ETH Arbetsgruppe Radocheme Radochemsches Praktkum P 06 Enführung n de Statstk INHALTSVERZEICHNIS Sete 1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 2. Mttelwert und Varanz 2 3. Momente ener Vertelung 3 4. Posson-Vertelung 4 5. Varanz der Posson-Vertelung 5 6. Statstscher Fehler be der Bestmmung von Zerfallsraten 6
1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 Es gbt kene exakten Messresultate. Des glt auch für Zählexpermente, obwohl das Resultat ene ganze Zahl st. Durch de Zufällgket des radoaktven Enzeleregnsses snd aber Aussagen über de Wahrschenlchket für das Entreten von Zerfallseregnssen möglch. Von enem enzelnen Atom kann man ncht vorhersagen, wann es zerfällt. Man kann nur de Wahrschenlchket angeben, daß es nnerhalb ener bestmmten Zetspanne zerfällt. Der Zerfall enes Kerns zu enem bestmmten Zetpunkt st das expermentelle Enzeleregns, das be der Messung der Radoaktvtät m allgemenen festgestellt wrd. De große Zahl von Enzeleregnssen, de normalerwese zur Verfügung steht, macht ene statstsche Behandlung notwendg. Konkret kann man be der Messung der Aktvtät ene Zetspanne vorgeben und de Anzahl Zerfälle nnerhalb deser Spanne betmmen. De Anzahl Zerfälle st ene Zufallsvarable. Man charaktersert se n der Statstk durch hre Vertelungsfunkton. Se enthält de ganze Informaton über den physkalschen Vorgang. De Vertelungsfunkton näherungswese zu bestmmen, st daher das Zel der statstschen Auswertung. Man kann ene Vertelung durch enge Maßzahlen charakterseren, de wchtgsten davon snd Mttelwert µ und Varanz σ 2. 2. Mttelwert und Varanz Der Mttelwert ener dskreten Vertelung st defnert durch µ = x f(x ) (1) De Begrffe "Mttelwert ener Vertelung" und "Mttelwert ener ener Zufallsvarablen" werden oft ncht unterscheden. Her soll ncht auf den Untersched engegangen werden, da des zu wet führen würde. De Varanz ener dskreten Vertelung st defnert durch σ 2 = (x µ) 2 f(x ) (2) De Varanz st en Maß für de Streuung der Werte, de de Zufallsvarable X annehmen kann. De Quadratwurzel der Varanz heßt Standardabwechung.
3. Momente ener Vertelung 3 Mttelwert und Varanz snd Sonderfälle der sogenannten Momente ener Vertelung. Ene belebge Funkton g(x) der Zufallsvarablen X st selbst ene Zufallsarable. Der Erwartungswert von g(x) st defnert durch E(g(x)) = g(x ) f(x ) (3) wobe de x Ausprägungen von X snd, also expermentelle Enzeleregnsse. f(x) st de zu X gehörge Vertelungsfunkton. Wählt man n Gl. (3) spezell g(x) = X k (k = 1, 2,...), so ergbt sch E(X k ) = x k f(x ) (4) Dese Größe heßt das k-te Moment der betreffenden Vertelung. Für k = 1 geht (4) n (1) über. Das 1. Moment der Vertelung st also der Mttelwert µ: µ = E(X) (5) Wählt man n Gl. (3) spezell g(x) = [X µ] k (k = 1, 2,...), so ergbt sch E([X µ] k ) = (x µ) k f(x ) (6) Dese Größe heßt das k-te zentrale Moment der betreffenden Vertelung. Exstert das 1. zentrale Moment, so hat es den Wert null. Für k=2 geht (6) n (2) über. Das 2. zentrale Moment st demnach de Varanz der betreffenden Vertelung: σ 2 = E([X µ] 2 ) (7) De zentralen Momente lassen sch aber auch durch de Momente ausdrücken: σ 2 = E(X 2 ) µ 2 (8) Be manchen Vertelungen berechnet man de Momente am enfachsten drekt aus den Defntonsglechungen, während man n anderen Fällen durch de Benutzung ener geegneten Hlfsfunktonlechter zum Zel kommt. Der Erwartungswert E(e tx )
4 heßt de momenterzeugende Funkton der betreffenden Vertelung und wrd mt G(t) bezechnet: G(t) = E(e tx ) = (e tx f(x )) (9) 4. Posson-Vertelung Betrachtet man en Zufallsexperment, be dem de Wahrschenlchket p für das Entreffen enes Eregnsses A be jeder Wederholung de gleche st und sch de Ergebnsse der verschedenen Ausführungen gegensetg ncht beenflussen, erhält man ene Bnomalvertelung. Se hat de Vertelungsfunkton f(x) = n! x! (n x) px (1 p) n x (10) Be velen Anwendungen st de Erfolgswahrschenlchket p bem enzelnen Experment klen, während de Anzahl n der Ausführungen sehr groß st. In enem solchen Fall st es vortelhaft, de Bnomalvertelung mt hren für große n recht unbequemen Bnomalkoeffzenten durch de Vertelung zu approxmeren, de sch ergbt, wenn p gegen Null und n gegen Unendlch strebt. Der Mttelwert µ = n p (11) strebt dabe gegen enen endlchen Wert. Um de genannte Vertelung zu gewnnen, geht man von der Vertelungsfunkton der Bnomalvertelung Gl. (10) aus. Wegen Gl. (11) st p = µ n, also px = µx n x (12) und weterhn (1 p) n x = n x = n x (13)
Setzt man des n Gl. (10) en, so ergbt sch de Vertelungsfunkton: 5 f(x) = µx x! n(n 1)...(n x + 1) n x 1 µ n n x (14) Für n streben n(n 1)...(n x + 1) n x 1 n e µ x 1 Also ergbt sch de kontnuerlche Vertelungsfunkton : f(x) = µx x! e µ (15) De Vertelung heßt Posson-Vertelung. We aus der Herletung folgt, hat se den Mttelwert µ. 5. Varanz der Posson-Vertelung Gemäß Gln. (9) und (15) hat de Posson-Vertelung de momenterzeugende Funkton G(x) = e µ e µet (16) Also st G(0) = 1. Wederholte Dfferentaton ergbt nachenander: G'(t) = e µ e µet µe t = µe t G(t) G''(t) = µe t [G(t)+ G'(t)] Also st G'(0) = µ und weterhn E(x 2 ) = G''(0) = µ+µ 2 (17)
6 Demnach hat de Posson-Vertelung de Varanz σ 2 = µ. Aus desem Ergebns erkennt man unmttelbar, dass dmensonsbehaftete Größen ncht possonvertelt sen können. Mttelwert und Varanz hätten dann ncht de gleche Enhet und können demnach auch ncht glech sen. De Anzahl Zerfälle während ener vorgegebenen Zetspanne st possonvertelt, ncht de Zählrate. 6. Statstscher Fehler be der Bestmmung von Zerfallsraten Es läßt sch zegen, daß sch de asymmetrsche Possonvertelung durch ene Gaussvertelung approxmeren läßt, wenn de Anzahl der Ausführungen n, n desem Fall de Anzahl der total gezählten Zerfälle, gegen unendlch strebt. Man kann dann de Fehlerrechnung mt der wohlbekannten Normalvertelung durchführen. De wahre Zerfallsrate legt mt ener Wahrschenlchket von 68,3 % nnerhalb ener Standardabwechung σ um de gemessene Zerfallsrate. Be radochemschen Messungen st es üblch, enen Vertrauensberech von 2σ um den gemessenen Mttelwert anzugeben. Wenn de Annahme ener Normalvertelung zuläßg st, entsprcht das ener statstschen Scherhet von 95,5 %. Be ener radochemschen Messung nterressert man sch oft für de Zähldauer be enem Experment für ene vorgegebene Präzson, wenn de Zählrate ungefähr bekannt st. Für de mest geforderte Brete von 2 Standardabwechungen kann man se mt folgender Bezehung abschätzen: t = 1 I 2 σ rel 2 mt σ rel = 2σ µ (19) wobe I de Impulsrate st und σ rel der geforderte Wert für de relatve Fehlerbrete. Da n der analytschen Cheme kaum Präzsonen klener als 1 % errecht werden, genügt es m allgemenen, enen Wert von σ rel =0,01 zu fordern, um den Zählfehler als Fehlerquelle auszuschalten. Enge Messgeräte wählen de Zähldauer selbst. Se akkumuleren de Anzahl Zerfälle, de für ene vorgegebene Präzson notwendg st.