Leibnizscule Hannover - Seminararbeit - Modellierung von Ausflussvorgängen J I Sculjar: 2010 Fac: Matematik
Inaltsverzeicnis 1 Einleitung 2 11 Vorwort 2 12 Vorbereitung 2 2 Ausflussvorgang bei konstantem Querscnitt 3 21 Herleitung 3 22 Lösen der Differentialgleicung 5 23 Anwendung und Nutzbarkeit der Funktion 8 3 Ausflussvorgang bei variierendem Querscnitt 10 31 Herleitung 10 311 Für den Kegel 11 32 Anwendung 11 33 Weitere Körper 12 34 Linearer Ausfluss 13 4 Scluss 14 41 Zusammenfassung 14 42 Resümee 14 5 Anang 15 51 Literaturverzeicnis 15
1 Einleitung 11 Vorwort Diese Seminararbeit setzt sic damit auseinander, wie sic der Ausfluss von Wasser aus verscieden geformten Körpern in Abängigkeit von der Zeit verält Für diese Untersucungen werde ic ausgewälte Gesetze der Strömungsmecanik erleiten und verwenden 12 Vorbereitung Anfangs galt es, für dieses Tema Informationen zu sammeln, was sic als äußerst scwierig erwies Es ist nur wenig für mic geeignete Literatur zu finden, die sic mit diesem Teilbereic der Strömungsmecanik bescäftigt Die Strömungsmecanik spielt eine immer größer werdende Rolle, was man einem Zitat der Tecniscen Fakultät der Friedric-Alexander- Universität 1 entnemen kann: Die Bedeutung strömungsmecaniscer Untersucungen, gekoppelt mit Wärme- und Stoffübertragung, mact es eute erforderlic, die Beandlung solcer Vorgänge mit modernen experimentellen und numeriscen Metoden anzugeen Scließlic stellte sic folgende Frage: Ist es möglic, anand einer von mir aufzustellenden, allgemein geltenden Ausströmungsfunktion Rücksclüsse auf die Form des Ausflusskörpers zu zieen Zunäcst bescäftigt sic diese Arbeit mit dem Zylinder, um anand dieses relativ einfacen geometriscen Körpers die Verwendung der Strömungsgesetze zu erproben Später werden auc andere geometrisce Körper beandelt Zentrale Betractung wird sein: Wie verändert sic der Füllungszustand in Abängigkeit von der Zeit 1 ttp://bionikfbsms-bremende/downloads/news/2009-stroemungsmecanik-erlangenpdf 2
2 Ausflussvorgang bei konstantem Querscnitt 21 Herleitung Um die Formel für den Ausflussvorgang erleiten zu können, muss man zunäcst die Zusammenänge zwiscen der Wasserstandsöe, der Ausflussgescwindigkeit v, dem Volumen des ausgeflossenen Wassers V und der Wasseroberfläce Q beim Ausfluss aus einem Beältnis in Gleicungen darstellen Durc Verwendung versciedener Formeln soll der direkte Zusammenang zwiscen der Zeit t und der Wasserstandsöe gezeigt werden (I) Die Gescwindigkeit, mit der das Wasser den Beälter verlässt (egal ob orizontal oder vertikal), ist gleic der Gescwindigkeit, die ein Wasserteilcen beim Fall von der Wasseroberfläce zum Boden des Beälters, also auf der Strecke erreicen würde Es gilt dann für die Gescwindigkeit (gemäß Gesetz von Evangelista Torricelli (1608-1647)): υ = 2g g = Erdbescleunigung r 1 {}}{ (II) Die Menge des ausgeflossenen Wassers V lässt sic über die Querscnittsfläce Q und die sic zur Zeit t ändernde Höe bestimmen: r 2 V = Q (III) Über den Abfluss lässt sic ein zweitesmal die Menge des ausgeflossenen Wassers bestimmen, denn das Wasser verlässt den Körper in Form eines Zylinders, mit der Querscnittsfläce q Die Gescwindigkeit v bleibt in der Horizontalen wie beim waagerecten Wurf konstant Das Volumen ist dann: Q = π r 2 1 q = π r 2 2 V = q s s Länge der Ausflusssäule (IV) s wird ersetzt durc: υ = s/ t s = υ t v wird jetzt durc (I) ersetzt: s = 2g t 3
Man erält durc Gleicsetzen von (II) und (III) und Ersetzen von s die Gleicung: Q = q 2g t Durc Umformen dieser Gleicung und Ersetzen des Differenzenquotienten durc den Differentialquotienten ergeben sic folgende Ausfürungen: Q = q 2g q 2g t t = Q lim t 0 t = d dt Indem t gegen Null strebt, näert sic der Quotient t der Steigung d der Funktion dt an der Stelle t an d Für kann man (t) screiben und erält eine Differentialgleicung 1 Ordnung dt (t) = q 2 g Q (t) In dieser Gleicung ist q 2 g Q die DGL 1 zum Lösen vereinfacen: eine Konstante Also kann man sie durc k ersetzen und so (t) = k (t) 1 Differentialgleicung 4
22 Lösen der Differentialgleicung Die Differentialgleicung für den Vorgang ist ergeleitet Doc welce Funktion erfüllt die gestellte Bedingung? Man scaut sic dazu zunäcst einmal den Grapen eines Flüssigkeitsablaufes an und stellt zusätzlic drei Funktionen (e-funktion, quadrat Funktion, Wurzelfunktion) mit den für die Messwerte ermittelten Parametern 2 dar Erste Annamen über die Eignung dieser Funktionen lässt dies zu: Messwerte:() Zeit Höe 0 16 0,5 15,1 1 14 1,5 13,15 2 12,2 2,5 11,4 3 10,55 3,5 9,85 4 9,1 4,5 8,4 5 7,7 6 6,5 7 5,45 8 4,5 9 3,75 10 3,1 11 2,5 12 2,05 13 1,65 14 1,4 15 1,2 16 1 17 0,9 18 0,85 y in cm (t) = 0, 0487 + 16, 0847 e 01601 t g(t) = 0, 0577 t 2 1, 8806 t + 16 d(t) = 2, 529 t + 2, 2288 + 12, 2245 t in min Wie in der Grapik zu seen, sind die e-funktion und die Quadrat-Funktion der Kurve der Messwerte am änlicsten Die Wurzelfunktion reißt jedoc völlig aus Sie verläuft nict einmal durc den Funktionswert zum Zeitpunkt Null, obwol dieser auc ins Gleicungssystem der Wurzelfunktion eingesetzt wurde Aber welce der Funktionen erfüllt nun die DGL? 2 die Parameter der Funktionen wurden mit Maple bestimmt 5
(I) Die e-funktion: Es gilt (t) = k (t) für die DGL Also ergibt die Funktion (t) = a + b e ct und ire Ableitung (t) = b c e ct eingesetzt in die DGL: b c e ct = k a + b e ct Zunäcst vereinfact man die Gleicung und quadriert diese, um die Wurzel zu entfernen: b 2 c 2 e 2ct = k 2 (a + b e ct ) Hier wäre bereits die Gleicung nict erfüllt Denn bei a 0 würde sic die Funktion auf der y-acse verscieben Für a = 0 gilt: b 2 c 2 e 2ct = k 2 (b e ct ) b 2 c 2 k 2 e 2ct = b e ct b 2 c 2 k 2 e 2ct b e ct = 0 e ct ( b2 c 2 k 2 e ct b) = 0 Die Klammer muss nun gleic Null sein, denn e ct 0: b 2 c 2 k 2 e ct b = 0 e ct = b k 2 b 2 c 2 Da b k 2 b 2 c 2 konstant ist, ist die Gleicung nict erfüllt und die Funktion (t) = a + b e ct realisiert die DGL nict (II) Die Quadratisce Gleicung In Anlenung an die Überlegungen zur e-funktion folgt ier: 2 a t + b = k a t 2 + b t + c 4 a 2 t 2 + 4a t b + b 2 = k 2 (a t 2 + b t + c) Durc Umformen obiger Gleicung folgt: 4 a 2 t 2 k 2 a t 2 + 4a t b k 2 b t + b 2 k 2 t = 0 t 2 (4a 2 k 2 a) + t (4 a b k 2 b) + (b + k 2 c) = 0 Der Wert jeder Klammer muss Null sein, um die Kondition einzualten: 6
a) 4a 2 k 2 a = 0 a 2 = k2 a 4 a = k2 4 a kann die Bedingung für die Klammer erfüllen, ist jedoc an k gebunden, sodass folgendes gilt: a = q 2 g 2 Q 4 2 Q 2 4 a = 2g q a = g 2 q2 Q 2 b) Die Bedingung ist erfüllt, wenn a) erfüllt ist c) 4 a b k 2 b = 0 b (4 a k 2 ) = 0 b 2 k 2 c = 0 b 2 = k 2 c Die Quadratisce Funktion erfüllt die DGL solange c > 0 ist (III) Die Wurzel-Funktion : Durc Einsetzen in die DGL folgt: d(t) = a t + b + c d (t) = a 2 t+b a 2 t+b = k a t + b + c a 2 a 4 (t+b) = k (a t + b + c) a 2 4 k 2 = (t + b) (a t + b + c) Diese Gleicung ist nict erfüllbar Die Wurzel-Funktion kann die DGL nict erfüllen und bestätigt die Vermutung, die aus dem Grapen ervorging 7
23 Anwendung und Nutzbarkeit der Funktion Wie eben bewiesen, erfüllt die Funktion q(t) = a t 2 + b t + c die DGL Sie kann also den Ausflussvorgang bescreiben, aber nur solange es sic um einen Ausflusskörper mit gleicbleibenden Querscnitt andelt Es könnte also auc ein Quader sein, aus dem die Flüssigkeit austritt, da auc bei diesem Körper die Querscnittsfläce konstant bleibt Für die Parameter sind feste Bedingungen gegeben c muss die Startöe sein, denn q(0) muss größer Null sein und den Startwert definieren Da die Parabel nac oben geöffnet c ist, muss a > 0 sein b muss kleiner als Null sein, denn der Sceitel der Parabel ist nac rects verscoben Man kann jetzt nac dem folgenden Scema die Ausströmungszeit errecnen Als erstes bestimmt man dazu die Werte der Funktion: S r 1 = 4, 3cm r 2 = 0, 08cm g = 981 cm min 2 60 2 (0) = 16 Der Wert von c kann sofort bestimmt werden, da der Funktionswert zur Zeit Null 16 sein muss c = 16 Für die Parameter a und b waren Bedingungen über k festgelegt, somit gilt für k: k = q 2 g Q q = π r 2 2 Q = π r 2 1 k = 2g ( r 2 k = 2 981 cm 60 min 2 ( 0,8mm 2 k 0, 9199 r 1 ) 2 cm min 43mm )2 Für a gilt: a = k2 4 a = 0,91992 4 a 0, 21156 Für b gilt: b 2 = k 2 c b 2 0, 9199 2 16 b 0, 9199 4 Da beim Quadrieren von b das Vorzeicen verscwindet, muss ein Minus ergänzt werden, da b < 0 sein muss: b 3, 6796 Die Funktion q(t) (Wasserpegelstand in Abängigkeit von der Zeit) lautet nun: 8
q(t) = 0, 21156 t 2 0, 9199 t + 16 Um nun die Ausströmzeit zu errecnen, kann q(t) entweder mit Null gleic gesetzt werden oder die allgemeine Bedingung für den Sceitel verwendet werden, da der Sceitel die Nullstelle ist Einsetzen: t = b 2a t = 4 k 0,5 k 2 t = 8 k t 8, 7 Nac 8,7 min wäre damit der Ausströmvorgang abgesclossen Doc warum errsct eine so starke Divergenz zwiscen dem errecneten Ergebnis und dem experimentell bestimmten Die größte Felerquelle ist voraussictlic das Ausströmloc Wenn der ydrostatisce Druck kleiner wird, fließt das Wasser gegen Ende des Ausflussvorganges tröpfcenweise Dies ist der Grund, dass die Messwerte nie den Wert Null erreicen Desweiteren wurden Wiederstand, Viskosität und die Umwandlung von potentieller Energie 3 in kinetisce Energie 4 völlig vernaclässigt Dies sind Faktoren, die dem Strömungssystem Energie entzieen und so den Vorgang verlangsamen Hier noc einmal die Funktion im Vergleic zur Kurve der Messwerte t 3 ist in diesem Fall die Höe, aus der sic das Wasser bis zum Loc bewegt 4 die Gescwindigkeit, mit der das Wasser aus dem Loc austritt 9
3 Ausflussvorgang bei variierendem Querscnitt 31 Herleitung Ic betracte zunäcst einen koniscen Körper mit der Fläcenfunktion Q(), zum Beispiel einen Kegel Alle Überlegungen, die bereits zum Zylinder gemact wurden, lassen sic nun auf den Kegel übertragen Die Gescwindigkeit v ist nac dem Gesetz von Torricelli in Abängigkeit von der Höe zu seen, somit gilt: v(t) = 2 g (t) Q() } delta Für den Ausfluss gilt V = q v(t) t wie zuvor, denn q bleibt konstant Nur der Scwund (das aus dem Kegel abfließende Volumen) ist abängig von der Fläcenfunktion V = Q() Gleicsetzen der Volumina und Ersetzen von v ergibt: q v(t) t = Q() q 2 g (t) t = Q() Diese Formel bedeutet, dass der Vorgang, der eigentlic dynamisc abläuft, jetzt in den Intervallen t und betractet wird Bei der Lösung würde es sic also nur um eine Näerung andeln, die umso genauer wird, je kleiner gewält wird Um eine exakte Lösung zu bekommen, lässt man gegen Null streben 1 t = Q() q 2 g 1 t = q 2 g Q() 1 lim 0 x t = 1 q 2 g 1 Q() d 0 Um die Ausströmzeit des Wassers aus einem Körper zu bestimmen, muss man die Größe des Austrittsloces, Ausgangspegelstand ( 0 ) und die Fläcenfunktion berücksictigen 10
311 Für den Kegel d 0 Es gibt eine zweite Möglickeit die Formel erzuleiten Unter Anwendung des Stralensatzes gilt Folgendes: H 0 = d 0 d() d() = d 0 H 0 H 0 d() Die Gleicung Q() = π ( 1 2 d 0 H 0 ) 2, bescreibt die Fläce des Wasserspiegels in Abängigkeit von der Höe in einen Kegel Durc Einsetzen dieser Formel in die allgemeingültige Formel der Ausströmzeit ergibt sic folgende Formel: t = x π d 2 0 4 H0 2 q 2 g 3 2 d 0 32 Anwendung Um die Ausflusskurve versciedener Körper darstellen zu können, muss man zunäcst deren Fläcenfunktion aufstellen Dazu lässt sic der rotationssymmetrisce Körper parallel zur Rotationsacse durctrennen und dann auf die x-acse legen Jetzt lässt sic die Funktion für den Radius bestimmen Um zu Vereinfacen werden im Folgenden die Maßeineiten vernaclässigt Somit at nebensteender Kegel die Höe 2 und den Radius 0,5, somit lautet die Funktion für den Radius: r() = 0, 25 r Um die Fläcenfunktion zu bekommen, wird bei jedem - Wert ein Kreis mit dem Radius r() gezogen Die Fläce jedes Kreises ist nac der Formel A Kreis = π r 2 : Q() = π (0, 25 ) 2 Q() kann in die Formel für den Ausfluss eingesetzt werden q soll 0,5 sein Q x t = 1 π 0,252 0,5 2 g 2 1 d 0 Hier ist π 0, 25 2 bereits ausgeklammert und bleibt, da es eine Konstante ist, beim der Integration eralten t = 1 π 0,252 0,5 2 g ( 2 5 2 5 2 2 5 5 2 ) Mit g = 9, 81 siet die Funktion aus wie folgt: 11
t() t() Aus diesem Diagramm lässt sic sclect erkennen, wie sic der Flüssigkeitsstand verält Um die Anscaulickeit zu verbessern, werden die Acsenbescriftungen vertausct 33 Weitere Körper (I) Ein Glas mit dem Umriss einer Parabel: r() = Q() = π q = 0, 3 = 20 t() = 1 0,3 9,81 2 ( 2 3 π 20 3 2 2 3 π 3 2 t() (II) Die Kugel: r() = 10 2 2 Q() = (10 2 2 ) π q = 0, 3 = 10 1 2 t() = ((π 10 0,3 9,81 2 3 10 3 2 π 2 5 10 5 2 ) (π 10 2 3 3 2 π 2 5 5 2 )) 12
t() 34 Linearer Ausfluss Merere Körper wurden untersuct und ire Ausflusskurven bestimmt, doc bei keinem dieser Ausflussvorgänge verielt sic die Zeit proportional zum Flüssigkeitsstand Wie müsste dieser Körper ausseen? Die Funktion zu t würde lauten t() = 1 q 2 g (k o k x ) Das bedeutet, dass vor dem Integrieren nur Konstanten voranden sein dürfen Im Integral muss sic 1 wegkürzen mit der Fläcenfunktion Q() x 0 Q() x 0 k 1 d 1 d Die Fläcenfunktion muss Q() = k lauten Da Q() = (r()) 2 π gilt, muss r() = k π sein, bezieungsweise r() = k 4 Durc Bildung der Umkerfunktion wird die Siluette des Ausflusskörpers aufgerictet Sie lautet (r) Körper = r 4 k Der Körper siet wie folgt aus: 13 r
4 Scluss 41 Zusammenfassung Am Anfang meiner Arbeit war mir noc nict klar, womit ic mic bescäftigen würde Ic arbeitete also meine Informationen zu diesem Tema durc und verscaffte mir einen Überblick Anscließend überlegte ic, in welcem Spektrum sic meine Arbeit bewegen sollte Dann begann ic in reproduktiver Arbeit den Ausströmvorgang am Beispiel des Zylinders klar zu verdeutlicen Dies gesca ser ausfürlic Anscließend bescäftigte ic mic mit den Ausströmvorgängen bei Körpern mit variierendem Querscnitt, versucte Formeln zu erarbeiten und diese auf ire Tauglickeit zu überprüfen Scließlic gelang es mir, anand der allgemeingültigen Formel für die Ausströmzeit einen Körper darzustellen, dessen Wasserstandsöe bei der Leerung linear abnimmt Aus Zeitmangel mussten weitere Betractungen unterbleiben Überlegungen zur Viskosität der Flüssigkeiten oder zu weiteren Körpern und auc zu wecselnden Druckverältnissen wären gewiss interessant gewesen 42 Resümee Für meine Arbeit wären weitere Betractungen interessant gewesen, in denen ic eine allgemeingeltende Formel ätte erstellen können, in der abängig von t ist und nict umgekert Weitere Überlegungen zum Körper mit linear abnemendem Wasserpegelstand wären ebenfalls eine Herausforderung, insbesondere wenn man den Boden des Körpers unter Beibealtung der Größe der Ausflussöffnung in untersciedlicen Höen ansetzt Welce Auswirkungen ätte dies auf die Strömungsgescwindigkeit? 14
5 Anang 51 Literaturverzeicnis (1) ttp://wwwpersonenlexikonnet/d/torricelli-evangelista/torricelli-evangelistatm (2) Kopien vom Faclerer (3) Meyers kleine Enzyklopädie Matematik (4) ttp://wwwmatematisce-basteleiende/albkreistm (5) Formelsammlung (6) Zitat aus: ttp://bionikfbsms-bremende/downloads/news/2009-stroemungsmecanikerlangenpdf 15
16