Fachpraktikum Winkelmodulation

Communication Technology Laboratory Wireless Communications Group Prof. Dr. A. Wittneben ETH Zurich, ETF, Sternwartstrasse 7, 8092 Zurich Tel 41 44 632 36 11 Fax 41 44 632 12 09 Fachpraktikum Winkelmodulation Versuch KT 34 Stand: 25. August 2015 Die theoretischen Fragen im Kapitel 4 müssen vor dem Praktikum gelöst werden. Die praktischen Aufgaben vom Kapitel 5 werden während des Praktikums gelöst. Ausgabe: Herbst 2015

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Allgemeine Begriffe und Definitionen................ 1 1.2 Mathematische Grundlagen..................... 2 1.2.1 Goniometrische Formeln................... 2 1.2.2 Besselfunktionen....................... 2 2 Winkelmodulation 5 2.1 Momentaner Winkel, momentane Phase, momentane Frequenz. 5 2.2 Modulation von momentaner Phase (PM) und momentaner Frequenz (FM).............................. 5 2.3 Realisierungsformen für Winkelmodulatoren............ 7 2.4 Demodulation von winkelmodulierten Signalen.......... 9 3 Eintonmodulation 12 3.1 Einton-Modulation.......................... 12 3.2 Spektrum von Einton-FM-Signalen................. 13 3.3 Leistung von Einton-PM-Signalen.................. 14 3.4 Demodulation............................. 15 3.5 Einton-Phasen-Modulation..................... 15 4 Theoretische Aufgaben 17 5 Praktischer Teil 19 5.1 Übertragungsbandbreite (B HF ) bei WM mit allgemeinen Signalen bzw. p(t) (Formel von Carson)................. 19 5.2 Kommerziell eingesetzte WM-Systeme............... 19 5.3 Versuchsaufbau............................ 20 5.4 Messungen.............................. 20 Bibliografie 21

Kapitel 1 Einführung 1.1 Allgemeine Begriffe und Definitionen Kommunikation bedeutet Austausch von Information zwischen mindestens zwei örtlich getrennten Stellen. Diejenige Stelle, welche die Information abgibt, nennt man Sender; als Empfänger bezeichnet man diejenige Stelle, welche die Information entgegennimmt. Sowohl die Information selbst, als auch das Medium, welches Sender und Empfänger verbindet (der Übertragungskanal), kann in verschiedenster Form vorliegen. (Abbildung 1.1) In elektrischen Kommunikationssystemen ist die Information in Form eines elektrischen, zeitlich veränderlichen Signales f(t) gegeben. Für die Übertragung der Information ist vielfach eine Umwandlung von diesem Basis-Informationssignal f(t) erforderlich. Der Prozess, bei welchem die Umwandlung des Basis-Informationssignales f(t) in eine der beabsichtigten Anwendung angepasste Form s(t) erfolgt, wird Modulation genannt. Der Systemteil, welcher die Verwandlung des Informationssignales f(t) in das Sendesignal s(t) besorgt, wird Modulator genannt. Die Rückwandlung des Empfangssignales e(t) in das sogenannte demodulierte Signal f d (t) bezeichnet man als Demodulation. Entsprechend heisst der Systemteil Demodulator. Bei idealem Übertragungskanal (Frequenzgang H(ω) = 1) und störungsfreier Übertragung (Störsignal n(t) = 0) ist das modulierende Signal f(t) gleich dem demodulierten Signal f d (t) [1]. Der Mensch kann mit seinem Gehör nur Frequenzen zwischen etwa 20 Hz n(t) f(t) Modulator s(t) H(jω) + e(t) Demodulator f d (t) Sender Übertragungskanal Empfänger Abbildung 1.1: Blockdiagramm eines Kommunikationssystems. und 20 khz wahrnehmen. Die bekanntesten Informationssignale (Sprache, Musik) liegen in ihrer Originalform hauptsächlich in diesen niederen Frequenzbereichen. Diese Basis-Informationssignale f(t) werden daher Nieder-Frequenz-

2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Signale (NF-Signale) oder Basis-Band-Signale genannt. Für viele nachrichtentechnische Anwendungen ist eine Übertragung des Informationssignales im Basisband nicht möglich. Daher muss das NF-Signal in ein hochfrequentes Signal (HF Signal) umgewandelt werden. Diese Umwandlung erfolgt durch die Variation von bestimmten Parametern eines sogenannten Träger- Signales. Die Variation erfolgt in Abhängigkeit vom Informationssignal f(t). Welche Parameter variiert werden sollen, wird durch die Modulationsart bestimmt. Der Vergleich verschiedener Modulationsverfahren erfolgt hauptsächlich aufgrund folgender Kriterien: benötigte Bandbreite, benötigte Sendeleistung, Empfindlichkeit auf Störungen und praktische Realisierbarkeit. Eine Hauptgruppe von Modulationsverfahren verwendet harmonische Schwingungen als Träger-signale. Normalerweise ist die Frequenz der Trägerschwingung sehr viel grösser als die höchste Frequenz des NF-Signales. Bei der Schwingung s(t) = A cos[θ(t)] lassen sich grundsätzlich die Parameter Amplitude und Winkel in Funktion des Informationssignales verändern. Man unterscheidet daher zwei Modulationsarten: a) Amplitudenmodulation (AM): falls die Amplitude A in Funktion des NF- Signales f(t) variiert wird; z.b. A(t) = A [1+m f(t)], b) Winkelmodulation (WM): falls der momentane Winkel θ(t) in Funktion des NF-Signals f(t) verändert wird, c) AM und WM: kann auch in Kombination angewendet werden (z.b. Quadraturmodulation, QAM). Diese Verfahren sollen hier aber nicht betrachtet werden. Anstelle einer Schwingung als Trägersignal wird in einer weiteren Gruppe von Modulationsverfahren eine Pulsfolge als Trägersignal verwendet. Auf die sich daraus ergebenden Pulspositions- und Pulsamplituden-Modulationsverfahren soll hier nicht näher eingetreten werden. 1.2 Mathematische Grundlagen Die im theoretischen Teil dieser Versuchsanleitung durchgeführten Berechnungen lassen sich unter Zuhilfenahme weniger mathematischer Formeln nachvollziehen. 1.2.1 Goniometrische Formeln sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) (1.1) cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) (1.2) 1.2.2 Besselfunktionen Beliebige in T periodische Funktionen können mit Hilfe von Fourierreihen als Summe von Cosinus- und Sinusschwingungen dargestellt werden. Für die in T

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 3 periodische Funktion s(t) lautet die Fourierreihe beispielsweise: s(t) = A 0 +2 A n cos(nω T t)+2 B n sin(nω T t) n = 1,2,...,ω T = 2π T.(1.3) n=1 n=1 Für die Berechnung der Fourierkoeffizienten A n und B n müssen dabei folgende Integrale gelöst werden: A n = 1 T T/2 T/2s(t)cos(nω T t)dt und B n = 1 T T/2 T/2 s(t)sin(nω T t)dt. (1.4) Für die periodischen Funktionen s(t) = cos[η sin(ωt)] bzw. s(t) = sin[η sin(ωt)] sind obige Integrale für die Bestimmung der Fourierkoeffizienten berechnet und tabelliert worden [2]. Man nennt die Fourierkoeffizienten dieser speziellen Funktionen Besselfunktionen n-ter Ordnung (1. Art) und bezeichnet sie mit J n (η). cos[ηsin(ωt)] = J 0 (η)+2 sin[η sin(ωt)] = 2 J 2n (η)cos(2nωt) (1.5) n=1 J 2n 1 (η)sin[(2n 1)Ωt] (1.6) n=1 Für die in dieser Anleitung aufgeführten Berechnungen sind folgende Eigenschaften der Besselfunktionen zu beachten: n= J n (η) = ( 1) n J n (η) (1.7) J n (η) 0 für n > η +1 (1.8) J 2 n(η) = 1 für alle η (1.9)

4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Tabelle 1.1: Tabelle der Besselfunktion J n (η). η 0.5 1 2 3 4 6 8 10 12 n 0 0.9385 0.7652 0.2239-0.2601-0.3971 0.1506 0.1717-0.2459 0.0477 1 0.2423 0.4401 0.5767 0.3391-0.0660-0.2767 0.2346 0.0435-0.2234 2 0.0306 0.1149 0.3528 0.4861 0.3641-0.2429-0.1130 0.2546-0.0849 3 0.0026 0.0196 0.1289 0.3091 0.4302 0.1148-0.2911 0.0584 0.1951 4 0.0002 0.0025 0.0340 0.1320 0.2811 0.3576-0.1054-0.2196 0.1825 5 0.0002 0.0070 0.0430 0.1321 0.3621 0.1858-0.2341-0.0735 6 0.0012 0.0114 0.0491 0.2458 0.3376-0.0145-0.2437 7 0.0002 0.0025 0.0152 0.1296 0.3206 0.2167-0.1703 8 0.0005 0.0040 0.0565 0.2235 0.3179 0.0451 9 0.0001 0.0009 0.0212 0.1263 0.2919 0.2304 10 0.0002 0.0070 0.0608 0.2075 0.3005 11 0.0020 0.0256 0.1231 0.2704 12 0.0005 0.0096 0.0634 0.1953 13 0.0001 0.0033 0.0290 0.1201 14 0.0010 0.0120 0.0650 J n (η),für n = 1,...,6 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 J 0 (η) J 1 (η) J 2 (η) J 3 (η) J 4 (η) J 5 (η) J 6 (η) 0.2 0.4 2 4 6 8 Abbildung 1.2: Besselfunktionen der Ordnung 1...6. η

Kapitel 2 Winkelmodulation 2.1 Momentaner Winkel, momentane Phase, momentane Frequenz Eine winkelmodulierte Trägerschwingung kann in der allgemeinsten Form als Cosinusfunktion eines zeitlich veränderlichen Winkels θ(t) angeschrieben werden. Dabei wird θ(t) momentaner Winkel genannt. s(t) = A cos[θ(t)], A konstant (2.1) Der momentane Winkel θ(t) wird auch oft als Summe des konstanten Parameters ω 0 multipliziert mit der Zeit t und der sogenannten momentanen Phase φ(t) angeschrieben. Damit erhält man folgende Darstellung: s(t) = Acos[ω 0 t+φ(t)] (2.2) Die Ableitung des momentanen Winkels θ(t) nach der Zeit bezeichnet man als momentane Kreisfrequenz ω m (t).diekonstantegrösseω 0 heisstträgerkreisfrequenz (oft auch als ω c angegeben, c steht für Carrier). ω m (t) = dθ(t) dt = d[ω 0t+φ(t)] dt = ω 0 + dφ(t) dt (2.3) 2.2 Modulation von momentaner Phase (PM) und momentaner Frequenz (FM) Bei den Winkelmodulationsarten wird der momentane Winkel θ(t) in Abhängigkeit des NF-Signals (Informationssignales) verändert. Je nachdem wie das Informationssignal in den momentanen Winkel eingeht, unterscheidet man zwei Modulationsarten. Man spricht von Phasenmodulation (PM), wenn die momentane Phase der Trägerschwingung proportional zum Informationssignal p(t) verläuft 1. PM: φ(t) = φ 0 +k PM p(t) (2.4) 1 Der Eindeutigkeit halber werden die Informationssignale mit p(t) bzw. deren Amplituden mit A p bezeichnet, wenn eine Phasenmodulation beschrieben werden soll; für Frequenzmodulation wird das Informationssignal mit f(t) und die Amplitude mit A f bezeichnet.

6 KAPITEL 2. WINKELMODULATION θ(t) ω m (t) ω 0 t t s(t) φ(t) t t Abbildung 2.1: Momentane Frequenz, Zeitsignal und momentane Phase für einen bestimmten Verlauf des momentanen Winkels. s PM (t) = Acos[θ(t)] = Acos[ω 0 t+φ(t)] = Acos[ω 0 t+φ 0 +k PM p(t)] (2.5) Der konstante Teil φ 0 der Phase φ(t) wird meist als 0 angenommen. k PM ist die (Phasen-) Modulationskonstante. Die maximale Phasenabweichung φ = β PM = k PM p(t) max wird Phasenmodulationsindex oder auch Phasenhub genannt. 2 Die Phasenmodulationskonstantek PM, die Trägerkreisfrequenzω 0 und die konp(t) Phasenmodulator Modulationskonstante k PM Trägerfrequenz ω 0 Trägeramplitude A s PM (t) = Acos[ω 0 +k PM p(t)] Abbildung 2.2: Phasenmodulator. stante Trägeramplitude A sind konstante Grössen und entsprechen den Parametern des Phasenmodulators. Man spricht von Frequenzmodulation, wenn die Momentanfrequenzänderung dφ/dt der Trägerschwingung proportional zum Informationssignal f(t) verläuft. (Beachte: ω m (t) = dθ(t)/dt). FM: ω m (t) = ω 0 +k FM f(t) (2.6) 2 In der Literatur findet man dafür auch das Symbol m.

KAPITEL 2. WINKELMODULATION 7 s FM [ ] t = Acos[θ(t)] = Acos 0 ω m(τ)dτ ] t0 = Acos [ω 0 t+φ 0 +k FM f(τ)dτ (2.7) DerkonstanteTermφ 0 wirdwiederummeistens0gesetzt.k FM istdie(frequenz-) Modulationskonstante. Die maximale Abweichung von der Trägerfrequenz ω = k FM f(t) max wirdkreisfrequenzhub,diegrösse f = k FM f(t) max /2πeinfach Frequenzhub genannt. Die Frequenzmodulationskonstante k FM, die Trägerkreisfrequenz ω 0 und die f(t) Frequenzmodulator Modulationskonstante k FM Trägerfrequenz ω 0 Trägeramplitude A [ s FM (t) = Acos t ω 0 +k FM 0 ] f(τ)dτ Abbildung 2.3: Frequenzmodulator. Trägeramplitude A sind konstante Grössen und entsprechen den Parametern des Frequenzmodulators. Wie Aufgabe 5 (theoretischer Aufgabenteil) zeigt, sind die HF-Signale s FM (t) und s PM (t) gleich, falls für die NF-Signale f(t) und p(t) bzw. für die Modulatorkonstanten die folgende Beziehung gilt: t k PM p(t) = k FM f(τ)dτ (2.8) Daraus folgt der in der Tabelle 2.1 dargestellte Zusammenhang zwischen Phasenund Frequenzmodulation, welcher zeigt, dass mit einem Frequenzmodulator unter geeigneter Vorverarbeitung des Eingangssignals auch phasenmodulierte Signale (bzw. umgekehrt) erzeugt werden können. 2.3 Realisierungsformen für Winkelmodulatoren Grundsätzlich unterscheidet man zwischen direkten und indirekten Winkelmodulationsverfahren. Die indirekte Modulation besteht aus einer Schmalband- WM mit anschliessender Frequenzvervielfachung (Amstrong-Typ). Auf diese Modulatortypen wird aber hier nicht eingegangen. Bei der direkten Modulation wird der momentane Winkel bzw. die momentane Frequenz oder Phase direkt im gewünschten Masse verändert. Dies geschieht beispielsweise mit Hilfe von sogenannten Voltage Controlled Oscillators (VCO), also mit Elementen, deren Ausgangssignal eine Frequenz aufweist, welche direkt durch die Spannung des Eingangssignals variiert werden kann. Solche VCO s sind in integrierter Form erhältlich. Andere (diskret aufgebaute) Realisierungen für die direkte Winkelmodulation arbeiten mit Resonanzkreisen, deren Resonanzfrequenz variierbar ist. So wird beispielsweise die Gesamtkapazität mittels einer sogenannten Kapazitätsdiode (Varicup) in Abhängigkeit von der angelegten Steuerspannung verändert: 0 C(t) = C 0 + C = C 0 +k f(t), wobei C C 0 (2.9)

8 KAPITEL 2. WINKELMODULATION Tabelle 2.1: Zusammenhang zwischen PM und FM. Frequenzmodulator Phasenmodulator f(t) FM s FM(t) = [ ω 0, A, k FM τ Acos ω 0 +k FM 0 ] f(τ)dτ p(t) PM ω 0, A, k PM s PM(t) = Acos[ω 0 +k PM p(t)] Durch Vorschaltung eines Integrators kann auch mit einem Phasenmodulator ein mit dem NF-Signal n(t) frequenzmoduliertes Ausgangssignal s FMn (t) = s PMp (t) erzeugt werden. Durch Vorschaltung eines Differenziators kann auch mit einem Frequenzmodulator ein mit dem NF-Signal n(t) frequenzmoduliertes Ausgangssignal s PMn (t) = s FMf (t) erzeugt werden. n(t) kfm kpm t 0 dt p(t) PM s FMn (t) n(t) kpm ω 0, A, k d kfm dt PM f(t) FM ω 0, A, k FM s PMn (t) Momentanfrequenz ω m(t) = dθ(t) dt = ω 0 + k FM f(t) ω 0 f(t) VCO s FM = Acos[θ(t)] [ ] t = Acos ω 0 + k FM f(τ)dτ 0 Eingangsspannung f(t) Abbildung 2.4: Voltage Controlled Oscillator. Damit ergibt sich folgende (momentane) Resonanzfrequenz: ω rm (t) = 1/ LC(t) = 1/ LC 0 +L C = 1/ LC 0 (1+ C/C 0 ) (1/ LC 0 (1 C/2C 0 ) = ω 0 (1 C/2C 0 ) = ω 0 (kω 0 /2C 0 )f(t) = ω 0 +K f(t) wobei K = kω 0 2C 0 (2.10)

KAPITEL 2. WINKELMODULATION 9 2.4 Demodulation von winkelmodulierten Signalen Bei der Demodulation von WM-Signalen muss die Information, welche in der momentanen Phase, bzw. in der momentanen Frequenz der Trägerschwingung steckt, so verarbeitet werden, dass sie wieder in der Basis-Informationssignal- Form erscheint. Dies wird hauptsächlich durch die Differenziation des Sendesignales bzw. des Empfangssignales bewerkstelligt. Die Ableitung von s HF (t) nach der Zeit liefert nämlich ein Signal x(t), in dessen Amplitude die Winkelinformation enthalten ist. Anschliessende Enveloppendetektion liefert somit das gewünschte demodulierte Signal, d.h das Basis- Informations-Signal. Diese Kombination von Differentiator und Enveloppendetektor wird Frequenz-Diskriminator genannt. Da diese Demodulationsmethode nur dann richtige Ergebnisse liefert, wenn die Amplitude des Eingangssignals in den Diskriminator konstant ist, wird dem Diskriminator oft ein sogenannter Limiter vorgeschaltet. Dieser Limiter soll die Amplitude des HF-Signales auf einen konstanten Wert begrenzen, falls Störungen auf dem Übertragungsweg gewisse Schwankungen der HF-Signal- Amplitude produziert haben. Unter der Annahme, dass s(t) die auf die Amplitude A begrenzte WM-Schwingung Limiter s(t) K D d dt x(t) Enveloppen Detektor f d (t) Diskriminator Abbildung 2.5: Blockschaltbild für die Demodulation. am Eingangdes Diskriminators sei, ergeben sich folgende Signale x(t) und f d (t): ds(t) dacos[θ(t)] x(t) = K D = K D, dt dt K D Differenziationskonstante = K D A dθ(t) sin[θ(t)]. dt (2.11) Für FM-Signale gilt: t θ(t) = ω 0 t+k FM f(τ)dτ 0 t x(t) = K D A[ω 0 +k FM f(t)] sin[ω 0 +k FM f(τ)dτ] f d (t) = K D A ω 0 +K D A k FM f(t) (2.12) Winkeldemodulatoren besitzen also einen zumindest in einem bestimmten Frequenzbereich differenzierenden Funktionsblock. Bei der Behandlung von verschiedenen Demodulationsverfahren werden jeweils sowohl Berechnungen im Zeitbereich wie auch im Frequenzbereich angestellt. Es ist daher wichtig zu 0

10 KAPITEL 2. WINKELMODULATION wissen, dass eine Differentiation im Zeitbereich einer Multiplikation mit jω im Frequenzbereich entspricht (Abbildung 2.6). s(t) H(ω) = jω y(t) = ds(t) dt H(ω) φ(ω) 90 ω ω Abbildung 2.6: Übertragungsfunktion des Differenziators. Realisierung von Differentiatoren bzw. von Winkeldemodulatoren C H(ω) 2 ω Die Spannung über einer Induktivität ist bekanntlich proportional zum differenzierten Strom durch die Induktivität. Analoge Zusammenhänge gelten für die Kapazität. Da jedoch solche Differenziationsschaltungen mit nur einer Spule bzw. mit einem Kondensator meistens zu kleine Ausgangswerte liefern, sind sie für die Demodulation von winkelmodulierten Signalen nur selten geeignet. Hingegen existieren Schaltungen, welche (wenigstens in bestimmten Bereichen) einen linear ansteigenden oder abfallenden Frequenzgang aufweisen. Der differenzierende Bereich liegt in diesen Flanken der Übertragungsfunktion, und man spricht daher von Flanken-Diskriminatoren. Weitere Realisierungen von solchen Demodulatoren sind der bekannte Fosters FM(t) R Output f(t) High-Pass Filter H(ω) Magnitude (Envelope) Detector with DC Blocking Capacitor 0 ω 0 ω Abbildung 2.7: FM-Diskriminator (Flanken-Diskriminator), Übertragungsfunktion. Seeley-Diskriminator, der Travis-Diskriminator oder der Nullstellen-Detektor. Auch diese Diskriminatoren zeigen (zumindest in einem bestimmten Bereich)

KAPITEL 2. WINKELMODULATION 11 eine differenzierende Wirkung, d.h. sie weisen eine linear ansteigende oder abfallende Übertragungsfunktion auf. In modernen Schaltungen trifft man oft Demodulatoren mit einem Phasen- Tuned Circuit I I s FM(t) C 1 C 2 R 1 R 2 R R C C output f(t) Tuned Circuit II (a) Output Amplitude Circuit I ω 0 ω 1 Circuit II ω 2 Total Response of two circuits ω (b) Abbildung 2.8: Travis-Diskriminator. (a) Schaltung, (b) Übertragungsfunktion (Frequenzgang) Regelkreis (Phased-Locked-Loop, PLL) an. Der PLL versucht, die Phase seiner VCO-Schwingung der momentanen Phase der WM-Schwingung nachzusteuern, und damit enthält das Regelsignal das demodulierte Nachrichtensignal.

Kapitel 3 Eintonmodulation 3.1 Einton-Modulation Die Analyse der Frequenzmodulation für allgemeine NF-Signale f(t) ist sehr aufwendig und kompliziert. Es soll deshalb hier vorerst nur die sogenannte Eintonmodulation, d.h. die Modulation mit nur einem Ton bzw. mit nur einer Sinusschwingung f(t) = A f cos(ωt) untersucht werden. Man erhält somit folgende Signale: Bei Einton-FM bezeichnet man das Verhältnis der maximalen NF-Signal: f(t) = A f cos(ωt) ] t0 HF-Signal: s FM (t) = A cos [ω 0 t+k FM f(τ)dτ = A cos[ω 0 t+(k FM A f /Ω)sin(Ωt)] Trägerfrequenzabweichung ω zur Frequenz des modulierenden Signals Ω als Modulationsindex β FM : β FM = ω/ω = k FM A f /Ω (3.1) Bereits jetzt sei darauf hingewiesen, dass FM ein nichtlineares Modulationsverfahren ist, und dass daher das Superpositionsprinzip nicht angewendet werden darf: s FM [f 1 (t)+f 2 (t)] s FM [f 1 (t)]+s FM [f 2 (t)] (3.2)

KAPITEL 3. EINTONMODULATION 13 Unter Beizug der Besselfunktionen (siehe Kapitel 1.2) lässt sich das Einton-FM- Signal folgendermassen anschreiben: s FM (t) = Acos[ω 0 t+β FM sin(ωt)] = A { cos(ω 0 t)cos[β FM sin(ωt)] sin(ω 0 t)sin[β FM sin(ωt)] } { = A cos(ω 0 t)j 0 (β)+2cos(ω 0 t) J 2k (β)cos(2kωt) 2sin(ω 0 t) k=1 } J 2k 1 (β)sin[(2k 1)Ωt] k=1 { = A cos(ω 0 t)j 0 (β)+ k=1 { = A k= k=1 k=1 ( ) J 2k (β) cos[(ω 0 +2kΩ)t]+cos[(ω 0 2kΩ)t] ( )} J 2k 1 (β) cos[(ω 0 +2kΩ Ω)t]+cos[(ω 0 2kΩ+Ω)t] J 2k (β)cos[ω 0 +2kΩ)t]+ } + J 2k+1 (β)cos[(ω 0 +2kΩ Ω)t]+ J 2k 1 (β)cos[(ω 0 2kΩ+Ω)t] { = A = A k= n= J 2k (β)cos(ω 0 t+2kωt)+ J n (β)cos(ω 0 t+nωt) k= k=1 } J 2k 1 (β)cos[ω 0 t+( 2k +1)Ωt] Das Einton-FM-Signal lässt sich also als eine Cosinusschwingung mit konstanter Amplitude und variabler Momentanfrequenz oder als Summe von unendlich vielen Cosinusschwingungen mit unterschiedlichen Amplituden, aber konstanten Momentanfrequenzen anschreiben: s FM (t) = Acos[ω 0 t+β FM sin(ωt)] = A J n (β FM )cos(ω 0 t+nωt) (3.3) n= 3.2 Spektrum von Einton-FM-Signalen Das Amplitudendichtespektrum S FM (ω) für daseinton-fm-signallässtsichaus (3.3) mit Hilfe der Fouriertransformation leicht berechnen [2]: S FM (ω) = πa n= J n (β FM ) [δ(ω ω 0 nω)+δ(ω +ω 0 +nω)] (3.4) Es sei hier nochmals darauf hingewiesen, dass bei der Modulation mit mehreren Tönen nicht einfach die einzelnen Spektren zusammgezählt werden dürfen. Die Amplituden bzw. die Koeffizienten J n (β) an den Stellen ω 0 ±nω für n > n max = β FM + 1 betragen weniger als 15% der Amplitude des unmodulierten

14 KAPITEL 3. EINTONMODULATION Trägers (siehe Tab. der Besselfunktionen, Abschn.1.2). Damit ergibt sich eine HF-Bandbreite B HF für Einton-FM-Signale von: 2πB HF = 2Ω n max = 2Ω(β FM +1) = 2( ω +Ω) (3.5) Falls der Kreisfrequenzhub ω viel grösser ist als die Frequenz des NF-Signales, so vereinfacht sich (3.5) zu 2πB HF 2 ω (3.6) Für ein Einton-FM-Signal mit ω Ω nimmt also die HF-Bandbreite proportional zu mit wachsendem Kreisfrequenzhub ω ( ω = k FM f(t) max ) und ist damit unabhängig von der NF-Signal-Frequenz. Für beliebige Einton-FM- SignalenimmtdieHF-BandbreitemitwachsendemModulationsindexβ FM (β FM = ω/ω) linear zu. Der Abstand der einzelnen Linien des Spektrums beträgt Ω. Abbildung 3.1 zeigt die Einton-FM-Spektren für verschiedene Modulationsindizes. β FM = 0.5 W FM β FM = 2 ω 0 ω f ω 0 + ω f W FM ω 0 (a) ω β FM = 2 ω 0 ω ω 0 (a) W FM ω 0 + ω ω β FM = 4 ω 0 ω ω 0 4ω f ω W 0 + 4ω f FM (b) β FM = 8 ω 0 ω ω 0 (b) W FM ω 0 + ω ω β FM = 8 ω 0 10ω f ω 0 W FM ω ω 0 + 10ω f ω 0 ω ω0 ω 0 + ω ω Abbildung 3.1: Einton-FM-Spektren für verschiedene Modulationsindizes und verschiedene NF-Signal-Frequenzen (W FM =HF-Bandbreite) 3.3 Leistung von Einton-PM-Signalen Der zeitliche Mittelwert einer Cosinusschwingung beträgt bekanntlich A 2 /2. Da das Einton-PM-Signal jedoch nicht genau gleich ist wie eine gewöhnliche Cosinusschwingung, kann seine Leistung nicht ohne weiteres gleich A 2 /2 gesetzt werden. Die Rechnung unter Beizug von (1.9), Abschnitt 1.2, zeigt aber, dass der zeitliche Mittelwert von s 2 FM (t) ebenfalls A2 /2 beträgt: P sfm = s 2 FM (t) = A2 cos[ω 0 t+(k FM A f /Ω)sin(Ωt)] (3.7) = (A 2 /2) n= J2 n (β) = A2 /2 (3.8) Die Leistung des HP-Signales ist also unabhängig vom NF-Signal.

KAPITEL 3. EINTONMODULATION 15 3.4 Demodulation Verwendet man den Demodulator vom Abschnitt 2.4, Abbildung 2.5, so ergeben sich folgende Signale x(t) und f(t): d[acos(θ(t))] dacos[ω 0 t+k FM A f /Ω)sin(Ωt)] x(t) = K D = K D (3.9) dt dt = K D A [ ω 0 +Ω(k FM A f /Ω)cos(Ωt) ] sin [ ω 0 t+(k FM A f /Ω)sin(Ωt) ] und f d (t) = K D Ak FM A f cos(ωt) (3.10) 3.5 Einton-Phasen-Modulation Da bei Einton-PM und Einton-FM die Herleitungen fast genau gleich sind, werden hier nur die wichtigsten Ergebnisse aufgeführt: Der Modulationsindex β PM NF-Signal: p(t) = A p cos(ωt) HF-Signal: s PM (t) = Acos[ω 0 t+k PM p(t)] = Acos[ω 0 t+k PM A p cos(ωt)] (=Phasenhub φ, m) beträgt β PM = φ = m = k PM p(t) max = k PM A p (3.11) und ist damit nicht abhängig von der NF-Signal-Frequenz. Fourier(reihen)-Darstellung des Einton-PM-Signales: s PM (t) = A m n= J n (β PM )cos[(ω 0 t+nω)t+n π/2] (3.12) Damit ergeben sich folgende Darstellungsformen für Einton-PM-Signale: s PM (t) = Acos[ω 0 t+β PM cos(ωt)] = A J n (β PM )cos[(ω 0 +nω)t+n π/2)] (3.13) n= Für die HF-Bandbreite des Einton-PM-Signales erhält man: 2πB HF = 2Ωn max = 2Ω(β PM +1) 2β PM Ω, β PM 1 (3.14) Die HF-Bandbreite von PM-Signalen wächst damit proportional zur NF-Signalfrequenz. Die Leistung von PM-Signalen ergibt sich zu: P spm s 2 PM = (A2 /2) n= J 2 n (β PM) = A 2 /2 (3.15)

16 KAPITEL 3. EINTONMODULATION s PM(t) K D d dt x(t) Enveloppen detektor y(t) K I t 0 dτ p d (t) Abbildung 3.2: PM-Demodulator. Demodulation Einen PM-Demodulator erhält man, wenn das Ausgangssignal eines FM-Demodulators noch durch einen Integrator geschickt wird: d [ Acos[θ(t)t] ] Acos[ω 0 t+β PM cos(ωt) x(t) = K D = K D dt dt = K D [ω 0 β PM Ωsin(Ωt)] sin[ω 0 t+β PM cos(ωt)] (3.16) y(t) = K D A β PM Ωsin(Ωt) (3.17) p d (t) = K D A K I β PM cos(ωt) (3.18) = K D A K I k PM A p cos(ωt) (3.19)

Kapitel 4 Theoretische Aufgaben 1) Damit effiziente elektromagnetische Abstrahlung mit einer Antenne möglich ist, müssen die Abmessungen der Antenne in der Grössenordung von 1/10 der Wellenlänge liegen. Wie gross müsste nun eine Antenne für die Abstrahlung eines Signales f(t) = Acos(2π 1500 Hz t) gebaut werden? 2) Erläutern Sie die Begriffe Basisbandbreite, Übertragungsbandbreite, NFund HF-Bandbreite. 3) Zeichnen Sie für das in Abbildung 4.1 gegebene Informationssignal p(t) die Verläufe der momentanen Phase, des momentanen Winkels, sowie des phasenmodulierten Signals s PM (t). Es gilt: k PM = 2π/A P, ω 0 = 2π/T, φ 0 = 2π. f(t) 2A p A p T t A p 2A p Abbildung 4.1: Verlauf des Informationssignals bei Phasenmodulation. 4) Für das gegebene Informationssignal f(t) in Abbildung 4.2 bestimme man die Verläufe der Momentanfrequenz, des momentanen Winkels sowie des frequenzmodulierten Signals s FM (t). Es gilt: k FM = ω 0 /A f, ω 0 = 2π/T, φ 0 = 0. 5) Vergleichen Sie die HF-Signale s PM (t) und s FM (t) von Aufgabe 3 und 4. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den zugehörigen NF-Signalen

18 KAPITEL 4. THEORETISCHE AUFGABEN p(t) 2A p A p T t A p 2A p Abbildung 4.2: Verlauf des Informationssignals bei Frequenzmodulation. 6) Berechnen Sie die in Tabelle 2.1 dargestellten Signale p(t), s FMn (t), f(t) und s PMf (t) als Funktion des Nachrichtensignals n(t). 7) Beweisen Sie, dass bei einem VCO mit einer Kapazitätsdiode, deren Kapazität sich in Abhängigkeit der Steuerspannung folgendermassen ändert C(t) = C 0 + C = C 0 +k f(t), wobei C C 0 (4.1) unterbestimmtenvoraussetzungengilt:1/ 1+ C 1 C/C 0.Welche Voraussetzung muss gemacht werden? 8) Geben Sie (unter Zuhilfenahme der Tabelle der Besselfunktionen) ein Einton-FM-Signal mit ω/ω = 4 sowohl als Sinusschwingung mit konstanter Amplitude und variabler Momentanfrequenz als auch als Summe von unendlich vielen Sinusschwingungen mit konstanten Oberschwingungen unterschiedlicher Amplituden an. 9) Skizzieren Sie das FM-Amplituden-Spektrum, falls mit einem NF-Signal f(t) = A f cos(ωt) moduliert wird und k FM = 4Ω/A f beträgt (A f = 1/π). 10) Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine solche Demodulation gemäss Abbildung 2.5 möglich ist (qualitative Erklärung)?

Kapitel 5 Praktischer Teil 5.1 Übertragungsbandbreite (B HF ) bei WM mit allgemeinen Signalen bzw. p(t) (Formel von Carson) Carson [1] hat gezeigt, dass die Formeln für die Berechnung der HFBandbreiten von Einton-WM-Signalen (3.5,3.14) auch als Näherungsformeln für allgemein modulierende Signale verwendet werden können, wenn man folgende Grössen für den Modulationsindex und die NF-Frequenz einsetzt: Obige Formeln sind nicht Ω FM: β FM 2πB HFFM = maximale Frequenz des NF-Signals bzw. NF-Bandbreite = k FM f(t) max /Ω = ω/ω = 2(βFM +1) = 2(k FM f(t) max +Ω = 2( ω +Ω ) = 2( ω +2πB HF ) PM: βpm = k PM p(t) max = φ 2πB HFPM = 2(βPM +1)Ω = 2(k PM p(t) max +1) = 2( φ+1)ω B HFPM = 2( φ+1)b NF anwendbar für Kleinhub-FM bzw. Kleinhub-PM, die heute bei der digitalen Übertragung breite Anwendung finden. 5.2 Kommerziell eingesetzte WM-Systeme Eines der bekanntesten FM-Systeme ist der UKW-Rundfunk (Tabelle 5.1). Um einen geordneten Funkbetrieb zu ermöglichen, werden die Betriebsparameter von Funksystemen weltweit durch die International Telecommunication Union (ITU) in der Form von Empfehlungen festgelegt. Einige dieser Betriebsparame-

20 KAPITEL 5. PRAKTISCHER TEIL ter von praktisch eingesetzten FM-Systemen sind in der folgenden Zusammenstellung aufgeführt [3]. Tabelle 5.1: UKW-Rundfunk (VHF-Bereich). Trägerfrequenz: Band II, 87.6 bis 104MHz (Kanal 2 bis 56 bzw. 1 bis 164) Kanalabstand: Frequenzhub: NF-Signale: 300 bzw. neu 100 khz ±75 khz 40Hz bis 15kHz (bzw. B NF = 15kHz) 5.3 Versuchsaufbau Das in Anhang I dargestellte Winkelmodulations-Versuchssystem (WMV) ist aus messtechnischen Gründen für die (ungewöhnlich niedrige) Trägerfrequenz f = 25 khz ausgelegt worden. Der maximal mögliche Frequenzhub beträgt ±5 khz. Die zu übertragenden NF-Signale sollen zwischen 300 Hz und 5 khz liegen. Nebst Modulator, Demodulator, Kanal, einem NF-Signal-Generator und einem NF-Ausgangsverstärker besitzt das WMV auch einen Funktionsblock für die Triggeraufbereitung. Dieser soll eine jitter-arme (jitter=zittern) Darstellung von NF-Signal und zugehörigem HF-Signal auf dem Oszilloskop ermöglichen. Das Oszilloskop wird bei fast allen Versuchen mit externer Triggerung betrieben. 5.4 Messungen 1. (a) Einstellungen: f 0 = 3V pp sin(2π 1kHz t), FM/PM-Wahlschalter in Stellung FM, mittlerer Hub, Triggeraufbereitungs-Schaltung nicht verwenden. Stellen Sie s NF (t) und s HF (t) gleichzeitig auf dem Oszilloskop dar, und versuchen Sie durch Veränderung der Trägerfrequenz ein stehendes (jitter-armes) Bild zu erhalten. Bei welchen Trägerfrequenzen ist eine jitter-arme Darstellung möglich und warum? (b) Benutzen Sie nun die Triggeraufbereitungs-Schaltung und betrachten Sie HF- und NF-Signal bei verschiedenen Hub-Einstellungen (mittels Jitter-NF und Jitter-HF Reglern jitter minimieren). Für ein Rechteck-NF-Signal ist die Signalfrequenz und die Oszilloskop-Zeitablenkung so einzustellen, dass gerade etwa eine Periodendauer des NF-Signales auf dem Oszilloskop erscheint. (c) Bestimmen Sie mit den Einstellungen von Aufgabe 1b und grösstmöglichem Hub die maximale und die minimale Frequenz des HF-Signales. (d) MessenSiedieFrequenzvons HFFM (t)beiverschiedenenhub-einstellungen. Weshalb wird(unabhängig von NF-Signal und Hub-Einstellung) stets ungefähr dieselbe Frequenz angezeigt?

KAPITEL 5. PRAKTISCHER TEIL 21 2. (a) Man übertrage ein Dreieck-NF-Signal (400Hz, Tastverhältnis 1:3, mittlerer Hub) mit FM und PM und vergleiche die resultierenden HF-Signale. Welche Ausgangssignale s NF (t) ergeben sich, wenn am Modulator oder am Demodulator der FM/PM-Wahlschalter falsch eingestellt ist? (b) Übertragen Sie mit dem CD-Gerät mit dem WMV Musik, und zwar bei den folgenden FM/PM-Wahlschalterstellungen: Tabelle 5.2: Wahlschalterstellungen. 1 2 3 4 Modulator FM PM FM PM Demodulator FM PM PM FM Wie werden bei den verschiedenen Einstellungen die hohen und tiefen Frequenzen des Musiksignales übertragen? 3. (a) Für s NF (t) = sin(2π 2kHz t) und s NF (t) = sin(2π 1kHz t) und einem Frequenzhub f = 4kHz (U B = 1.7V eff, AC-Kopplung am Oszilloskop) ist das Frequenzspektrum von s HFFM auszumessen. (b) Wiederholen Sie 3a) bei einem Frequenzhub f = 2kHz (U B = 0.85V eff, AC-Kopplung am Oszilloskop).

Literaturverzeichnis [1] M. Schwarz, Information, Transmission, Modulation, and Noise, 4th ed. Singapore:McGrawHill Inc., 1990. [2] Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and mathematical Tables, Dover, New York, vol. 9th printing, 1972. [3] International Telecommunication Union (ITU), International Radio Consultative Committee (CCIR), Radio Regulations, Recommendations and reports of the CCIR, Volumes VIII, X, XI, 1978. [4] H. Bölcskei, Signale und Systeme I, Vorlesung an der ETH Zürich, D- ITET. [5] A. Wittneben, Communication Systems, Vorlesung an der ETH Zürich, D-ITET.