Kettenregel 1 Motivation Eine sehr praktische Ableitungsregel ist die sogenannte Kettenregel. Sie ermöglicht kompliziertere Funktionen, etwa verschachtelte Funktionen wie f 1 x = sin cosx 2 oder f 2 x = lnx x abzuleiten. Aber selbst beim Ableiten einfacher Funktionen wie f 3 x = e 2x kommt man um die Kettenregel nur schwer herum. 2 Die Kettenregel Für die Ableitung verschachtelter Funktionen der Form f gx gilt: f gx = d dx f gx = df dx Ein bekannter Satz zur Kettenregel lautet: Ableitung = äußere Ableitung innere Ableitung. 2.1 Beispiel: fx = 2 x 2 3 Anhand des Beispiels fx = 2 x 2 3 wollen wir die Kettenregel verdeutlichen: Möchte man zu einem Argument x den zugehörigen Funktionswert bestimmen, quadriert man zunächst das Argument, addiert das Ergebnis mit 2 und rechnet zum Schluss alles hoch 3. Die zuletzt durchgeführte Operation hoch 3 also 3 wählen wir zur Berechnung der äußere Ableitung. Die restlichen Operationen 2 x 2 nutzen wir zur Berechnung der inneren Ableitung. 1. g-identifikation: Wir definieren 2 x 2 als gx: gx = 2 x 2. 2. fg-umschreibung: Mit gx = 2 x 2 schreiben wir fx als fg: fg = g 3. 3. Äußere Ableitung: Die äußere Ableitung df df = g 3 = 3g 2 wird nun ausgerechnet: 4. x-umstellung: Für das Ergebnis der Ableitung ist es notwendig, das Ergebnis der äußere Ableitung in Abhängigkeit von x zu schreiben: 3g 2 = 3 2 x 2 2 1
5. Innere Ableitung: Nun ist noch die innere Ableitung dx dx = 2 x 2 = 2x zu bestimmen: 6. Produktbildung: Durch Bildung des Produktes der äußeren Ableitung mit der inneren Ableitung erhalten wir die Ableitung f x: f x = 3 2 x 2 2 2x = 6x 2 x 2 2 = 6x 4 4x 2 + x 4 = 24x + 24x 3 6x 5 Überprüfen wir unser Ergebnis, indem wir die Funktion mit den bekannten Summen-, Faktor- und Potenzregel ableiten: 2 f x = x 2 3 = 8 12x 2 + 6x 4 x 6 = 24x + 24x 3 6x 5 Die durch einfache Methoden gefundene Ableitung entspricht der durch die Kettenregel erhaltene Ableitung. Bemerkung: Um verschachtelte Funktionen wie fx = sin cosx oder gx = ux vx abzuleiten, tut man gut daran, sich folgende Ableitungen zu merken: e x = e x lnx = 1 x sinx = cosx cosx = sinx sinhx = coshx coshx = sinhx 3 Methode: Ableiten mit Hilfe der Kettenregel Aufgabenstellung: Leite die Funktion fx = f gx nach x ab. 1. g-identifikation 2. fg-umschreibung 3. Äußere Ableitung 4. x-umstellung 5. Innere Ableitung 6. Produktbildung f x = df dx = df dx Beispiel: Bilde die Ableitung der Funktion fx = sinx 2. 1. g-identifikation: fx = sinx 2 gx = x 2 2
2. fg-umschreibung: fg = sing 3. Äußere Ableitung: df = sing = cosg 4. x-umstellung: cosg = cosx 2 5. Innere Ableitung: dx = x 2 = 2x 6. Produktbildung: f x = df dx = df dx = cosx2 2x = 2x cosx 2 Hat man etwas Übung mit der Kettenregel und die Substitution mit g überblickt, kann man wie folgt schneller zur Lösung kommen: fx = sinx 2 f x = sinx 2 f x = cosx 2 x 2 f x = 2x cosx 2 Kettenregel mit gx = x 2 4 Übungsaufgaben 4.1 Verschachtelte Funktionen Leite die folgenden Funktionen nach x ab: 1. f 1 x = 1 1+x 2. f 2 x = sin 2 x 3. f 3 x = e 2x 4. f 4 x = sin cosx 2 Lösung: 3
1. f 1 x = 1 1+x a g-identifikation: f 1 x = 1 1 + x gx = 1 + x b fg-umschreibung: f 1 g = 1 g c Äußere Ableitung: df 1 1 = 1 = g g 2 d x-umstellung: 1 g 2 = 1 1 + x 2 e Innere Ableitung: dx = 1 + x = 1 f Produktbildung: f 1x = df 1 dx = df 1 dx = 1 1 + x 2 1 = 1 1 + x 2 2. f 2 x = sin 2 x f 2 x = sin 2 x = sinx 2 sinx f 2x 2 = Kettenregel mit gx = sinx f 2x = 2 sinx 1 sinx f 2x = 2 sinx cosx 3. f 3 x = e 2x f 3 x = e 2x f 3x = e 2x f 3x = e 2x 2x f 3x = e 2x 2 = 2 e 2x Kettenregel mit gx = 2x 4
4. f 4 x = sin cosx 2 f 4 x = sin cosx 2 f 4x = sin cosx 2 f 4x = cos cosx 2 cosx 2 f 4x = cos cosx 2 sinx 2 x 2 f 4x = 2x cos cosx 2 sinx 2 Kettenregel mit gx = cosx 2 cosx 2 cosx 2 Kettenregel mit gx = x 2 4.2 Die Funktion: gx = ux vx Untersuche die Funktion gx = ux vx : 1. Leite den allgemeinen Fall gx = ux vx nach x ab. 2. Setze ux = x und vx = m in die in a erhaltene Lösung ein und vergleiche das Ergebnis mit der Ableitung von g 1 x = x m. 3. Setze ux = x und vx = x 2 in die in a erhaltene Lösung ein und vergleiche das Ergebnis mit der Ableitung von g 1 x = x x2. 4. Setze ux = lnx und vx = x in die in a erhaltene Lösung ein und vergleiche das Ergebnis mit der Ableitung von g 1 x = lnx x. Lösung: 1. allgemein: fx = ux vx = ux vx = e lnux vx fx = e lnux vx f x = e lnux vx Kettenregel mit gx = ln ux vx f x = e lnux vx ln ux vx Produktregel f x = e lnux vx ln ux vx + ln ux v x für ln ux Kettenregel mit gx = ux f x = e lnux vx 1 ux u x vx + ln ux v x 1 f x = ux vx ux u x vx + ln ux v x vereinfachen 5
2. ux = x und vx = m fx = x m 1 f x = x m x x m + lnx m 1 f x = x m x 1 m + lnx 0 f x = x m 1 x m f x = m x m 1 einsetzen in Lösung von Aufgabe a fx = x m f x = m x m 1 direkt ableiten 3. ux = x und vx = x 2 fx = x x2 1 f x = x x2 x x x 2 + lnx x 2 1 f x = x x2 x 1 x2 + lnx 2x f x = x x2 x + 2x lnx einsetzen in Lösung von Aufgabe a fx = x x2 fx = e lnx x2 f x = e lnx x2 f x = e lnx x2 lnx x 2 f x = e lnx x2 1 x x2 + lnx 2x direkt ableiten Kettenregel mit gx = lnx x 2 Produktregel vereinfachen f x = x x2 x + 2x lnx 6
4. ux = lnx und vx = x fx = lnx x f x = lnx x 1 lnx lnx x + ln lnx x f x = lnx x 1 lnx 1 x x + lnlnx 1 1 f x = lnx x lnx + ln lnx einsetzen in Lösung von Aufgabe a fx = lnx x fx = e lnlnx x direkt ableiten f x = e lnlnx x Kettenregel mit gx = ln lnx x f x = e lnlnx x ln lnx x Produktregel f x = e lnlnx x ln lnx x + ln lnx 1 für ln lnx Kettenregel mit gx = lnx 1 f x = e lnlnx x f x = lnx x x x + ln lnx 1 lnx 1 1 lnx + ln lnx vereinfachen 7