Elliptische Itegrale trete i zahlreiche Aweduge auf, zum Beispiel bei der Behadlug des mathematische Pedels. Die Bezeichug elliptisches Itegral hat ihre Ursprug i der Berechug der Bogeläge der Ellipse. Ma etwickle K(k) i eie Potezreihe ach k. Für welche k R kovergiert die Reihe? Hiweis: Es gilt π si (x)dx = ( )... 3 4 π. Die Biomialreihe ergibt für de Itegrade die Etwicklug k si (x) = ( ) ( ) k si (x). = Wege k < stellt = k eie kovergete Majorate dar; die Reihe kovergiert also gleichmässig i ], [ ud darf somit gliedweise itegriert werde. Mit dem Hiweis ergibt sich da K(k) = π ( + ( ) k + ( 3 8 ) k 4 + ( 5 48 )k6 +.... H 8 (Tayloretwicklug ud Itegratio). Ma zeige dx = + 3 3 4 4 +...
Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8, Übug, Lösugsskizze 5 ud bereche damit das Itegral bis auf eie Fehler vo 8. Hiweis: Es gilt xk (l(x)) k dx = ( )k )k! (k+) k+. Die Fuktio = e x l(x) hat i eie Grezwert, ka also als stetig i [, ] agesehe werde. Mit f : [, ] R, f(x) = x l(x) ud f() =, gilt = (f(x)) k. k! k= Da f i [, ] beschräkt ist, kovergiert die Reihe ormal i [, ]; sie darf also gleidweise itegriert werde. Der Hiweis liefert u die Behauptug. Zur Berechug der Reihe bis auf 8 geau geüge wege 9 9 > 3, 5 8 ach dem Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe die erste 8 Summade: Damit ergibt sich dx =, 783435 + R, R < 8.