Fachbereich Mathematik Prof Dr Thomas Streicher Dr Sven Herrmann Dipl-Math Susanne Pape 6 Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Wintersemester 009/00 7/8 November 009 Gruppenübung Aufgabe G Wiederholung: Folgen und die Eulersche Zahl) Sie haben in der Vorlesung die Eulersche Zahl e : exp) lim + n )n kennengelernt Berechnen Sie nun mit Hilfe der Konvergenzsätze Satz II9) die Grenzwerte der nachstehenden Folgen i) a n + n) n+ n ii) b n + n+) iii) c n ) n n i) lim + n+ n) lim e + 0) e ii) + n+ iii) lim lim n n) lim + n ) n) lim + n) lim + n n) lim + lim n ) n lim + n+) n+ lim + n n n+) ) n lim lim + n) n e n n ) n lim + n ) n i) e Aufgabe G Horner-Schema) a) Bestimmen Sie mittels Koezientenvergleichs α, α, α 3, α 4 R so, dass die folgende Gleichung für alle x R erfüllt ist: α x 3 + α + α 3 )x + α 3 x + α 4 α 4 + α )x 3 α 3 + 6)x x α + b) Gegeben sei das Polynom P x) α x 3 + α + α 3 )x + α 3 x + α 4 mit den für α,, α 4 bestimmten Werten aus Teil a) i) Weisen Sie mit Hilfe des Horner-Schemas nach, dass x eine Nullstelle des Polynoms ist ii) Lesen Sie aus dem Horner-Schema in Aufgabenteil i) das Polynom Q mit P x) x + ) Qx) ab
iii) Berechnen Sie die Nullstellen des quadratischen Polynoms Q mit Hilfe der p-q-formel iv) Überprüfen Sie ihre Rechnung, indem Sie nachweisen, dass für die Nullstellen x 0, x und x des Polynoms P gilt P x) x x 0 ) x x ) x x ) a) Wir lösen folgendes Gleichungssystem α α 4 + α b) α + α 3 α 3 6 α 3 α 4 α + und erhalten α, α 4, α 3 und α 4 6 i) Es ist P x) x 3 5x x + 6 Mithilfe des Hornerschemas für x bekommen wir 5 6 7 6 7 6 0 Die letzte Zeile des Hornerschemas hat an der letzten Stelle eine 0, somit ist - eine Nullstelle des Polynoms P ii) Qx) x 7x + 6 lässt sich sofort aus der dritten Zeile des Horner-Schemas ablesen iii) Qx) x 7x + 6 0 x 7 x + 3 0 x / 7 4 ± 49 6 3 7 4 ± 4 x oder x, 5 iv) Probe P x) x + )x )x, 5) durch Nachrechnen! Aufgabe G3 Interpolationspolynom) a) Es seien folgende Daten gegeben: k 0 3 x k -4-0 y k - 3 a i) Bestimmen Sie für alle a R das Interpolationspolynom höchstens 3 Grades, das durch diese Punkte geht ii) Geben Sie das Interpolationspolynom höchstens Grades an, das durch die ersten drei Stützstellen geht Geben Sie nun ein Polynom genau 0 Grades an, das durch die ersten drei Stützstellen geht Bemerkung: Das soll Ihnen klar machen, dass man sehr viele Polynome bestimmen kann, die durch ein gewisse Anzahl von Punkten geht Das richtige Polynom kann es ohne weitere Voraussetzungen in dem Sinne nicht geben
b) Sei x i x j für i j mit i, j {0,,, n} Zeigen Sie nun, dass für zwei Polynome gx) und fx) vom Grad n mit x R gilt: i : fx i ) gx i ) fx) gx) a) i) Wir verwenden den Ansatz aus der Vorlesung, dass fx) α 0 + α x x 0 ) + α x x 0 )x x ) + α 3 x x 0 )x x )x x ) und lösen folgendes Gleichungssystem y 0 α 0 y α 0 + α x x 0 ) y α 0 + α x x 0 ) + α x x 0 )x x ) y 3 a α 0 + α x 3 x 0 ) + α x 3 x 0 )x 3 x ) + α 3 x 3 x 0 )x 3 x )x 3 x ) Wir erhalten α 0 α α 0 α 3 a 5 48 Das Interpolationspolynom ist damit fx) + x + 4) + a 5 x + 4)x + )x 48 ii) Die Lösung dieser Aufgabe ist auf drei Arten zu bekommen ) Man sieht, dass man die letzte Gleichung einfach weglassen muss ) Man setzt a 5 3) Man erkennt, dass die ersten drei Punkte auf einer Gerade liegen Das Polynom lautet in jedem Fall fx) + x + 4) x + 3 Zur Lösung des letzten Teils addiert man ein Polynom 0 Grades, das die Nullstellen x 0, x, x hat, also zum Beispiel fx) x + 3 + x + 4) 5 x + ) 5 x 0 b) Die Richtung ist klar, zeige also Verwendet man die n + Punkte x i, fx i )) x i, gx i )) als Daten für ein Interpolationspolynom höchstens n-ten Grades, so erhält man ein Interpolationspolynom hx), das durch die Punkte geht Da h eindeutig ist, und sowohl f als auch g durch alle n + Punkte gehen und vom Grad n sind gilt, fx) hx) gx) Hausübung In der nächsten Übung abzugeben) Aufgabe H Funktionen) + Punkte) a) Seien fx) : ax +bx+c sowie x 0 R gegeben Bestimmen Sie mittels Koezientenvergleich die reelen Zahlen â, ˆb, ĉ in Abhängigkeit von a, b, c, x 0, so dass fx) âx x 0 ) + ˆbx x 0 ) + ĉ 3
b) Seien f : R R und g : R R monoton wachsende Funktionen und h : R R eine monoton fallende Funktion Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f g, g h und f g h a) Ausmultiplizieren ergibt fx) âx x 0 ) + ˆbx x 0 ) + ĉ âx + ˆb âx 0 )x + âx 0 ˆbx 0 + ĉ Ein Koezientenvergleich mit fx) ax + bx + c führt zu â a ˆb ax0 + b ĉ ax 0 + bx 0 + c b) Sei x > y Dann gilt gx) gy), da g monoton wachsend ist Weil f monoton wachsend ist, folgt fgx)) fgy)) Das heiÿt f g ist monoton wachsend Sei x > y Dann gilt hx) hy), da h monoton fallend ist Weil g monoton wachsend ist, folgt ghx)) ghy)) Das heiÿt g h ist monoton fallend Da f eine monoton wachsende Funktion ist und wie schon gezeigt g h eine monoton fallende Funktion ist, ist auch f g h monoton fallend Aufgabe H Rationale Funktion) a) Sei D R und f : D R mit + Punkte) fx) x + 3) 5x 4x ) x 9)x ) Bestimmen Sie die maximale Teilmenge D R, sodass f mit dieser Formel deniert werden kann, und bestimmen Sie die Null- und Polstellen von f und ihre Vielfachheit b) Kürzen Sie eventuell gemeinsame Faktoren und bestimmen Sie schlieÿlich mit Hilfe des Horner-Schemas die Darstellung von f als fx) f x) + r x x 0 ) Tipp: Wenden Sie das Hornerschema für eine Polstelle von fx) in geeigneter Weise an a) Die Nullstellen des Nennerpolynomes lauten -3, 3 Nullstellen von x 9) und Nullstelle von x ) Damit ist der maximale Denitionsbereich D R \ { 3,, 3} Die Nullstellen des Zählerpolynomes ermittelt man leicht aus 0 x + 3 x 3 0 5x 4x x 5, x 3 Damit ist klar, daÿ f bei 3 eine Polstelle hat, da der Werte Nullstelle des Nennerpolynomes, aber nicht Nullstelle des Zählerpolynomes ist Sie ist einfache Polstelle, da sie einfache Nullstellen des Nennerpolynomes ist 4
Da x sowohl Nullstelle im Zähler- als auch im Nennerpolynom ist, faktorisieren wir 5x 4x wie folgt zb mittels Hornerschema): 5x 4x x )5x + ) Die Funktion fx) lässt sich also nun schreiben als x + 3) 5x 4x ) x 9)x ) x + 3) x )5x + ) x + 3)x 3)x ) x + 3)5x + ) x 3) b) Sei fx) gx) x + 3)5x + ) hx) x 3) Mittels des Hornerschemas bekommen wir für x 0 3 5 6 3 5 93 5 3 96 Also ist gx) x 3)5x + 3) + 96 und wir bekommen 5x + 6x + 3 x 3) fx) x 3)5x + 3) + 96 x 3 5x + 3 + 96 x 3 Aufgabe H3 Gerade und ungerade Funktionen) 3 Punkte) Eine Funktion f : R R heiÿt gerade, falls fx) f x) ist, und ungerade, falls fx) f x) ist Wir betrachten ein Polynom fx) a k x k mit a k R Zeigen Sie, dass f genau dann gerade ist, wenn a k 0 für jedes ungerade k, sowie, dass f genau dann ungerade ist, wenn a k 0 für jedes gerade k ' ' Ist f eine gerade Funktion, so ist fx) fx) + f x)) a k + ) k a k )x k Auf Grund der eindeutigen Darstellung von Polynomen Koezientenvergleich) folgt, dass a k 0 für ungerades k ist Ist f ungerade, so ist Also ist a k 0 für gerades k ' ' Ist f von der Form fx) fx) f x) fx) a k x k bzw fx) so ist oensichtlich fx) f x) bzw fx) f x) a k ) k a k )x k a k+ x k+, 5