Der Spannungszustand σ na Spannungsvektor (traction vector) [N/mm²] k Volumskraftdichte [N/mm³] σ x σ x x + dx, y, z σ x x, y, z + σ x dx x x dx, y, z σ x x, y, z + σ x dx x etc df (R) = kdxdydz + σ x x dx dydz + σ y y dy dzdx + σ z z dz dxdy
df (R) = kdxdydz + σ x x dx dydz + σ y y dy dzdx + σ z z dz dxdy dv f (R) = df(r) dv Spannungsvektoren: = k + σ x x + σ y y + σ z z Erster Index: Normale auf die Bezugsfläche Zweiter Index: Richtung der Spgs.-komponente σ x = σ xx σ xy σ xz, σ y = σ yx σ yy σ yz, σ z = σ zx σ zy σ zz bzw. σ x = σ xx e x +σ xy e y +σ xz e z σ y, σ z analog Gleiche Indizes: Normalspannung Unterschiedl. Indizes: Schubspannung
Einsetzen in das dynamische Grundgesetz: Momentenglgw., z.b. um eine x-parallele Achse df (R) = dm a dv σ yz dxdz dy + σ zy dydx dz = 0 dv f (R) = ρa k + σ x x + σ y y + σ z z = ρa In Komponenten angeschrieben: σ xx x σ xy x σ xz x + σ yx y + σ yy y + σ yz y + σ zx z + σ zy z + σ zz z + k x = ρa x + k y = ρa y + k z = ρa z und analog für y- bzw. z-parallele Achse liefert: σ yz = σ zy σ zx = σ xz σ xy = σ yx Dualität der Schubspannungen bzw. Satz der zugeordneten Schubspannungen Alternative Schreibweise: div σ + k = ρa Spannungstensor
Spannungstensor Definitionen σ = σ xx σ xy σ xz σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz p = 1 3 (σ x + σ y + σ z ) hydrostatische Spannung Sehr häufig schreibt man auch σ = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z Aufgrund der Dualität der Schubspannungen ist der Spannungstensor symmetrisch! σ = pi + s = = p 0 0 0 p 0 0 0 p + hydrostatischer Spannungsanteil σ x p τ xy τ xz τ yx σ y p τ yz τ zx τ zy σ z p Deviator, deviatorischer Spannungsanteil Diese Definitionen werden wir später noch brauchen.
Spannungsvektor Schneiden wir aus einem Körper einen Tetraeder der Höhe l heraus, so muss man an jeder Schnittfläche den jeweiligen Schnittspannungsvektor ( traction vector ) einzeichnen, also σ n bzw. σ x, σ y, σ z. Übersichtlicher lässt sich das in Dimensionen darstellen. Man erkennt, wie der σ n -Vektor in eine Normalspannungskomponente σ und eine Schubspannungskomponente τ zerlegt wird:
Das Volumen des Tetraeders ist: V = A l 3 Einsetzen in das dynamische Grundgesetz liefert kv + σ n A σ x An x σ y An y σ z An z = ρav A k l 3 + σ n σ x n x σ y n y σ z n z = ρa l 3 Nach dem Grenzübergang l 0 verbleibt: σ n = σ x n x + σ y n y + σ z n z In Komponenten angeschrieben: σ nx = σ xx n x + σ yx n y + σ zx n z σ ny = σ xy n x + σ yy n y + σ zy n z σ nz = σ xz n x + σ yz n y + σ zz n z Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensor lässt sich das auch so schreiben: σ n = σ xx τ xy τ xz τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz n x n y n z = σ xx n x + τ xy n y + τ xz n z τ yx n x + σ yy n y + τ yz n z τ zx n x + τ zy n y + σ zz n z, also: σ n = σ n
σ n ist also jener Spannungsvektor, der auf die Schnittfläche mit der Normale n wirkt. σ n ist im allgemeinen nicht normal zur Schnittfläche, sondern hat sowohl eine Komponente σ (Normalspannungskomponente) in Richtung von n als auch eine Komponente τ (Schubspannungskomponente) in der Schnittebene. Die Normalspannung ergibt sich aus der Projektion von σ n auf n mit Hilfe des inneren Produkts σ = σ n n In der Notation der Matrixrechnung schreibt man alternativ auch σ = σ n T n Die Schubspannung lässt sich dann mittels des Satzes von Pythagoras berechnen: σ = σ n T n τ = σ n σ τ = σ n σ σ n σ n
Hauptnormalspannungen Wählt man eine andere Schnittebene n, so wirkt darauf ein anderer Spannungsvektor. In diesem Zusammenhang kann man zwei Fragen formulieren: 1. Frage: Wann fallen die Richtungen von σ n und n zusammen, d.h. wann verschwindet τ? σ n = σ n = λ n Eigenwert Problem σ n λ n = 0 σ λ I n = 0 Das Eigenwertproblem hat nur dann nicht triviale Lösungen für n, wenn det σ λ I = 0, oder ausgeschrieben: det σ x λ τ xy τ xz τ yx σ y λ τ yz τ zx τ zy σ z λ = 0.
Das führt auf das folgende für den Spannungszustand charakteristische Polynom: λ 3 + I 1 λ + I λ + I 3 = 0 Wir ersetzen das Symbol λ durch σ und erhalten somit: σ 3 + I 1 σ + I σ + I 3 = 0 Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms I 1, I, I 3 nennt man die Invarianten des Spannungstensors. Bei einer Darstellung des Spannungstensors in einem anderen Koordinatensystem (z.b. verdreht gegenüber dem Original KS) ändern sich das charakteristische Polynom und somit die Invarianten nicht (im Unterschied zu den Einträgen in der Matrixdarstellung des Spannungstensors). Die Invarianten lassen sich auch explizit anschreiben als: I 1 = σ xx + σ yy + σ zz = Spur σ I = σ xx σ yy + σ yy σ zz + σ xx σ zz + τ xy + τ yz + τ zx I 3 = σ xx σ yy σ zz τ xy σ zz τ zy σ xx τ xz σ yy + τ xy τ yz τ zx = det σ Die Invarianten benötigen wir später für die Definition der Vergleichsspannung. I 1 ist unmittelbar mit der hydrostatischen Spannung p verknüpft: p = 1 3 I 1
Die Lösung der kubischen Gleichung σ 3 + I 1 σ + I σ + I 3 = 0 führt auf 3 reelle Lösungen: σ 1, σ, σ 3, die Hauptnormalspannungen. Diese werden üblicherweise so angeordnet, dass σ 1 σ σ 3. Die zugehörigen Eigenvektoren n 1, n, n 3 erhält man durch Einsetzen von σ 1, σ bzw. σ 3 in das ursprüngliche Gleichungssystem. z.b.: σ σ 1 I n 1 = 0 d.h. ausgeschrieben: σ xx σ 1 n 1x + σ xy n 1y + σ xz n 1z = 0, σ xy n 1x + σ yy σ 1 n 1y + σ yz n 1z = 0, σ xz n 1x + σ yz n 1y + σ zz σ 1 n 1z = 0. Dieses homogene Gleichungssystem erhält erst durch die Nebenbedingung n 1x + n 1y + n 1z = 1 (d.h. n 1 = 1) eine nicht-triviale Lösung für n 1. In gleicher Weise verfährt man zur Bestimmung von n und n 3 und erhält die den Hauptnormalspannungen zugeordneten Hauptspannungsrichtungen. Da σ ein symmetrischer Tensor ist, gilt für seine Eigenvektoren: n 1 n n 3
Somit spannen n 1, n, n 3 ein Koordinatensystem auf, die Spannungshauptachsen. Das ist gleichzeitig jenes Koordinatensystem, in dem σ 1, σ, σ 3 Extremwerte annehmen: σ 1 Maximum, größte Hauptnormalspannung σ Sattelpunkt σ 3 Minimum, kleinste Hauptnormalspannung Man hätte von vorneherein die Suche nach den Hauptnormalspannungen als Extremwertaufgabe formulieren können. Das führt uns auf die. Frage:. Frage: Für welche Richtung n wird die Normalspannung σ extremal? bzw.: gesucht wird n x, n y, n z so, dass σ = σ n T n = σn T n Extremum, mit der NB n x + n y + n z = 1 F n x, n y, n z = σ n x, n y, n z λ n x + n y + n z 1 ausgeschrieben: Lagrange Multiplikator F = σ xx n x + σ yy n y + σ zz n z + n x n y τ xy + n y n z τ yz + n z n x τ zx λ n x + n y + n z 1 F n x = 0: σ xx n x + τ xy n y + τ xz n z λn x = 0
Das Extremum findet man durch Nullsetzen der Ableitungen von F nach den Unbekannten n x, n y und n z : F n x = 0: σ xx n x + τ xy n y + τ zx n z λn x = 0 F n y = 0: τ xy n x + σ yy n y + τ yz n z λn y = 0 F n z = 0: τ zx n x + τ yz n y + σ zz n z λn z = 0 σ xx λ τ xy τ xz τ yx σ yy λ τ yz τ zx τ zy σ zz λ n x n y n z = 0 0 0 Wir erhalten also wieder exakt das gleiche Eigenwertproblem und somit die gleichen Lösungen wie für die 1. Frage.
Zur Erinnerung: Im Spannungshauptachsensystem verschwinden die Schubspannungen, d.h. der Spannungstensor erhält folgende Darstellung: σ = σ 1 0 0 0 σ 0 0 0 σ 3 Maximum Minimum Hauptnormalspannungen sind extremal, d.h. σ 1 σ σ 3 In gleicher Weise kann man sich die Frage stellen, welchen Richtungen n die Extremalwerte von τ zugeordnet sind: τ = σ n σ = σ n σ n T n Die prinzipiell gleiche Vorgehensweise wie zuvor ergibt: τ 1 = σ σ 3, τ = σ 3 σ 1, τ 3 = σ 1 σ Man nennt sie Hauptschubspannungen, die ihnen zugeordneten Richtungen sind i.a. nicht normalspannungsfrei. In der Festigkeitslehre haben sie aber eine geringere Bedeutung als die Hauptnormalspannungen.
Hauptnormalspannungen für den ebenen Spannungszustand Der ebene Spannungszustand ist definiert durch: σ zz σ z aus der xy-ebene heraus verschwinden. = τ yz = τ zx = 0, d.h. alle Komponenten σ n = σn = σ x τ xy τ yx σ y n x n y = σ xn x + τ xy n y τ yx n x + σ y n y σ = σ n T n = σ x n x + τ xy n y, τ yx n x + σ y n y n x n y = = σ x n x + τ xy n x n y + σ y n y Mit n = n x n y = cosφ sinφ ergibt sich σ = σ x cos φ + τ xy cosφsinφ + σ y sin φ Das lässt sich mit Hilfe der Additionstheoreme cosφ = cos φ sin φ sinφ = sinφcosφ umschreiben zu Allg: Additionstheoreme: cos α + β = cosαcosβ sinαsinβ sin α + β = sinαcosβ + cosαsinβ σ = σ x + σ y + σ x σ y cosφ + τ xy sinφ
Analog gilt für τ: τ = σ n T m = σ x n x m x + τ xy n y m x + τ yx n x m y + σ y n y m y Mit n = cosφ sinφ und m = sinφ cosφ ergibt sich τ = σ x cosφsinφ σ y sinφcosφ + τ xy sin φ cos φ bzw. nach Anwendung der Additionstheoreme τ = σ x σ y sinφ + τ xy cosφ Zusammenfassend lässt sich mit folgenden Formeln ein im xy-koord.-system dargestellter ebener Spannungszustand in ein beliebiges, dazu um einen Winkel φ verdrehtes -KS transformieren: σ ξ = e ξ T σe ξ = σ x + σ y σ η = e η T σe η = σ x + σ y + σ x σ y σ x σ y cosφ + τ xy sinφ cosφ τ xy sinφ τ ξη = e ξ T σe η = e η T σe ξ = σ x σ y sinφ τ xy cosφ
Wir suchen nun speziell nach den Hauptnormalspannungen: Geg.: ebener Spannungszustand mit σ x, σ y, τ xy Ges.: Hauptnormalspannungen σ 1, σ und zugehörige Richtung φ Wie im 3D Fall erfordert das Eigenwertproblem das Verschwinden der Determinante det σ x σ τ xy τ xy σ y σ = 0 σ x σ σ y σ τ xy = 0 σ σ x + σ y σ + σ x σ y τ xy = 0 σ 1, = σ x + σ y ± 1 σ x + σ y 4 σx σ y τ xy = σ x + σ y ± σ x σ y + τ xy Um die Richtung φ zu finden, denken wir daran, dass τ = 0 sein muss. Lösung: τ = σ x σ y tanφ = σ x σ y sinφ τ xy cosφ = 0 τ xy σ 1, = σ x + σ y τ xy tanφ = σ x σ y ± σ x σ y + τ xy
Betrachten wir nun die umgekehrte Fragestellung : Geg.: ebener Spannungszustand mit den HNS σ 1, σ und eine Richtung φ Ges.: Spannungstensor σ x, σ y, τ xy in einem um φ verdrehten Koordinatensystem. Einsetzen in die Transformationsformeln für den Spannungstensor liefert σ x,y = σ 1 + σ τ xy = σ 1 σ ± σ 1 σ sinφ cosφ Die Transformationsformeln lassen sich geometrisch mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises interpretieren.
Spezialfälle: