TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zum Nachdenken Welche Eigenschaften einer Vorzeichendarstellung könnte man versuchen zu erreichen? Wie könnte man Vorzeichenzahlen darstellen? Grundlagen der Informatik Fakultät Informatik 3. 2b
Addition in der Vorzeichen Betrag Darstellung Bei der Addition und Subtraktion ergeben sich für jede Kombination der Vorzeichen eigene Berechnungswege. für z bezeichne z.vz Vorzeichen, z.b Betrag Berechnung von e=a+b TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM 3. 4b
Addition in der Vorzeichen Betrag Darstellung TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM b.vz=0 b.vz=1 a.vz=0 e.vz=0 e.b=a.b+b.b e.vz= 1 b.b > a.b 0 b.b a.b e.b= a.b b.b a.vz=1 e.vz= e.b= a.b b.b e.vz=1 e.b=a.b+b.b 1 a.b > b.b 0 a.b b.b 3. 4c
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Multiplikation in der Vorzeichen Betrag Darstellung Die Multiplikation ist jedoch sehr einfach Berechnung von f=a. b f.vz= f.b= a.b. b.b 0 a.b = b.b 1 sonst Die Berechnung des Vorzeichens lässt sich später auf die logische Operation Exklusiv Oder zurückführen 3. 4d
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Addition in der Excess Darstellung Bei der Addition von zwei Zahlen hat man Exzess zwei mal addiert. Berechnung von e = a + b, ex bezeichne den Exzess In der Exzess Darstellung berechnet man (a + ex) + (b + ex) = (a + b) +2ex = (e + ex) + ex Um die Darstellung (e + ex) zu erhalten, müssen wir ex abziehen. 3. 8b
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Addition in der Excess Darstellung Spezialfall ex=2 N 1 In der Binärdarstellung und bei der Wahl von ex = 2 N 1 entspricht der Exzess dem höchstwertigsten Bit. Das Abziehen von ex mod 2 N entspricht dem Umkehren des höchstwertigsten Bits 0 1. Beispiele (N=3): 1 011 +2 110 = 001 ex =101 (= 1) 3 001 +2 110 = 111 ex =011 (= 1) 3. 8c
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Einerkomplement Ganz explizit: Positive Werte werden dargestellt wie bisher (also binär) Nur bei negativen Werten wird das Einerkomplement gebildet und zwar von der Binärdarstellung des Betrags Also +2 0000 0010 2 1111 1101 Grundlagen der Informatik Fakultät Informatik 3 9b
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Addition im Einerkomplement Wir müssen das Verfahren zur Addition leicht modifizieren: Wir addieren wie bisher binär. Falls auf die Stelle n ein Übertrag entsteht, addieren wir diesen als Einerstelle zum Resultat (genannt Einerrücklauf). Falls auf die Stelle n kein Übertrag entsteht, ist das Ergebnis schon korrekt. 3 9c
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zweierkomplement Darstellung Beispiel: Binärzahlen mit 3 Stellen Bitfolge Wert 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 3 110 2 111 1 3 19b
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zweierkomplement Darstellung Binärzahlen mit 8 Stellen 01001001 stellt 73 dar 11001001 stellt 55 dar, denn K(11001001) = 00110110 + 1 = 55 Bitfolge Wert 0000 0000 0 0000 0001 1 0000 0010 2...... 0111 1111 127 1000 0000 128...... 1111 1110 2 1111 1111 1 3 19c
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zweierkomplement Ganz explizit: Positive Werte werden dargestellt wie bisher (also binär) Nur bei negativen Werten wird das Zweierkomplement gebildet und zwar von der Binärdarstellung des Betrags Das Zweierkomplement erhält man, indem man zum Einerkomplement 1 addiert Also +2 0000 0010 2 1111 1110 Grundlagen der Informatik Fakultät Informatik 3 19d
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Multiplikation in der Zweierkomplement Darstellung Die Darstellung einer Zahl z ist die 2 adische Entwicklung von z für für z 0 die 2 adische Entwicklung von 2 N +z für z<0 Wir möchten jetzt zwei Zahlen a und b multiplizieren. Annahme: das Produkt ist darstellbar, d.h. 2 N 1 a. b<2 N 1 3 23b
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Multiplikation in der Zweierkomplement Darstellung da 2 N +a = a mod 2 N und 2 N +b = b mod 2 N, ist das Produkt für jede denkbare Kombination (a, b positiv oder negativ) immer a. b mod 2 N d.h. wir können die Zahlen in der Zweierkomplement Darstellung multiplizieren und schneiden die Ziffern vorne ab 3 23c
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Multiplikation in der Zweierkomplement Darstellung Beispiele: N=4 2. 4 1110. 0100 (11)1000 (= 8) N=4 1. 4 1111. 1100 (1011)0100 (= 4) N=8 7. 13 1111 1001. 0000 1101 (1100) 1010 0101 (= 91) 3 23d
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zum Nachdenken Jetzt, wo wir im Binärsystem die 1er und 2er Komplementdarstellung kennen wie könnten analoge Darstellung für b>2 aussehen? Grundlagen der Informatik Fakultät Informatik 3. 33b