Gaphische Datenveabeitung Pola-, Zylinde- und Kugelkoodinatensysteme Pof. D. Elke Hegenöthe h_da
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Koodinatensysteme zu Dastellung geometische Daten: Katesisches Koodinatensystem Beispiel fü ein echts- und ein linkshändiges Katesischen Koodinatensystems Polakoodinatensystem Zylindekoodinatensystem Kugelkoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 2
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Wozu baucht man Polakoodinatensysteme? In de Mathematik baucht man Polakoodinatensysteme, um alles was auf eine Keisobefläche passiet einfache bescheiben zu können. In de Compute Gaphik baucht man Polakoodinatensysteme, um einfache zwei dimensionale keisunde Geometien modellieen zu können. Beispielsweise eine unde Platte fü einen Tisch, eine Spiale, Blüten eine Pflanze Pof. D. Elke Hegenöthe 3
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Wozu baucht man Polakoodinatensysteme? In de Bildveabeitung baucht man ein Polakoodinatensystem, weil es aus unden Kontuen eckige macht. Es ist einfache geade (ode annähend geade) Kanten zu detektieen als gebogene Kanten. Figuen im Katesischen Koodinatensystem und im Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 4
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Modellieung eines 2D-Keises in Katesischen Koodinatensystem In OpenGL weden alle dazustellenden Objekte duch ein Deiecksgitte angenähet! Fü die Modellieung eine Keisfläche bedeutet das:... Man kann den Keis annähen duch 4, 8,... etc. Deiecke. Ab wie vielen Deiecken wid eindeutig ekannt, dass eine Keis dagestellt wid? Besse man bescheibt einen Keis nicht anhand einzelne Deiecke sonden duch eine Funktion. Pof. D. Elke Hegenöthe 5
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Funktionen zu Modellieung eines Keises im Katesischen Koodinatensystem Wenn de Mittelpunkt des Keises im Uspung des Katesischen Koodinatensystems liegt, weden die -und y-wete de Punkte auf de Keislinie duch die folgenden Funktionen bestimmt: y p = * cos(α) y p = * sin(α) mit (0 <= α<= 2π) y p α p P Fazit: Zu eindeutige Bescheibung eines Keises genügt die Angabe des voausgesetzt de Mittelpunkt des Keises liegt im Uspung. Zu eindeutigen Bestimmung einzelnepunkte, die auf de Keislinie liegen, kann de αgenutzt weden. Pof. D. Elke Hegenöthe 6
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Punkt P dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α P α P Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 7
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Stecke zu P dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α P α P Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 8
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Außenkante eines Keises dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α 2π = 360 0 Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 9
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Stecke auf de -Achse -von Uspung bis Außenkante des Keises -dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y α 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 10
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Stecke auf de -Achse -von Uspung bis 2πdagestellt im Pola-und im Katesischen Koodinatensystem y α 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 11
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Keis mit dem /2 dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y /2 /2 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 12
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Keisfläche dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 13
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Keisfläche dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem y 1,5π 2π = 360 0 Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 14
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Spiale dagestellt im Katesischen-und im Polakoodinatensystem Die Spiale wid duch eine 5-malig Dehung entgegen des Uhzeigesinns ezeugt. y 3 10π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 15
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Pola-und ins Katesische Koodinatensystem y y α P=(,y) 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem = * cos α y= * sin α Pof. D. Elke Hegenöthe 16
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Katesischen-und ins Polakoodinatensystem y y α 2π Katesisches Koodinatensystem Polakoodinatensystem α = actan (y / ) = 2 y 2 Pof. D. Elke Hegenöthe 17
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Koodinatensysteme zu Dastellung geometische Daten: Katesisches Koodinatensystem Beispiel fü ein echts- und ein linkshändiges Katesischen Koodinatensystems Polakoodinatensystem Zylindekoodinatensystem Kugelkoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 18
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Wozu baucht man Zylindekoodinatensysteme? Hohlzylinde (Wikipedia) http://www.gunt.de http://www.lo gomoe.net/bl ue-vaseclipat/ Zylindekoodinatensysteme baucht man zum Modellieen alle Objekte mit zylindischem Uspung. http://www.mathematischebasteleien.de/zylinde.htm Pof. D. Elke Hegenöthe 19
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Vom Katesischen zum Zylindekoodinatensystem Z Z Y 2π X Katesisches Koodinatensystem Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 20
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Vom Katesischen zum Zylindekoodinatensystem h Z Die Höhenwete (Z-Koodinaten) sind in beiden Koodinatensystemen gleich h Z Entspicht dem Deckel des Zylindes Entspicht de Z-Achse von 0 bis h Entspicht dem Zylindemantel Y 2π X Katesisches Koodinatensystem Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 21
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Vom Katesischen zum Zylindekoodinatensystem Z Tansfomation des Hohlköpes vom Katesischen ins Zylindekoodinatensystem Z h Y 2π R X Katesisches Koodinatensystem Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 22
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Katesischen ins Zylindekoodinatensystem Z Z h h X Katesisches Koodinatensystem Y 2π α = actan (y / ) = 2 y z = z 2 Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 23
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Umechnung vom Zylinde-ins Katesische Koodinatensystem Z Z h h Y 2π X Katesisches Koodinatensystem = * cos α y= * sin α z = z Zylindekoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 24
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Koodinatensysteme zu Dastellung geometische Daten: Katesisches Koodinatensystem Beispiel fü ein echts- und ein linkshändiges Katesischen Koodinatensystems Polakoodinatensystem Zylindekoodinatensystem Kugelkoodinatensystem Pof. D. Elke Hegenöthe 25
GDV : Pola-, Zylinde-und Kugelkoodinatensystem Motivation Kugelkoodinatensystem Wieviele Paamete benötigt man um einen Punkt im Kugelkoodinatensystem eindeutig bestimmen zu können? Pof. D. Elke Hegenöthe 26