Grundlagen der Wechselstromtechnik

Grundlagen der Wechselstromtechnik W. Kippels 19. Dezember 13 nhaltsverzeichnis 1 Grundgrößen der Wechselstromtechnik 1.1 Definitionen einiger Grundgrößen...................... 1. Mittelwert und Effektivwert......................... 4 1..1 Mittelwert............................... 4 1.. Effektivwert.............................. 5 1.3 Übungsfragen zu Grundgrößen der Wechselspannung........... 8 1.3.1 Frage 1:................................ 8 1.3. Frage :................................ 8 1.3.3 Frage 3:................................ 8 1.3.4 Frage 4:................................ 8 1.3.5 Frage 5:................................ 8 Wechselstromwiderstände 9.1 Wechselstromwiderstand eines Kondensators................ 9. Wechselstromwiderstand einer Spule..................... 11 3 Schaltnetze mit Wechselstromwiderständen 13 3.1 eihenschaltungen.............................. 13 3.1.1 -L-eihenschaltung......................... 13 3.1. -C-eihenschaltung......................... 15 3.1.3 -L-C-eihenschaltung........................ 17 1

1 Grundgrößen der Wechselstromtechnik 1.1 Definitionen einiger Grundgrößen Ein Gleichstrom fließt immer in der gleichen14 ichtung. Die zugehöri-1ge Gleichspannung ist 1 11 immer gleich groß und1 verändert sich nicht. Der 9 zugehörige zeitliche Verlauf ist im nebenstehen- 8 7 6 den Diagramm oben dargestellt. 5 4 3 Darunter ist der zeitliche Verlauf einer Wech- 1 selspannung dargestellt. -1 - Die Spannung ist zu jedem Zeitpunkt eine an--dere. Nicht nur die Span--5-3 -6 nungshöhe ändert sich, sondern auch die Spannungsrichtung. u u Û Û T Uss - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 111113141516171819134 Der zeitliche Verlauf der hier gezeigten Wechselspannung hat Sinusform. Daher spricht man von Sinusförmiger Wechselspannung. Wenn auch nicht jede Wechselspannung diese Form hat, ist jedoch diese Wechselspannung bei weitem die bedeutenste. m Verlauf dieses Artikels soll daher immer die Sinusform vorausgesetzt werden, solange nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird. Jede Wechselspannung hat bestimmte Kenngrößen. Dazu gehören unter anderem der Scheitelwert Û, die Spitze-Spitze-Spannung U ss und die Periodendauer T. Diese drei Größen sind im Diagramm eingetragen. Unter dem Scheitelwert Û versteht man den Betrag des maximal (und minimal) auftretenden Momentanwertes der Spannung. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Spannung gleich weit in den positiven wie in den negativen Bereich verläuft. Man nennt den Scheitelwert der Spannung auch Amplitude. Die Einheit des Scheitelwertes einer Spannung ist natürlich das Volt, denn er ist auch eine Spannung. [Û] 1 V Wenn man eine Wechselspannung mit dem Oszilloskop misst, dann kann man am einfachsten den Spitze-Spitze-Wert U ss bestimmen. Darunter versteht man den Poten- t t

tialunterschied zwischen der untersten und der obersten Spitze. Bei einer symmetrischen Wechselspannung ist der Wert das Doppelte der Amplitude. U ss Û Die Periodendauer T ist die Zeitspanne, die abäuft, bis die Spannung wieder den gleichen Zustand erreicht. Eingezeichnet ist im Diagramm die Zeit von einem Nulldurchgang in positiver ichtung bis zum nächsten. Alternativ könnte man aber auch die Zeit von einem Spannungsmaximum bis zum nächsten Maximum messen. Der zugehörige Teil der Kennlinie wird Periode genannt. Die Einheit der Periodendauer ist die Sekunde. [T ] 1 s Eine weitere wichtige Größe ist die Frequenz f. Darunter versteht man die Anzahl der Schwingungen je Zeiteinheit. Die Einheit der Frequenz ist Hz (gesprochen: Hertz 1 ), eine Abkürzung von 1 s 1. [f] 1 Hz 1 s 1 Aufgrund der Definition für die Frequenz gilt der formelmäßige Zusammenhang: f 1 T Eine weitere wichtige Größe ist die sogenannte Kreisfrequenz ω. Auf den ersten Blick ist ω durchaus verzichtbar, denn ω ist nur ein Vielfaches von f, genauer: ω π f Die Kreisfrequenz wird jedoch benötigt, wenn man den Spannungsverlauf mathematisch in den Griff bekommen will. Da ein Vollwinkel im Bogenmaß (bekanntlich) π beträgt und die Winkelfunktionen in der Technik immer in diesem Winkelmaßsystem berechnet werden, kommt dieser Faktor zustande. Für die Einheit der Kreisfrequenz, die ja auch 1 s 1 beträgt, wird im Gegensatz zur Frequenz f nicht die Einheit 1 Hz verwendet. Es bleibt bei 1 s 1 oder 1 s. Mit der Kreisfrequenz ω können wir die Funktionsgleichung einer sinusförmigen Wechselspannung angeben. Hierbei ist zu beachten, dass man für zeitveränderliche Größen Kleinbuchstaben verwendet, wie hier das u. (Ähnliches gilt auch für einen zeitveränderlichen Strom, der dann mit i bezeichnet wird.) u(t) Û sin ωt 1 Nach Heinrich Hertz, dem Entdecker der Elektromagnetischen Wellen, 1857, 1894 ω ist ein griechischer Buchstabe, gesprochen: Omega 3

1. Mittelwert und Effektivwert 1..1 Mittelwert Als Nenngröße für eine Wechselspannung wird der Effektivwert verwendet. Da er gern mit dem Mittelwert verwechselt wird, möchte ich diesen zuerst erklären. Würde man über eine ganze Periode einen Mittelwert der Spannung bil- 4 5 u 3 den, dann käme wegen U M der Symmetrie Null heraus. Damit kann man we- 1 nig anfangen. Daher bil--det man den Mittelwert t - -3 nur über eine Halbwel--le. Wenn die Fläche un--ter der Sinuskurve für ei--6 - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 111113141516171819134 ne Halbwelle (blau markiert, links) genau so groß ist, wie die echteckfläche unter einer Geraden in der Höhe U M für eine Halbwelle (rot markiert, rechts), dann stellt U M den Mittelwert der Wechselspannung dar. Dies wollen wir nun mit mathematischen Mitteln untersuchen. Berechnen wir zunächst die linke Fläche unter der Kurve. Das geht mit dem bestimmten ntegral von bis T von der Spannungsfunktion. A Kurve A Kurve T Û sin ωt dt [ ] T Û cos ωt ω [ Û cos πft πf [ Û [ π 1 T Û T π Û T π Û T π Û T π ] T cos π 1 T t ] T π cos T t ] T π cos T T + Û T π cos π + Û T π cos π cos T 4

Die (rechte rote) echteckfläche hat die Höhe U M echteckfläche schnell bestimmt: und die Breite T. Damit ist die A echteck U M T Da beide Fläche gleich sein sollen, kann ich sie mathematisch gleichsetzen. A echteck A Kurve U M T Û T π U M π Û T Die Konstante kann auch durch eine dezimale Näherung ausgedrückt werden. Damit π erhält man die Formel: U M Û, 6366 Û π 1.. Effektivwert Kommen wir nun zum Begriff Effektivwert. Die Definition lautet: Eine Gleichspannung, die in gleichen Zeiträumen die gleiche Wärmeleistung in einem Ohmschen Widerstand zur Folge hat, wie eine Wechselspannung, heißt: Effektivwert der Wechselspannung. Auch hier gibt es einen Umrechnungsfaktor, der den Effektivwert U eff mit dem Scheitelwert Û verknüpft. Diesen Wert wollen wir nun herleiten. Die Formel zur Berechnung der Arbeit bei konstanter Leistung lautet: W P t st die Leistung zeitabhängig, also nicht konstant, dann muss die Arbeit über das ntegral bestimmt werden. Die Arbeit, die vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t verrichtet wird, ist dann: W t t 1 p(t) dt ch wähle genau die Zeit für eine Periode (also die Periodendauer T ) zur Bestimmung der Arbeit. Damit erhalten wir: W T p(t) dt 5

Als nächstes müssen wir uns die Funktion p(t) ansehen. Aus der Gleichstromtechnik bekannt ist die Formel, mit deren Hilfe die Leistung P in einem Widerstand bestimmt werden kann, wenn man eine Spannung U anlegt: P U st die Spannung U eine Wechselspannung u(t) Û sin ωt, dann muss dieser Term anstelle von U eingesetzt werden. Wir erhalten dann p(t): p(t) (Û sin ωt) Hiermit kann nun die Arbeit W für eine Periode berechnet werden: W W W T T Û p(t) dt (Û T sin ωt) dt sin ωt dt Um das ntegral auflösen zu können, forme ich sin ωt mit Hilfe des folgenden Additionstheorems um: sin ϕ 1 (1 cos ϕ) 6

Das wenden wir nun an und können weiterrechnen: W W Û Û Û T T sin ωt dt 1 (1 cos ωt) dt T 1 dt T cos ωt dt Û ( ) [t] T [ω sin ωt ]T Û ( ) (T ) (ω sin ω sin 4π) Û T Als nächstes berechnen wir die Arbeit, wenn am Widerstand eine Gleichspannung der Größe U eff für die Zeit T anliegt: W P t U t U eff Da die Arbeit mit der Gleichspannung und die Arbeit mit Wechselspannung gleich sein sollen, kann ich sie gleichsetzen: T Ueff T Û T Û Ueff U eff 1 Û T Die Konstante 1 lässt sich ähnlich, wie zuvor beim Mittelwert durch eine dezimale Näherung beschreiben. Damit erhalten wir die Formel zur Bestimmung des Effektivwertes der Spannung: U eff 1 Û, 771 Û Vergleicht man die Umrechnungsfaktoren für den Mittel- und den Effektivwert miteinander, dann kann man erkennen, dass sie zwar grob näherungsweise gleich sind, sich aber 7

doch um etwa 1% unterscheiden. Deshalb darf man sie nicht miteinander verwechseln. Man nennt den Effektivwert auch den Quadratischen Mittelwert. Damit ist gemeint, dass die Momentanwerte alle quadriert werden, bevor ein Mittelwert gebildet wird. Das spiegelt sich in der Leisungsformel P U wieder, in der die Spannung im Quadrat vorkommt. Aus diesem Grund verwendet man in neuerer Literatur anstelle von U eff auch die Bezeichnung U MS für den Effektivwert. Die Buchstaben MS stehen für oot Mean Square, was auf deutsch nichts anderes als Quadratischer Mittelwert bedeutet. 1.3 Übungsfragen zu Grundgrößen der Wechselspannung Musterlösungen zu den Übungsfragen sind hier zu finden: 1.3.1 Frage 1: http://www.dk4ek.de/elektronik/wechsell.pdf Die Netz-Wechselspannung hat eine Frequenz von f 5 Hz. Bestimmen Sie: 1. die Periodendauer. die Kreisfrequenz 1.3. Frage : Die Netz-Wechselspannung hat einen Effektivwert von U eff 3 V. Wie groß ist der Scheitelwert Û? 1.3.3 Frage 3: Eine Wechselspannung hat einen Effektivwert von U eff 1 V. Wie groß ist der Mittelwert U M? 1.3.4 Frage 4: Mit Hilfe eines Oszilloskopes wird der Spitze-Spitze-Wert einer sinusförmigen Wechselspannung mit U ss 3 V gemessen. Wie groß ist der Effektivwert U eff der Spannung? 1.3.5 Frage 5: Mit Hilfe eines Oszilloskopes wird die Periodendauer einer sinusförmigen Wechselspannung mit T µs gemessen. Wie groß ist die Frequenz f der Spannung? 8

Wechselstromwiderstände Schließt man eine Wechselspannung an einen Ohmschen14 Widerstand an, so ergibt sich13 1 ein Strom, dessen Momentan-1werte zu jedem Zeitpunkt pro-1portional zu den Momentan- 9 8 u i werten der Spannung sind. Es 7 gilt das Ohmsche Gesetz: 6 5 4 i(t) u(t) 3 Gehen wir von einer sinusför- 1 migen Spannung gemäß -1 t u(t) Û sin ωt - -3 aus, dann erhält man für den-4-5 Strom: -6 - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 111113141516171819134 i(t) Spannungs- und Stromverlauf im Ohmschen Widerstand Û sin ωt Der Wert für Û Û sin ωt kann dabei als Scheitelwert des Stromes mit Î bezeichnet werden: Û Î Oben sind Spannung und Strom untereinander dargestellt. Die Maxima und die Nulldurchgänge sind auf der Zeitachse an den gleichen Stellen. Bei einem Kondensator oder einer Spule sieht es anders aus..1 Wechselstromwiderstand eines Kondensators An einem Kondensator gilt der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom: i(t) C du dt Die Ableitung der Spannung, also die Änderung der Spannung innerhalb einer bestimmten Zeit bestimmt zusammen mit der Kapazität die Größe des Stromes. Setzen wir nun die bekannte Funktion für die Spannung u(t) Û sin ωt in diese Stromfunktion ein, muss die Ableitung gebildet werden. i(t) C d Û sin ωt dt C Û ω cos ωt t 9

Nebenstehend ist der Ver-1lauf von Spannung und Strom13 1 u in einem Kondensator darg-1stellt. Man kann erkennen, 1 t das der Strom keinesfalls proportional zur Spannung ist. 7 9 8 Zum Zeitpunkt t ist die 6 Spannung noch. Da sie 5 i 4 sich aber hier recht schnell 3 ändert, hat der Strom hier seinen Maximalwert. Erreicht 1 die Spannung ihren Scheitel--wert, ändert sie sich kaum- noch, der Strom wird zu-3-4 t Null. Nach dem Spannungs--maximum verringert sich die-6 Spannung wieder, der Strom - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 111113141516171819134 fließt nun aus dem Kondensator heraus, er entlädt sich. Der Spannungs- und Stromverlauf im Kondensator Strom ist also hier schon negativ. Man sagt: Es gibt eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Ähnlich zum Widerstand kann auch hier der Scheitelwert des Stromes angegeben werden. Berücksichtigt man, dass der Kosinus immer nur Werte zwischen +1 und 1 annehmen kann, erhalten wir: Î Û ωc Da für die Scheitelwerte eine Proportionalität zwischen Spannung und Strom besteht, liegt es nahe, hier auch von einem Widerstand zu sprechen. Da der Zusammenhang hier jedoch nicht für die Momentanwerte gilt, bekommt er einem eigenen Namen und ein anderes Formelzeichen. Man nennt diesen Wechselstromwiderstand eines Kondensators Blindwiderstand und gibt ihm das Formelzeichen X C. Wir können X C brechnen: Û X C Î Û Û ωc 1 ωc Hierbei ist immer zu beachten, dass hierdurch nur ein Betrag angegeben wird, die Phasenverschiebung wird nicht erfasst! Um diese mit zu berücksichtigen, bietet sich die Komplexe echnung 3 an. Legt man die Spannung U C am Kondensator als reelle Größe fest, dann erhält man für den Kondensatorstrom C eine positiv imaginäre Größe, 3 Die Grundlagen zu Komplexen echnung sind hier zu finden: http://www.dk4ek.de/mathematik/komplgl.pdf 1

da der Strom der Spannung in der Phase um 9 vorauseilt. Ū C U C und Ī C j C Hiermit kann der Komplexe Widerstand des Kondensators bestimmt werden: Zusammengefasst: X C Ū C C U C j C X C 1 jωc U C ju C ωc 1 jωc. Wechselstromwiderstand einer Spule An einer idealen Spule besser: an einer nduktivität gilt der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom: i(t) 1 L u(t) dt Das unbestimmte ntegral über der Spannung nach der Zeit bestimmt zusammen mit der nduktivität die Größe des Stromes. Setzen wir nun die bekannte Funktion für die Spannung u(t) Û sin ωt in diese Stromfunktion ein, muss das ntegral gebildet werden. i(t) 1 L Û sin ωt dt 1 L Û ω ( cos ωt) + i Û ωl cos ωt + i Ähnlich zum Kapazitiven Blindwiderstand kann auch hier der Scheitelwert des Stromes angegeben werden. Berücksichtigt man, dass der Kosinus immer nur Werte zwischen +1 und 1 annehmen kann, erhalten wir: Î Û ωc Wir können den Blindwiderstand X L der nduktivität brechnen: X L Û Î Û Û ωl ωl 11

Nebenstehend ist der Verlauf14 u von Spannung und Strom in13 1 einer idealen Spule dargstellt. 11 Man kann erkennen, das der1 t Strom keinesfalls proportional 9 8 zur Spannung ist. Zum Zeitpunkt t ist die Spannung 6 7 noch. Es fließt hier ein negativer Strom. Mit steigender 3 5 i 4 Spannung wird dieser Strom schwächer und wird im Spannungsmaximum schließlich zu-1 t 1 Null. Dann kehrt sich die- Stromrichtung um, und es be--ginnt ein positiver Strom zu-5 fließen, während die Spannung-6 schon wieder kleiner wird. Die - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 111113141516171819134-4 Stromkurve wird zusehens flacher, je kleiner die Spannung Spannungs- und Stromverlauf in der Spule geworden ist. Wenn dann die Spannung negativ wird, fließt der Strom zunächst in der alten ichtung weiter, wird aber langsam wieder kleiner. Wie bei dem Kondensator haben wir auch hier eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom, jedoch in der anderen ichtung. Der Strom eilt der Spannung nach. Wie bei der Kapazität kann man auch bei der nduktivität sinnvoll mit der Komplexen echnung arbeiten. Legt man die Spannung U L an der nduktivität als reelle Größe fest, dann erhält man für den Spulenstrom L eine negativ imaginäre Größe, da der Strom der Spannung in der Phase um 9 nacheilt. Ū L U L und Ī L j L Hiermit kann der Komplexe Widerstand der nduktivität bestimmt werden: Zusammengefasst: X L Ū L L U L j L U L j U L ωl ωl j jωl X L jωl 1

3 Schaltnetze mit Wechselstromwiderständen Achtung! Für alle Berechnungen ist es wichtig zu wissen, dass in der Wechselstromtechnik nur unter Verwendung der Komplexen echnung die Kirchhoffschen egeln gültig sind! Das liegt daran, dass Phasenverschiebungen zwischen Spannungen und Strömen berücksichtigt werden müssen. 3.1 eihenschaltungen 3.1.1 -L-eihenschaltung Nebenstehend ist eine eihenschaltung aus einer nduktivität und einem Ohmschen Widerstand dargestellt. Die Teilspannungen sind mit U L und U bezeichnet, die Gesamtspannung heißt U. Da der Strom überall gleich ist, heißt er schlicht. Als Beispiel möchte ich die Schaltung mit folgenden Werten durchrechnen: U 1 V 8 Ω L 6 mh ω 1 s 1 U U L L -L-eihenschaltung U Zunächst bestimme ich den Blindwiderstand der nduktivität. X L jωl j 1 s 1 6 mh j6 Ω Damit können und X L zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst werden. Für Widerstände, die weder reine Ohmsche Widerstände noch reine Blindwiderstände sind, verwendet man weder den Buchstaben noch X als Formelzeichen. Man nennt Widerstände mit unbekannter Phasenverschiebung Scheinwiderstände, die mit dem Formelzeichen Z gekennzeichnet werden. Den Ersatzwiderstand aus X L und nenne ich daher Z. Da X L und in eihe geschaltet sind, kommt die eihenschaltungsformel von Kirchhoff zur Anwendung. Z X L + j6 Ω + 8 Ω Dieser Widerstandswert mit eal- und maginärteil kann nicht weiter zusammengefasst werden. Hiermit kann der komplexe Strom Ī bestimmt werden. Ū Z 1 V 8 Ω + j6 Ω 13

Durch Konjugiert Komplexes Ereitern 4 kann man diesen Bruch so umformen, dass mit eal- und maginärteil angegeben werden kann. 1 V 8 Ω + j6 Ω 1 V (8 Ω j6 Ω) (8 Ω + j6 Ω) (8 Ω j6 Ω) 8 VΩ j6 VΩ 6 4 Ω + 3 6 Ω 8 VΩ j6 VΩ 1 Ω 8 VΩ j6 VΩ 1 Ω 1 Ω 8 ma j6 ma Nimmt man ein Strommessgerät in die Hand, dann kann man natürlich keinen komlexen Strom ablesen. Angezeigt wird der Betrag des Stromes. Dieser wird nun berechnet. (e Ī) + (m Ī) (8 ma) + ( 6 ma) 1 ma Als nächstes sollen die komplexen Teilspannungen Ū L und Ū bestimmt werden. An X L gilt das Ohmsche Gesetz: Ū L X L Ī j6 Ω (8 ma j6 ma) j4,8 V j 3,6 V j4,8 V + 3,6 V Auch von dieser Spannung interessiert der Betrag: U L (e Ū L ) + (m Ū L ) (3,6 V) + (4,8 V) 6 V Auch an gilt das Ohmsche Gesetz: Ū Ī 8 Ω (8 ma j6 ma) 6,4 V j4,8 V Auch hier interessiert der Betrag der Spannung: U (e Ū ) + (m Ū ) (6,4 V) + ( 4,8 V) 8 V Zusammenfassung: Addiert man die Beträge U L und U, dann erhalten wir für die Summe nicht U 1 V, sondern 14 V. Wie zu Beginn dieses Kapitels behauptet gelten die Kirchhoffschen egeln hier die Maschenregel nicht für die Beträge, sondern nur für die komplexen Größen. Wir überprüfen das: Ū L + Ū j4,8 V + 3,6 V + 6,4 V j4,8 V 1 V Ū 4 Einzelheiten dazu siehe hier auf Seite 7: http://www.dk4ek.de/mathematik/komplgl.pdf 14

Zu diesem Zusammenhang kann man auch ein Zeigerbild darstellen. Für das Zeigerbild bietet es sich an, den Strom Ī als Bezugsgröße zu verwenden, da einerseits dieser Strom in beiden Bauelementen der gleiche ist und andererseits die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom in jedem Bauteil bekannt ist. Da an der nduktivität der Strom um 9 nacheilt, muss umgekehrt die Spannung dem Strom um diesen Winkel vorauseilen. Deshalb zeigt der Spannungspfeil für Ū L nach oben. Die Spannung am Widerstand Ū hat zum Strom keine Phasenverschiebung, wird also parallel zum Strompfeil eingetragen. Die Gesamtspannung Ū ist die Summe der beiden Teilspannungen, wird dann diagonal eingezeichnet. Ū L Ū Ū Diese Zusammenhänge sind oben dargestellt. Es ist gut ersichtlich, warum nicht einfach die Zeigerlängen von U L und U addiert werden können, um U zu erhalten. 3.1. -C-eihenschaltung Die nebenstehende Schaltung soll an der Wechselspannung U betrieben werden. Gesucht ist der Gesamtstrom sowie die beiden Teilspannungen U am Widerstand und U C am Kondensator. U Bekannt sind folgende Werte: U C U C U 33,8 V 1 kω L nf ω 1 s 1 -C-eihenschaltung Zunächst bestimme ich den Blindwiderstand der Kapazität. C X 1 jωc 1 j5 kω j 1 s 1 nf Damit können und X C zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst werden. Den Ersatzwiderstand aus und X C nenne ich Z. Da und X C in eihe geschaltet sind, kommt die eihenschaltungsformel von Kirchhoff zur Anwendung. Z + X C 1 kω j5 kω Hiermit kann der komplexe Strom Ī bestimmt werden. Ū Z 33,8 V 1 kω j5 kω 15

Durch Konjugiert Komplexes Ereitern kann man diesen Bruch so umformen, dass in einen eal- und einen maginärteil zerlegt werden kann. 33,8 V 1 kω j5 kω 33,8 V (1 kω + j5 kω) (1 kω j5 kω) (1 kω + j5 kω) 45,6 VkΩ + j169 VkΩ 144 kω + 5 kω 45,6 VkΩ + j169 VkΩ 169 kω 45,6 VkΩ 169 VkΩ + 169 kω 169 kω,4 ma + j1 ma An einem Strommessgerät kann man natürlich keinen komlexen Strom ablesen. Angezeigt wird der Betrag des Stromes. Dieser wird nun berechnet. (e Ī) + (m Ī) (, 4 ma) + (1 ma),6 ma Als nächstes sollen die komplexen Teilspannungen Ū und Ū C bestimmt werden. An gilt das Ohmsche Gesetz: Ū Ī 1 kω (,4 ma + j1 ma) 8,8 V + j1 V Von dieser Spannung interessiert der Betrag: U (e Ū ) + (m Ū ) (8,8 V) + (1 V) 31, V An X C gilt das Ohmsche Gesetz: Ū C X C Ī j5 kω (,4 ma + j1 ma) j1 V + 5 V Auch von dieser Spannung interessiert der Betrag: U C (e Ū C ) + (m Ū C ) ( 1 V) + (5 V) 13 V Zusammenfassung: Addiert man die Beträge U und U C, dann erhalten wir für die Summe nicht U 33,8 V, sondern 44, V. Wie zu Beginn dieses Kapitels behauptet gelten die Kirchhoffschen egeln hier die Maschenregel nicht für die Beträge, sondern nur für die komplexen Größen. Wir überprüfen das: Ū + Ū C 8,8 V + j1 V j1 V + 5 V 33,8 V Ū 16

Zu diesem Zusammenhang kann man auch ein Zeigerbild darstellen. Für das Zeigerbild bietet es sich an, den Strom Ī als Bezugsgröße zu verwenden, da einerseits dieser Strom in beiden Bauelementen der gleiche ist und andererseits die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom in jedem Bauteil bekannt ist. Die Spannung am Widerstand Ū hat zum Strom keine Phasenverschiebung, wird also parallel zum Strompfeil eingetragen. Da an der Kapazität der Strom um 9 voreilt, muss umgekehrt die Spannung dem Strom um diesen Winkel nacheilen. Deshalb zeigt der Spannungspfeil für Ū C nach unten. Die Gesamtspannung Ū ist die Summe der beiden Teilspannungen, wird dann diagonal eingezeichnet. U Ū Ū C 3.1.3 -L-C-eihenschaltung Nebenstehend ist eine eihenschaltung aus Ohmschem Widerstand, einer nduktivität und einer Kapazität dargestellt. Hier teilt sich die Spannung U auf drei Bauelemente auf. U U U L L U C C Betrachten wir auch hier zunächst ein Zahlenbeispiel. Gegeben seien folgende Werte: -L-C-eihenschaltung U 15 V 3 Ω X L 9 Ω X C 5 Ω Bestimmen wir zunächst die komplexen Größen. Die Spannung U ist die einzige gegebene Spannung. Daher ist es zweckmäßig, diese als eelle Spannung festzulegen. Damit erhalten wir die Komplexen Größen: Ū 15 V 3 Ω X L j9 Ω X C j5 Ω Mit diesen Werten kann der Komplexe Ersatzwiderstand bestimmt werden, den ich Z nenne. Z + X L + X C 3 Ω + j9 Ω j5 Ω 3 Ω + j4 Ω 17

Hiermit kann nun Ī bestimmt werden. Nach dem Ansatz erfolgt das Konjugiert Komplexe Erweitern, damit der Strom nach eal- und maginärteil aufgspalten werden kann. Ū Z 15 V 3 Ω + j4 Ω 15 V (3 Ω j4 Ω) (3 Ω + j4 Ω) (3 Ω j4 Ω) 4 5 VΩ j6 VΩ 9 Ω + 16 Ω 4 5 VΩ j6 VΩ 5 Ω 4 5 VΩ j6 VΩ 5 Ω 5 Ω 18 ma j4 ma Mit diesem Strom können nun alle Teilspannungen bestimmt werden. Beginnen wir mit der Spannung Ū. Ū Ī 3 Ω 18 ma j4 ma 5,4 V 7, V Hierzu kann sofort der Betrag berechnet werden: U (e Ū ) + (m Ū ) (5,4 V) + (7, V) 9 V Es folgt die Berechnung der Spannung Ū L. Ū L X L Ī j9 Ω 18 ma j4 ma j16, V + 1,6 V Hierzu kann sofort der Betrag berechnet werden: U L (e Ū L ) + (m Ū L ) (1,6 V) + (16, V) 7 V Zum Schluss kommt noch die Spannung Ū C an die eihe. Ū C X C Ī j5 Ω 18 ma j4 ma j9 V + 1 V Hierzu kann sofort der Betrag berechnet werden: U L (e Ū L ) + (m Ū L ) (1 V) + (9 V) 15 V Schaun wir uns die Ergebnisse einmal genau an. Auch hier können wir nicht einfach die Beträge der Spannungen addieren, um auf die Gesamtspannung zu kommen. Schon am Kondensator liegt eine Spannung an, die genau so groß, wie die Gesamtspannung ist. Die Spannung U L ist sogar deutlich größer, als U! 18

Ū L Ū C Hierin liegt kein echenfehler. n einer -L-C-eihenschaltung kann es immer vorkommen, dass einzelne Teilspannungen größer als die Gesamtspannung sind. Zur Verdeutlichung kann das nebenstehende Zeigerbild dienen. Dadurch, dass die Zeiger für die Spannung an der Spule und die Spannung am Kondensator entgegengerichtet sind, heben sich diese teilweise auf. Nur deren Differenz geht in das eigentliche Spannungsdreieck ein. Dieses Merkmal ist ein generelles isiko für alle -L-C- eihenschaltungen. Teilspannungen können gefährlich hoch werden, obwohl die Betriebsspannung im Bereich der Schutzkleinspannung liegt! Ū Ū 19

(Dieses Dokument befindet sich noch im Aufbau und wird demnächst ergänzt.)