Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

Internet Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

Lösungen im Internet Die zugehörigen Manuskripte mit theoretischem Hintergrund und weiteren Aufgaben finden Sie unter der folgenden Adresse: www.cs-geiger.de/vorkurs_horb.htm Bei Fragen können Sie mich jederzeit unter der folgenden Mail-Adresse erreichen: cs.geiger@t-online.de

Manuskript Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

Inhaltsverzeichnis Lösungen im Internet...3 Termumformungen...7 Bruchrechnung... 13 Potenzen und Wurzeln... 24 Binomische Formeln... 39 Logarithmen... 43 Summenzeichen... 48 Produktzeichen, Fakultät und Binomialkoeffizient... 53 Lineare Gleichungen... 55 Quadratische Gleichungen... 59 Der Vietasche Satz... 62 Quadratische Ergänzung... 63 Bruchgleichungen... 65 Wurzelgleichungen... 71 Substitution... 79 Logarithmische Gleichungen... 84 Exponentialgleichungen... 97 Quadratische Exponentialgleichungen... 110 Betragsgleichungen... 115 Betragsungleichungen... 120 Gleichungen mit Parametern... 124 Textgleichungen... 125 Polynomdivision... 129 Lineare Gleichungssysteme (LGS)... 135 Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit Parametern... 154 Ungleichungen... 158 Matrizen... 165 Determinanten... 175 Folgen und Reihen... 180 Grenzwerte, Stetigkeit und Differentiation... 195 Ableitungen... 201 Verlauf von Funktionen... 231 Integration... 250 Extremwertaufgaben... 278 Trigonometrie... 284 5-348

Wichtige trigonometrische Werte... 298 Trigonometrische Gleichungen... 299 Vektorrechnung... 328 6-348

Termumformungen Aufgabe 1: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen. a) (4x 3)(2x 4) (2x + 6)(3x 2) b) (3y 5)(7y 11) (2y 1)(3y 4) c) (3x + 3)(2x 3) (4x 1)(2x + 5) d) 17xy (4x + 3y)(8x 2y) e) 9rs (2r + 3s)( 4r 2s) f) (9a 3b)(12a 5b) 14ab 5a² a) 2x² 36x + 24 b) 15y² 57y + 51 c) = 2x² 21x 4 d) xy 32x² + 6y² e) 25rs + 8r² + 6s² f) 103a² 95ab + 15b² Aufgabe 2: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen. a) 6y² + 4x² 22 + (2x + 3y)(3x 4y) b) 28a 4 + (5a 4a²)(a + 4a²) 4a² 3a³ c) 35 (11 5x)(3 2x²) + 2x² + 3x³ 4x d) (a 2b)(2a 3b) (a 4b)(3a 3b) e) (x + 7)(x 3) 3x² (x + 1)(x 9) f) (9a + 5)(2a 7) 3a² (a 1)(a + 3) a) 6y² + 10x² 22 + xy b) 12a4 + a² + 13a³ c) 7x³ + 24x² + 11x + 2 d) a² + 8ab 6b² e) 3x² + 12x 12 f) 14a² 55a 32 Aufgabe 3: 7-348

Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen. 1 4 3 7 a) a b 2a b b² 3 5 10 15 a b 3 1 3a 6b a² b² 2 2 4 2 b) 2 1 5 3 1 2 5 1 5 3 c) x y x y x y x y x² y² 5 9 8 4 2 3 6 9 8 4 5 1 3 7 5 3 1 4 9 d) s r s r s² s r s r 8 12 4 8 8 5 2 25 10 a) 3 9 7 a² ab b² 4 2 2 b) 1 29 49 x² xy y² 24 120 54 c) 4759 39 251 s² rs r² 4000 1600 480 d) 4759 39 251 s² rs r² 4000 1600 480 8-348

Aufgabe 4: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen Aufgabe 5: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen Aufgabe 6: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Definitionsmenge für a und vereinfachen Sie soweit wie möglich. 9-348

Aufgabe 8: Bestimmen Sie die Definitionsmenge für x und vereinfachen Sie soweit wie möglich. 10-348

Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Definitionsmenge für k und vereinfachen Sie soweit wie möglich. Aufgabe 10: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und vereinfachen Sie soweit wie möglich. Aufgabe 11: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen a) b) 11-348

c) d) e) a) b) c) d) e) 12-348

Bruchrechnung Aufgabe 12: Addieren Sie diese Zahlen: a) 1 5 12 + 3 4 15 + 3 17 20 b) 2 15 + 1 1 75 + 3 3 35 c) 107 130 + 1 12 65 + 1 20 a) b) 13-348

c) Aufgabe 13: Kürzen Sie folgende Brüche soweit wie möglich. a) 12 6 b) 56 24 a) 12 6 = 2 1 = 1 b) 14-348

56 24 = 7 3 Aufgabe 14: Erweitern Sie die folgenden Brüche auf den angegebenen Nenner. a) 7 5 = 25 b) 4 9 = 72 c) 2 7 = 56 a) 7 5 = 7 5 25 = 35 25 b) 4 9 = 72 = 4 8 72 = 32 72 c) 2 7 = 56 = 2 2 56 = 4 56 15-348

Aufgabe 15: Berechnen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) 5 6 15 18 b) 2 7 1 5 c) 1 5 + 8 6 a) 5 6 15 18 = 5 3 15 = 0 18 b) 2 7 1 5 = 2 5 1 7 = 3 35 35 c) 1 5 + 8 6 = 1 6 + 8 5 = 46 30 30 = 23 15 Aufgabe 16: Berechnen Sie folgende Multiplikationen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) 12 3 10 3 b) 4 7 14 2 c) 10 2 5 a) 12 3 10 3 = 4 3 10 1 = 40 3 16-348

b) 4 7 14 2 = 2 1 2 1 = 4 c) 10 2 5 = 5 1 5 = 25 Aufgabe 17: Wandeln Sie folgende gemischte Zahlen in Brüche um. a) 2 3 5 b) 5 1 2 c) 6 6 7 a) 2 3 5 = 13 5 b) 5 1 2 = 11 2 c) 6 6 7 = 48 7 17-348

Aufgabe 18: Berechnen Sie folgende Divisionen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) 12 5 : 15 7 b) 9 10 : 3 7 c) 1: 11 4 a) 12 5 : 15 7 = 12 5 7 15 = 4 5 7 5 = 28 25 b) 9 10 : 3 7 = 9 10 7 3 = 3 10 7 1 = 21 10 c) 1: 11 4 = 1 4 11 = 4 11 Aufgabe 19: Wandeln Sie folgende Brüche in gemischte Zahlen um. a) 12 5 b) 9 7 c) 8 3 a) 12 5 = 2 2 5 18-348

b) 9 7 = 1 2 7 c) 8 3 = 2 2 3 Aufgabe 20: Schreiben Sie folgende Zehnerbrüche als Dezimalzahlen auf. a) 7 10 b) 3 100 c) 25 1000 a) 7 10 = 0,7 b) 3 100 = 0,03 c) 25 1000 = 0,0025 19-348

Aufgabe 21: Schreiben Sie folgende Dezimalzahlen als Zehnerbrüche. a) 0,3 b) 0,04 c) 0,007 a) 0,3 = 3 10 b) 0,04 = 4 100 c) 0,007 = 7 1000 Aufgabe 22: Berechnen Sie folgende Ausdrücke. a) 7 9 20 2 3 4 b) 5 1 4 3 1 2 ( 2) c) 3 8 17 3 8 7 a) 7 9 20 2 3 4 = 7 20 9 11 20 4 b) = 7 20 9 11 5 20 = 140 9 55 20 5 1 4 3 1 2 ( 2) = 21 4 7 2 ( 2) = 21 4 + 7 = 21 + 7 4 = 7 4 4 20-348 = 76 20

c) 3 8 17 3 8 7 = 51 8 21 8 = 30 8 = 15 4 Aufgabe 23: Berechnen Sie folgende Ausdrücke. a) 16 3 4 + 32 4 7 b) 10 1 5 5 3 4 c) 6 7 5 2 5 3 : 2 1 2 a) 16 3 4 + 32 4 7 = 67 4 + 228 7 b) 10 1 5 5 3 4 = 51 5 23 4 c) = 67 7 + 228 4 28 = 51 4 23 5 20 6 7 5 2 5 3 : 2 1 2 = 37 5 11 3 : 5 2 = 37 5 11 3 2 5 = 814 75 = = 469 + 912 28 204 115 20 = 89 20 = 1381 28 21-348

Aufgabe 24: Kürzen Sie die Brüche soweit wie möglich. a) 97 194 b) 98 245 c) 330 1320 a) 97 194 = 1 2 b) 98 245 = 2 5 c) 330 1320 = 33 132 = 11 44 = 1 4 Aufgabe 25: Berechnen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) 19 21 : (5 3 7 + 1 5 14 ) + 1 5 4 1 3 b) 3 4 : 9 3 1 2 c) 1 1 3 : 1 11 15 (6 2 3 5 4 15 ) a) 19 21 : (5 3 7 + 1 5 14 ) + 1 5 4 1 3 = 19 21 : (38 7 + 19 14 ) + 1 5 13 3 = 19 21 22-348 + 19 : (76 ) + 13 14 15

= 19 21 : (95 14 ) + 13 15 = 19 21 14 95 + 13 15 = 1 3 2 5 + 13 15 = 2 15 + 13 15 = 15 15 = 1 b) 3 4 : 9 3 1 2 = 3 4 1 9 7 2 = 21 72 = 7 24 c) 1 1 3 : 1 11 15 (6 2 3 5 4 15 ) = 4 3 : 26 15 (20 3 79 4 ) = 4 3 15 26 = 2 1 5 157 ( 13 12 ) = 10 13 237 (80 ) 12 157 10 157 ( ) = 12 13 12 = 5 157 13 6 = 785 78 23-348

Potenzen und Wurzeln Aufgabe 26: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. 3 2 7 3 = 4 2 Aufgabe 27: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. ( 5) 6 = 125 Aufgabe 28: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. 3 4 ( 64) 2 = 2 Aufgabe 29: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. a 24 = a 23 3 4 a 24-348

a 3 4 a Aufgabe 30: a a 1 1 1 4 3 2 a 1 a 1 24 a 23 24 a 24 23 Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. (abc) 3 3 3 = a2 b a 7 b 8 c 16 c 5 25-348

Aufgabe 31: Geben Sie als eine Potenz an und vereinfachen Sie. a) b) c) d) e) f) g) h) i) a) 7 2, 5 3, b) 10 7, c) ( u v), d) k 3 3, e) 1 2n 1 w, f) a km, g) u v, h) a 1 b 2n2 c n2, i) (a b) 5 yq k 1 26-348

Aufgabe 32: Schreiben Sie als eine Potenz und vereinfachen Sie den Ausdruck. a) 2 3 3 3 b) ( 8) 3 ( 2) 3 c) 3 x 4 y 4 z 4 d) (a 2 ) n b n c n e) f) g) h) i) a) 3 6, b) 40 i) 3 27a Aufgabe 33: 3 4, c) 4 3 (xyz), d) 2 n ( a bc), e) Fassen Sie folgende Ausdrücke zusammen. 2k u, f) k ( 2,5a), g) v a b 2 2 n, h) n x y, a) b) c) d) 27-348

e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) a) 32x 9 y 5, b) m 4 4n a b, c) ( 2k4 k2 1)x y, d) 1 d, e) 1 2n m, f) u v c 3 k ( u v), g) 4 2 m ( p q ), 28-348

h) 7 9r 2 2, i) x y 22k 2, j) 2n 2 4 a b c(a 2c), p) 5 x 3 y 5,q) 6a u v u, k) n2 b 2 n2 n 4a b, r) 5 2n1 32 a, l) a b, m) 7 4 6p q 9p 3 q 3 (x (x p n y) x, n) n 1 y) y, o) 29-348

Aufgabe 34: 30-348

31-348

Aufgabe 35: Vereinfachen Sie mit Hilfe der Potenzgesetze. a) n 12 x, b) Aufgabe 36: 4 4 x, c) a 3 1, d) 1, e) Berechnen Sie ohne Taschenrechner: x 2 y, f) 6 9 12 a b c, g) 10 36 a, h) 8000 a 9 b 12, i) 1, j) 1 32-348

Aufgabe 37: Berechnen Sie ohne Taschenrechner: 33-348

34-348

Aufgabe 38: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a) (x 8 + x 6 x 5 ) : x² b) (15a³ + 12a 6 3a 4 ) : 3a² c) (21b 8 28b 4 + 14b 5 ) : 7b³ d) (3x n+3 9x 2n-4 + 12x n+5 ) : 3x² e) (35y m+2 20y 2m+4 + 15y m+8 ) : 5y m f) (4z a+3 + 16z 2a+5 12z a+4 ) : 2z a a) (x 8 + x 6 x 5 ) : x²= x 6 + x 4 x 3 b) (15a³ + 12a 6 3a 4 ) : 3a²= 5a + 4a 4 a² c) (21b 8 28b 4 + 14b 5 ) : 7b³= 3b 5 4b + 2b² d) (3x n+3 9x 2n-4 + 12x n+5 ) : 3x²= x n+1 3x 2n-6 + 4x n+3 e) (35y m+2 20y 2m+4 + 15y m+8 ) : 5y m = 7y² - 4y m+4 + 3y 8 f) (4z a+3 + 16z 2a+5 12z a+4 ) : 2z a = 2z 3 + 8z a+5 6z 4 Aufgabe 39: a) b) c) d) 4a b 2x y 3 2 4 3 10p q m n 5a b (6a (3a 6 5 (4x (2x 7 3 8 b ) 2 b ) 5 6 4 4 6 y )³ 3 y²) 2 10 a) 4 ab 8 6 xy 6 4 a b) 2 b p q 10m 10n 10 70 30 c) = 16a 4 b 24 8 d) y 3 x 12 35-348

Aufgabe 40: Vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) b) c) x x x x 6 5 4 3 22x y 121x y 77x y 3 4 11x y x y y x 5 6 4 5 6 7 2n1 3n1 3n 2n 1 d) e) a b a b 5n1 15n 5n 6 5 n 4 (s s ) s f) (x²y³ + xy 4 ) 2 a) b) c) x x x x x² 6 5 4 3 22x y 121x y 77x y 3 4 11x y 5 6 4 5 6 7 2x²y² 11xy 7x³y³ x y y x 2n1 3n1 3n 2n 1 x² y 5n1 15n a b a b d) 5n 66n a b 6 5 n4 (s s ) s e) n2 n1 s s f) 4 (x²y³ xy )² 5n 4 6 7 8 x y 2x³y x²y 36-348

Aufgabe 41: Vereinfachen Sie soweit wie möglich: 4 3 6 6x 9y 0,5z 3x 3 2 4 a) 1,5y 18z 3x 2 2 3 5 (3x 6x ) x y 4 2 b) x y 3 5 2 (a x ) 2 3 4 c) (a x ) d) e) f) x 2x x n x n2 n1 n 5 1 x 1 x a a x 7 2 a a n1 n2 n n1 a) b) 4 3 6 6x 9y 0,5z 3x 1,5y 18z 3x xz 4 3 2 4 (3x 6x ) x y 4 2 x y 9xy³ 2 2 3 5 c) d) e) f) (a x ) (a x ) 3 5 2 2 3 4 x² a² x 2x x n x x² 2x 1 n2 n1 n 5 1 x 1 7 x 1 7 x x a a a a a 2 n1 n2 n n1 37-348

Aufgabe 42: Vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) b) c) 5 5 8 7 1,2xy z (0,5x²yz 0,8xy²z 1,2xyz ) 4 5 3 4 5 3 2 (x y x y x y ):(xy) 4 5 x x 5 : 3 8 2x b³ d) 2 2 5r 7s 21c 6d 7c 2d 5r 7s 4 2 5 e) 7 2x 5x 5x 4x f) : 9 8 4y 8y 4 6 2 3 5 5 8 7 1,2xy z (0,5x²yz 0,8xy²z 1,2xyz ) 6 6 7 9 6 8 a) 0,6x³y z 0,96x²y z 1,44x² yz 4 5 3 4 5 3 2 (x y x y x y ) : ( xy) b) x²y³ x y² x³y c) 4 5 x x 5 : 3 8 2x b³ b³x 20 12 2 2 5r 7s 21c 6d d) 7c 2d 5r 7s 9 4 2 5 e) 7 400 49 4 6 2 3 2x 5x 5x 4x : 9 8 4y 8y f) 5 x y 38-348

Binomische Formeln Aufgabe 43: Berechnen Sie folgende Binomische Formeln a: (y+5) 2 b: (x-12) 2 c: (a+3)(a-3) a: (y+5) 2 = y 2 + 10y + 25 b: (x-12) 2 = x 2-24x + 144 c: (a+3)(a-3) = a 2-9 Aufgabe 44: Erstellen Sie aus den folgenden Ausdrücken eine Binomische Formel: a: a 2-6ab + 9b 2 b: 4x 2 + 4xy + y 2 c: 4a 2-12ab + 9b 2 a: a 2-6ab + 9b 2 = ( a - 3b ) 2 b: 4x 2 + 4xy + y 2 = ( 2x + y ) 2 c: 4a 2-12ab + 9b 2 = ( 2a - 3b) 2 Aufgabe 45: Besetzen Sie die Platzhalter * a: (3x + * ) 2 = * + * + 49 b: (* - 4 ) 2 = * - 48y + * c: (* + * ) 2 = 4x 2 + 32x + * d: (* + * ) 2 = * + 180x + 100 e: (* - * ) 2 = 36x 4-24x 2 + * f: (* - * ) 2 = * - 130a + 169 g: (3a + * )(* - 5 ) = * - * h: (* - *)(* - * ) = 49a 4-9b 2 i: (* + * )(* - 3c ) = - * + 4d 2 j: (* + 6 )(* - * ) = * - 100p 6 k: (* - * ) 2 = 16a 2 b 2-40a 3 b 4 c + * 39-348

l: ( * + * ) 2 = 0,25x 4 + 0,2x 2 y 2 + * a: (3x + 7) 2 = 9x 2 + 42x + 49 b: (6y - 4 ) 2 = 36y 2-48y + 16 c: (2x + 8 ) 2 = 4x 2 + 32x + 64 d: (9x + 10 ) 2 = 81x 2 + 180x + 100 e: (6x 2-2x ) 2 = 36x 4-24x 2 + 4x 2 f: (5a - 13 ) 2 = 25a 2-130a + 169 g: (3a + 5 )(3a - 5 ) = 9a 2 25 h: (7a - 3b)(7a - 3b ) = 49a 4-9b 2 i: (2d + 3c )(2d - 3c ) = - 9c 2 + 4d 2 j: (10p 3 + 6 )(6-10p 3 ) = 36-100p 6 k: (4ab - 5a 2 b 3 c ) 2 =16a 2 b 2-40a 3 b 4 c + 25a 4 b 6 c 2 l: (0,5x 2 + 0,2y 2 ) 2 =0,25x 4 +0,2x 2 y 2 + 0,04y 4 40-348

Aufgabe 46: Berechnen Sie folgende Terme: a: ( u - 3v ) 2 + ( v + 2u ) 2 b: ( a - ½ b ) 2 + ( ¼ b + 3a ) 2 c: ( x + 3 ) ( x - 3 ) - (2x+7) 2 + ( - x - 1 ) 2 d: (5p + 3r ) 2 - ( ep-25)( 4p + 2r ) a: ( u - 3v ) 2 + ( v + 2u ) 2 = u 2-6uv + 9v 2 + v 2 + 4uv + 4u 2 = 5u 2-2uv + 10v 2 b: (a-½ b) 2 + (¼b+3a ) 2 = a 2 - ab + ¼ b 2 + 1/16 b 2 + 3/2 ab + 9a 2 = 10a 2 + ½ ab + 5/16 b 2 c: (x+3) (x-3)-(2x+7) 2 + (-x-1) 2 =x 2-9-4x 2-28x-49+x 2 +2x+1 = -2x 2-26x -57 d: (5p + 3r ) 2 - ( 4p-2r)( 4p + 2r ) = 25p 2 + 30pr + 9r 2-16p 2 + 4r 2 = 9p 2 + 30pr + 13r 2 Aufgabe 47: Formen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln um, und vereinfachen bzw. fassen zusammen: a) 2a 6 18 b) c) 2 3x 10xy 2 16p 24pr 8y 9r 2 2 41-348

9 0,04a 2 d) 25 e) f) 2 40r 64rs 9 25 a 2 1 64 2 g) 116a 5b h) Aufgabe 48: b 2 56ab 221b 2 2 Vereinfachen Sie so weit wie möglich: s (3x + 2) 2 + (1 x) 2 (2x + 1)(5x 2) 2 9x+7 42-348

Logarithmen Aufgabe 49: Formen Sie folgende Gleichung in Logarithmusschreibweise um. 5 x = 125 5 x = 125 log 5 125 = x Aufgabe 50: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner. log 11 33 log 11 33 = Aufgabe 51: ln (33) ln (11) = 1,4582 Fassen Sie folgenden Ausdruck zusammen. log 8 (a) + log 8 (a 2 ) log 8 (a) + log 8 (a 2 ) = log 8 (a a 2 ) = log 8 (a 3 ) Aufgabe 52: Schreiben Sie folgenden Term als einzelne Terme. log 4 (2kx) log 4 (2kx) = log 4 (2k) + log 4 (x) Aufgabe 53: Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmengesetzen um. log 11 (8) log 11 (8) = log 11 (2 3 ) = 3 log 11 (2) Aufgabe 54: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 43-348

log 2 (a) log 2 (b) log 2 (a) log 2 (b) = log 2 ( a b ) Aufgabe 55: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 1 2 log 10(4) + 3 log 10 (6) 2 log 10 (3 2 2 ) 1 2 log 10(4) + 3 log 10 (6) 2 log 10 (3 2 2 ) = 1 2 log 10(2 2 ) + 3 log 10 (2 3) 2 log 10 (3) + 2 log 10 (2 2 ) = 2 2 log 10(2) + 3 log 10 (2) +3 log 10 (3) 2 log 10 (3) + 4 log 10 (2) = log 10 (3) Aufgabe 56: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 2 log 5 (x) + 1 2 log 5(x 4 ) log 5 (x 2 ) 2 log 5 (x) + 1 2 log 5(x 4 ) log 5 (x 2 ) = 2 log 5 (x) + 4 2 log 5(x) 2 log 5 (x) = 2 log 5 (x) Aufgabe 57: Wandeln Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe von Logarithmengesetze in einzelne Logarithmen um. 1 log a ( x2 2y z ) 3 44-348

1 log a ( x2 2y 3 z ) = log a ( x2 3 2 1 3 y 1 3 ) = log z 1 a (x 2 3 2 1 3 y 1 3) log a (z 1 6) 6 = log a (x 2 3) + log a (2 1 3) + log a (y 1 3) log a (z 1 6) = 2 3 log a(x) + 1 3 log a(2) + 1 3 log a(y) 1 6 log a(z) Aufgabe 58: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 log x (a) 3 2 log x(b 2 ) 2 3 log x ( a 3 ) 4 log x (a) 3 2 log x(b 2 ) 2 3 log x ( a 3 ) = 4 log x (a) 6 2 log x(b) 2 3 log x (a 3 2) = 4 log x (a) 6 2 log x(b) 2 3 3 2 log x(a) = 4 log x (a) 3 log x (b) log x (a) = 3 log x (a) 3 log x (b) = 3 (log x (a) log x (b)) = 3 (log x ( a b )) = log x ( a b ) 3 Aufgabe 59: Wandeln Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe von Logarithmengesetze in einzelne Logarithmen um. lg ( x2 y 3 z abc 2 ) lg ( x2 y 3 z abc 2 ) 45-348

lg ( ( x2 y 3 2z abc 2 ) 1 2 3 = lg ( xy 2z 1 2 ) = lg (x y 3 a 1 2b 1 2 z 1 2) lg (a 1 2 b 1 2 c) 2c ) = lg(x) + lg (y 3 2) + lg (z 1 2) lg (a 1 2) lg (b 1 2) lg(c) = lg(x) 3 2 lg(y) + 1 2 lg (z1 2) 1 2 lg(a) 1 lg(b) lg(c) 2 Aufgabe 60: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 1 3 log 8(x 2 y 2 z) + 1 3 log 8(x 1 yz) 1 3 log 8(x 2 y 2 z) + 1 3 log 8(x 1 yz) = 1 3 (log 8(x 2 y 2 z) log 8 (x 1 yz)) = 1 3 (log 8 ( x2 y 2 1 z x 1 yz )) = 1 3 log 8(x 3 y 3 ) = 1 3 log 8 ( x3 y 3) = log 8 ( x3 3 y 3) = log 8 ( x y ) Aufgabe 61: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log t a + log t (ab) 1 + 1 2 log t b log t a + log t (ab) 1 + 1 2 log t b = log t a 1 2 + log t ((ab) 1 2) + 1 2 log t b = 1 2 log t a + log t a 1 2 + log t b 1 2 + 1 2 log t b = 1 2 log t a 1 2 log t a 1 2 log t b + 1 2 log t b = 0 Aufgabe 62: Lösen Sie folgenden Ausdruck in einzelne Logarithmen auf. 46-348

3 lg ( a2 b 2 c 4ef 2 ) 3 lg ( a2 b 2 c 4ef 2 ) = lg (( a2 b 2 1 c 4ef 2 ) 3) = lg ( a2 3b 2 3c 1 3 ) 4 1 3e 1 3f 2 3 = 2 3 lg(a) + 2 3 lg(b) + 1 3 lg(c) 1 3 lg(4) 1 3 lg(e) 2 lg (f) 3 47-348

Summenzeichen Aufgabe 63: Gegeben seien folgende Größen: Berechnen Sie: 43, 47, 20, 6, 8 Aufgabe 64: Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens: (a) 1 + 1 + 4 + 27 + 256, (b) (c) 1 4 9 16, 4 9 16 25 5 10 17 26 2, 2 3 4 5 1 1 1 (d) 1 2 4 8, 8 4 2 (e) 4n + 8n 16n + 32n 64n, (f) 1 + 4 + 7 + 10 +... + 100, 1 1 1 1 1 (g), 6 8 10 12 90 1 1 1 1 (h) 5 6 7 8 9 10 45 46 (i) -3 +0-3 +6-9 +12-15 + 18 21 i a) 1 i, b) 33 4 i1 f) 1 3 i0 4 i1 45 Aufgabe 65: 48-348 i 2 i 1 i, g) ( 1) 2 i3 2 i 5 1 i, c) i 1 i, h) i1 2 3, d) 2 i, e) i3 1 23 i ( 1) i3 (2i 1) 2 n 6 i2 ( 1) i 1 7 i1 2 i, i) ( 1) 3i i i

Es sind folgende Werte gegeben: a1 = 10, a2 = 11, a3 = 12 b1 = 24, b2 = 22, b3 = 20 Bilden Sie folgende Summen: 3 i1 3 a i, i1 3 2 b i, i1 a i b i = 10 + 11 + 12 = 33 = 24² + 22² + 20² = 1460 Aufgabe 66: = 10 24 + 11 22 + 12 20 = 722 Stellen Sie folgenden Ausdruck in der Summenweise dar: Aufgabe 67: Berechnen Sie folgende Summe: 7 k3 k 49-348

50-348 25 7 6 5 4 3 k 7 3 k Aufgabe 68: Berechnen Sie folgende Summe: 8 5 k 5 k 8 5 k 5 5 5 5 5 60476 8 7 6 5 k Aufgabe 69: Berechnen Sie folgende Summe: 5 4 k 2 1) 3k k ( 70 1) 5 3 (5 1) 4 3 (4 1) 3k (k 2 2 5 4 k 2 Aufgabe 70: Berechnen Sie die Doppelsummen: 4 1 i 3 1 j 3ij i 6 360. 36)] (24 24) (24 12) (24 27) (18 18) (18 9) (18 18) (12 12) (12 6) (12 9) (6 6) (6 3) [(6 3ij 6i 4 1 i 3 1 j

Aufgabe 71: Gegeben seien die folgenden Tabellen von Zahlen: j aij 1 2 3 1 6 9 7 i 2 2 5 0 3 4 8 3 4 0 3 7 k bjk 1 2 1 4 6 j 2 1 0 3 8 3 Sowie die Variablen x1, x2, x3 und y1, y2, y3, y4. Berechnen Sie die Summen: (a) (b) 3 j1 3 j1 a, b 1 j j2 a, x 3 j j 2 (c) 1 k1 3 j1 jk b jk 3 a) a 6 6 9 0 7 3 57. j1 3 b 1 j j2 b) a3 j x j 4x1 8x2 3x3 j1 2 c) ( 1) k1 3 j1 jk Aufgabe 72: Berechnen Sie die Doppelsummen: b jk (4 1 8) ( 6 0 3) 2. 51-348

52-348 4 1 3 1 3 6 i j ij i 360. 36)] (24 24) (24 12) (24 27) (18 18) (18 9) (18 18) (12 12) (12 6) (12 9) (6 6) (6 3) [(6 3ij 6i 4 1 i 3 1 j

Produktzeichen, Fakultät und Binomialkoeffizient Aufgabe 73: Schreiben Sie mit Hilfe des Produktzeichens a) 1 1 1 1 1 * * * *, 8 27 64 125 b) 7 * 9 * 11 *... * 49, c) 1 * (-2) * 4 * (-8) *... * (-128), d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 10 15 21 5 a) i1 24 7 1, b) ( 2i 1),c ) ( 1) i 2 i, d) 3 i Aufgabe 74: i3 i0 Berechnen Sie die folgenden Fakultäten: a) b) c) n 1!, 2n 1 n² 1! n 4 1 1! 1 n n 2! 6 1 i 1 1 i 1 ii i2 i2 1 2 6 2 a) b) c) n 1! n 1n n 1! n 1n 1 2n 2n n² 1! n² 1n² n² 1 n² 2 n 1 n² 1 n² 1 1 1 n 2! n 1! n 1! n 2! n 1! n 2! 2!! n² n² 2! 4 n 2! n 21 n 1 1 n 1! n 2! n 2! n 2 n! Aufgabe 75: Schreiben Sie mit Hilfe des Fakultätszeichens als Summenschreibweise: a) 2 + 6 + 24 + 120, b) 2 8 + 40 240, 53-348

c) 1 2 2 4 6 8 24 16 a) 2 + 6 + 24 + 120 = 2! + 3! + 4! + 5! = i 6 6 24 120 720 3! 4! 5! 6! b) 2 8 + 40 240 = ( 1) 3 3 3 3 3 3 3 3 4 1 2 6 24 1! 2! 3! 4! i! c) 1 2 3 4 i 2 4 8 16 2 2 2 2 2 Aufgabe 76: Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten: 6 9 a) b) 2 0 8 6 c) d) 8 5 i1 5 2 i! i3 i1 i! 3 a) b) c) d) 6 2 9 0 8 8 6 5 6! 2!4! 9! 0!*9! 8! 8!*0! 6! 5!*1! 6 *5* 4! 15; 2 * 4! 1; 1; 6 *5! 6; 5! 54-348

Lineare Gleichungen Aufgabe 77: Lösen Sie folgende Gleichung. (x + 5)(x 5) = (x 10) 2 X=6,25 Aufgabe 78: Lösen Sie folgende Gleichung. ( 1 4 k + 2 4 l) (1 4 k 2 4 l) = 1 16 (k2 4l 2 ) + k 4 k=4 Aufgabe 79: Lösen Sie folgende Gleichungen: Aufgabe 80: Lösen Sie die Gleichung (p + a V2) (V b) = n R T nach der Variablen a auf. Nennen Sie auch Bedingungen, unter denen dies nur möglich sein kann. 55-348

Aufgabe 81: Lösen Sie folgende Gleichungen. a) 7 ( x + 3) 5x = 2x +7 b) 3(x 9) 5(1-x) = 6(x - 4) c) x [15 4(2x 1)] = 3[3(x + 1) 5] d) 5(x 3) + 7 ( 2 x) = 4( 1 x) + 3x e) 4(3x + 4) (x + 1)=7(x + 1) + 4( x + 2) 1 2 3 8 1 f) ( x 2) ( x 1) ( x ) x 2 3 4 9 3 g) 3(0,1x + 3) + 8 = x 7(0,1x + 1) 1 7 1 1 1 h) 5( x ) x 4( x ) 6 15 3 8 2 i) 1,3(3x + 1) 0,3 = 8(0,3x + 2) 7 3 3 3 3 1 j) ( x ) x (3x 5) 8 4 7 14 4 7 a) unerfüllbar b) 4 c) unerfüllbar d) -5 e) allgemeingültig f) 12 g) unerfüllbar h) -0,5 i) 10 j) allgemeingültig Aufgabe 82: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 3(5x 2) 2(7x 4) = x + 2 56-348

3(5x 2) 2(7x 4) = x + 2 15x 6 14x + 8 = x + 2 x + 2 = x + 2 0 = 0 L = R Es gibt unendlich viele Lösungen. Aufgabe 83: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 2(4 3x) = 4(x 2) 2(4 3x) = 4(x 2) 8 + 6x = 8x 8 8x 8 2x = 8 + 8 2x = 0 : 2 x = 0 L = {0} Aufgabe 84: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichungen und geben die Lösungsmenge an. a) c) e) x 9 3x 4 2x 3 b) 3 4 3 3x 1 x 2 4x 5 2 d) 4 3 5 7x 5 5x 3 3x 5 f) 2 2 5 3x 5 5x 15 2x 3 4 20 5 7x 3 9x 9 2x 6 12 x 1 x 2 x 5 2 2 3 4 x 9 3x 4 2x 3 3x 5 5x 15 2x 3 a) b) 3 4 3 4 20 5 HN: 12 HN: 20 4x 36 + 9x 12 = 8x + 12 15x + 25 5x 15 = 8x + 12 L = { 12 } L = { 1 } 57-348

3x 1 x 2 4x 5 7x 3 9x 9 c) 2 d) 2x 4 3 5 6 12 HN: 60 HN: 12 45x + 15 + 20x 40 48x + 60 = 120 14x 6 = 24x 9x 9 L = { 5 } L = { 3 } 7x 5 5x 3 3x 5 x 1 x 2 x 5 e) f) 2 2 2 5 2 3 4 HN: 10 HN: 12 35x 25 = 25x 15 + 6x + 10 6x + 6 3x + 6 = 24 + 3x 15 L = { 5 } L = { 5 } 58-348

Quadratische Gleichungen Aufgabe 85: Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x 2 = 9 b) x 2-5x + 6 = 0 c) x 2-3x = -2 d) 2x 2-4x - 7 = 0 e) x 2 + 1 = 0 a.) Lösungen: x = -3 und x = 3. b.) Lösungen: x = 2 und x = 3. c.) Lösungen: x = 1 und x = 2. d.) Lösungen: x = 1 - (3/2) 21/2 und x = 1 + (3/2) 21/2, wobei 21/2 für die Quadratwurzel aus 2 steht. e.) Es existiert keine (reelle) Lösung. Aufgabe 86: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. 2x 2 + 16 = 12x 2x 2 + 16 = 12x 12x 2x 2 12x + 16 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1 = 12 + 4 = 4 4 x 2 = 12 4 = 2 4 L = {2; 4} Aufgabe 87: = 12 ± ( 12)2 4 2 16 2 2 Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 30 x 16 x + 1 = 13 x 2 = 12 ± 4 4 59-348

30 x 16 x + 1 = 13 x 2 D = R\{ 1; 0; 2} Hauptnenner: x(x 2)(x + 1) 30 (x 2)(x + 1) x(x 2)(x + 1) 16 x (x 2) 13 x (x + 1) = x(x 2)(x + 1) x(x 2)(x + 1) 30 (x 2)(x + 1) 16 x (x 2) = 13 x (x + 1) 30(x 2 + x 2x 2) 16x 2 + 32x = 13x 2 + 13x 30(x 2 x 2) 16x 2 + 32x = 13x 2 + 13x 30x 2 30x 60 16x 2 + 32x = 13x 2 + 13x 14x 2 + 2x 60 = 13x 2 + 13x 13x 2 x 2 + 2x 60 = 13x 13x x 2 11x 60 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a 11 + 19 x 1 = = 15 2 11 19 x 2 = = 4 2 L = { 4; 15} Aufgabe 88: = 11 ± ( 11)2 4 1 ( 60) 2 1 Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4 x x 4 = 8 x 3x 4 = HN 11 ± 19 2 4 x x 4 = 8 x 3x 4 D = R\{0} Hauptnenner: 4x 4 4 4x x x 4x = 8 4 4x 3x x 4x 16 x 2 = 32 3x 2 + 3x 2 16 + 2x 2 = 32 16 2x 2 = 16 : 2 HN 60-348

x 2 = 8 x 1 = 2 2 x 2 = 2 2 L = {2 2; 2 2} 61-348

Der Vietasche Satz Aufgabe 89: Zerlegen Sie folgende quadratischen Gleichungen in Linearfaktoren. a) x 2 6x 8 b) x 2 2x 15 c) x 2 3x 4 d) x 2 6x 7 e) x 2 5x 7 f) x 2 1,5x 7 Aufgabe 90: a) ( x 2)(x 4) b) ( x 3)(x 5) c) Nicht möglich ( x 3 2)(x 3 2) d) x 2 6x 7 e) Nicht möglich 7 f) ( x 2)(x ) 2 Gegeben sind die quadratische Gleichung x 2 + 4x + u = 0 sowie eine Lösung x1 = 7. Gesucht sind x2 und u. Nach Vieta gilt x1+x2 = -4, somit 7+ x2 = -4, also x2 = -11. Weiter gilt x1 x2 = u, also u = 7 (-11)=-77. 62-348

Quadratische Ergänzung Aufgabe 91: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung mittels quadratischer Ergänzung. x² + 6x + 8 = 0 x² + 6x + 8 = 0-8 x² + 6x = - 8 x² + 6x + = - 8 + x² + 6x + 3² = - 8 + 3² (x + 3)² = 1 x + 3 = 1 v x + 3 = - 1 x + 3 = 1 v x + 3 = - 1 x1 = - 2 x2 = - 4 L = { -2; -4 } Aufgabe 92: Der Scheitelpunkt ist gegeben, bestimmen Sie die Funktionsvorschrift! a) S ( 4 / 1 ) b) S (5 / 12 ) c) S ( 1 / ) 4 1 1 8 2 d) S ( a / a ) Aufgabe 93: Bestimmen Sie den Scheitelpunkt! 2 a) f( x) x 6x 7 b) f( x) x 2 2 x c) f( x) x 2 x 1,75 2 d) f( x) x px q Aufgabe 94: 63-348

Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe der quadratischen Ergänzung! a) x x 0 9 2 4 b) x x 3 0 4 2 1 2 c) x ax d 0 64-348

Bruchgleichungen Aufgabe 95: Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung: Aufgabe 96: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 97: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 98: 65-348

Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 99: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 100: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 101: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 66-348

Aufgabe 102: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: a.) b.) c.) 7 3a = 5 6a - 1 4 5 6b - 7 15b = 1 9 11 4c + 11 12c = 11 9 a.) L = { - 6 } b.) L = { 3,3 } c.) L = { 3 } Aufgabe 103: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: a.) b.) c.) d.) 4 a+5 = 1 3 3 b-2 = 12 b+7 2c+4 3c-5 = 5 2 2d d+1 + 3 2d = 2-1 d a.) L = { 7 } b.) L = { 3 } c.) L = { 5 } d.) D = Q\ { -1 ;0 } L = { - 5 } 67-348

Aufgabe 104: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: a.) b.) c.) 4 a+1 = 7 4a+4 + 3 2a-2 20b+2 6b+6-1 = 6b-4 2b+2 11c-2 2c+2-3c-1 c+3 = 5c+15 2c+6 a.) D = Q\ { -1 ; 1} L = { 5 } 4 a+1 4 a+1 44(a+1) (a-1) a+1 = = 7 4a+4 + 3 2a-2 7 4(a+1) + 3 2(a-1) = 74(a+1(a-1)) 4(a+1) 34(a+1) (a-1) + 2(a-1) 16a 16 = 7a 7 + 6a + 6 T 16a 16 = 13a 1-13a + 16 3a = 15 :3 a = 5 b.) D = Q\ { -1 } L = { 2 } 20b+2 6b+6-1 = 6b-4 2b+2 20b+2 6(b+1) - 1 = 6b-4 2(b+1) (20b+2)6(b+1) 6(b+1) - 1 6(b+1) = (6b-4)6(b+1) 2(b+1) 20b + 2-6b 6 = 18b - 12 T T T T 4(a+1)(a-1) T 6(b+1) 14b 4 = 18b - 12-14b + 12 8 = 4b : 4 2 = b c.) D = Q\ { -1 ; - 3} L = { 2 5 7 } 11c-2 2c+2-3c-1 c+3 = 5c+15 2c+6 T 68-348

11c-2 2(c+1) - 3c-1 c+3 = 5c+15 2(c+3) 2(c+1)(c+3) 2(c+1)(c+3)(11c-2) 2(c+1) - 2(c+1)(c+3)(3c-1) c+3 = 2(c+1)(c+3)(5c+15) 2(c+3) 11c² + 31c 6-6c² -4c + 2 = 5c² + 20c + 15 T 5c² + 27c 4 = 5c² + 20c + 15-5c² -20c +4 7c = 19 : 7 T c = 2 5 7 Aufgabe 105: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 3x 9 7 11x 8 ( x 3)² x 3 x² 9 3x 9 ( x 3)² 7 11x 8 x 3 x² 9 Definitionsmenge = R\ {-3; 3} Gemeinsamer Nenner: (x + 3)(x + 3)(x 3) (3x 9)( x 3) 7( x 3)² (11x 8)( x 3) ( x 3)²( x 3) ( x 3)²( x 3) ( x 3)²( x 3) (3x 9)( x 3) 7( x 3)² (11x 8)( x 3) 3x² 27 7x² 42x 63 11x² 41x 24 x² x 12 0 x² x 12 0 Lösung der quadratischen Gleichung mit Hilfe der kleinen Lösungsformel x x 1;2 1 ( x 4 2 1 2 3) 1 2 2 12 69-348

x = - 3 ist keine Lösung der Bruchgleichung, da 3 nicht in der Definitionsmenge enthalten ist. Aufgabe 106: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x 2 x 2 4 = 0 70-348

Wurzelgleichungen Aufgabe 107: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 1) 2) 2x 1 3 3 1 x 12 3) 1 4) 5) 2 x 1 3x x 1 1 5 6) 7) 8) x 2 1 2 0 2 16 x 2 0 2 3 x 8 0 3x x 1 5 1. 1 D 2 ; ; L = {5} 2. D ;1 ; L = {-15} 71-348

3. D 1; ; L = {1} 4. 5. D = R ; D = R0 + ; L 1 74 L 3 6. D 4 4 7. D = R ; L = {} Quadrieren ist nur erlaubt, wenn auf beiden Seiten der Gleichung nichts negatives steht! Aufgabe 108: a 4x a 4x 0 mit a Є R a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge für x 8. ; ; L 2 3 D = R0 + ; L = {}, weil 25 D!! 22 b) Lösen Sie die Gleichung nach x auf unter Berücksichtigung von Definitionsmengen. a) Argumentieren: D: a+ 4x 0 x -a / 4 und a-4x 0 x a/4 erfüllbar nur für a Є R + und -a/4 x a/4 b) a 4x a 4x a 4x a 4x x 0 Aufgabe 109: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x 5 = 2 72-348

Aufgabe 110: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x + 8 x = 2 73-348

Aufgabe 111: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x 1 + x + 2 = 1 74-348

Aufgabe 112: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 4x 2 + x 2 + 1 = x + 1 75-348

Aufgabe 113: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 4 x + 2 = 2 76-348

Aufgabe 114: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 4 x 3 + 4 = x + 2 77-348

78-348

Substitution Aufgabe 115: Gesucht sind die Nullstellen der ganzrationalen Funktion 4 2 f x x 6x 40. 4 2 Die Gleichung x 6x 40 0 muss also gelöst werden. Es ist hier nicht möglich, quadratische Ergänzung oder p-q-formel anzuwenden, da der Grad des Polynoms 4 ist und nicht 2. Allerdings sind alle Exponenten gerade, deshalb ersetzen wir (d.h. 2 substituieren) x z und erhalten: x 2 6x 40 0 2 2 z 2 6z 40 0 z 1,2 6 6 40 2 2 2 3 3 2 40 3 49 2 x z Nun muss also nur noch eine quadratische Gleichung gelöst werden. Beispielsweise mit der p-q-formel lässt sich diese leicht lösen. Es ergeben sich also die möglichen Lösungen: z1 3 7 4 und z2 3 7 10 Rücksubstitution (d.h. wir setzen wieder 2 z x ) liefert uns dann 2 x 4 v 2 x 10 x 2 v x 2 79-348

L 2;2 2 x 10 liefert keine weiteren reellen Lösungen, da die Wurzel einer negativen Zahl nicht reell ist. Aufgabe 116: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution: a) f(x) = x 4 + 12x 2 + 32 b) f(x) = 4x 6 + 32x 3 64 c) f(x) = 1 2 x8 7x 4 16 a) f(x) = x 4 + 12x 2 + 32 Subst.: x 2 = u u 2 + 12u + 32 u = 12 ± 122 4 1 32 2 1 u 1 = 8 und u 2 = 4 Rücksubst.: x 2 = 8 keine Lösung x 2 = 4 Keine Lösung L = { } = 12 ± 4 2 b) f(x) = 4x 6 + 32x 3 64 Subst.: x 3 = u 4u 2 + 32u 64 u = 32 ± 322 4 ( 4) 64 2 ( 4) u 1 = 1 Rücksubst.: x 2 = 1 x = ±1 L = {±1} = 8 ± 0 8 = 1 80-348

c) f(x) = 1 2 x8 7x 4 16 Subst.: x 4 = u 1 2 u2 7u 16 +7 ± ( 7) 2 4 1 ( 16) 2 u = 2 1 2 u 1 = 16 und u 2 = 2 Rücksubst.: u 1 = 16 x 2 = 16 x = ±4 = +7 ± 9 1 u 2 = 2 x 2 = 2 Keine weitere Lösung L = {±4} Aufgabe 117: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution: x 4 13x 2 + 36 Aufgabe 118: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution: 4 2x 4 x 6 = 0 81-348

82-348

Aufgabe 119: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Gleichungen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution: 83-348

Logarithmische Gleichungen Aufgabe 120: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: (3 2x ) 2x 1 : (27) x+1 (81 3x 7 ) x 9 x = 0 L = { 1 8 ; 3} Aufgabe 121: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: log 10 (x 2) = 1 Aufgabe 122: 84-348

Bestimmen Sie die Lösungsmenge: lg(4x) lg(x 1) = lg(2) + lg (x) Aufgabe 123: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: ln(x) 1 ln(3x 2) = 0 2 85-348

Aufgabe 124: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: log 3 (x 2 3) + log 3 (x 2 1) = 1 86-348

Aufgabe 125: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 4 (3x + 4) = log 4 (2x + 2) log 4 (3x + 4) = log 4 (2x + 2) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. 3x + 4 = 2x + 2 2x x + 4 = 2 4 x = 2 Probe: log 4 (3x + 4) = log 4 (2x + 2) x = 2 log 4 (3 ( 2) + 4) = log 4 (2 ( 2) + 2) 87-348

Keine Wahre Aussage log 4 ( 2) = log 4 ( 2) L = { } Aufgabe 126: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. 2 log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) 2 log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) log 2 (x + 1) 2 = log 2 (3x + 7) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. Probe: Wahre Aussage x 1/2 = b ± b2 4ac 2a (x + 1) 2 = 3x + 7 x 2 + 2x + 1 = 3x + 7 3x x 2 x + 1 = 7 7 x 2 x 6 = 0 = +1 ± ( 1)2 4 1 ( 6) 2 1 x 1 == +1 + 5 = 3 2 x 2 == +1 5 = 2 2 2 log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) x 1 = 3 2 log 2 (3 + 1) = log 2 (3 3 + 7) 2 log 2 (4) = log 2 (16) log 2 (4 2 ) = log 2 (16) = +1 ± 5 2 Keine wahre Aussage 2 log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) x 2 = 2 2 log 2 ( 2 + 1) = log 2 (3 ( 2) + 7) 88-348

L = {3} Aufgabe 127: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. 15x 2 + 2x = 32x 32x 15x 2 30x = 0 x(15x 30) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 Probe: Keine wahre Aussage log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) x 1 = 0 log 8 (15 0 2 + 2 0) = log 8 (32 0) Wahre Aussage log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) x 2 = 2 log 8 (15 2 2 + 2 2) = log 8 (32 2) log 8 (164) = log 8 (64) L = {2} 89-348

Aufgabe 128: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. x 1/2 = b ± b2 4ac 2a 2x 2 + 4x + 2 = x 2 + 2x + 17 x 2 x 2 + 4x + 2 = 2x + 17 2x x 2 + 2x + 2 = 17 17 x 2 + 2x 15 = 0 = 2 ± (2)2 4 1 ( 15) 2 1 x 1 = 2 + 8 = 3 2 x 2 = 2 8 = 5 2 = 2 ± 8 2 Probe: Wahre Aussage log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) x 1 = 3 log 2 (2 3 2 + 4 3 + 2) = log 2 (3 2 + 2 3 + 17) log 2 (32) = log 2 (32) log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) x 2 = 5 log 2 (2( 5) 2 + 4 ( 5) + 2) = log 2 (( 5) 2 + 2 ( 5) + 17) log 2 (32) = log 2 (32) Wahre Aussage L = { 5; 3} Aufgabe 129: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 2 (40x + 24) log 2 (7x + 1) = 3 90-348

log 2 (40x + 24) log 2 (7x + 1) = 3 40x + 24 log 2 ( 7x + 1 ) = 3 2 3 40x + 24 = (7x + 1) 7x + 1 8(7x + 1) = 40x + 24 56x + 8 = 40x + 24 40x 16x + 8 = 24 8 16x = 16 : 16 x = 1 Probe: Wahre Aussage log 2 (40x + 24) log 2 (7x + 1) = 3 x = 1 log 2 (40 1 + 24) log 2 (7 1 + 1) = 3 log 2 (64) log 2 (8) = 3 6 3 = 3 L = {1} Aufgabe 130: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) 10x + 24 log 2 ( x 84 ) = log 2(x 36) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. 10x + 24 = x 36 (x 84) x 84 (10x + 24) = (x 36)(x 84) 10x + 24 = x 2 120x + 3024 10x 24 = x 2 130x + 3024 24 91-348

x 1/2 = b ± b2 4ac 2a x 2 130x + 3000 = 0 = 130 ± ( 130)2 4 1 (3000) = 2 1 130 + 70 x 1 = = 100 2 130 70 x 2 = = 30 2 130 ± 70 2 Probe: log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) x 1 = 100 log 2 (10 100 + 24) log 2 (100 84) = log 2 (100 36) log 2 (1024) log 2 (16) = log 2 (64) log 2 (64) = log 2 (64) Wahre Aussage log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) x 2 = 30 log 2 (10 30 + 24) log 2 (30 84) = log 2 (30 36) Keine wahre Aussage Aufgabe 131: L = {100} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. 9 log 10 (10x + 10) 4 2 log 10 (10x + 10) + 3 = 2 Substitution: 9 log 10 (10x + 10) 4 2 log 10 (10x + 10) + 3 = 2 u = log 10 (10x + 10) 9 u 4 = 2 (2u + 3) 2 u + 3 (9u 4) = 2(2u + 3) 9u 4 = 4u + 6 4u 92-348

Rücksubstitution: 5u 4 = 6 + 4 5u = 10 : 5 u = 2 u = log 10 (10x + 10) u = 2 2 = log 10 (10x + 10) 10 2 = 10x + 10 100 = 10x + 10 10 10x = 90 : 10 x = 9 Probe: Wahre Aussage 9 log 10 (10x + 10) 4 2 log 10 (10x + 10) + 3 = 2 x = 9 9 log 10 (10 9 + 10) 4 2 log 10 (10 9 + 10) + 3 = 2 9 log 10 (100) 4 2 log 10 (100) + 3 = 2 9 2 4 2 2 + 3 = 2 14 7 = 2 2 = 2 L = {9} Aufgabe 132: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. 9 [log 10 (x + 50)] 2 36 log 10 (x + 50) + 36 = 0 Substitution: 9 [log 10 (x + 50)] 2 36 log 10 (x + 50) + 36 = 0 u = log 10 (x + 50) 93-348

Rücksubstitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a 9u 2 36u + 36 = 0 = 36 ± (36)2 4 9 (36) 2 9 u = 2 u = log 10 (x + 50) u = 2 2 = log 10 (x + 50) 10 2 = x + 50 100 = x + 50 50 x = 50 = 36 18 = 2 Probe: 9 [log 10 (x + 50)] 2 36 log 10 (x + 50) + 36 = 0 x = 50 9 [log 10 (50 + 50)] 2 36 log 10 (50 + 50) + 36 = 0 9 [log 10 (100)] 2 36 log 10 (100) + 36 = 0 9 2 2 36 2 + 36 = 0 36 36 2 + 36 = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = {50} Aufgabe 133: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 Substitution: x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x log 2 (x) + 32 1 x log 2 (x) = 18 94-348

Rücksubstitution: u = x log 2 (x) u + 32 u 18 = 0 u u 2 18u + 32 = 0 u 1/2 = b ± b2 4ac = 18 ± ( 18)2 4 1 (32) = 2a 2 1 18 + 14 u 1 = = 16 2 18 14 u 2 = = 2 2 u = x log 2 (x) u 1 = 16 16 = x log 2 (x) log 2 ( ) log 2 (16) = log 2 ( x log 2 (x) ) log 2 (16) = log 2 (x) log 2 (x) 4 = [log 2 (x)] 2 ±2 = log 2 (x) 2 2 = x x 1 = 4 ( 2) 2 = x 18 ± 14 2 x 2 = 1 4 u = x log 2 (x) u 1 = 2 2 = x log 2 (x) log 2 ( ) log 2 (2) = log 2 ( x log 2 (x) ) log 2 (2) = log 2 (x) log 2 (x) 1 = [log 2 (x)] 2 ±1 = log 2 (x) 2 1 = x x 3 = 2 2 1 = x x 4 = 1 2 95-348

Probe: Wahre Aussage x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 1 = 4 4 log 2 (4) + 32 4 log 2 (4) = 18 16 + 2 = 18 x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 2 = 1 4 ( 1 1 log 2 ( 4 ) 4 ) + 32 ( 1 log 2 ( 1 4 ) 4 ) = 18 Wahre Aussage Wahre Aussage 16 + 2 = 18 x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 3 = 2 2 log 2 (2) + 32 2 log 2 (2) = 18 2 + 16 = 18 x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 4 = 1 2 ( 1 1 log 2 ( 2 ) 2 ) + 32 ( 1 log 2 ( 1 2 ) 2 ) = 18 2 + 16 = 18 L = { 1 4 ; 1 ; 2; 4} 2 96-348

Exponentialgleichungen Aufgabe 134: Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen: Aufgabe 135: Aufgabe 136: 97-348

Aufgabe 137: Löse die folgenden Exponentialgleichungen: a) 5 3x = 7 2x b) 2 5x+1 = 3 4x c) 10 7-x = 6 2x+1 d) 8 2x+4 = 9 3x+6 e) 4 2x+1 = 8 3x-2 f) 3 x 4 x+1 = 5 x+2 a) 0 b) 0,746 c) 2,434 d) -2 e) 1,6 f) 2,093 Aufgabe 138: Lösen Sie folgende Gleichungen. 5 x 1 = 36 4 11 x = 12 0,7 + 9 2x = 1,3 7 4x+1 = 13 98-348

Aufgabe 139: 5 4 x = 80 log x (a 5 ) = 10 ( 1 lg (x) 2 ) = 4 3 2x 10 3 x + 9 = 0 5 2 2x 50 2 x = 80 21 7 x 1 + 4 7 x = 343 Aufgabe 140: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3 x2 4 = 6 x 99-348

Aufgabe 141: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3 x+3 2 5 x = 5 x+1 + 2(3 x + 5 x ) 100-348

Aufgabe 142: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 5 x+1 + 2 5(x 1) = 27 101-348

Aufgabe 143: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 2 x 2 + 3 2 x+2 = 7 Aufgabe 144: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 9 x 3 x 1 = 0 102-348

Aufgabe 145: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 3 4x = 9 x+2 3 4x = 9 x+2 3 4x = (3 2 ) x+2 3 4x = 3 2x+4 4x = 2x + 4 2x 2x = 4 : 2 x = 2 Probe: Wahre Aussage 3 4x = 9 x+2 x = 2 3 4 2 = 9 2+2 3 8 = 9 4 3 8 = 3 8 L = {2} Aufgabe 146: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 4 3x+1 = 8 x+2 103-348

4 3x+1 = 8 x+2 (2 2 ) 3x+1 = (2 3 ) x+2 2 6x+2 = 2 3x+6 6x + 2 = 3x + 6 3x 3x + 2 = 6 2 3x = 4 : 3 x = 4 3 Probe. 4 3x+1 = 8 x+2 x = 4 3 Wahre Aussage 4 3 4 3 +1 = 8 4 3 +2 4 5 = 8 10 3 2 10 = 2 10 L = { 4 3 } Aufgabe 147: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 1024 x 3 = 2 4x 1024 x 3 = 2 4x (2 10 ) x 3 = 2 4x 2 10x 30 = 2 4x 10x 30 = 4x 4x 6x 30 = 0 + 30 6x = 30 : 6 x = 5 104-348

Probe: 1024 x 3 = 2 4x x = 5 1024 5 3 = 2 4 5 1024 2 = 2 20 2 20 = 2 20 Wahre Aussage L = {5} Aufgabe 148: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 32 16 x+1 = 8 x+2 4 x+4 32 16 x+1 = 8 x+2 4 x+4 32 (2 4 ) x+1 = (2 3 ) x+2 (2 2 ) x+4 32 2 4x+4 = 2 3x+6 2 2x+8 32 16 2 4x = 2 14 2 5x : 2 14 32 16 2 14 2 4x = 2 5x : 2 4x 32 16 2 14 = 25x : 24x 24x 2 5 2 4 2 14 = 25x 2 4x 2 9 25x = 214 2 4x 2 5 = 2 x x = 5 Probe: 32 16 x+1 = 8 x+2 4 x+4 x = 5 32 16 5+1 = 8 5+2 4 5+4 2 5 2 16 = 2 9 2 2 2 11 = 2 11 Wahre Aussage 105-348

L = { 5} Aufgabe 149: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 2 8x 16 2 4x + 64 = 0 Substitution: Rücksubstitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a 2 8x 16 2 4x + 64 = 0 u = 2 4x u 2 16u + 64 = 0 = 16 ± ( 16)2 4 1 64 2 1 u = 8 u = 2 4x u = 8 8 = 2 4x 2 3 = 2 4x 3 = 4x : 4 = 16 2 = 8 x = 3 4 Probe: 2 8x 16 2 4x + 64 = 0 x = 3 4 2 8 3 4 16 2 4 3 4 + 64 = 0 2 6 16 2 3 + 64 = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = { 3 4 } Aufgabe 150: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 106-348

5 6x 2 5 3x+3 + 15625 = 0 5 6x 2 5 3x+3 + 15625 = 0 5 6x 2 5 3 5 3x + 15625 = 0 5 6x 250 5 3x + 15625 = 0 Substitution. u 1/2 = b ± b2 4ac 2a Rücksubstitution: u = 5 3x u 2 250 + 15625 = 0 = 250 ± ( 250)2 4 1 15625 2 1 u = 125 u = 5 3x u = 125 125 = 5 3x 5 3 = 5 3x x = 1 = 250 2 = 125 Probe: 5 6x 2 5 3x+3 + 15625 = 0 x = 1 5 6 1 2 5 3 1+3 + 15625 = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = {1} 107-348

Aufgabe 151: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 25 10x 2 5 10x+2 + 625 = 0 Substitution: Rücksubstitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a 25 10x 2 5 10x+2 + 625 = 0 (5 2 ) 10x 2 5 2 5 10x + 625 = 0 5 20x 50 5 10x + 625 = 0 u = 5 10x u 2 50u + 625 = 0 = 50 ± ( 50)2 4 1 625 2 1 u = 25 u = 5 10x u = 25 25 = 5 10x 5 2 = 5 10x 10x = 2 = 50 2 = 25 x = 1 5 Probe: 25 10x 2 5 10x+2 + 625 = 0 x = 1 5 25 10 1 5 2 5 10 1 5 +2 + 625 = 0 25 2 2 5 4 + 625 = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = { 1 5 } Aufgabe 152: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 108-348

2 8x+1 4 2x+5 + 131.072 = 0 2 8x+1 4 2x+5 + 131.072 = 0 2 8x+1 (2 2 ) 2x+5 + 131.072 = 0 2 8x+1 2 4x+10 + 131.072 = 0 2 8x 2 1 2 4x 2 10 + 131.072 = 0 2 2 8x 1024 2 4x + 131.072 = 0 Substitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a Rücksubstitution: u = 2 4x 2u 2 1024u + 131.072 = 0 = 1024 ± ( 1024)2 4 2 131.072 2 2 u = 256 u = 2 4x u = 256 256 = 2 4x 2 8 = 2 4x 4x = 8 : 4 x = 2 = 1024 4 = 256 Probe: 2 8x+1 4 2x+5 + 131.072 = 0 x = 2 2 8 2+1 4 2 2+5 + 131.072 = 0 2 17 4 9 + 131.072 = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = {2} 109-348

Quadratische Exponentialgleichungen Aufgabe 153: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 2 2x 4 2 x 32 = 0 Aufgabe 154: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3 x + 6 3 x = 5 110-348

Aufgabe 155: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4 x 1 2 x 8 = 0 111-348

Aufgabe 156: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 5 2x 30 5 x + 125 = 0 Aufgabe 157: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 112-348

2 x + 2 = 2 x Aufgabe 158: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 2 2x+1 + 6 2 x 1 2 = 0 113-348

114-348

Betragsgleichungen Aufgabe 159: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3x 5 = 19 Aufgabe 160: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 2 + 3x = 4 Aufgabe 161: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 2 + 4x 33 = 12 115-348

Aufgabe 162: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 116-348

Aufgabe 163: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 117-348

118-348

119-348

Betragsungleichungen Aufgabe 164: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x + 17 > 34 x + 17 > 34 Fall 1: x + 17 0 x + 17 > 34 x > 17 Fall 2: x + 17 < 0 (x + 17) > 34 x 17 > 34 x > 51 x < 51 L = {x < 51 x > 17} Aufgabe 165: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x 2 20 > 4 x 2 20 > 4 Fall 1: x 2 20 0 x 2 20 > 4 x 2 > 24 x > ± 24 Fall 2: 120-348

x 2 20 < 0 (x 2 20) > 4 x 2 + 20 > 4 x 2 > 16 Hieraus ergibt sich keine weitere Lösung L = {x < 24 x > 24} Aufgabe 166: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x 2x 12 0 x 2x 12 0 Fall 1: 2x 12 0 x 2x + 12 0 x + 12 0 x 12 x 12 Fall 2: 2x 12 < 0 x ( (2x 12)) 0 x + 2x 12 0 3x 12 x 4 L = {x 4 x 12} Aufgabe 167: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. 5 3 x 6 3x 7 5 3 x 6 3x 7 Fall 1: 121-348

x 6 0 5 3 (x 6) 3x 7 5 3x + 18 3x 7 6x + 23 7 6x 30 x 5 Fall 2: x 6 < 0 5 3 ( (x 6)) 3x 7 5 + 3x 18 3x 7 0 6 Diese Aussage gilt immer, daraus folgt: L = R Aufgabe 168: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x + x 2 > 4 Es müssen vier Fälle unterschieden werden: Im Fall 1 sind die Terme in den Betragszeichen beide nicht-negativ (größer oder gleich Null). x + x 2 > 4 x + x 2 > 4 2x 2 > 4 2x > 6 x > 3 Im Fall 2 ist der Term im ersten Betragszeichen nicht-negativ, im zweiten aber negativ. Widerspruch x + x 2 > 4 x (x 2) > 4 +2 > 4 122-348

Im Fall 3 ist der Term im ersten Betragszeichen negativ, im zweiten aber nicht -negativ. Wiederspruch x + x 2 > 4 x + x 2 > 4) 2 > 4 Im Fall 4 sind die Terme in den Betragszeichen beide negativ x + x 2 > 4 x x + 2 > 4 2x > 2 x < 1 Erfüllt nicht die Bedingung, dass das erste Betragszeichen negativ sein soll, also keine Lösung. L = {x < 1 x > 3} 123-348

Gleichungen mit Parametern Aufgabe 169: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in Abhängigkeit des Parameters a R. a) 4a(x + 1) = 2a(x + a) + 6a b) 3x 9 = ax a 2 c) a(6x 1) = 3a(x + 3a) + 2a d) bx + 16 = b 2 4x Aufgabe 170: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in Abhängigkeit des Parameters s, t R. tx 2 = 5 + sx L = { 7 } für t s t s L = { } für t = s 124-348

Textgleichungen Aufgabe 171: Eine Zahl ist um 20 größer als die andere. Ihr Produkt ist gleich groß wie das Quadrat einer der beiden Zahlen. Aufgabe 172: Die Summe zweier Zahlen ist 46, ihre Differenz jedoch 16. Welche Zahlen sind gemeint? 125-348

Aufgabe 173: Kann man aus 15 Münzen in Form von 5 Stücken und 2 Stücken den Betrag 50 Euro bilden? Aufgabe 174: 126-348

In 20 Streichholzschachteln sollen je eine 1 oder eine 2 Münze gelegt werden. Der Gesamtbetrag soll 28 sein. Wie viele Münzen benötigt man von jeder Sorte? Aufgabe 175: Subtrahiert man vom 12-fachen einer Zahl 15, erhält man eine Zahl, die um 3 kleiner ist, als wenn man das Fünffache um 30 vergrößert. Aufgabe 176: Das Vierfache einer Zahl ist um 15 kleiner als ihr Siebenfaches. 127-348

Aufgabe 177: Multipliziert man die Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl und 5 mit 8, erhält man dasselbe, als wenn man zum 10-fachen der Zahl 2 addiert. 128-348

Polynomdivision Aufgabe 178: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 2 x + 1 Aufgabe 179: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 2 9 x 2 129-348

Aufgabe 180: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 3 x + 1 x 1 Aufgabe 181: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 3 + 2x 2 + 2 x 2 + 1 130-348

Aufgabe 182: Führen Sie eine Polynomdivision aus. 2x 5 4x 4 + x 3 2x 2 x 6 x 3 3x 2 + 3x 1 Aufgabe 183: Für welche Werte von x werden diese Funktionen Null? Führen Sie eine Polynomdivision durch. 131-348

Aufgabe 184: Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen! f(x) = x³ - 3x² - 10x + 24 g(x) = x 4 + x³ - 2x² + 4x 24 Lösungen Polynomdivision: x1 = 4, x2 = -3, x3 = 2 x1 = 2, x2 = -3 Aufgabe 185: Die folgenden Gleichungen haben mindestens eine ganzzahlige Lösung. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. a) f (x) = x 3 +6x 2 +3x-10=0 b) f (x) = x 3-7x 2-4x+28=0 c) f (x) = x 4-18x 2-32x-15=0 a) b) c) Aufgabe 186: 132-348

Aufgabe 187: 133-348

Das Polynom 3 2 f x 10x 31x x 6 soll faktorisiert werden, um anschließend die Nullstellen leicht ablesen zu können. 134-348

Lineare Gleichungssysteme (LGS) Aufgabe 188: Von den folgenden LGS'en ist eines unlösbar, eines eindeutig lösbar und eines hat unendlich viele Lösungen. Wende jeweils den Gauß-Algorithmus an und gib bei den beiden lösbaren eine (bzw. die) Lösung an. Aufgabe 189: Lösen Sie folgendes LGS: 2x 3y = 10 3x 2y = 10 L = { 2; 2} 135-348

Aufgabe 190: Lösen Sie folgende Linearen Gleichungssysteme. a) 2x 3y +4z = 1,4 3x 2y z = 1,2 5x +4y +3z = 1,4 b) 9x +5y +4z = 21 6x +3y 5z = 7 3x 10y +6z = 35 c) 2x +3y +5z = 8 x +y 2z = 7 3x y +z = 2 a) 136-348

b) 137-348

c) 138-348

139-348

Aufgabe 191: Lösen Sie folgende Linearen Gleichungssysteme. a) 2x y +4z = 5 5x +2y 10z = 7 12x 9y 8z = 11 b) 3x y +2z = 3 2x +3y +3z = 3 x +2y z = 4 c) 4x +2y +2z = 8 3x 4y +3z = 2 x +3y +2z = 4 a) 140-348

b) 141-348

c) 142-348

143-348

Aufgabe 192: Zwei CDs (Sonderangebot, alle CDs kosten das Gleiche) kosten genauso viel wie sieben Schokoriegel. Kauft man zusätzlich noch einen Notizblock, bezahlt man sieben Euro mehr als für vier Schokoriegel. Ein Notizblock und ein Schokoriegel kosten zusammen drei Euro. Stellen Sie das zugehörige LGS auf und lösen es. 144-348

Aufgabe 193: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: 145-348

146-348

Aufgabe 194: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: Aufgabe 195: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: 147-348

148-348

Aufgabe 196: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: Aufgabe 197: Subtrahiert man vom Drittel einer Zahl ein Viertel dieser Zahl, so ergibt sich 7. 149-348

84 Aufgabe 198: Vermehrt man eine Zahl um ihr Drittel und ihr Viertel. so erhält man 190. 120 Aufgabe 199: Die Summe aus der Hälfte, dem Drittel und dem Viertel einer Zahl ist um 3 größer als die Zahl. 36 Aufgabe 200: Das Vierfache einer Zahl ist um 30 größer als ein Viertel der Zahl. 8 150-348

Aufgabe 201: Die Zahl 93 ist so in drei Summanden zu zerlegen, dass folgende Bedingung gilt: a) Jeder Summand ist um 9 größer als der vorhergehende. b) Jeder Summand ist das 5-fache des vorhergehenden. a) 22, 31, 40 b) 3, 15, 75 Aufgabe 202: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: 151-348

152-348

Aufgabe 203: a) Suchen Sie zwei Zahlen, deren Summe 34 und deren Differenz 16 ist. b) Eine Zahl ist um 8 grösser als eine andere, aber nur halb so groß wie deren Dreifaches. Um welche beiden Zahlen handelt es sich? c) Gibt es zwei natürliche Zahlen mit dem Mittelwert 17, von denen die eine doppelt so groß ist wie die andere. 1a) 9, 25, b) 16, 24, c) nein. Aufgabe 204: Ermitteln Sie die vierstellige Zahl mit folgenden Eigenschaften: Die Quersumme beträgt 14. Die Summe von Tausender- und Einerziffer ist gleich der Summe von Hunderter- und Zehnerziffer. Die Summe von Tausender- und Hunderterziffer ist gleich der Summe von Zehner- und Einerziffer. Die Tausenderziffer ist um 1 größer als die Einerziffer. 4343 153-348

Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit Parametern Aufgabe 205: Untersuchen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter a R auf Lösbarkeit. a x x x 1 1 1 x a x x 2 2 2 x x 3 3 a x 3 a 1 a a) Für welches a erhält man unendlich viele Lösungen? b) Für welches a erhält man keine Lösung? c) Für welches a erhält man eine eindeutige Lösung? 154-348

155-348

Aufgabe 206: Für welche Werte des Parameters a (a>0) hat das Gleichungssystems 3x + 2y + z = 1 2x + y + az= 0 4ay+ z = 2a + 1 unendlich viele Lösungen? Welche Gestalt hat in diesem Fall die Lösungsmenge? Lösung Elimination der Unbekannten x und y liefert Unendliche viele Lösungen im Fall a = 1 6 Wird z beliebig gewählt, gilt. Aufgabe 207: Welche Lösungsmenge hat das Gleichungssystem: 156-348

Bestimmen Sie für dieses Gleichungssystem die Parameter a und c so, dass es a) eine Lösung b) keine Lösung c) unendlich viele Lösungen gibt. 1 0 1 1 ( 1 1 0 a) (1)*(-1)+(2) ; (1)*(-c)+(3) c 1 1 2 1 0 1 1 ( 0 1 1 a 1) (2)*(-1)+(3) 0 1 1 c 2 c 1 0 1 1 ( 0 1 1 a 1 ) (2)*(-1)+(3) 0 0 2 c 3 a c 157-348

Ungleichungen Aufgabe 208: Lösen Sie folgende Ungleichung: (9x 1) 2 45(x 2) 2 < (6x 1) 2 (9x 1) 2 45(x 2) 2 < (6x 1) 2 81x 2 18x + 1 45x 2 + 180x 180 < 36x 2 12x + 1 36x 2 + 162x 179 < 36x 2 12x + 1 174x < 180 x < 30 29 Aufgabe 209: Lösen Sie folgende Ungleichungen: a) 2 x 3 + 5 x 2 b) 1 (x 6) < 6 2 c) 3(x 3) (1 x 2 ) a) < x 34 5 b) 6 < x < c) 1 2 x < Aufgabe 210: Lösen Sie folgende Ungleichungen: a) 158-348

3(1 2x) 2 > 2(x 3) (3x + 5) b) 2x 3 2 1 (3x 5) 1 4 a) < x < 12 5 b) < x 3 Aufgabe 211: Lösen Sie folgende Ungleichungen: a) 3 4 (2x 4) + 3 x 4 < 5(1 x) 2x 6 2 b) 4 2x 3 x 4 a) < x < 3 5 b) < x 48 11 159-348

Aufgabe 212: Lösen Sie folgende Ungleichungen: Aufgabe 213: Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. 15x (8x 15) 3(2x + 5) 2 15x (8x 15) 3(2x + 5) 2 15x 8x + 15 6x 15 2 x 2 L = {x x 2} Aufgabe 214: Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. x 2 + 8x + 48 < 0 Aufgabe 215: x = b ± b2 4ac 2a x 2 + 8x + 48 < 0 = 8 ± 82 4 ( 1) 48 2 ( 1) 8 + 16 x 1 = = 4 2 8 16 x 1 = = 12 2 L = {] ; 4[ ]12: + [} 160-348 = 8 ± 16 2

Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. x 2 x 2 0 x 2 x 2 0 Keine Fallunterscheidung notwendig, da x² immer positiv ist. x 2 x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 Aufgabe 216: L = {x x 2} Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. 4 3 + 2x 1 x 0 1. Fall: 4 3 + 2x 1 x 0 Der Nenner ist negativ 4 3 + 2x 1 x 1 x < 0 x > 1 0 (1 x) 4(1 x) 3 2x 0 4 4x 3 2x 0 6x + 1 0 1 6x 1 : ( 6) x 1 6 x ]1; + [ 2. Fall: 161-348

Der Nenner ist positiv. 4 3 + 2x 1 x 1 x > 0 x < 1 0 (1 x) 4(1 x) 3 2x 0 4 4x 3 2x 0 6x + 1 0 1 6x 1 : ( 6) x 1 6 x ] ; + 1 6 [ Aufgabe 217: L = {] ; + 1 [ ]1: + [} 6 Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. 3 2x 5x + 2 1 1. Fall: Der Nenner ist negativ. 3 2x 5x + 2 1 5x + 2 0 x 2 5 3 2x 1 (5x + 2) 5x + 2 3 2x 5x + 2 5x 3 7x 2 3 7x 1 : ( 7) x 1 7 x ] ; 2 5 [ 162-348

2. Fall: Der Nenner ist positiv. 5x + 2 0 x 2 5 3 2x 1 (5x + 2) 5x + 2 3 2x 5x + 2 5x 3 7x 2 3 7x 1 : ( 7) x 1 7 x ] 1 7 ; + [ Aufgabe 218: L = {] ; 2 5 [ [1 7 ; + [} Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. x 1 < 2 (x 1) x + 1 1. Fall: Der Nenner ist negativ. x 1 < 2 (x 1) x + 1 x + 1 < 0 x < 1 x 1 < 2 (x + 1) x + 1 x 1 > 2(x + 1) x 1 > 2x + 2 2x x 1 > +2 + 1 x > +3 ( 1) x < 3 x ] ; 3[ 163-348

2. Fall: Der Nenner ist positiv. x + 1 > 0 x > 1 x 1 < 2 (x + 1) x + 1 x 1 < 2(x + 1) x 1 < 2x + 2 2x x 1 < +2 + 1 x < +3 ( 1) x > +3 x [ 1; + [ L = {] ; 3[ [ 1; + [} 164-348

Matrizen Aufgabe 219: Für die Produktion der Erzeugnisse E1,E2, E3 wird das Material M1 wie folgt benötigt: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Material 1 0 1 3 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Quartal 1 8 15 16 Wie viel Material 1 wird im ersten Quartal benötigt? A (1, E ) A* B 0 1 3 B( E,1) 8 16 8 15 16 0 1 3* 15 0 *8 1*15 3*16 63 Es werden also im ersten Quartal 63 Einheiten des Materials 1 benötigt. Aufgabe 220: Für die Produktion der Erzeugnisse E1,E2, E3 werden die Materialien M1, M2, M3, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Material 1 0 1 3 Material 2 1 1 1 Material 3 2 0 4 Material 4 1 3 1 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Quartal 1 8 15 16 Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt? 165-348

0 1 A(M,E) 2 1 0 T 1 A * B 2 1 1 3 8 1 1 T B (E,1) 15 0 4 16 3 1 1 3 0 *8 1*15 3*16 63 8 1 1 1*8 1*15 1*16 39 * 15 0 4 2 *8 0 *15 4 *16 80 16 3 1 1*8 3*15 1*16 69 Es werden somit im ersten Quartal folgende Einheiten der Materialien benötigt: Material 1 Material 2 Material 3 Material 4 Quartal1 63 39 80 69 166-348

Aufgabe 221: Für die Produktion der Erzeugnisse E1,E2, E3 werden die Materialien M1, M2, M3, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Material 1 0 1 3 Material 2 1 1 1 Material 3 2 0 4 Material 4 1 3 1 In den Quartalen des Jahres sollen folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Quartal 1 8 15 16 Quartal 2 10 20 20 Quartal 3 12 24 25 Quartal 4 10 18 20 Wie viel Einheiten der 4 Materialien werden in den 4 Quartalen benötigt? A ( M, E ) A* B T 0 1 2 1 0 1 2 1 1 1 0 3 1 1 0 3 3 1 4 1 3 8 1 * 15 4 16 1 B 10 20 20 T ( E, Q) 12 24 25 8 15 16 10 18 20 10 20 20 12 24 25 10 18 20 Bei der Multiplikation zweier Matrizen wird jede Zeile der ersten Matrix mir jeder Spalte der zweiten Matrix multipliziert. Die Produkte werden addiert. Dabei geht man nach ff. Rechenschema vor: 167-348

0*8 1*15 316 63 0*10 1*20 3*20 80 1*8 1*15 1*16 39 1*10 1*20 1*20 50 2*8 0*15 4*16 80 2*10 0*20 4*20 100 1*8 3*15 1*16 69 1*10 3*20 1*20 90 usw.es werden in den Quartal folgende Einheiten der Materialien benötigt: Material 1 Material 2 Material 3 Material 4 Quartal 1 63 39 80 69 Quartal 2 80 50 100 90 Quartal 3 99 61 124 109 Quartal 4 78 48 100 84 Aufgabe 222: Berechnen Sie folgende Produkte: 168-348

169-348

Aufgabe 223: 170-348

Aufgabe 224: 171-348

Aufgabe 225: 172-348

173-348

Aufgabe 226: a) b) c) 174-348

Determinanten Aufgabe 227: 175-348

176-348

Aufgabe 228: Erzeugen sie Nullen, an den gekennzeichneten Stellen: 177-348

178-348

179-348

Folgen und Reihen Aufgabe 229: Berechnen Sie jeweils 5 Glieder dieser Folgen: Aufgabe 230: Berechnen Sie die Glieder bis a5 180-348

Aufgabe 231: Beweisen Sie, dass eine arithmetische Folge vorliegt. Stellen Sie eine Berechnungsvorschrift auf. 181-348

182-348

Aufgabe 232: Zeigen Sie, dass keine arithmetische Folge vorliegt. Wie müsste a12 lauten, wenn eine arithmetische Folge vorliegen sollte? Aufgabe 233: Gegeben sind 3 Glieder eine Folge. Setzen Sie so wenig wie nötig Zahlen dazwischen, damit eine arithmetische Folge entsteht. Berechnen Sie dann a1und an 183-348

184-348

Aufgabe 234: Untersuchen Sie, ob eine geometrische Folge vorliegt. Wenn ja, erstellen Sie den Funktionsterm für an. 185-348

Aufgabe 235: 186-348

Gegeben ist eine geometrische Folge durch 2 Glieder. Berechne die angegebenen Glieder der Folge sowie den Funktionsterm für an. 187-348

188-348

Aufgabe 236: Berechne die ersten 5 Glieder dieser Folgen: 189-348

Aufgabe 237: 190-348

191-348

Aufgabe 238: 192-348

Aufgabe 239: Berechnen Sie die Summe der ganzen Zahlen von 37 bis 95. Aufgabe 240: 193-348

Aufgabe 241: Eine Folge hat die Teilsumme sn= 11n² + n. Wie lautet an? 194-348

Grenzwerte, Stetigkeit und Differentiation Aufgabe 242: Ermitteln Sie die folgenden Grenzwerte. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihr Verhalten für gegen + bzw. strebendes x und berechnen Sie, falls möglich, die Grenzwerte f(x) und lim x + lim x f(x). Geben Sie außerdem an, für welche x der Abstand f(x) a kleiner als ε = 0,0001 wird. Aufgabe 243: Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen ihr Verhalten für gegen x 0 strebendes x. Berechnen Sie, falls möglich den Grenzwert lim x x0 f(x) 195-348

Aufgabe 244: Untersuchen Sie die Funktionen auf Stetigkeit. 196-348

197-348

Aufgabe 245: Bestimmen Sie t R so, dass f an der Stelle x0 stetig ist. Aufgabe 246: Ermittle die folgenden Grenzwerte! Dabei sei n stets eine natürliche Zahl. 1 1 1 lim lim lim x n n n x x0 x x0 x 3 lim x 2 x 2 2 lim 1 x 1 x 2 3x 1 lim x x 3 6 2 x 1 x 2 3x lim 2 1 1 x lim lim x 2 x 4x 3x x x 1 lim 2 x 1 2x lim 2x 7 x 2 x 1 lim x 1 2 x x 1 4 x x lim lim x 4 x x lim 2 x 1 x x0 198-348

lim x 1 x n 0 1 lim n x0 n gerade x lim x 0 1 x n n gerade n ungerade 3 lim x 2 x 2 n ungerade 2 lim 1 x 1 x 2 3x 1 lim x x 3 6 0 lim 2 x 1 x x 2 2 3x 1 lim x 4x 2 3x 3 4 lim x 1 x x 1 1 199-348

200-348 4 5 2x 1 x lim 2 2 x 5 7 2x lim 1 x 2 x x lim 4 1 x 2 1 2 1 x x lim 4 x 0 x 1 lim x x lim x x 0 1 2 lim x 0 x

Ableitungen Aufgabe 247: 201-348

Aufgabe 248: Berechnen Sie je zwei Ableitungen: 202-348

204-348

205-348

206-348

207-348

208-348

Aufgabe 250: Berechnen Sie je zwei Ableitungen (bei 14 nur eine) 209-348

210-348

211-348

212-348

213-348

215-348

217-348

219-348

220-348

222-348

Aufgabe 255: Berechnen Sie jeweils 2 Ableitungen 223-348

224-348

Aufgabe 256: 225-348

Aufgabe 257: 226-348

227-348

Aufgabe 258: 228-348

Aufgabe 259: 229-348

230-348

Verlauf von Funktionen Aufgabe 260: Im Schaubild sind die Graphen der folgenden Funktionen zu sehen. Welcher Graph passt zu welcher Funktion? Schreiben Sie die Buchstaben auf. - f(x) = x 2 - f(x) = x 2-2 - f(x) = (x-1) 2 - f(x) = (x+1) 2 - f(x) = (x-3) 2 +1 - f(x) = -(x+3) 2-1 f((x) = x 2 : Ff(x) = x 2-2 : C f(x) = (x-1) 2 : D f(x) = (x+1) 2 : B f(x) = (x-3) 2 +1 : E f(x) = -(x+3) 2-1 : A 231-348

Aufgabe 261: Ordnen Sie folgende Schaubilder den entsprechenden Funktionen zu. 232-348

233-348

234-348

Aufgabe 262: Ordnen Sie folgende Schaubilder den entsprechenden Funktionen zu. 235-348

236-348

Aufgabe 263: Skizzieren Sie folgende Funktionen. 237-348

238-348

239-348

240-348

241-348

Aufgabe 264: Bestimmen Sie die Gleichungen der folgenden Exponentialfunktionen. y = ±e ±x+c + d 242-348

243-348

244-348

245-348

Aufgabe 265: Bestimmen Sie die Gleichungen der folgenden Exponentialfunktionen. Die Grundform ist y = k e ax + b oder y = k e ax+b + c 246-348

247-348

248-348

249-348

Integration Aufgabe 266: Ermitteln Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen! Aufgabe 267: 250-348

Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion, wenn die Ableitung und ein Punkt des Funktionsgraphen gegeben ist. 251-348

Aufgabe 268: 252-348

Aufgabe 269: 253-348

254-348

255-348

Aufgabe 270: Aufgabe 271: 256-348

257-348

Aufgabe 272: 258-348

259-348

Aufgabe 273: 260-348

Aufgabe 274: 261-348

Aufgabe 275: 262-348

263-348

Aufgabe 276: 264-348

Aufgabe 277: 265-348

266-348

267-348

Aufgabe 278: 268-348

269-348

270-348

Aufgabe 279: 271-348

Aufgabe 282: Aufgabe 283: Aufgabe 284: 273-348

274-348

Aufgabe 287: 276-348

277-348

Extremwertaufgaben Aufgabe 288: 278-348

279-348

280-348

281-348

282-348

283-348

Trigonometrie Aufgabe 289: Aufgabe 290: Aufgabe 291: 284-348

Aufgabe 292: 285-348

287-348

288-348

Aufgabe 295: 289-348

Aufgabe 296: 290-348

291-348

Aufgabe 297: 292-348

Aufgabe 298: 293-348

294-348

Aufgabe 299: 295-348

296-348

297-348

Wichtige trigonometrische Werte 298-348

Trigonometrische Gleichungen Aufgabe 300: Lösen Sie folgende Trigonometrischen Gleichungen: 299-348

300-348

301-348

302-348

303-348

304-348

305-348

Aufgabe 301: Bestimmen Sie die Lösungsmengen dieser Gleichungen: 306-348

Aufgabe 302: Bestimmen Sie die Lösungsmengen dieser Gleichungen. 307-348

308-348

309-348

Aufgabe 303: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Laut der Formelsammlung: sin(x) = 1 2 sin(30 ) = 1 2 Daraus ergibt sich eine erste x 1 = 1 6 π Im zweiten Feld ergibt sich eine weitere x 2 = π 1 6 π = 5 6 π L = { 1 6 π; 5 6 π } Aufgabe 304: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 im Bereich von 0 x +2π. Aus der Formelsammlung kann man direkt ablesen: x = 1 2 π Aufgabe 305: L = { 1 2 π} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung cos(x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. 310-348

Aus der Formelsammlung kann man direkt ablesen: x 1 = 1 3 π Diese Lösung befindet sich im ersten Feld: Eine weiter Lösung befindet sich im vierten Feld: x 2 = 2π 1 3 π = 5 3 π L = { 1 3 π; 5 3 π} Aufgabe 306: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung cos(x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Umformen der rechten Seite: cos(x) = 1 2 Die cos(x) = 1 2 2 2 = 2 2 = 1 2 2 x = 1 2 2 Finden wir bei x = 1 4 π Da der Kosinus im zweiten und im dritten Feld negativ ist ergeben sich somit folgende Lösungen: und x 1 = π 1 4 π = 3 4 π x 2 = π + 1 4 π = 5 4 π 311-348

L = { 3 4 π; 5 4 π} Aufgabe 307: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung tan(x) = 1 im Bereich von 0 x +2π. Aus der Formelsammlung ergibt sich folgende erste x 1 = 1 4 π Im dritten Feld finden wir eine weitere x 2 = π + 1 4 π = 5 4 π L = { 1 4 π; 5 4 π} 312-348

Aufgabe 308: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 im Bereich von 0 x +2π. Aus dem Grundverlauf ergibt sich nur eine Lösung in dem geforderten Bereich: x = 3 2 π Aufgabe 309: L = { 3 2 π} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 3 im Bereich von 0 x +2π. Mit dem Taschenrechner erhält man die erste x 1 = 0,334 Die ist die Lösung aus dem ersten Feld. Im zweiten Feld ist der Sinus ebenfalls positiv, daraus ergibt sich die zweite Lösung in dem geforderten Bereich: x 2 = π 0,334 = 2,808 L = {0,334; 2,808} Aufgabe 310: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 2 2 im Bereich von 0 x +2π. Aus der Formelsammlung erhält man: 313-348

x = 1 4 π Wir brauchen aber den negativen Wert davon, dieser ergibt sich im dritten und vierten Feld: x 1 = π + 1 4 π = 5 4 π x 2 = 2π 1 4 π = 7 4 π L = { 5 4 π; 7 4 π} Aufgabe 311: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin ( x 3 ) = 1 2 2 im Bereich von 0 x +6π. Substitution: u = x 3 sin(u) = 1 2 2 Aus der Formelsammlung können wir den positiven Wert ablesen: u = 1 4 π Der Sinus ist im dritten und vierten Bereich negativ, daraus ergeben sich folgende Lösungen: u 1 = π + 1 4 π = 5 4 π Rücksubstitution: u = x 3 5 4 π = x 3 x 1 = 15 4 π 314-348

u 2 = 2π 1 4 π = 7 4 π Rücksubstitution: u = x 3 7 4 π = x 3 x 2 = 21 4 π Weitere Lösungen in positiver Richtung Rücksubstitution: u 3 = u 1 + 2π = 5 4 π + 2π = 13 4 π u = x 3 13 4 π = x 3 x 3 = 39 4 π Liegt nicht mehr im Bereich, also keine Lösung. L = { 7 4 π; 21 4 π} Aufgabe 312: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung cos(x 2) = 0,65 im Bereich von π x +2π. Substitution: u = x 2 cos(u) = 0,65 Mit dem Taschenrechner berechnen wir die erste u 1 = 0,863 315-348

Rücksubstitution: u = x 2 0,863 = x 2 x 1 = 0,863 + 2 = 2,863 x 1 = 2,863 Eine weitere Lösung erhalten wir bei: u 2 = 2π 0,863 = 5,420 Rücksubstitution: u = x 2 5,420 = x 2 x 2 = 5,420 + 2 = 7,420 x 2 = 7,420 Gehört nicht mehr zum Bereich, also keine Lösung. Eine weitere Lösung erhalten wir im negativen Bereich bei: u 3 = 0 0,863 = 0,863 Rücksubstitution: u = x 2 0,863 = x 2 x 3 = 0,863 + 2 = 1,137 x 3 = 1,137 Aufgabe 313: L = {1,137; 2,863} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin 2 (x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Da es sich hier um eine quadratische Gleichung handelt, muss diese erst umgeformt werden: sin 2 (x) = 1 2 316-348

sin(x) = ± 1 2 Mit dem Wurzelgesetzen kann dies wie folgt umgeformt werden: sin(x) = ± 1 2 2 Führen wir nun eine Fallunterscheidung durch: 1. Fall: sin(x) = + 1 2 2 Aus der Tabelle erhalten wir: x 1 = 1 4 π Eine zweite Lösung erhalten wir im zweiten Feld: x 2 = π 1 4 π = 3 4 π x 2 = 3 4 π 2. Fall: sin(x) = 1 2 2 Eine erste Lösung erhalten wir im dritten Feld: x 3 = π + 1 4 π = 5 4 π Eine weiter Lösung erhalten wir im vierten Feld: x 3 = 2π 1 4 π = 7 4 π L = { 1 4 π; 3 4 π; 5 4 π; 7 4 π} 317-348

Aufgabe 314: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(2x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Substitution: u = 2x sin (u) = 1 2 Aus der Formelsammlung erhalten wir eine erste u 1 = 1 6 π Rücksubstitution: u = 2x 1 6 π = 2x x 1 = 1 12 π Eine weitere Lösung erhalten wir bei: u 2 = π 1 6 π = 5 6 π Rücksubstitution: u = 2x 5 π = 2x 6 x 2 = 5 12 π Weitere Lösung bei: u 3 = u 1 + 2π = 1 6 π + 2π = 13 6 π Rücksubstitution: u = 2x 318-348

13 π = 2x 6 x 3 = 13 12 π Weitere Lösung bei: u 4 = u 2 + 2π = 5 6 π + 2π = 17 6 π Rücksubstitution: u = 2x 17 π = 2x 6 x 4 = 17 12 π Weitere Lösung bei: u 5 = u 3 + 2π = 13 6 π + 2π = 25 6 π Rücksubstitution: u = 2x 25 π = 2x 6 x 5 = 25 12 π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, also auch keine gültige Lösung. Aufgabe 315: L = { 1 12 π; 5 13 17 π; π; 12 12 12 π} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin ( π x) = 0,4 4 im Bereich von 0 x +8. Substitution: u = π 4 x sin (u) = 0,4 319-348

Mit Hilfe des Taschenrechners erhalten wir eine erste u 1 = 0,412 Rücksubstitution: u = π 4 x 0,412 = π 4 x x 1 = 0,412 4 π = 0,525 Im zweiten Feld erhalten wir eine weitere u 2 = π 0,412 = 2,730 Rücksubstitution: u = π 4 x 2,730 = π 4 x x 2 = 2,730 4 π = 3,476 Eine weitere Lösung erhalten wir bei einem Vielfachen der u1 u 3 = u 1 + 2π = 0,412 + 2π = 6,695 Rücksubstitution: u = π 4 x 6,695 = π 4 x x 3 = 6,695 4 π = 8,524 Dieser Wert liegt außerhalb des vorgegebenen Bereiches, und ist damit keine Lösung. L = {0,525; 3,476} Aufgabe 316: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung 320-348

cos ( π 5 x) = 1 2 3 im Bereich von 5 x +10. Substitution: u = π 5 x cos (u) = 1 2 3 Die positive Lösung ermitteln wir mit Hilfe der Formelsammlung: u = 1 6 π Der Kosinus ist negativ im zweiten und dritten Feld, damit können wir zwei Lösungen ermitteln: u 1 = π 1 6 π = 5 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 5 6 π = π 5 x x 1 = 25 6 Eine zweite Lösung erhalten wir mit: u 2 = π + 1 6 π = 7 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 7 6 π = π 5 x x 2 = 35 6 π 321-348

Eine Periode weiter: u 3 = u 1 + 2π = 5 6 π + 2π = 17 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 17 6 π = π 5 x x 3 = 85 6 Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. Ausgehend von der u1-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 3 = u 1 2π = 5 6 π 2π = 7 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 7 6 π = π 5 x x 4 = 35 6 Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. Ausgehend von der u2-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 3 = u 2 2π = 7 6 π 2π = 5 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 5 6 π = π 5 x x 4 = 25 6 L = { 25 6 ; 25 6 ; 35 6 } Aufgabe 317: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung 322-348

sin(x π) = 1 2 im Bereich von 2π x +2π. Substitution: u = x π sin (u) = 1 2 Die positive Lösung ermitteln wir mit Hilfe der Formelsammlung: u = 1 6 π Der Sinus ist negativ im dritten und vierten Feld, damit können wir zwei Lösungen ermitteln: u 1 = π + 1 6 π = 7 6 π Rücksubstitution: u = x π 7 π = x π 6 x 1 = 13 6 π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. u 2 = 2π 1 6 π = 11 6 π Rücksubstitution: u = x π 11 π = x π 6 x 2 = 17 6 π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. 323-348

Ausgehend von der u1-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 3 = 7 6 π 2π = 5 6 π Rücksubstitution: u = x π 5 π = x π 6 x 3 = 1 6 π Ausgehend von der u3-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 4 = 5 6 π 2π = 17 6 π Rücksubstitution: u = x π 17 6 π = x π x 4 = 11 6 π Ausgehend von der u2-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 5 = 11 6 π 2π = 1 6 π Rücksubstitution: u = x π 1 π = x π 6 x 4 = 5 6 π u 5 = 1 6 π 2π = 13 6 π Rücksubstitution: u = x π 324-348

13 6 π = x π x 4 = 7 6 π L = { 11 6 π; 7 6 π; 1 6 π; 5 6 π} Aufgabe 318: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin (x + 5 6 π) = 1 2 2 im Bereich von π x +2π. Substitution: u = x + 5 6 π sin (u) = 1 2 2 Die erste Lösung ermitteln wir mit Hilfe der Formelsammlung: u 1 = 1 4 π Rücksubstitution: u = x + 5 6 π 1 4 π = x + 5 6 π x 1 = 1 4 π 5 6 π = 3 10 12 π = 7 12 π x 1 = 7 12 π Im zweiten Feld ergibt sich eine zweite u 2 = π 1 4 π = 3 4 π 325-348

Rücksubstitution: u = x + 5 6 π 3 4 π = x + 5 6 π x 2 = 3 4 π 5 6 π = 9 10 12 π = 1 12 π x 2 = 3 4 π 5 6 π = 9 10 12 π = 1 12 π u 3 = u 1 + 2π = 1 4 π + 2π = 13 4 π Rücksubstitution: x 3 = 13 4 π 5 6 u = x + 5 6 π 13 4 π = x + 5 6 π 39 10 π = π = 29 12 12 π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. Ausgehend von der u1-lösung gehen wir in den positiven Bereich: u 3 = 1 4 π + 2π = 9 4 π Rücksubstitution: u = x + 5 6 π 9 4 π = x + 5 6 π x 4 = 9 4 π 5 6 π 27 10 x 4 = π 12 x 4 = 17 12 π Ausgehend von der u2-lösung gehen wir in den positiven Bereich: 326-348

u 3 = 3 4 π + 2π = 11 4 π Rücksubstitution: u = x + 5 6 π 11 4 π = x + 5 6 π x 4 = 11 4 π 5 6 π 33 10 x 4 = π 12 x 4 = 23 12 π L = { 7 12 π; 1 12 17 23 π; π; 12 12 π} 327-348

Vektorrechnung Aufgabe 319: Stellen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h fest. Wenn sich die Geraden schneiden, berechnen Sie auch den Schnittpunkt. 328-348

329-348

Aufgabe 320: 330-348

Aufgabe 321: 331-348

Aufgabe 324: 333-348

334-348

335-348

336-348

337-348

338-348

Aufgabe 325: 339-348

340-348

Aufgabe 326: 341-348

Aufgabe 327: 342-348

343-348

Aufgabe 328: 344-348

Aufgabe 329: 345-348

Aufgabe 330: 346-348