Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift oder eine Funktionsgleichung beschrieben und lässt sich in einer Wertetabelle oder als Graph darstellen. Funktionsvorschrift y 0,5 x + 1,5 Funktionsgleichung y = 0,5 x + 1,5 Wertetabelle x 3 2 1 0 1 2 3 Graph Proportionale Funktion Eine Funktion mit der Gleichung y = m x heißt proportionale Funktion. Der Graph ist eine Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft. Der Faktor m gibt die Steigung der Geraden an. y 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Lineare Funktion Eine Funktion mit der Gleichung y = m x + b heißt lineare Funktion. Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung m. Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt P (0 b). Der Wert b bezeichnet den y-achsen abschnitt der Geraden. Lineare Funktion Zwei Punkte einer Geraden genügen, um die Steigung und damit auch die zugehörige Funktionsgleichung zu bestimmen. m = y y 1 2 x 1 x 2 und b = y 1 m m = 2,5 0,5 2 ( 2) = 2 4 = 0,5 b = 2,5 0,5 2 = 1,5 Funktionsgleichung y = 0,5 x + 1,5
Antiproportionale Funktionen Antiproportionale Funktionen haben Funktionsgleich ungen der Form y = p x. Dabei ist p der Antiproportio nalitätsfaktor. Es gilt x y = p. Der Graph ist eine Hyperbel. Beispiel: y = 10 x Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Eine Gleichung der Form a x + b y = c heißt lineare Gleichung mit den zwei Variablen x und y. Hierbei stehen a, b und c für gegebene Zahlen. Die Lösungen sind Zahlenpaare (x; y), welche die Gleichung erfüllen. Die zugehörigen Punkte im Koordinatensystem liegen auf einer Geraden. Beispiel: x y = 3 x 2 2,5 4 5 8 10 y 5 4 2,5 2 1,25 1 x 0 2,5 3 3,5 y 3 0,5 0 0,5 1 Antiproportionale Funktionen Modellieren Beim Modellieren wird eine Problem situation aus der realen Welt in ein mathematisches Modell übersetzt. Mithilfe der Lösung werden mathematische Ergebnisse formuliert, die wiederum interpretiert werden können und zu realen Ergebnissen führen. Abschließend erfolgt eine Bewertung des Ergebnisses in der realen Situation. Reale Situation Bewerten Reale Ergebnisse Übersetzen Interpretieren Mathematisches Modell Lösen Mathematische Ergebnisse Lineares Gleichungssystem Zwei lineare Gleichungen mit jeweils zwei Variablen bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem. Dieses lässt sich grafisch oder rechnerisch lösen. (Å) x 2 y = 2 (2) x + y = 5 Zum Beispiel lassen sich mithilfe von quadratischen Gleichungen Brückenbögen, Flugbahnen usw. beschreiben. 1 Lineare und quadratische Funktionen
Grafisches Lösungsverfahren Die linearen Gleichungen lassen sich als Geraden darstellen. Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden erfüllen beide Gleichungen und sind somit die Lösung des Gleichungssystems. Ein Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn sich die zugehörigen Geraden in einem Punkt schneiden. keine Lösung, wenn die Geraden parallel verlaufen. unendlich viele Lösungen, wenn zu den zwei Gleichungen identische Geraden gehören. Rechnerische Lösungs verfahren Jedes Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt, ist eine Lösung des linearen Gleichungs systems. Es gibt drei Verfahren, die man zur Lösungsbestimmung anwenden kann: Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren (Å) x 2 y = 2 (2) x + y = 5 Die Lösung besteht aus dem Zahlenpaar (4 ; 1). Gleichsetzungs verfahren Zwei Gleichungen sind gegeben. Man löst beide Gleichungen nach der selben Variablen auf. Durch Gleichsetzen der Terme erhält man eine Gleichung mit einer Variablen. Man löst diese Gleichung und setzt die Lösung in eine der Gleichungen ein, um die Lösung für die zweite Variable zu bekommen. (1) y = 2 x 1 (2) x + y = 5 (Å) y = 2 x 1 (2) y = x + 5 (Å) = (2): 2 x 1 = x + 5 x = 2 Einsetzen in (Å) ergibt y = 3 Die Lösung lautet (2 ; 3). Einsetzungs verfahren Um aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten, kann man auch die eine in die andere Gleichung einsetzen. Die Lösung, die man so für die eine Variable erhält, setzt man in eine der Ursprungsgleichungen ein, um die Lösung für die zweite Variable zu erhalten. (Å) 13 x + y = Å1 (2) 8 y 3 = 13 x (2) in (Å): 8 y 3 + y = Å1 y = 2 Einsetzen in (Å) oder (2) ergibt x = 1 Die Lösung lautet (1 ; 2).
Additionsverfahren Man formt beide Gleichungen so um, dass beim Addieren oder Subtrahieren beider Gleichungen eine Variable wegfällt. So entsteht eine Gleichung mit einer Variablen. (Å) 3 x + 5 y = Å0 (2) 4 x 5 y = 4 (1) + (2): 7 x = Å4 x = 2 y = 0,8 Die Lösung lautet (2 ; 0,8). Normalparabel Der Graph der einfachsten quadratischen Funktion y = x 2 ist die Normal parabel. Sie ist achsensymmetrisch zur y-achse und ihr Scheitel liegt im Koordinatenursprung. Quadratische Funktionsgleichung y = a x 2 + c Der Graph der Funktion y = a x 2 + c ist eine nach oben oder unten geöffnete Parabel, die schmaler oder breiter als die Normalparabel sein kann. Sie ist zusätzlich um den Summanden c in Richtung der y-achse verschoben. Ihr Scheitel ist S (01 c). 0 < a < 1: breiter a > 1: schmaler als die Normalparabel Quadratische Funktionsgleichung in der Scheitelform y = (x d) 2 + c Der Graph der Funktion y = (x d) 2 + c ist eine um d in Richtung der x-achse und um c in Richtung der y-achse verschobene Normalparabel. Ihr Scheitel ist S (d c). Durch quadratisches Ergänzen kann die Parabelgleichung y = x 2 + p x + q in die Scheitelform umgewandelt werden. y = x 2 4 x + 3 y = x 2 4 x + 2 4 y = (x 2) 2 1 S (21 1) 2 3 2 2 4 2 3 2 + 3
Nullstellen einer quadratischen Funktion An den Schnittstellen des Graphen mit der x-achse ist der Funktionswert y gleich null. Den x-wert des Schnittpunktes mit der x-achse nennt man Nullstelle. Schnittpunkte zweier quadratischer Funktionen Um die Koordinaten der Schnittpunkte p Å : y = x 2 + 2 x 1 zweier quadratischer Funktionen zu p 2 : y = x 2 4 x + 5 berechnen, setzt man die Funktionsterme Gleichsetzen: gleich. x 2 + 2 x 1 = x 2 4 x + 5 1 x 2 + 4 x + 1 6x = 6 1 : 6 x = 1 x einsetzen: y = 1 2 + 2 1 1 y = 2 P (112) Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind: = 1 und x 2 = 3. Schnittpunkte einer linearen und einer quadratischen Funktion Um die Koordinaten des Schnittpunktes einer g: y = x 1 linearen und einer quadratischen Funktion p: y = x 2 4 x + 3 zu berechnen, setzt man die Funktionsterme Gleichsetzen: gleich. x 1 = x 2 4 x + 3 x + 1 x 2 5 x + 4 = 0 = 2,5 ± (2,5) 2 4 = 2,5 1,5 = 1 x 2 = 2,5 + 1,5 = 4 und x 2 einsetzen: y 1 = 1 1 = 0; y 2 = 4 1 = 3 Schnittpunkte: P 1 (1 0) und P 2 (4 3). Rein quadratische Gleichungen Rein quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man die Gleichung nach x 2 auflöst und dann auf beiden Seiten die Wurzel zieht. Ist der Radikand positiv, hat die Gleichung zwei Lösungen; ist er negativ, gibt es keine Lösung. Hat der Radikand den Wert null, gibt es genau eine Lösung. 7 x 2 13 = 15 1 + 13 7 x 2 = 28 1 : 7 x 2 = 4 1 = ± 4 = 2; x 2 = 2 1 Lineare und quadratische Funktionen
Quadratische Ergänzung Gemischt quadratische Gleichungen der Form x 2 + p x + q = 0 kann man lösen, indem man den Term x 2 + p x quadratisch ergänzt. x 2 + 6 x + 5 = 0 1 5 x 2 + 6 x = 5 1 + 2 6 2 3 2 x 2 + 6 x + 2 6 2 3 2 = 5 + 2 6 2 3 2 1 Binom (x + 3) 2 = 5 + 9 1 x + 3 = ± 4 1 3 = 3 ± 4 = 1; x 2 = 5 abc-formel Die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Gleichung y = a x 2 + b x + c lauten = b ± b 2 4 a c 2 a y = 2 x 2 + 6 x + 4 = 6 ± 36 32 4 = 6 ± 2 4 = 1; x 2 = 2 p-q-formel Eine gemischt quadratische Gleichung in der Normalform x 2 + p x + q = 0 hat die Koeffizienten p und q. Die Lösung der Gleichung kann mit der p-q-formel = p 2 ± 2 p 2 3 2 q bestimmt werden. Die Gleichung x 2 + 4 x 21 = 0 hat die Koeffizienten p = 4 und q = 21. Einsetzen ergibt: = 4 2 ± 2 4 2 3 2 ( 21) = 2 ± 4 + 21 = 2 ± 5 = 3; x 2 = 7 Potenzfunktionen Eine Funktion der Form y = a x b nennt man Potenzfunktion. Je nach dem Wert von b hat sie die Form einer Parabel, Wendeparabel oder Hyperbel. 1 Potenzfunktionen
Wachstumsrate und Wachstumsfaktor Die Wachstumsrate p % gibt die Veränderung einer Ausgangsgröße in einem bestimmten Abschnitt in Prozent an. neue Größe alte Größe Wachstumsrate: p % = alte Größe Der Faktor, mit dem der alte Wert multipliziert werden muss, um den neuen Wert zu erhalten, heißt Wachstumsfaktor q. Wachstumsfaktor: q = 1 + p % = 1 + p 100 Der Gewinn einer Firma wuchs innerhalb eines Jahrs von 90 000 auf 96 000. (96 000 90000) p % = 90000 = 6000 90000 p % 6,7 % Der Gewinn nimmt um das q-fache zu: q = 1 + 6,7 % = 1 + 6,7 100 = 1,067. Exponentielles Wachstum Wächst eine Größe G 0 in gleich großen Abschnitten um den gleichen Prozentsatz p %, d. h. wird immer mit dem gleichen Faktor (q > 1) vervielfacht, liegt ein exponentielles Wachstum vor. Die Zeit, in der sich bei einem exponentiellen Wachstum die Ausgangsgröße verdoppelt, heißt Generationszeit T mit q = 1 + 100 % = 2. 2 exponentielles Wachstum Bei einer Abnahme ist die Wachstumsrate negativ, der Wachstumsfaktor ist dann kleiner als 1. Die Bevölkerung eines Ballungsraums (60 Mio.) wächst jährlich mit 1,6 %. Wie groß ist sie nach 3 Jahren? G = G q n = G 21 ± p n n 0 0 100 3 G 3 = 60 1,0163; G 3 = 62,93 Nach 3 Jahren sind es 62,93 Mio. Einwohner. 1 Exponentialfunktionen 1 Exponentialfunktionen Exponentielle Abnahme Nimmt eine Größe G 0 in gleich großen Abschnitten um den gleichen Prozentsatz p % ab, d. h. wird immer mit dem gleichen Faktor (0 < q < 1) vervielfacht, liegt eine exponentielle Abnahme vor. Die Zeit, in der sich bei exponentieller Abnahme die Ausgangsgröße halbiert, nennt man Halbwertzeit T 1 2. Exponential funktion Exponentielles Wachstum führt zu einer Funktionsgleichung der Form y = c a x mit c 0 und a > 0, a 1. Hat c einen anderen Wert als 1, so bezeichnet man diese Funktion als erweiterte Exponentialfunktion. Der Wachstumsfaktor für diese Zeitspanne ist q = 1 50 % = 0,5. 1 Exponentialfunktionen 1 Exponentialfunktionen
Logarithmus Der Logarithmus von y zur Basis a (mit a > 0; a 1; y > 0), kurz log y, ist diejenige Zahl, mit a der man a potenzieren muss, um y zu erhalten. Die Gleichung x = log a y ist also gleichbedeutend mit a x = y. log 2 1024 = 10, denn 2 10 = 1024 Zehnerlogarithmen Der Logarithmus zur Basis 10 heißt Zehnerlogarithmus, kurz lg. Logarithmen zu beliebigen Basen berechnet man durch log y = lg y. a lg a lg 100 000 = 6, denn 1 0 6 = 100 000 lo g 4 256 = lg 256 lg 4 = 4 1 Logarithmus 1 Logarithmus Exponentialgleichungen lösen Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz vorkommt. Exponentialgleichungen kann man durch verschiedene Vorgehensweisen lösen. Lösung durch Vergleich der Exponenten Man formt die Gleichung mithilfe der Potenzgesetze so um, dass auf beiden Seiten genau eine Potenz mit der gleichen Basis steht. Die beiden Seiten sind gleich, wenn die Exponenten der beiden Potenzen gleich sind. 5 x 5 (x + 3) = 5 5 Potenzgesetze anwenden 5 (x + x + 3) = 5 5 5 (2 x + 3) = 5 5 Vergleich der Exponenten 2 x + 3 = 5 3 2 x = 2 : 2 x = 1 Lösung mithilfe der Logarithmusregeln Man formt die Gleichung so um, dass der Term mit der Potenz auf einer Seite alleine steht. Danach löst man die Gleichung mithilfe der Logarithmusregeln. x 3 2 = 21 : 3 x 2 = 7 in einen Logarithmus umformen x = log 7 Zehnerlogarithmen 2 benutzen x = lg 7 lg 2 x 2,81 1 Logarithmus Logarithmusfunktion Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y = log a (x) heißt Logarithmusfunktion und ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Dabei ist a eine positive reelle Zahl außer der 1 und x eine positive reelle Zahl. Der Graph jeder Logarithmusfunktion geht durch den Punkt P (1 0). Gegeben ist die Gleichung der Logarithmusfunktion y = 2 log 10 x. Zeichnen Sie den Graph der Funktion und lesen Sie die Punkte ab um die Tabelle zu vervollständigen. 2,5 5 7,5 10 2 log x 10 0 0,80 1,40 1,75 2 Je höher der x-wert, desto langsamer steigt der Graph der Logarithmusfunktion an, erst wenn x den Wert 10 annimmt, erreicht y den Wert 2. 1Logarithmus
Sinusfunktion und Kosinusfunktion Ein Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten (cos α sin α). Die Sinusfunk tion (Kosinusfunktion) ordnet jedem Winkel α den y- Wert (x-wert) des zugehörigen Punkts auf dem Einheitskreis zu. Trägt man die Sinuswerte bzw. Kosinuswerte für α in ein Koordinatensystem ein, so entsteht der Graph der Sinusfunktion bzw. Kosinusfunktion. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind auch für Winkel über 360 und negative Winkel definiert. Ihre Werte wiederholen sich jeweils nach 360. Sie heißen daher periodische Funktionen. Die Periode beträgt 360. sin ( 60 ) = sin ( 60 + 360 ) = sin 300 0,87 Eigenschaften der Sinusfunktion Der Graph der Funktion y = a sin (x) ist eine in y-richtung gestreckte oder gestauchte Sinuskurve. Den maximalen Abstand der Kurve zur x-achse nennt man Amplitude. Der Faktor a gibt diese Amplitudenänderung an. Je größer a ist, desto größer ist die Amplitude. Je kleiner a ist, desto kleiner ist die Amplitude. Die Periode (2 π) bleibt erhalten. Der Graph der Funktion y = sin (b x) ist eine in x-richtung gestreckte oder gestauchte Sinuskurve. Der Faktor b gibt diese Änderung der Periodenlänge an. Je größer b ist, desto kleiner ist die Periodenlänge. Je kleiner b ist, desto größer ist die Periodenlänge. Die Amplitude ( 1 y 1) bleibt erhalten. 1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion 1 Sinusfunktion