3. Erzwungene gedämpfte Schwingungen

3. Erzwungene gedämpfte Schwingungen 3.1 Schwingungsgleichung 3.2 Unwuchtanregung 3.3 Weganregung 3.4 Komplexe Darstellung 2.3-1

3.1 Schwingungsgleichung F(t) m Bei einer erzwungenen gedämpften Schwingung wird das System durch eine harmonische Last angeregt. Erregerkraft: x F t =F 0 sin t c d Erregerfrequenz Ω 2.3-2

3.1 Schwingungsgleichung 3.1.1 Aufstellen der Gleichung 3.1.2 Lösung der Gleichung 3.1.3 Diskussion der Lösung 3.1.4 Beispiel 2.3-3

3.1.1 Aufstellen der Gleichung F(t) Bewegungsgleichung: Impulssatz: m m ẍ=f 0 sin t d ẋ c x m ẍ d ẋ c x=f 0 sin t c x v=ẋ d v x Division durch m: ẍ 2 ẋ 2 x= F 0 m sin t 2.3-4

Vorbereitung: 3.1.2 Lösung der Gleichung Mit m= c F folgt: 0 F 0 2 m = 2 c = 2 x s Dabei ist x s = F 0 die statische Lösung. c Damit lautet die Schwingungsgleichung: ẍ 2 ẋ 2 x= 2 x s sin t Division durch ω 2 führt mit =D auf: 1 2 ẍ 2 D ẋ x=x s sin t 2.3-5

3.1.2 Lösung der Gleichung Es handelt sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung. Die zugehörige homogene Gleichung lautet 1 2 ẍ 2 D ẋ x=0 Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung x h der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung x p der inhomogenen Gleichung. 2.3-6

3.1.2 Lösung der Gleichung Homogene Lösung: Die homogene Gleichung ist die Gleichung für eine freie gedämpfte Schwingung. Die homogene Lösung x h (t) hängt von den Anfangsbedingungen ab und klingt exponentiell mit der Zeit ab. Nach Beendigung dieses Einschwingvorgangs kann x h (t) gegenüber der partikulären Lösung x p (t) vernachlässigt werden. x p (t) wird auch als eingeschwungener Zustand bezeichnet. 2.3-7

3.1.2 Lösung der Gleichung Partikuläre Lösung: Ansatz: x p t =x s V 1 sin t ẋ p t = x s V 1 cos t ẍ p t = 2 x s V 1 sin t Dynamischer Überhöhungsfaktor V 1 und Phasenwinkel φ werden durch Einsetzen bestimmt: x s V 1 2sin t 2 D x s V 1 cos t x s V 1 sin t =x s sin t 2.3-8

3.1.2 Lösung der Gleichung Mit folgt: sin t =sin t cos cos t sin cos t =cos t cos sin t sin [ 2 sin t cos cos t sin 2 D cos t cos sin t sin sin t cos cos t sin ]V 1 =sin t Mit dem Frequenzverhältnis η = Ω / ω ergibt sich durch Ordnen [ 2 cos 2 D sin cos V 1 1 ]sin t 2 sin 2 D cos sin V 1 cos t =0 2.3-9

3.1.2 Lösung der Gleichung Diese Gleichung ist nur dann für alle t erfüllt, wenn beide Klammerausdrücke verschwinden. Gleichung 1: V 1 [ 1 2 cos 2 D sin ]=1 Gleichung 2: 2 1 sin 2 D cos =0 Aus der 2. Gleichung folgt: tan = 2 D 1 2 2.3-10

Aus Gleichung 1: 3.1.2 Lösung der Gleichung V 1 1 2 1 2 D 1 2 tan = 1 cos = 1 tan 2 Mit Gleichung 2: V 1 1 2 [ 1 2 D 2 1 2 V 1 = 1 1 1 2 1 2 D 1 2 ] = 1 2 D 2 1 2 2 = 1 1 2 2 4 D 2 2 2.3-11

Ergebnis: 3.1.2 Lösung der Gleichung Dynamischer Überhöhungsfaktor: Phasenwinkel: V 1 = 1 1 2 2 4 D 2 2 =arctan 2 D 1 2 2.3-12

3.1.2 Lösung der Gleichung 13 1 2 3 12 11 10 9 D = 0,04 8 7 D = 0,08 V 1 6 5 4 D = 0,12 D = 0,5 3 2 D = 1.0 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 η 2.3-13

3.1.2 Lösung der Gleichung φ 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 D = 1.0 D = 0,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 η D = 0,12 D = 0,08 D = 0,04 2.3-14

3.1.3 Diskussion der Lösung Bereich 1: η < 0,8: unterkritisch Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Die Verschiebung ist in Phase mit der Anregung. Es gilt in guter Näherung: V 1 1 1 2 Für η < 1/3 erhält man 1 V 1 1 1/3 = 1 2 1 1/9 = 9 8 =1,125 Für η < 0,3 können Dämpfungs- und Trägheitskraft vernachlässigt werden: Quasistatische Lösung 2.3-15

3.1.3 Diskussion der Lösung Trägheitskraft Dämpferkraft x s V 1 2 sin t 2 D x s V 1 cos t x s V 1 sin t =x s sin t Federkraft 2.3-16

3.1.3 Diskussion der Lösung Bereich 2: 0,8 < η < 1,2: kritisch Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung beeinflusst. Die Verschiebung hat eine Phasenverschiebung von 90 gegenüber der Anregung. Die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Anregung. Trägheits- und Federkraft sind im Gleichgewicht. Die Anregung ist im Gleichgewicht mit der Dämpfungskraft. Den Zustand η = 1 nennt man Resonanz. Resonanzfrequenz: f = /2 2.3-17

3.1.3 Diskussion der Lösung: Bei η = 1 sind Federkraft und Trägheitskraft entgegengesetzt gleich groß: Trägheitskraft Federkraft x s V 1 sin t x s V 1 sin t 2 D x s V 1 cos t /2 =x s sin t Dämpferkraft 2.3-18

3.1.3 Diskussion der Lösung Maximum der Überhöhung: R = 1 2 2 4 D 2 2 =Min. 0= dr d =2 1 2 2 4 D 2 2 2 max 1 2 D 2 =0 max = 1 2 D 2 Die Frequenz, bei der das Maximum auftritt, ist niedriger als die Frequenz des gedämpften Schwingers. Für D 2 /2 kann kein Maximum auftreten. Für kleine Werte der Dämpfung gilt: max 1, V 1max 1 2 D 2.3-19

Halbwertsbreite: 3.1.3 Diskussion der Lösung Gesucht werden die Erregerfrequenzen, bei denen das Quadrat des dynamischen Überhöhungsfaktors gleich der Hälfte des Quadrats des maximalen Überhöhungsfaktors ist. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Dämpfung klein ist (D < 10%). Bedingung: 2= V 2 1max V 2 1 = 2 1 2 4 D 2 2 4 D 2 8 D 2 =1 2 2 4 4 D 2 2 2.3-20

3.1.3 Diskussion der Lösung Lösung: 4 2 1 2 D 2 2 1 8 D 2 =0 2 1/2 =1 2 D 2 ± 1 2 D 2 2 1 8 D 2 =1 2 D 2 ± 4 D 2 1 D 2 =1 2 D 2 ±2 D 1 D 2 Näherung für : Der Bereich zwischen η 1 und η 2 wird als Halbwertsbreite bezeichnet. D 2 1 2 1/ 2 1±2 D 1 1 D, 2 1 D Die Halbwertsbreite erlaubt eine genauere Eingrenzung des kritischen Bereichs. 2.3-21

3.1.3 Diskussion der Lösung Bereich 3: η > 1,2: überkritisch Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Die Verschiebung hat eine Phasenverschiebung von 180 gegenüber der Anregung. Die Beschleunigung ist in Phase mit der Anregung. Es gilt in guter Näherung: V 1 1 2 1 Für η > 3 erhält man: V 1 1 9 1 =1 8 =0,125 Für η > 3 ist die Trägheitskraft groß gegenüber der Federund der Dämpferkraft. 2.3-22

3.1.3 Diskussion der Lösung Federkraft Dämpferkraft x s V 1 sin t 2 D x s V 1 cos t x s V 1 2 sin t =x s sin t Trägheitskraft 2.3-23

3.1.3 Diskussion der Lösung Bei Vernachlässigung der Dämpfung gelten folgende Vereinfachungen: Überhöhungsfaktor: V 1 = 1 1 2 Phasenwinkel: 0 für 1 ={ 180 für 1 Außerhalb des kritischen Bereichs kann bei sehr schwach gedämpften Systemen (D < 5%) die Dämpfung in der Regel vernachlässigt werden. 2.3-24

3.1.4 Beispiel F(t)=F 0 sinωt Motormodell: Gegeben: Masse m m Lehrsches Dämpfungsmaß c d x Motorträger statische Einfederung x G unter Eigengewicht Lastamplitude F 0 2.3-25

3.1.4 Beispiel Für den eingeschwungenen Zustand sollen für zwei Drehzahlen n 1 und n 2 bestimmt werden: Maximale Verschiebung des Motors Maximale Beschleunigung des Motors Maximale Kraft auf den Motorträger Zahlenwerte: Motormasse m = 1000kg Einfederung unter Eigengewicht x G = 10mm Lehrsches Dämpfungsmaß D = 2% Drehzahlen n 1 = 150U/min, n 2 = 1000U/min Lastamplitude: F 0 (n 1 ) = 500N, F 0 (n 2 ) = 5000N 2.3-26

Eigenkreisfrequenzen: 3.1.4 Beispiel Ungedämpfte Schwingung: = g x G = 9810mm 10 mm s² =31,32 1 s Gedämpfte Schwingung: Federsteifigkeit: d = 1 D 2 =31,32 1 s 1 0,02 2 =31,31 1 s c= 2 m=981 1 s 2 1000kg=981 N mm 2.3-27

3.1.4 Beispiel Erregerfrequenzen: Drehzahl n = Frequenz in 1/min : =2 n 60 = 30 n Damit: 1 = 30 150 1 s =15,71 1 s 2 = 30 1000 1 s =104,7 1 s Frequenzverhältnisse: 1 = 1 = 15,71 31,32 =0,5016 2 = 2 = 104,7 31,32 =3,343 2.3-28

Überhöhungsfaktoren: exakt: V 1 1 = V 1 2 = aus Näherung: V 1 1 3.1.4 Beispiel 1 1 0,5016 2 2 4 0,02 0,5016 2=1,336 1 1 3,343 2 2 4 0,02 3,343 2 =0,09827 1 1 0,5016 =1,336, V 1 1 2 2 3,343 2 1 =0,09827 2.3-29

3.1.4 Beispiel Maximale Verschiebung des Motors: x,t =x s V 1 sin t x max =x s V 1 Drehzahl n 1 : 500 N mm x s 1 = 981 N =0,5097mm x max 1 =0,5097 mm 1,336=0,6809 mm Drehzahl n 2 : x s 2 = 5000 N mm 981 N =5,097 mm x max 2 =5,097mm 0,09827=0,5009 mm 2.3-30

3.1.4 Beispiel Maximale Beschleunigung des Motors: ẍ,t = x s V 1 2 sin t ẍ max =x s V 1 2 =x max 2 Drehzahl n 1 : ẍ max 1 =0,6809 mm 15,71 2 1 mm s 2=168,0 s =0,1680 m 2 s 2 Drehzahl n 2 : ẍ max 2 =0,5009mm 104,7 2 1 mm =5491 2 s s =5,491 m 2 s 2 2.3-31

3.1.4 Beispiel Kraft auf Motorträger: F(t) F(t) m x F C F D c d F C F D Motorträger 2.3-32

3.1.4 Beispiel Kraft auf Träger: F T =F C F D =c x d ẋ F T,t =c x s V 1 sin t d x s V 1 cos t Mit folgt: x s = F 0 c, d x s= d c F 0= d 2 m F 0= 2 D F 0 F T,t =F 0 V 1 sin t 2 D cos t Für die Amplitude gilt: F T max =F 0 V 1 1 4 D 2 2 2.3-33

3.1.4 Beispiel Ergebnis: F Tmax 1 =500 N 1,336 1 4 0,02 2 0,5016 2 =668,1 N F Tmax 2 =5000 N 0,09827 1 4 0,02 2 3,343 2 =495,7 N 2.3-34

3.2 Unwuchtanregung Rotierende Unwucht: m u r Ωt Die Masse m 0 wird durch die Zentrifugalkraft der rotierenden Masse m u zu Schwingungen angeregt. m 0 x Beispiele: Motor c d Rad Rüttler 2.3-35

3.2 Unwuchtanregung F C m u Schwingungsgleichung: S S S sin(ωt) Ωt m 0 F D x Kinematik: x u =x r sin t ẍ u =ẍ r 2 sin t Impulssatz für Unwucht: m u ẍ u =S sin t Impulssatz für Schwinger: m 0 ẍ= F C F D S sin t Kraftgesetze: F C =c x, F D =d ẋ 2.3-36

3.2 Unwuchtanregung Impulssatz für Unwucht und Kraftgesetze in Impulssatz für Schwinger eingesetzt: m 0 ẍ= c x d ẋ m u ẍ r 2 sin t m 0 m u ẍ d ẋ c x= m u r 2 sin t Mit der Gesamtmasse m = m 0 + m u folgt: m ẍ d ẋ c x= m u r 2 sin t Division durch die Gesamtmasse ergibt: mit ẍ 2 ẋ 2 x= x r 2 sin t x r = m u m r 2.3-37

3.2 Unwuchtanregung Lösung: Diese Schwingungsgleichung unterscheidet sich nur durch die rechte Seite von der bereits behandelten Schwingungsgleichung. Mit x s = x r 2 = x r 2 lautet die partikuläre Lösung: x p,t = x r 2 V 1 sin t = x r V 3 sin t 2.3-38

3.2 Unwuchtanregung Ergebnis: Dynamischer Überhöhungsfaktor: V 3 = 2 V 1 = Phasenwinkel: =arctan 2 D 1 2 2 1 2 2 4 D 2 2 2.3-39

3.2 Unwuchtanregung 13 1 2 3 12 11 10 9 D = 0,04 8 7 D = 0,08 V 3 6 5 4 D = 0,12 D = 0,5 3 2 D = 1.0 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 η 2.3-40

3.2 Unwuchtanregung Diskussion der Lösung: Unterkritischer Bereich: η < 0,8 Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Es gilt in guter Näherung: Kritischer Bereich: 0,8 < η < 1,2 Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung bestimmt. An der Resonanzstelle η = 1 gilt: V 3 1 2 V 3 1 = 1 2 D 2 2.3-41

3.2 Unwuchtanregung Überkritischer Bereich: η > 1,2 Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Es gilt in guter Näherung: Für große Werte von η strebt V 3 gegen 1. 2 V 3 2 1 Für η = 5 erhält man: V 3 5 = 25 24 =1,042 2.3-42

3.3 Weganregung Fundamentanregung: c x F (t) d m x Fundament Die Bewegung des Fundaments wird vorgeschrieben. Beispiele: Rütteltisch fahrbahnerregte Fahrzeugschwingungen Erdbeben 2.3-43

Schwingungsgleichung: 3.3 Weganregung Vorgeschriebene Bewegung des Fundaments: x F t =x F0 sin t, Relativbewegung: ẍ F t = 2 x F0 sin t Kräfte: x rel =x x F x=x F x rel F C =c x rel F D =d ẋ rel Impulssatz: m ẍ= d ẋ rel c x rel F C m F D x 2.3-44

3.3 Weganregung Mit folgt: ẍ=ẍ F ẍ rel m ẍ rel d ẋ rel c x rel = m ẍ F =m x F0 2 sin t Division durch m führt auf ẍ rel 2 ẋ rel 2 x rel =x F0 2 sin t 2.3-45

3.3 Weganregung Lösung: Mit x s = 2 x F0 = 2 x F0 lässt sich die Schwingungsgleichung wieder auf den bereits behandelten Fall zurückführen. Die partikuläre Lösung für die Relativverschiebung ist daher: x prel,t = x F0 2 V 1 sin t = x F0 V 3 sin t 2.3-46

3.3 Weganregung Für die Absolutverschiebung folgt: x p,t =x F,t x rel,t =x F0 sin t x F0 V 3 sin t =x F0 [sin t V 3 sin t cos cos t sin ] =x F0 [ 1 V 3 cos sin t V 3 sin cos t ] Die Amplitude ist: x pmax =x F0 1 V 3 cos 2 V 3 2 sin 2 =x F0 1 V 3 2 2V 3 cos 2.3-47

3.3 Weganregung Diskussion der Lösung: Tiefer unterkritischer Bereich: 0,3 V 3 0,32 1 0,3 2 0,1 Die Relativverschiebung ist vernachlässigbar klein. Die Masse folgt der Bewegung des Fundaments. 2.3-48

3.3 Weganregung Hoher überkritischer Bereich: 4 V 3 42 4 2 1 1,1 Der Überhöhungsfaktor ist nahezu 1. Der Phasenwinkel ist nahezu 180. Die Relativverschiebung ist entgegengesetzt gleich groß wie die Verschiebung des Fundaments Die Absolutverschiebung der Masse geht gegen Null. 2.3-49

3.3 Weganregung Bei Vernachlässigung der Dämpfung gelten folgende Vereinfachungen: Überhöhungsfaktor: 2 V 3 = 1 2 Phasenwinkel: 0 für 1 ={ 180 für 1 Absolutverschiebung: x p,t ={ x F0 1 V 3 sin t für 1 x F0 1 V 3 sin t für 1 2.3-50

3.3 Weganregung Beispiel: z x L m v z F (x) Das Fahrzeug der Masse m fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v. Die Unebenheit der Fahrbahn wird beschrieben durch z F x =z 0 sin 2 x 2.3-51

3.3 Weganregung Gesucht: Relative und absolute Verschiebungsamplitude der vertikalen Hubschwingung Absolute Beschleunigungsamplitude der vertikalen Hubschwingung Daten: Masse m = 1500kg, Federsteifigkeit c = 1,5 105 N/m Lehrsches Dämpfungsmaß D = 20% Geschwindigkeit v = 30m/s Wellenlänge λ = 60m, Amplitude z 0 = 0,1m Radabstand L = 2,5m 2.3-52

Berechnungsmodell: 3.3 Weganregung Der Radabstand ist klein im Vergleich zur Wellenlänge. Daher wird angenommen, dass die Vertikalverschiebung an beiden Rädern ungefähr gleich groß ist. Das Fahrzeug wird als einfaches Feder-Masse-Dämpfer- System modelliert. m z c d z F (t) 2.3-53

3.3 Weganregung Anregung: x=v t z F t =z 0 sin 2 v t =z 0sin t Frequenzverhältnis: mit =2 v =2 30m/s 60m =3,142 1 s, = 1,5 105 N /m =10 1 1500 kg s =0,3142 Dynamischer Überhöhungsfaktor: V 3 0,3142 = 0,3142 2 1 0,3142 2 2 4 0,2 2 0,3142 2 =0,1085 2.3-54

3.3 Weganregung Amplitude der Relativverschiebung: z rel max =z 0 V 3 0,3142 =0,1m 0,1058=0,01058m Amplitude der Absolutverschiebung: tan = 2 0,2 0,3142 1 0,3142 2 =0,1394 cos = 1 1 tan 2 = 1 1 0,1394 =0,9904 2 z max =0,1m 1 0,1058 2 2 0,1058 0,9904=0,1105 2.3-55

3.3 Weganregung Amplitude der Beschleunigung: z max = 2 z max =3,142 2 1 s 2 0,1105m=1,091m/s2 2.3-56

3.4 Komplexe Darstellung Harmonische Schwingungen lassen sich elegant mit Hilfe von komplexen Zahlen darstellen. Diese Darstellung ist besonders hilfreich, wenn Systeme mit mehreren Freiheitsgraden betrachtet werden. 2.3-57

3.4 Komplexe Darstellung Komplexe Darstellung harmonischer Funktionen: Ausgangspunkt sind die Eulerschen Formeln: e i x = cos x i sin x e i x = cos x i sin x 2cos x = ei x e i x 2i sin x = e i x e i x Die allgemeine Form einer harmonischen Funktion ist f t = f s sin t f c cos t = f 0 sin t mit f 0 = f s 2 f c 2, tan = f c f s 2.3-58

3.4 Komplexe Darstellung Mit den Eulerschen Formeln folgt f t = f s 2i ei t e i t f c 2 ei t e i t = 1 2 [ f c i f s e i t f c i f s e i t ]= 1 2 f e i t f e i t =R f e i t =R f e i t mit f = f c i f s, f = f c i f s Weiter gilt: f = f s 2 f c 2 = f 0, tan = f c f s = R f I f 2.3-59

3.4 Komplexe Darstellung Komplexe Lösung der Schwingungsgleichung: Die harmonische Last wird komplex dargestellt: F t =F 0 sin t = 1 2 F e i t F e i t =R F e i t Die harmonische Antwort wird ebenfalls komplex dargestellt: x t =x 0 sin t = 1 2 x ei t x e i t =R x e i t Die zeitlichen Ableitungen sind: ẋ t = i 2 x ei t x e i t, ẍ t = 2 2 x ei t x e i t 2.3-60

3.4 Komplexe Darstellung Einsetzen in die Schwingungsgleichung: m ẍ d ẋ c x=f 0 sin t 1 2 2 m x e i t x e i t 1 2 i d x e i t x e i t 1 2 c x ei t x e i t = 1 2 F e i t F e i t [ 2 m i d c x F ]e i t [ 2 m i d c x F ]e i t =0 2.3-61

3.4 Komplexe Darstellung Da die Gleichung für beliebige Werte von t erfüllt sein muss, müssen die beiden Terme in den eckigen Klammern Null sein: 2 m i d c x= F 2 m i d c x= F Die zweite Gleichung ist die komplex konjugierte der ersten Gleichung. Es genügt also, eine der beiden Gleichungen zu lösen. Beide Gleichungen kommen in der Literatur etwa gleich häufig vor. 2.3-62

3.4 Komplexe Darstellung Aus der ersten Gleichung folgt: x= Aus der zweiten Gleichung folgt: x= F c 2 m i d = F F c 2 m i d = F Dabei wurde benutzt: c 2 m i d c 2 m 2 d = F 2 c c 2 m i d c 2 m 2 d = F 2 c 1 2 2i D 1 2 2 4 D 2 2 1 2 2i D 1 2 2 4 D 2 2 d c = 2 m =2 c =2 D 2 2.3-63

Auswertung: 3.4 Komplexe Darstellung Amplitude: x 0 = x = x = R 2 x I 2 x x 0 = F 2 1 2 4 D 2 2 c [ 1 2 2 4 D 2 2 ] = F 0 2 c Phase: F= i F 0 : 1 1 2 2 4 D 2 2 R x = F 0 c I x = F 0 c 2 D 1 2 2 4 D 2 2 1 2 1 2 2 4 D 2 2 tan = R x I x = 2 D 1 2 2.3-64

3.4 Komplexe Darstellung Bei Vernachlässigung der Dämpfung gelten folgende Vereinfachungen: x= F c 1 1, x 0= F 0 2 c Für F= i F 0 gilt: : 1 1 2 R x =0, I x = F 0 c 1 1 2 x t =R x e i t = F 0 c 1 sin t 2 1 2.3-65