apitel 6 Das Wurzelortsverfahren Wie wir in apitel 3 gesehen haben, ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität von linearen Eingrößensystemen, dass die Polstellen der Übertragungsfunktion in der linken offenen s Halbebene liegen. Eine häu ge Aufgabenstellung ist die Wahl eines Parameters so, dass die geregelten Eingrößensysteme ein vorgegebenes Einschwingverhalten annehmen. Meist handelt es sich bei diesem Parameter um die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises. Soll z. B. der Übertragungsbeiwert eines P Reglers festgelegt werden, so kann dieser Wert variiert werden und jeweils das Einschwingverhalten des geschlossenen Regelkreises simuliert werden. Eine direktere Methode besteht in der Berechnung der Polstellen der Führungsübertragungsfunktion. Anhand der Polstellen kann das Einschwingverhalten beurteilt werden. Wenn man alle möglichen stabilen Systemzustände untersuchen will, muss man also die Wanderwege der Pole in Abhängigkeit von der reisverstärkung bestimmen. Für die onstruktion dieser Wanderwege wurde von Evans ein halbgra sches Verfahren entwickelt. Die sogenannten Wurzelortskurven können damit auf vergleichsweise einfache Art skizziert werden. 6. Systemvoraussetzungen Es wird angenommen, dass die reisübertragungsfunktion des einschlei gen Standardregelkreises L s bekannt ist, und zwar soll L s in faktorisierter Form vorliegen. L s s z s z 2 s z m s p s p 2 s p n (6.) Der Faktor ist proportional zur reisverstärkung V. Um den EinÀuss von auf die Polstellen der Führungsübertragungsfunktion beurteilen zu können, muss das Nennerpolynom der Führungsübertragungsfunktion bestimmt werden. T s L s L s (6.2) Ersetzt man Ls durch Zähler Z s geteilt durch Nenner N s: 07
6.2 Bedingungen für die Wurzelortskurve 08 T s Z s N s Z s (6.3) Die Polstellen der Führungsübertragungsfunktion sind also Lösungen der Gleichung N s Z s 0 (6.4) De nition: Die Wurzelortskurve (der Wurzelort) ist der geometrische Ort der Lösungen dieser Gleichung in Abhängigkeit von einem reellen Parameter. 6.2 Bedingungen für die Wurzelortskurve Aus der oben angegebenen Gleichung folgt durch Umformen Z s N s (6.5) Da s eine komplexe Variable ist, handelt es sich bei dieser Gleichung um eine komplexe Gleichung, für die Realteil und Imaginärteil bzw. Betrag und Phase jeweils getrennt übereinstimmen müssen. Man erhält damit eine Betragsbedingung: m i s z i n j s p j (6.6) sowie eine Phasenbedingung: m; i s z i n; j s p j k 80 (6.7) Diese Winkelbedingung muss in jedem Punkt der Wurzelortskurve unabhängig von erfüllt sein. 6.3 Regeln zur onstruktion von Wurzelortskurven Die oben angegebenen Eigenschaften können zur Herleitung von Regeln genutzt werden, die es gestatten, mit geringem Rechenaufwand den Verlauf der Wurzelortskurve zu skizzieren. Im
6.3 Regeln zur onstruktion von Wurzelortskurven 09 Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Anzahl der Polstellen größer oder höchstens gleich der Anzahl der Nullstellen der reisübertragungsfunktion ist m n n.. Die Wurzelortskurve besteht aus n Zweigen für 0 und aus n Zweigen für 0 Die Zweige hängen stetig vom Parameter ab. Begründung: Das Polynom N s Z s ist vom Grade n und besitzt daher n Nullstellen. Die Nullstellen eines Polynoms hängen stetig von den oef zienten ab. 2. Die Zweige der Wurzelortskurve beginnen für 0 in den Polen der reisübertragungsfunktion und enden für * in den Nullstellen der reisübertragungsfunktion. Begründung: Das Polynom N s Z s geht für 0 in das Nennerpolynom N s über. Die Nullstellen von N s sind aber die Polstellen der reisübertragungsfunktion. Durch Multiplikation mit erhält man aus dem Nennerpolynom der Führungsübertragungsfunktion das Polynom Z s N s Die Nullstellen dieses Polynoms stimmen für * mit den Nullstellen von Z s überein. 3. Ein Punkt der reellen Achse gehört für 0 (bzw. 0) zur Wurzelortskurve, wenn die Anzahl der rechts vom Punkt auf der reellen Achse liegenden Pole und Nullstellen ungerade (bzw. eine gerade Zahl oder Null) ist. Der Wurzelort ist symmetrisch zur reellen Achse. Begründung: Da das Nennerpolynom der Führungsübertragungsfunktion reelle oef zienten besitzt, treten komplexe Pole und komplexe Nullstellen stets in konjugiert komplexen Paaren auf. Für Punkte auf der reellen Achse liefern diese Paare keinen Beitrag zur Winkelbilanz. Pole und Nullstellen, die links vom betrachteten Punkt liegen, liefern den Beitrag Null, Pole und Nullstellen, die rechts vom betrachteten Punkt liegen, liefern den Beitrag i 80 i. Dabei ist i die Gesamtzahl der Pole und der Nullstellen. 4. Für * streben für 0 und 0 jeweils n m Zweige ins Unendliche. Diese Zweige besitzen Asymptoten, die sich auf der reellen Achse in einem gemeinsamen Punkt schneiden: x 0 3 n i Re p 3 m e k Re z k n m (6.8) Für die Neigungswinkel der Asymptoten gilt: O i 80 i n m (6.9) Dabei ist i ungeradzahlig für k 0 und geradzahlig für k 0. Man erkennt dies, wenn s sehr groß gewählt wird. Dann genügt es, im Zähler und im Nenner der Übertragungsfunktion die höchsten Potenzen zu berücksichtigen. Man erhält dann s m (6.0) sn
6.3 Regeln zur onstruktion von Wurzelortskurven 0 Aufgelöst nach der Variablen s: Für den Winkel dieser komplexen Zahl gilt dann s nm (6.) n m s i 80 i (6.2) 5. Ein Zweig einer Wurzelortskurve kann sich an keiner Stelle der s Ebene selbst schneiden. Falls ein Wert s 0 ein gemeinsamer Punkt von mehreren Zweigen ist, besitzen dort alle Zweige den gleichen Wert. Derartige Verzweigungspunkte entsprechen Mehrfachpolen der Führungsübertragungsfunktion. Wenn sich i Zweige in einem Punkt treffen, so bilden dort zwei benachbarte Zweige miteinander den Winkel 80 i. Die Verzweigungspunkte können berechnet werden. Sie sind Lösung der Gleichung m; i s z i n; k s p k (6.3) Die Berechnung ist jedoch im allgemeinen sehr aufwendig und daher für die Darstellung des prinzipiellen Verlaufs der Wurzelortskurve nicht sinnvoll. 6. Die Austrittswinkel der Wurzelortskurven aus den Polen können für einfache Pole mit der Gleichung m; n; s z i s p k 80 i (6.4) i k für 0 berechnet werden. Für 0 entfällt der 80 i Summand. Bei Mehrfachpolen mit der Vielfachheit D beginnen jeweils D Zweige für 0 und 0 mit den Austrittswinkeln Eine entsprechende Gleichung kann für die im Endlichen gelegenen Nullstellen D angegeben werden. Begründung: Diese Beziehung folgt aus der Winkelbedingung für die Wurzelortskurvenzweige. Man betrachtet zu diesem Zweck einen nahe beim Pol s 0 gelegenen Punkt s der Wurzelortskurve. Dafür gilt dann s p i s 0 p j (6.5) s z i s 0 z j (6.6) 7. Wenn die Wurzelortskurve die imaginäre Achse schneidet, dann besitzt die Führungsübertragungsfunktion rein imaginäre Polstellen. Für diesen Wert wird also die Stabilitätsgrenze erreicht. Der Zahlenwert von kann z. B. mit dem Routh riterium berechnet werden.
Imag Axis 6.3 Regeln zur onstruktion von Wurzelortskurven Root Locus 5 4 3 2 0 - -2-3 -4-5 -0-9 -8-7 -6-5 Real -4 Axis-3-2 - 0 Abbildung 6.: 8. Da die Wurzelortskurve der geometrische Ort der Polstellen der Führungsübertragungsfunktion bei Variation von ist, kann sie durch Nullsetzen des Nennerpolynoms der Führungsübertragungsfunktion berechnet werden. Man erhält dann jeweils eine Gleichung für den Imaginärteil und für den Realteil Im } Z s N s 0 (6.7) Re } Z s N s (6.8) Im allgemeinen ist es jedoch nicht sinnvoll, diese Rechnung ohne Computer durchzuführen. Für eine grobe Skizze genügen die oben angegebenen Regeln. Um den exakten Verlauf zu bestimmen, nutzt man zweckmäßigerweise Computerprogramme, wie sie z. B. in der Control System Toolbox von Matlab zur Verfügung stehen. Beispiel: Die Anwendung der Regeln soll nun an einem einfachen Beispiel erläutert werden. Dazu wird folgende reisübertragungsfunktion betrachtet: L s s 7 s 4s 6s 2 6s 25 (6.9) Im ersten Schritt wird die Pol Nullstellen on guration der reisübertragungsfunktion in die komplexe s Ebene eingezeichnet. Mit der zweiten Regel wird dann die zu positiven Werten und zu negativen Werten gehörenden Teile der reellen Achse bestimmt.
6.3 Regeln zur onstruktion von Wurzelortskurven 2 Im dritten Schritt werden dann die Asymptoten der Wurzelortskurvenzweige bestimmt. Für die Startwinkel erhält man O i i 80 4 i 60 (6.20) Den Schnittpunkt der Asymptoten mit der reellen Achse erhält man aus den Polen und den Nullstellen der reisübertragungsfunktion: x 0 4 6 6 7 3 3 (6.2) Da die Differenz zwischen Zählergrad und Nennergrad 3 beträgt, wandern 3 Zweige der Wurzelortskurve für positive Werte ins Unendliche. Die Zweige beginnen in den Polstellen. Zwischen den beiden Polstellen bei s 4 und s 6 muss also ein Verzweigungspunkt liegen. Das gleiche gilt für die Nullstelle bei s 7 und der Nullstelle bei s *
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