Ferienkurs Experimentalphysik 2

Technische Universität München Physik Department Ferienkurs Experimentalphysik 2 Vorlesung 4: Elektromagnetische Wellen und spezielle Relativitätstheorie Tutoren: Elena Kaiser Matthias Golibrzuch Nach dem Skript Konzepte der Experimentalphysik 2: Elektromagnetismus von Abel Perera, Andrea Meraner, Gabriele Semino und Adonia Siegmann

Inhaltsverzeichnis 6 Elektromagnetische Wellen 1 6.1 Wellengleichung................................. 1 6.2 Periodische Wellen............................... 2 6.3 Polarisation elektromagnetischer Wellen................... 3 6.4 Magnetisches Feld einer elektromagnetischen Welle............. 4 6.5 Energie und Impuls einer elektromagnetischer Welle............. 5 7 Spezielle Relativitätstheorie 6 7.1 Klassische Betrachtung............................. 6 7.2 Die Galilei-Transformation........................... 6 7.3 Spezielle Relativitätstheorie.......................... 7 7.3.1 Invarianz der Lichtgeschwindigkeit.................. 7 7.3.2 Spezielle Relativitätstheorie: Postulate................ 7 7.3.3 Die Frage der Gleichzeitigkeit..................... 8 7.4 Lorentz-Transformation............................. 9 7.4.1 Längenkontraktion........................... 10 7.4.2 Zeitdilatation.............................. 11 7.5 Minkowski-Diagramme............................. 12 Abbildungsquellen 14

6 Elektromagnetische Wellen 6.1 Wellengleichung Für die Herleitung der Wellengleichungen im Vakuum betrachten wir die Maxwellgleichungen (Kapitel 4.4) und setzen ρ = 0 und j = 0 ein: E = B t B E = ε 0 µ 0 t Man bilde nun auf beiden Seiten von Gleichung 6.1.1 die Rotation. ( E) = ( } {{ E } ) E = ( B) t =0 wegen div E=ρ/ε 0 =0 (6.1.1) (6.1.2) (6.1.3) Durch Einsetzen von Gleichung 6.1.2 ergibt sich die gesuchte Wellengleichung des elektrischen Feldes. Eine analoge Berechnung führt zur Wellengleichung des magnetischen Feldes. E = 1 c 2 2 E t 2 (6.1.4) B = 1 c 2 2 B t 2 (6.1.5) wobei der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten ist. Man beachte: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beider Wellen ist c = 1 ɛ0 µ 0. Um eine vereinfachte Lösung von 6.1.4 zu erhalten, kann man annehmen, dass das elektrische Feld nur von einer Koordinate anhängt. Wählt man diese als die z-komponente, so ergibt sich E x = E y = 0 Wellengleichung: 2 E z 2 1 c 2 2 E t 2 = 0 (6.1.6) Wegen div E = 0 ist die z-komponente des elektrischen Feldes eine Konstante. Man kann also annehmen, dass E z = 0 und man erhält somit eine ebene, transversale Welle in z-richtung. E x E = E y E ez (6.1.7) 0 Da E x und E y nur von z abhängen, hat der Vektor E auf einer Ebene z = z 0 zu einem festen Zeitpunkt t 0 überall den gleichen Wert und die gleiche Richtung. 1

6.2 Periodische Wellen Als Lösung der oben genannten Wellengleichung 6.1.6 verwenden wir den Ansatz einer periodischen Welle. Mit der Periodizitätsbedingung kλ = 2π (k wird Wellenzahl genannt) und c = ν λ = λ = ω ergeben sich folgende äquivalente Darstellungen. T k E = E 0 sin k(z ct) = E ( 0 sin kz 2πc ) λ t = E 0 sin(kz ωt) (6.2.1) Je nach Anfangsbedingung kann auch die äquivalente cos-darstellung gewählt werden: Man definiere nun den Wellenvektor k mit E = E 0 cos(kz ωt) (6.2.2) k = k = 2π λ (6.2.3) Dieser Vektor definiert die Ausbreitungsrichtung der Welle und steht somit immer senkrecht auf den Phasenflächen. Abbildung 6.1: Räumliche und zeitliche Entwicklung einer sich in z-richtung ausbreitenden Welle (4) Abbildung 6.2: Zur Definition des Wellenvektors (4) Für die häufig verwendete komplexe Schreibweise der Lösung der Wellengleichung für eine Welle mit einer allgemeinen Richtung k = (k x, k y, k z ) ergibt sich E = A 0 e i( k r ωt) + c.c. (6.2.4) Mit c.c. ist der zum ersten komplex konjugierte Term gemeint. Im Fall einer reellen Amplitude gilt dementsprechend: E 0 = 2 A 0. Wählt man wieder die Bewegungsrichtung in der z-komponente (also mit k = (0, 0, k)), lautet die komplexe Schreibweise der Lösung E = A 0 e i(kz ωt) + c.c. (6.2.5) 2

6.3 Polarisation elektromagnetischer Wellen Durch die Richtung des elektrischen Feldes kann man die sog. Polarisation der Welle definieren. Lineare Polarisation Zeigt der Vektor E 0 zu jedem Zeitpunkt in die selbe Richtung (und ist gleichzeitig senkrecht zur Ausbreitungsrichtung),so heißt die Welle linear polarisiert. E 0 e z E0 = E 0x e x + E 0y e y = const. (6.3.1) E x = E 0x cos(ωt kz) E y = E 0y cos(ωt kz) (6.3.2) Die Komponenten (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) der Welle schwingen in Phase. Abbildung 6.3: Lineare Polarisation einer Welle: Die zwei Komponenten der Welle (in blau und grün) schwingen in Phase und erzeugen eine feste Orientierung des resultierenden Amplitudenvektor (in rot) (14) Zirkulare Polarisation Gilt nun E 0x = E 0y und sind die Komponenten des elektrischen Feldes um 90 in der Phase verschoben, ergibt sich die sog. zirkulare Polarisation. Beschreibt der E- Vektor eine Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung, spricht man von σ + (links zirkular polarisiertem Licht), sonst von σ, (rechts zirkular polarisiertem Licht). E x = E 0x cos(ωt kz) (6.3.3) ( E y = E 0y cos ωt kz π ) 2 = E 0y sin(ωt kz) (6.3.4) E(z = 0, t) = E x e x + E y e y = E 0 ( e x cos(ωt) + e y sin(ωt)) (6.3.5) Der elektrische Feldvektor E beschreibt somit eine Kreisspirale um die z-richtung. 3

Abbildung 6.4: Zirkulare Polarisation einer Welle: Die zwei gleich großen Komponenten der Welle (in blau und grün) schwingen um 90 verschoben und erzeugen eine konstant rotierende Orientierung des resultierenden Amplitudenvektors (in rot) (14) Elliptische Polarisierung Diese Art von Polarisation ist die Verallgemeinerung der linearen und zirkularen Polarisation: hier gelten die Bedingungen der oben beschriebenen Polarisationen allgemein nicht mehr, also ist entweder E 0x E 0y und/oder die Phasenverschiebung zwischen den Komponenten nicht 90. Unpolarisierte Welle Wenn der E 0 -Vektor keine zeitlich konstante Richtung hat, sondern sich statistisch im Laufe der Zeit ändert, spricht man von einer unpolarisierten Welle. Dies ist der allgemeine Fall bei Lichtwellen. 6.4 Magnetisches Feld einer elektromagnetischen Welle Allgemein lässt sich folgende Eigenschaft herleiten: B = 1 ω ( k E ) (6.4.1) Daraus folgt: Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum gilt immer die Beziehung B E k (6.4.2) Ist z.b. das elektrische Feld einer in z-richtung auslaufenden Wellen in x-richtung polarisiert ( E = (E x, 0, 0)), so gilt B = (0, B y, 0). Beide Vektoren sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, die mit k beschrieben wird. Im Fernfeld schwingen das magnetische und elektrische Feld in Phase. Für die Beträge gilt B = 1 c E (6.4.3) 4

6.5 Energie und Impuls einer elektromagnetischer Welle Im Abschnitt 4.2.5 haben wir die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes hergeleitet. Mit Gleichung 6.4.3 ergibt sich w em = 1 2 ε 0(E 2 + c 2 B 2 ) = ε 0 E 2 (6.5.1) Diese ist also die Energiedichte, die von einer elektromagnetischen Welle mit Geschwindigkeit c in k Richtung transportiert wird. Die Einheit ist [w em ] = 1 Ws/m 3 = 1 N/m 2. Die Intensität (Energiestromdichte) ist gegeben durch I = c ε 0 E 2 (6.5.2) Da sich das elektrische Feld periodisch ändert, ergibt sich für die Intensität (bei linear polarisierten Wellen) was zeitlich gemittelt I(t) = cε 0 E 2 = I 0 cos 2 (ωt k r) mit I 0 = cε 0 E 2 0 (6.5.3) ergibt. Bei zirkular polarisierten Wellen ist I(t) = I = I(t). I(t) = 1 2 cε 0E 2 0 (6.5.4) Man definiert zusätzlich den sogenannten Poynting-Vektor, welcher i.a. die Richtung des Energieflusses beschreibt und als Betrag den Wert der Intensität besitzt. S = E H = ε 0 c 2 ( E B) (6.5.5) Vakuum S = S = ε 0 c 2 E B = ε 0 ce 2 = I (6.5.6) Dementsprechend ist die Einheit des Betrages die einer Intensität [S] = 1 W m 2. Im Vakuum ist S k und somit senkrecht auf dem magnetischen und elektrischen Feld. Einer elektromagnetischen Welle lässt sich auch eine Impulsdichte zuordnen π St = S c 2 = 1 c 2 E H = ε 0 E B (6.5.7) E 2 π St = ε 0 E B = ε 0 c = w em (6.5.8) c Der Strahlungsdruck p St einer elektromagnetischen Welle bei senkrechtem Einfall auf einen völlig absorbierenden Körper ergibt sich damit zu p St = c π St = εe 2 = w em (6.5.9) Bei der Absorption von elektromagnetischer Strahlung erfolgt also ein Impulsübertrag ( Lichtmühle, Laserwaffen). 5

7 Spezielle Relativitätstheorie 7.1 Klassische Betrachtung Abbildung 7.1: Die Definition des Relativabstandes R AB (15) Zu den einzelnen Punkten A und B existieren Ortsvektoren R A und R B mit dem Relativabstand R AB = R A R B (7.1.1) Aus den Geschwindigkeiten folgt die Relativgeschwindigkeit: v A = d R A dt und v B = d R B dt Analog die Geschwindigkeit von B relativ zu A v AB = d R AB dt = v A v B (7.1.2) 7.2 Die Galilei-Transformation v BA = v B v A = v AB (7.1.3) Die Geschwindigkeiten der Punkte hängen von einem Bezugspunkt, im Folgenden von dem Ort der Ursprünge zweier Koordinatensysteme zum Zeitpunkt t, ab. Abbildung 7.2: Die Position eines Punktes bezogen auf das Koordinatensystem O und das Koordinatensystem O (15) Bewegt sich das gestrichene Koordinatensystem O mit der konstanten Geschwindigkeit u relativ zum Koordinatensystem O, so hat ein beliebiger Punkt A in den verschiedenen Koordinatensystemen verschiedene Ortsvektoren R A und R A. Der Wegunterschied zwischen R A und R A ist die relativ zueinander zurückgelegte Strecke u t, und es gilt somit: R A = R A u t (7.2.1) 6

Durch die Ableitung nach der Zeit erhalten wir die Geschwindigkeit und die Beschleunigung v A = v A u = d dt R A u (7.2.2) a = a = d2 R dt 2 A (7.2.3) Gleiche Beschleunigung bedeutet auch gleiche Kraftwirkung in verschiedenen Systemen. Zusammenfassend erhalten wir also: t = t R = R + u t Galilei-Transformation v = v + u (7.2.4) a = a F = F Die Zeit ist, genauso wie die Kraft und die Beschleunigung, Galilei-invariant, d.h. zwei Beobachter in den verschiedenen Koordinatensystemen benutzen die gleichen Uhren, die Zeit vergeht für sie gleich schnell. Ist u konstant, so werden die Koordinatensysteme als Inertialsysteme bezeichnet. Für solche gilt, dass physikalische Gesetze äquivalent sind. 7.3 Spezielle Relativitätstheorie 7.3.1 Invarianz der Lichtgeschwindigkeit Aus der Galilei-Transformation müsste folgen, dass sich bei relativ zueinander bewegten Bezugssystemen auch die Lichtgeschwindigkeit abhängig von u ändert c = c + u Dies ist aber nach dem Michelson-Morley-Experiment nicht der Fall. Die Lichtgeschwindigkeit ist somit Galilei-invariant und in allen Inertialsystemen, d.h. unabhängig von deren Geschwindigkeit zur Lichtquelle, gleich. Demnach ist die Galilei- Transformation allgemein nicht korrekt, sondern nur, wie wir genauer sehen werden, eine Näherung bei Geschwindigkeiten, die deutlich kleiner als Lichtgeschwindigkeit sind. 7.3.2 Spezielle Relativitätstheorie: Postulate Albert Einstein formulierte 1905 zwei grundlegende Postulate, auf denen die Spezielle Relativitätstheorie aufbaut. 1. Alle Inertialsysteme sind für alle physikalischen Gesetze gleichberechtigt. 2. Die (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit hat in allen Inertialsystemen den gleichen Wert c, unabhängig von der Bewegung des Beobachters. Das erste Postulat sagt aus, dass man verschiedene Inertialsysteme nicht anhand der physikalischen Gesetze unterscheiden kann, da diese in allen gleich gültig sind. Man kann also innerhalb eines Koordinatensystems nicht mithilfe eines Experiments feststellen, ob dieses in einer gleichförmigen Bewegung ist. Um dies festzustellen, wäre nämlich ein Vergleich 7

mit einem weiteren Koordinatensystem erforderlich. Beim Vergleich zwischen zwei Koordinatensystemen kann nur eine relative Geschwindigkeit festgestellt werden; es macht jedoch keinen Sinn, zu sagen, welches von den beiden sich tatsächlich bewegt, da sich beide gegenseitig als bewegtes Koordinatensystem sehen. Dementsprechend darf es kein bevorzugtes Koordinatensystem geben. Das zweite Postulat wurde anhand des Michelsonund-Morley-Versuchs experimentell bestätigt. Die Auswirkungen dieser beiden Postulate werden in den nächsten Kapiteln erläutert. 7.3.3 Die Frage der Gleichzeitigkeit Nach den Galilei-Transformationen 7.2.4 zwischen bewegten Inertialsystemen sollten Ereignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig geschehen, auch in allen anderen Inertialsystemen gleichzeitig stattfinden (t = t ). Betrachten wir aber nun die folgende Situation: Abbildung 7.3: Gedankenexperiment zur Gleichzeitigkeit, die Aufnahmen sind aus dem Bezugssystem S des Mannes (8) Ein Mann (Bezugssystem S) befindet sich auf der Erde und beobachtet einen vorbeifahrenden Zug, auf dem eine Frau (Bezugssystem S ) steht. Zu einem bestimmten Zeitpunkt (z.b. wenn die zwei Enden des Zuges und des Bahnhofs gemeinsam abschließen) werden an den zwei Enden des Zuges, welche sich in gleicher Entfernung zur Frau befinden, zwei Lichtblitze ( Ereignisse ) ausgesendet; nach der klassischen Betrachtung geschieht dies sowohl für den Mann als auch für die Frau gleichzeitig. Betrachtet man jedoch (aus S) die Ausbreitung des Lichts genauer, so beobachtet man, wie die zwei Lichtblitze gleichzeitig beim Mann ankommen, während die Frau die zwei Lichtblitze (und somit die Ereignisse) als zeitlich versetzt wahrnimmt (sie bewegt sich auf den vorderen Lichtblitz zu). Wegen der endlichen und konstanten Lichtgeschwindigkeit und der allgemeinen Gültigkeit der physikalischen Gesetze in dem Bezugsystem S müssen die zwei Lichtpulse in diesem System nicht gleichzeitig ausgesendet worden sein. Zwei Ereignisse, die im ruhenden Bezugssystem S als gleichzeitig beobachtet werden, sind in einem bewegten Bezugssystem S nicht simultan. Der entscheidende Punkt der Überlegung ist die Annahme, dass die Lichtgeschwindigkeit einen endlichen und konstanten Wert hat; wäre nämlich c unendlich, würde man zur klassischen Aussage zurückkehren. Eine Erklärung dieses Phänomens erfolgt später; die wichtige Aussage dieses Experiments ist: die Galilei-Transformationen gilt, wie schon zuvor überlegt, i.a. nicht mehr. Dies führt zur Formulierung der Lorentz-Transformationen zwischen bewegten Inertialsystemen. 8

7.4 Lorentz-Transformation Man betrachte zwei Inertialsysteme S(x, y, z) und S (x, y, z ) wie nach Abbildung. Abbildung 7.4: Koordinatensysteme in der Lorentztransformation (15) Der Ursprung O des Koordinatensystems S befinde sich zum Zeitpunkt t = 0 in O, und habe eine Relativbewegung in x Richtung mit der Geschwindigkeit v = v e x. Zum Zeitpunkt t = 0 wird von O = O ein Lichtblitz ausgesendet. Ein Beobachter in O misst, dass das Licht nach einer Zeit t den Punkt A erreicht: r = c t x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (7.4.1) Im Koordinatensystem S wird gemessen, dass das Licht im gleichen Punkt A nach der Zeit t ankommt. Hier wurde die Relativität der Gleichzeitigkeit und die Invarianz der Geschwindigkeit berücksichtigt. Für die Koordinate x des Punktes O, gemessen im System S, gilt x(o ) = v t. Da alle Werte von x auf O bezogen sind, muss die Koordinate x eines beliebigen Punktes in S, ausgedrückt in Koordinaten des Systemes S, wegen der Relativgeschwindigkeit v von O von der Größe (x vt) abhängen. Der genaue Zusammenhang zwischen den Raumkoordinaten und der Zeit wurde von Lorentz 1890 (also vor der Formulierung der Relativitätstheorie) berechnet. Lorentz-Transformation x = x vt = γ(x vt) 1 v 2 /c2 y = y z = z vx t c 2 t = 1 v = γ(t 2 /c vx/c2 ) 2 (7.4.2) Analog kann die Rücktransformation bestimmt werden. x = γ(x + vt ) y = y z = z t = γ(t + vx /c 2 ) (7.4.3) Hierbei wurde der Lorentz-Faktor γ eingeführt. 9

Lorentz-Faktor γ = 1 1 (7.4.4) 1 v2 c 2 Diese Gleichungen gelten für zwei Inertialsysteme, die sich mit der Relativgeschwindigkeit v in x Richtung bewegen. Man beachte, dass die Komponenten senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor invariant sind. Für die Geschwindigkeitstransformationen erhält man ( u ist die Geschwindigkeit im sich mit v (in x-richtung relativ zu S) bewegenden System S, u ist die Geschwindigkeit im ruhenden System S). u x = u x v 1 vu x /c 2 u u y y = γ(1 vu x /c 2 ) u u z z = γ(1 vu x /c 2 ) u x = u x + v 1 + u xv/c 2 u y u y = γ(1 + vu x/c 2 ) u z u z = γ(1 + vu x/c 2 ) (7.4.5) Für eine eindimensionale Bewegung in x Richtung sind u y = u z = 0 und man kann in 7.4.5 u = u x und u = u x ersetzen. 7.4.1 Längenkontraktion Man betrachte einen Stab, der im Koordinatensystem S ruht, und dessen Anfangs- und Endpunkt sich in den Koordinaten x 1, x 2 befinden. Für die Länge, gemessen im Koordinatensystem S ergibt sich L = x 2 x 1 Ein Beobachter O im Koordinatensystem S bewegt sich relativ zum Stab (und somit zum Koordinatensystem S) mit der Geschwindigkeit v. Die Bestimmung der Stablänge erfolgt für ihn, indem er gleichzeitig die Endpunkte x 2 und x 1 misst. Mit den Lorentztransformationen 7.4.2 ergibt sich: x 1 = γ(x 1 + vt 1) x 2 = γ(x 2 + vt 2) x 2 x 1 = γ(x 2 x 1) wegen t 1 = t 2 L = γ L (7.4.6) Da γ 1 immer gilt, heißt dies, dass die Länge (in Richtung der Geschwindigkeit) eines ruhenden Körpers für einen bewegten Beobachter bzw. eines bewegenden Körpers für einen ruhenden Beobachter kürzer zu sein erscheint, als wenn derselbe Körper relativ zu ihm ruht. Bemerkung: L ist die Länge des Körpers, welche im Bezugsystem gemessen wird, in dem der Körper ruht. L kann man also auch als Ruhelänge ( Eigenlänge ) L 0 bezeichnen. Dies ist die Länge eines Körpers, die man misst, wenn man sich gegenüber diesem nicht bewegt. 10

Längenkontraktion L = L 0 γ (7.4.7) Misst man (in einem ruhenden System) die Länge L eines bewegten Körpers, ist diese immer kleiner als seine Ruhelänge (Kontraktion!). Man beachte: die Verkürzung ist nicht vom Vorzeichen der Geschwindigkeit v abhängig und das Phänomen ist symmetrisch unter Vertauschung der Koordinatensysteme. Wendet man dies auf das obige Gedankenexperiment an, so ist die Erklärung zur gebrochenen Gleichzeitigkeit eindeutig: der Mann im relativ zu ihm ruhenden System Erde misst eine kürzere Länge L Z, als die Ruhelänge L Z des Zuges (L Z < L Z). In seinem Bezugsystem erscheint die Länge des Zuges also gleich wie der Abstand der zwei Lichtsender (L Z = L LS ). Die Frau im zu ihr ruhenden System Zug beobachtet dagegen, wie die sich bewegende Erde kontrahiert wird; in ihrem Bezugssystem hat der Zug die Ruhelänge L Z, da sie sich nicht relativ zum Zug bewegt, jedoch ist der Abstand der beiden Lichtsender wegen der Kontraktion kürzer als für den Mann, der die Ruhelänge misst (L LS < L LS ). Setzt man die Gleichungen in Verbindung so erhält man: L Z > L Z = L LS > L LS (7.4.8) Im System der Frau ist also der Zug länger als der Abstand der beiden Lichtsender. Fährt der Zug an dem Mann vorbei, so erreicht die Spitze des Zuges den rechten Lichtsender zu dem Zeitpunkt, an welchem das Ende noch im Abstand L Z L LS vom linken Lichtsender ist. Der rechte Lichtpuls wird also im Bezugssystem der Frau früher ausgesendet als der linke, der nur später, als das Ende des Zuges endlich bei dem linken Lichtsender ankommt (die Spitze ist schon weiter), ausgesendet wird. Aus diesem Grund sieht die Frau den rechten Puls zuerst, wie wir aus dem System des Mannes schon festgestellt hatten. Die beiden Bezugssysteme sind also gleichwertig. 7.4.2 Zeitdilatation Eine Uhr, die zwei Lichtpulse aussendet, befinde sich ruhend im System S. Ein Beobachter im Punkt x 0 in S misst den Zeitunterschied t = t 2 t 1. Die zwei Signale erreichen einen Beobachter im bewegten System S zu den Zeitpunkten t 1, t 2. Der Beobachter in S wendet für die Zeiten in S die Lorentz-Transformationen 7.4.2 t 1 = γ(t 1 vx 0 /c 2 ) t 2 = γ(t 2 vx 0 /c 2 ) an. Für die Zeitdifferenz im bewegten System misst er somit t = γ t (7.4.9) Da weiter γ 1 gilt, heißt dies, dass ein ruhender Beobachter Zeiten misst, die relativ zu den Zeiten, die im bewegten System gemessen werden, länger erscheinen. Anders ausgedrückt: Bewegte Uhren laufen langsamer. Man beachte: die für die Längenkontraktion beschriebene Symmetrie zwischen Bezugsystemen gilt hier unverändert ( Zwillings-Paradoxon). Bemerkung: Analog zur Längenkontraktion können wir eine Eigenzeit (Ruhezeit) t 0 definieren, und zwar die Zeit, die in einem relativ zu den Ereignissen ruhenden System gemessen wird ( t = t 0 ). 11

Zeitdilatation t = γ t 0 (7.4.10) 7.5 Minkowski-Diagramme Für die Darstellung relativistischer Prozesse bietet es sich an, die sogenannten Minkowski- Diagramme einzuführen. Abbildung 7.5: Minkowski-Diagramm mit Weltlinien (1) Bemerkung: Die y Achse wird mit ct beschriftet; beide Achsen haben somit eine Längeneinheit. Dies soll aber nicht zu Verwirrung führen: die Diagramme können weiterhin als übliche Zeit-Orts-Diagramme interpretiert werden, mit c als eine Art Normierungs - Konstante. Der Grund dafür wird später ersichtlich werden. Als Weltlinien werden die Linien definiert, die einen (Bewegungs-)Prozess im Minkowski- Diagramm beschreiben. Man beobachte die parallel zur y Achse stehende Weltlinie: das bedeutet, dass ein Körper, der diese Linie beschreibt, ruhend relativ zum Koordinatensystem ist (sein x Wert bleibt konstant). Der Körper, der die schiefe Weltlinie beschreibt, hingegen, bewege sich mit einer Geschwindigkeit v; diese Geschwindigkeit ist mit dem Winkel zur x Achse wie folgt verknüpft. tan α = c/v (7.5.1) Prozesse, die mit Lichtgeschwindigkeit geschehen (etwa ein Lichtblitz), führen mit 7.5.1 auf tan α = c/c = 1 α = 45 Analog zu den vorherigen Punkten betrachten wir nun ein sich mit v x bewegenden Koordinatensystem S. Dies kann man im Minkowski-Diagramm wie folgt einbringen 12

Abbildung 7.6: Minkowski-Diagramm für verschiedene bewegte Koordinatensysteme (15) Da sich S relativ zu S bewegt, sind seine Achsen im Minkowski-Diagramm nicht mehr orthogonal. Der Winkel zwischen x und x Achse ist durch gegeben. Es ergibt sich damit tan β = v/c (7.5.2) γ = α β = arctan(c/v) arctan(v/c) (7.5.3) In der Abbildung ist zusätzlich ein Koordinatensystem S eingezeichnet, welches sich mit einer Geschwindigkeit v = v x relativ zu S bewegt. Nicht nur die Achsen(längen) sind bei bewegten Bezugssystemen im Minkowski-Diagramm verschoben, sondern auch die Skalierung der Achsen wird beeinflusst. Um diese zu definieren, macht man sich zunutze, dass die Größe s 2 = (ct) 2 x 2 = (ct ) 2 x 2 (7.5.4) in allen Bezugsystemen und unter allen Lorentz-Transformationen invariant ist. Abbildung 7.7: Zur Skalierung und invarianten Größen (1) 13

Man betrachte die zwei invarianten Größen x 2 c 2 t 2 = 1 und x 2 c 2 t 2 = 1. Die Schnittpunkte der Achsen mit diesen Hyperbeln definieren die Längen und Zeitmaßstäbe in den unterschiedlichen Bezugsystemen. Setzt man hingegen in 7.5.4 s = 0, ergibt sich die invariante Kurve der Lichtgeschwindigkeitspropagation (in der Abbildung gestrichelt). Bemerkung: Mit der speziellen Beschriftung der Achsen können also Prozesse mit Lichtgeschwindigkeit immer mit der Winkelhalbierenden eingezeichnet werden; da die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden darf, kann keine Weltlinie existieren, die einen kleineren Winkel als 45 zur x Achse besitzt. Abbildung 7.8: Zukunft und Vergangenheit im Minkowski-Diagramm (15) Ein Beobachter in einem Raumzeitpunkt (x, t) mit x ct kann prinzipiell kein Signal von Raumzeitpunkten aus den in Abb.7.8 weißen Gebieten mit x > ct empfangen. Ereignisse in den Gebieten anderswo können nicht aus der Vergangenheit erreicht werden oder die Zukunft bestimmen. Abbildungsquellen (1) Hugel, Thorsten (2013): Vorlesungsskript Experimentalphysik 2, München (4) Demtröder, Wolfgang (2009): Experimentalphysik 2, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (8) sciencehsc.com.au/2015/05/13/einsteins-relativity-of-simultaneity (14) commons.wikimedia.org/wiki (15) Demtröder, Wolfgang (2013): Experimentalphysik 1, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 14