Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Lehrbuch Band 1
Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch 2 Bände Leitprogramm 3 Bände
Klaus Weltner (Herausgeber) Mathematik für Physiker Basiswissen tür das Grundstudium der Experimentalphysik Lehrbuch Band 1 verfaßt von Klaus Weltner, Hartmut Wiesner, Paul-Bernd Heinrich, Peter Engelhardt, Helmut Schmidt 8., verbesserte Auflage Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Dr. Klaus Weltner ist Professor für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik. Dr. Hartmut Wiesner ist Akademischer Rat am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Paul-Bernd Heinrich ist Professor für Mathematik an der Fachhochschule Mönchengladbach. Dipl.-Phys. Peter Engelhardt war wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Didaktik der Physik, Universität Frankfurt. Dr. Helmut Schmidt ist Professor für Didaktik der Physik an der Universität Bonn. 1. Auflage 1975 2., durchgesehene Auflage 1977 3., unveränderte Auflage 1978 4., durchgesehene Auflage 1980 5., verbesserte Auflage 1981 6., durchgesehene Auflage 1983 7., durchgesehene Auflage 1984 8., verbesserte Auflage 1987 Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 1987 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig 1987 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Peter Morys, Salzhemmendorf ISBN 978-3-528-73051-2 DOI 10.1007/978-3-662-25348-9 ISBN 978-3-662-25348-9 (ebook)
- 5 - Aus DEM VORWORT ZUR I. AUFLAGE Das Lehrbuch (2 Bände) und die Leitprogramme (3 Bände) 'Mathematik für Physiker' sind in erster Linie für Studienanfänger des ersten und zweiten Semesters geschrieben. Es werden diejenigen Mathematikkenntnisse vermittelt, die für das Grundstudium der Experimentalphysik benötigt werden. Das Lehrbuch kann unabhängig von den Leitprogrammen benutzt werden. Die Leitprogramme sind neuartige Studienhilfen und haben nur Sinn im Zusammenhang mit dem Lehrbuch. Lehrbuch und Leitprogramme eignen sich vor allem zur Unterstützung des Selbststudiums, zur Vorbereitung des Studiums und als Grundlage für einführende mathematische Ergänzungsveranstaltungen neben der Experimentalphysik Vorlesung. In der Einleitung werden diese Gedanken weiter ausgeführt. Lehrbuch und Leitprogramme wurden im regulären Studiengang in drei Studienjahren verwendet und aufgrund der Erfahrungen und Rückmeldungen der Studenten gründlich revidiert. Besonders bei der Entwicklung der Leitprogramme waren die Anregungen der Studenten hilfreich. Natürlich sind weitere Verbesserungen möglich; niemandem ist dies klarer als den Autoren. Konkrete Vorschläge der Leser sind erwünscht und werden bei künftigen Auflagen nach Möglichkeit berücksichtigt. Entwicklung, Abstimmung, Erprobung und mehrfache Revision sind das Ergebnis einer Teamarbeit. Die Reihenfolge der Autoren im Titel berücksichtigt die jeweils eingebrachten Arbeitsanteile. Das Mathematiklehrbuch ist vorwiegend von Physikern geschrieben. Für wertvolle Hinweise und Formulierungen danke ich Herrn Dr. Mrowka. Bei der Bearbeitung der in die Leitprogramme integrierten Anleitungen zu Lern- und Studiertechniken unterstützte mich Herr Dipl.-Psych. G. Kanig. Allen hier genannten und vielen nichtgenannten Mitarbeitern danke ich herzlich. Klaus Weltner Frankfurt, Institut für Didaktik der Physik 1974
- 6 - VORWORT ZUR 8. AUFLAGE In den Neuauflagen seit 1975 ist das Lehrbuch in vielen Details verbessert worden. DIe im Vorwort zur ersten Auflage erbetenen Verbesserungsvorschläge und kritischen Hinweise sind von Lesern und Kollegen eingegangen. Sie sind weitgehend berücksichtigt. Ich danke allen sehr herzlich, die damit geholfen haben, das Lehrbuch lesbarer, genauer und verständlicher zu gestalten. Neu geschrieben ist das Kapitel 17 über Gleichungssysteme. Hier stehen jetzt die praktischen Eliminationsverfahren im Vordergrund. Auch das Kapitel 16 über Matrizen ist erheblich erweitert. Was die Autoren bei der Entwicklung der Leitprogramme erhofften, hat sich bestätigt. Die Verbindung von Lehrbuch und Leitprogramm wird von vielen Studienanfängern als wirksame Hilfe bei der Anpassung an die Arbeitsformen der Universität genutzt. Es hat sich in vielfältiger Praxis gezeigt, daß die Leitprogramme das selbständige Erarbeiten des Lehrbuches ermöglichen und daß sie dem Studenten helfen, ein selbstverantwortetes und selbstgeregeltes Studienverhalten aufzubauen. In einer überarbeiteten und erweiterten Form sind Lehrbuch und Leitprogramme inzwischen ins Englische übersetzt. Auch dies spricht dafür, daß mit der hier entwickelten Methodik der Studienunterstützung ein sinnvoller Weg beschritten ist. Klaus Weltner Frankfurt, 1986
- 7 - INHALT EINLEITUNG 13 FUNKTIONSBEGRIFF, EINFACHE FUNKTIONEN, TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 19 1.1 Der mathematische Funktionsbegriff und seine Bedeutung für die Physik 19 1.1.1 Zusammenhänge in der Physik und ihre mathematische Beschreibung 1.1.2 Der Funktionsbegriff 1.2 Koordinatensystem, Ortsvektor 23 1.2.1 Bestimmung der Lage eines Punktes bei gegebenen Koordinaten 24 1.3 Graphische Darstellung von Funktionen 25 1.3.1 Ermittlung des Graphen aus der Funktionsgleichung für die Gerade 27 1.3.2 Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden aus ihrem Graphen 29 1.3.3 Graphische Darstellung von Funktionen 29 1.3.4 Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen 32 1.4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen 34 1.4.1 Einheitskreis 34 1.4.2 Sinusfunktion 35 1.4.3 Kosinusfunktion 43 1.4.4 Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion 44 1.4.5 Tangens, Kotangens 45 1.4.6 Additionstheorem, Superposition von trigonometrischen Funktionen 46 Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen 50 Tabelle spezieller Funktionswerte 50 51 53 2 POTENZEN, LOGARITHMUS, UMKEHRFUNKTION 2.1 Potenzen, Exponentialfunktion 2.2 2. 1.1 2.1. 2 2.1. 3 Potenzen Rechenregeln für Potenzen Exponentialfunktion Logarithmus, Logarithmusfunktion 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Logarithmus Rechenregeln für Logarithmen Logarithmusfunktion 19 20 56 56 56 57 59 63 63 67 70
- 8-2.3 Umkehrfunktion (inverse Funktion), mittelbare Funktion 71 2.3.1 Umkehrfunktion oder inverse Funktion 71 2.3.2 Logarithrnusfunktion als Umkehrfunktion 74 der Exponentialfunktion 2.3.3 Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion 75 77 79 3 DIFFERENTIALRECHNUNG 3.1 Folge und Grenzwert 3.1.1 Die Zahlenfolge 3.1.2 Grenzwert einer Zahlenfolge 3.1.3 Grenzwert einer Funktion 3.2 Stetigkeit 3.3 Reihe und Grenzwert 3.3.1 Reihe 3.3.2 Geometrische Reihe 3.4 Die Ableitung einer Funktion 3.4.1 Die Steigung einer Geraden 3.4.2 Die Steigung einer beliebigen Kurve 3.4.3 Der Differentialquotient 3.4.4 Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit 3.4.5 Das Differential 3.5 Die praktische Berechnung des Differentialquotienten 3.5.1 3.5.2 3.5.3 Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen Die Differentiation komplizierter Funktionen 3.6 Höhere Ableitungen 3.7 Maxirna und Minima Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen 80 80 80 81 85 88 89 89 91 92 92 92 95 96 98 99 99 102 107 110 111 115 115 116 119 4 INTEGRALRECHNUNG 4.1 Die Starnmfunktion 121 121 4.1.1 Grundproblem der Integralrechnung 121 4.2 Flächenproblem und bestimmtes Integral 123 4.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Die Flächenfunktion als Starnmfunktion von fex) 126 4.4 Bestimmtes Integral 129 4.4.1 Beispiele für das bestimmte Integral 131
- 9-4.5 Zur Technik des Integrierens 4.5.1 Verifizierungsprinzip 4.5.2 Stammintegrale 4.5.3 Konstanter Faktor und Summe 4.5.4 Integration durch Substitution 4.5.5 Partielle Integration 4.6 Rechenregeln für bestimmte Integrale 4.7 Substitution bei bestimmten Integralen 4.8 Mittelwertsatz der Integralrechnung 4.9 Uneigentliche Integrale 4.10 Arbeit im Gravitationsfeld Integrationsregeln und -techniken Tabelle der wichtigsten Grundintegrale 5 VEKTORRECHNUNG I 5.1 Skalare und Vektoren 5.2 Addition von Vektoren 5.2.1 Summe zweier Vektoren: Geometrische Addition 5.3 Subtraktion von Vektoren 5.4 5.5 5.6 5.7 5.3.1 5.3.2 Der Gegenvektor Differenz zweier Vektoren ~ und 5: Geometrische Subtraktion Komponente und Projektion eines Vektors Komponentendarstellung im Koordinatensystem 5.5.1 Ortsvektor 5.5.2 Einheitsvektoren 5.5.'3 Komponentendarstellung eines Vektors 5.5.4 Darstellung der Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise 5.5.5 Differenz von Vektoren in Komponentenschreibweise Multiplikation eines Vektors mit einern Skalar Betrag eines Vektors 134 134 135 136 137 139 140 142 144 144 146 148 149 150 153 156 156 160 160 161 161 162 163 165 165 165 166 168 170 171 172 174 177
- 10-6 VEKTORRECHNUNG 11 SKALARPRODUKT, VEKTORPRODUKT 6.1 Skalarprodukt 6.1.1 Sonderfälle 6.1.2 Kommutativ- und Distributivgesetz 179 180 182 183 6.2 Kosinussatz 183 6.3 Skalares Produkt in Komponentendarstellung 184 6.4 Vektorprodukt 185 6.4.1 Drehmoment 185 6.4.2 Das Drehmoment als Vektor 187 6.4.3 Definition des Vektorprodukts 188 6.4.4 Sonderfälle 189 6.4.5 Vertauschung der Reihenfolge 190 6.4.6 Allgemeine Fassung des Hebelgesetzes 191 6.5 Vektorprodukt in Komponentendarstellung 191 193 195 7 TAYLORREIHE UND POTENZREIHENENTWICKLUNG 197 7.0 Vorbemerkung 197 7.1 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe 199 7.2 Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenz bereich) 204 7.3 Das Näherungspolynom 205 7.3.1 Abschätzung des Fehlers 207 7.4 Entwicklung der Funktion fex) an einer beliebigen Stelle, allgemeine Taylorentwicklung 208 7.5 Nutzen der Reihenentwicklung 209 7.5.1 Polynome als Näherungsfunktionen 209 7.5.2 Tabelle gebräuchlicher Näherungspolynome 211 7.5.3 Integration über Potenzreihenentwicklung 213 215 216 8 KOMPLEXE ZAHLEN 219 8.1 Definition und Eigenschaften der 219 komplexen Zahlen 8.1.1 Die imaginäre Zahl 219 8.1.2 Komplexe Zahlen 220 8.1.3 Anwendungsgebiete 220 8.1.4 Rechenregeln 221 8.2 Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene 222 8.2.1 Die Gaußsche Zahlenebene 222 8.2.2 Komplexe Zahlen in der Schreibweise mit Winkelfunktionen 223
- 11-8.3 Die Exponentialform einer komplexen Zahl 8.3.1 Eulersche Formel 8.3.2 Umkehrformeln zur Eulerschen Formel 8.3.3 Komplexe Zahlen als Exponenten 8.3.4 Multiplikation und Division 8.3.5 Potenzieren und Wurzelziehen 8.3.6 Periodizität von r.eia 8.3.7 Beispiel Definition und Formeln 225 225 226 226 229 229 230 230 231 232 235 9 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9.1 Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichungen 9.2 Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 242 9.2.1 Der Exponentialansatz 245 9.2.2 Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 255 9.3 Variation der Konstanten 256 9.3.1 Variation der Konstanten für den Fall einer Doppelwurzel 256 9.3.2 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl. 258 9.4 Randwertprobleme 9.4.1 Randwertprobleme bei Dgl. 1. Ordnung 9.4.2 Randwertprobleme bei Dg1. 2. Ordnung 9.5 Anwendungen in der Physik 9.5.1 Der radioaktive Zerfall 9.5.2 Der harmonische Oszillator 10 FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER, SKALARE FELDER UND VEKTORFELDER 278 10.0 Einleitung 278 237 237 259 259 260 263 263 264 273 275 10.1 Der Begriff der Funktion mehrerer Veränderlicher 279 10.2 Das skalare Feld 10.3 Das Vektorfeld 10.4 Spezielle Vektorfelder 10.4.1 Das homogene Vektorfeld 10.4.2 Das radialsymmetrische Feld 10.4.3 Ringförmiges Vektorfeld 285 287 291 291 292 294 295 297
- 12-11 PARTIELLE ABLEITUNG, TOTALES DIFFERENTIAL UND GRADIENT 11.1 Die partielle Ableitung 11.1.1 Mehrfache partielle Ableitung 11.2 Das totale Differential 11.3 Der Gradient 11.3.1 Gradient bei Funktionen zweier Veränderlicher 11.3.2 Gradient bei Funktionen dreier Veränderlicher ANHANG I: Grundbegriffe der Mengenlehre ANHANG II: ANHANG III: ANHANG REGISTER IV: Funktionsbegriff Quadratische Gleichungen Funktionstabelle 300 300 303 304 308 308 311 315 316 319 321 322 323 326 INHALT BAND 11 12 MEHRFACHINTEGRALE, KOORDINATENSYSTEME 13 PARAMETERDARSTELLUNG VON KURVEN, DIFFERENTIATION NACH EINEM PARAMETER, LINIENINTEGRALE 14 OBERFLÄCHENINTEGRALE 15 DIVERGENZ UND ROTATION 16 KOORDINATENTRANSFORMATIONEN UND MATRIZEN 17 DETERMINANTEN UND LINEARE GLEICHUNGS SYSTEME 18 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 19 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN 20 FEHLERRECHNUNG 21 DIE WELLENGLEICHUNGEN 22 FOURIERREIHEN