4.1 Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Metrik oder ein Abstand auf M ist eine Abbildung d : M M Ê mit folgenden Eigenschaften: d (x, y) :=

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 06 4 Konvergenz 4. Abstände 4. Definition: Sei M nichtleere Menge. Eine Metrik oder ein Abstnd uf M ist eine Abbildung d : M M Ê mit folgenden Eigenschften: M x, y M : dx, y 0 x, y M : dx, y = 0 x = y Positivität, Definitheit. M2 x, y M : dx, y = dy, x Symmetrie. M3 x, y, z M : dx, y dx, z + dz, y Dreiecks-Ungleichung, -Ungleichung. M, d heißt metrischer Rum. 4.2 Stz: Ist V,. ein normierter Vektorrum, dnn ist eine Metrik uf V. dx, y := x y 4.3 Beispiele: Ist Ã,. ein bewerteter Körper z.b. à = Ê oder à =, dnn ist dx, y := x y eine Metrik uf à 2 Sei V = Ê n oder V = n. Aus Stz 4.2 n d 2 x, y := x j y j 2, d x, y := d x, y := d p x, y := j= n x j y j, j= mx x j y j, j n n /p x j y j p j= mit p < sind Metriken uf V. Je nch Anwendung knn eine ndere Metrik pssend sein.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 07 3 Der Rum der n n-mtrizen V = M n,n = A + B = ij + bij := ij + b ij λ A = λ ij := λij A B = ij bij := n l= { ij il b lj i,j i n j n A = ij := n mx ij ist eine Norm da, B = ij bij Spezilität: A B n mx n il b lj l= n 2 mx ij mx b ij = A B Insbesondere gilt: A k A k für k Æ. ist eine Metrik uf M n,n : ij } Mtrizenmultipliktion 4 V = C[, b] Ê: Rum der uf [, b] stetigen reellwertigen Funktionen. f := df, g := fx dx ist Norm fx gx dx ist Metrik uf C[, b] Ê f := mx fx ist Norm x b df, g := fx gx ist Metrik uf C[, b] Ê mx x b 5 Metrik uf einer beliebigen Menge: Sei M. dx, y := { 0 flls x = y flls x y ist eine Metrik uf M. 4.4 Dreiecks-Ungleichung nch unten: Sei M, d ein metrischer Rum. Für x, y, z M gilt dx, y dx, z dz, y. 4.5 Definition: Sei M, d ein metrischer Rum, x 0 M und R ]0, [. Dnn heißt offene Kugel um x 0 mit Rdius R. B R x 0 := { x M : dx, x 0 < R }

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 08 4.2 Folgen 4.6 Konvergenz: Sei M, d ein metrischer Rum, x n eine Folge in M und x M. x n heißt konvergent gegen x, flls In diesem Fll schreiben wir ε > 0 N ε Æ n > N ε : dx n, x < ε. x = lim n x n, x n n x, x n x für n, x n x; x heißt Grenzwert oder Limes der Folge x n. 2 x n heißt konvergent, flls x M : x = lim n x n. Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent. 3 x n heißt Cuchy-Folge, flls ε > 0 N ε Æ n, m > N ε : dx n, x m < ε. 4.7 Stz und Definition: Sei M, d ein metrischer Rum. Jede konvergente Folge ist eine Cuchy-Folge. 2 Gilt umgekehrt: Jede Cuchy-Folge ist in M konvergent, dnn heißt M, d vollständig. 4.8 Eindeutigkeit des Grenzwertes: Sei M, d ein metrischer Rum. Ist lim n x n = x, so besitzt x n keinen weiteren Grenzwert. 4.9 Beispiele: M = É, dx, y = x y : x n x ε > 0 N ε Æ n > N ε : x n x < ε. Dies ist der Konvergenzbegriff, den wir bereits kennen. É, d ist nicht vollständig. 2 M = Ê mit dx, y = x y ist vollständig vgl. 2.30. 3 M =, dz, u = z u. Es gelten vgl. 2.54 z n z Re z n Re z Im z n Im z z n ist Cuchy-Folge Re z n, Im z n sind Cuchy-Folgen. D Ê vollständig ist, ist uch vollständig.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 09 4 M = n, dz, u := d z, u = mx z j u j ist vollständig: z m Sei z m Cuchy-Folge, z m =.. z m n m, k > N ε j =,...,n : z m j z k j d z m, z k < ε j =,..., n : z m j m Æ ist Cuchy-Folge in j =,..., n : z m j u j dz m, u = mx z m j u j 0 j =,..., n : z m u in n, d. Enstprechend knn bewiesen werden: n, d p ist vollständig vgl. 4.3 5 V = M n,n, da, B = n mx ij b ij : Genuso wie 4: V, d ist vollständig. Sei A M n,n mit A <. Dnn gilt A n 0: 6 V = C[, ] Ê, d f, g = da n, 0 = A n 0 = A n A n 0. fx gx dx: Betrchte f n mit 0 x < 0 f n x = nx 0 x n < x n f n ist Cuchy-Folge: Für n m gilt df n, f m = 0 /m 0 /m 0 = m f n x f m x dx f n x f m x dx dx < ε für m > ε. Offensichtlich müsste für eine Grenzfunktion f gelten: { 0, x < 0 fx =, 0 < x Dnn knn f ber nicht stetig sein, f n besitzt keinen Grenzwert in C[, ] Ê. Also: C[, ] Ê, d ist nicht vollständig. 7 V = C[, b] Ê, d f, g = mx x b fx gx : Später: V, d ist vollständig.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 0 4.0 Definition: Gilt für die relle Folge n : M > 0 N Æ n > N : n > M oder M > 0 N Æ n > N : n < M, so heißt die Folge n bestimmt divergent. Mn schreibt lim n = oder n bzw. lim n = oder n. n n Ds bedeutet ber nicht, dss für solche Folgen ein Kovergenzbegriff definiert wird. 4. Beispiele: lim n =, lim n /000 =. n n Die Folge n = n n ist nicht bestimmt divergent. 4.3 Reihen 4.2 Definition: Sei k eine Folge in einem normierten Vektorrum z.b. Ê, Ê n,, n. Die unendliche Reihe s n := n k, d.h. k=0 k bezeichnet die Folge der Prtilsummen s n n Æ0 mit n k := s n n Æ0 = k. n Æ 0 k=0 k=0 Die Folgenglieder k heißen uch die Summnden der Reihe. 2 Die Reihe k heißt konvergent, flls s n konvergiert, sonst divergent. k=0 3 Flls die Reihe konvergiert, schreibt mn n k := lim s n = lim k. n n k=0 4 Eine relle Reihe d.h. die Summnden sind reell heißt bestimmt divergent, flls n K Ê N K Æ n > N K : k > K d.h. s n bzw. K Ê N K Æ n > N K : d.h. s n. Schreibweise: k = 5 Genuso k=0 k=k 0 k mit k 0. bzw. k=0 k=0 k=0 n k < K k=0 k =. k=0

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite Achtung: k bzeichnet zwei verschiedene Dinge: i Die Teilsummenfolge s n, k= i den Grenzwert der Teilsummenfolge. 4.3 Bemerkung: Jede Folge knn ls Reihe drgestellt werden: x n = x }{{} + x 2 x + x }{{} 3 x 2 +... + x }{{} n x }{{ n } =: =: 2 =: 3 =: n k = x n. k= 4.4 Beispiele: k = : s n = n +, = bestimmt divergent. k=0 2 Die Geometrische Reihe: k = q k, q \ {} q Ê n s n = q k = qn+ q k=0 q < q k = q > q > k=0 q q k ist divergent k=0 q k = k=0 3 Wichtigste divergente Reihe: Hrmonische Reihe Aus m + + m + 2 +... + 2m 2m + 2m +... + 2m = 2 folgt k= k : s 2 N = 2 N k= k = + 2 + 3 + + }{{ 4 }{{}... +... + } 2 N + +... + }{{ 2 N } 2 2 2 + N 2 s n + N 2 für n 2N für beliebiges N Æ. k =. k= Sehr lngsme Divergenz: s 000 = 7, 4...; s 0000 = 9, 7.... Auf jedem Tschenrechner konvergiert die hrmonische Reihe.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 2 4 Dezimlbrüche: π = 3, 459... bedeutet π = k=0 k 0 k mit 0 = 3, =, 2 = 4,.... Die Teilsummenfolge ist monoton: s n+ s n = n+ 0 0 n n+ 9 und beschränkt: s n 0 9 k = 9 k 0. 0 k=0 k=0 Konvergenz vgl. Huptstz über monotone Folgen 2.38. 4.5 Elementre Eigenschften: Sind sind uch k + b k und k=0 2 Cuchy-Kriterium: Ist k, k=0 λ k konvergent mit k=0 k + b k = k=0 b k konvergent und λ Ã, dnn k=0 k + k=0 λ k = λ k=0 k=0 k k=0 k eine Reihe in einem vollständigen Vektorrum, dnn ist sie k=0 genu dnn konvergent wenn m ε > 0 n ε Æ n, m > n ε : k < ε k=n+ }{{} =ds m,s n 3 Sind k und b k Folgen, die sich nur n endlich vielen Stellen unterscheiden, so ist 4 Ist genu dnn konvergent, wenn sein. k=0 b k k=0 b k konvergiert. Die Grenzwerte können verschieden k=0 k konvergent, dnn ist lim k k = 0. Die Umkehrung gilt nicht: 5 Ist k Ê, k 0 für k Æ, und sind die Prtilsummen beschränkt, so ist konvergent. k= k. k=0 k k

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 3 4.4 Konvergenzkriterien für Reihen 4.6 Leibniz-Kriterium: Sei k in Ê eine positive, monoton fllende Nullfolge, d.h. Dnn ist die lternierende Reihe k 0, k k+ und lim k k = 0. k k konvergent. und es gilt k=0 k k k=0 n k k n+. k=0 Beweis: Setze s n := n k k. k=0 s 2k k Æ ist monoton fllend: s 2k+ s 2k = 2k+2 2k+ 0 2 s 2k+ k Æ ist monoton wchsend: Genuso 3 Es gilt: s s 2k+ = s 2k 2k+ s 2k s 0. s 2k, s 2k+ sind monoton und beschränkt, lso konvergent. Wegen s 2k+ s 2k = k+ 0 gilt s n ist konvergent, lim n s n = s. 4 Fehlerbschätzung: lim s 2k = lim s 2k+ =: s. k k s 2k s s 2k s s 2k = s s 2k s 2k s 2k = 2k, s 2k+ s s 2k s s 2k = s 2k s s 2k s 2k+ = 2k+. 4.7 Beispiel: k k= k ist konvergent gegen ln 2. 4.8 Definition: Die Reihe n heißt bsolut konvergent, flls n konvergiert bzw. flls n konvergiert wenn n reelle oder komplexe Folge. Eine konvergente Reihe, die nicht bsolut konvergiert, heißt bedingt konvergent.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 4 4.9 Beispiel: k k= k ist bedingt konvergent. 4.20 Stz: In einem vollständigen Vektorrum ist jede bsolut konvergente Folge konvergent. Beweis: Cuchy-Kriterium: s m s n = m k k=n+ m k=n+ k < ε für m n > N ε. 4.2 Mjorntenkriterium: Es sei n eine Folge in einem vollständigen Vektorrum und c n eine reelle Folge. Flls n 0 Æ n n 0 : n c n c n konvergent, n=0 dnn konvergiert uch n bsolut. Die Reihe c n heißt Mjornte für n. Beweis: Cuchy-Kriterium: m s m s n = k k=n+ m k=n+ k m k=n+ c k < ε für m n > N ε. 4.22 Minorntenkriterium: Sind n, c n relle Folgen, und gilt n 0 Æ n n 0 : n c n 0 c n =, n=0 dnn ist n bestimmt divergent: n =. n=0 4.23 Beispiele: n=0 n konvergiert bsolut wegen 2 n + 3n 2 n + 3 n n 3 n, = 3 3 n=0 konvergent.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 5 2 3 n=0 n=0 = wegen n n n n konvergiert bsolut wegen 4n für n Æ. n 4 = n n 2 n + n Bernoullie Ungl. n 2 n n = 2 und n 2 = n. 2 n=0 4 k=0 k 2 konvergiert wegen k 2 kk kk = k k n kk = k=2 für k 2 und n k=2 n k k = n. k=2 4.24 Wurzelkriterium: Es sei n eine Folge in einem vollständigen Vektorrum. Flls es ein q mit 0 q < gibt, so dss für irgendein n 0 Æ, dnn ist n n 0 : n n q n bsolut konvergent. n=0 Aus n n für n n 0 folgt Divergenz. n 2 Flls die Folge n konvergiert, setze Dnn gilt: n Æ q := lim n n n. q < q > q = n konvergiert bsolut, n divergiert, Mit Wurzelkriterium keine Aussge möglich. Beweis: n n 0 : b < q n q n konvergent } n bsolut konvergent b n n = für n n 0 n 0 n divergent. 2 Sei q <. Setze ε := q 2 > 0. Für n > N ε gilt n n < q + ε = q + 2 <.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 6 4.25 Beispiel: n=0 n konvergiert bsolut wegen 4n lim n n n 4 = lim n /n n n 4 = 4 lim n n/n siehe unten = 4 <. 4.26 Stz: Es gilt lim n n /n =. Beweis: n > n /n >. Setze δ n := n /n n /n = + δ n n = + δ n n = n n j j=0 δ 2 n 2n nn 0 δ n 0 δ n n n j } {{ } 0 n δn 2 2 = nn 2 δ 2 n n /n = + δ n 4.27 Quotientenkriterium: Sei n eine relle oder komplexe Folge mit n 0 für n n 0. Flls es ein q mit 0 q < gibt mit n n 0 : n+ n q, dnn ist n bsolut konvergent. n=0 Aus n+ n für n n 0 folgt Divergenz. n+ 2 Flls die Folge n konvergiert sei q := lim n+ n n. Dnn gilt: q < q > q = n konvergiert bsolut, n divergiert, Mit Quotientenkriterium keine Aussge möglich.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 7 4.28 Beispiele: für z : n 2 z n mit z ist bsolut konvergent für z < und divergent n=0 Wurzelkriterium: Quotientenkriterium: n n2 z n = n n 2 z = n /n 2 z z, n+ n = n + z n+ 2 n + n 2 z n = z z n Für z = : n 2 z n = n 2 n 2 z n 0 n 2 z n ist divergent. 2 n=0 z n n! konvergiert bsolut für lle z : Quotientenkriterium: z n+ n+! z n n! = z n + 0. 3 4 n=0 n=0 n ist konvergent, und n2 n ist divergent, und n 2 + n n n=0 n bzw. n+ 2 2 n 2 n bzw. n+ n 4 n ist bsolut konvergent: Wurzelkriterium: n n = 3 n n = 3 4 n 4 n n 4 n = 4 für gerdes n, für ungerdes n. bsolute Konv. Aber Quotientenkriterium: n+ n = 4 n+ 3 4 = n 4 3 n+ für gerdes n 4 3 n+ 4 = n 3n+ 4 für ungerdes n Mit dem Quotientenkriterium ist keine Aussge möglich! Ds Wurzelkriterium ist stärker ls ds Quotientenkrtiterium ohne Beweis. 4.29 Produkt von Reihen: Es seien n und b n bsolut konvergent und c n := n j b n j. j=0 Dnn konvergiert ds Cuchy-Produkt c n bsolut, und für die Grenzwerte gilt n b n = c n. n=0 n=0 n=0

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 8 4.30 Beispiele: q n q, n Reihe ist für q < bsolut konvergent. q 2 = n=0 n=0 c n = q 2 = n n q j q n j = q n = n + q n j=0 n + q n = j=0 n=0 n= n q n. 2 n=0 n n + ist bedingt konvergent. Cuchy-Produkt mit sich selber: c n = n j=0 j j + n+ n j + = n n j=0 j + n j +. Die Produktreihe c n ist divergent: Für festes n Æ betrchte fx = xn + 2 x 2 2 n + 2 n + 2 = x 2 n + 2x + + 2 2 }{{} =x n+2 2 2 0 2 n + 2. 2 für 0 < x < n + 2 gilt j + n j + = c n n j=0 c n 0 2 n + 2 c n ist divergent. 2 fx 2 bzw. n + 2 2 fj + n + 2 = 2n + n + 2 fx 2 n + 2 4.5 Potenzreihen 4.3 Definition: Sei z 0 und n eine komplexe Folge. Dnn heißt fz = n z z 0 n n=0 Potenzreihe um z 0 mit den Koeffizienten n. Flls z, z 0 Ê und n reelle Folge, so heißt die Potenzreihe reell.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 9 4.32 Beispiel: 2 z = 2 z 2 = 2 z n = 2 n=0 n=0 n+ z n für 2 z 2 < bzw. z < 2 oder 2 z = z = z n für z < n=0 4.33 Konvergenzrdius: Sei n z z 0 n Potenzreihe. Es gibt eine eindeutig bestimmte Zhl R [0, ], so dss { bsolut konvergent für z n z z 0 n z0 < R, ist divergent für z z 0 > R. n=0 Für z z 0 = R knn lles pssieren. Die Größe R heißt Konvergenzrdius der Potenzreihe. 2 Flls r := lim n+ n n oder r := lim n n n existiert oder r = bestimmte Divergenz, so gilt flls r > 0 r R = flls r = 0 0 flls r = Limes superior = größter durch Teilfolge erreich- n Im Allgemeinen: r = lim sup n n brer Grenzwert, R wie oben. Beweis: Zum Beweis von 2 wende ds Wurzelkriterium n: n n z n = n n z n lim n z < lim n z beliebig n n soll sein n n z < flls lim n n n > 0 flls lim n n n = 0 Genuso: Anwendung des Quotientenkriteriums liefert die ndere Formel für den Konvergenzrdius. 4.34 Beispiele: z n n! : n = n! n+ n = n + 0 R =.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 20 2 n 2 z n : R =, Reihe ist konvergent für z <, divergent für z vgl. Beispiel uf Seite 7. 3 2 n n 2z n : n = 2n n 2 n+ n = n + 2 n 2 2 2 R = 2, lso: bsolute Konvergenz für z < 2 Divergenz für z > 2 Für z = 2 : 2 n z n2 = Konvergenz Mjo-Kriterium 4.2. n 2 4 Geometrische Reihe: z 2 n = n=0 + z 2. Also R =. Die Funktion fz = ht in z = ±i eine Singulrität Nennernullstelle. Deshlb knn der Konvergenzrdius nicht größer + z2 sein. 5 3 + n n z n : { n 2 n ungerde n = 4 n gerde R = 4. 4.35 Identitätsstz: Seien fz = n z z 0 n und gz = b n z z 0 n Potenzreihen n=0 mit positiven Konvergenzrdien. Existiert eine Folge z k mit z k z 0, z k z 0 und fz k = gz k für k Æ, so folgt n = b n, lso uch f = g. Insbesondere ist jede Funktion uf höchstens eine Weise ls Potenzreihe um z 0 drstellbr. n=0 4.36 Multipliktion: Seien fz = n z z 0 n mit Konvergenzrdius R > 0 und gz = b n z z 0 n mit R 2 > 0. n=0 n=0 Dnn gilt wenigstens für z z 0 < min{r, R 2 }: n fz gz = c n z z 0 n mit c n = k b n k. n=0 k=0 Beweis: fz, gz sind bsolut konvergent für z < min{r, R 2 }. Aus Stz 4.29 Cuchy- Produkt von Reihen: Für jedes feste z mit z < min{r, R 2 } gilt: fz gz = c n, c n = n=0 n k z z 0 k b n k z z 0 n k = z z 0 n k=0 k=0 n k b n k.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 2 4.6 Spezielle Funktionen 4.37 Definition: Wir setzen: e z := ln z := sin z := cos z := n=0 n=0 n=0 n=0 z n n! für z, n n + z n+ für z mit z <, n 2n +! z2n+ für z, n 2n! z2n für z. 4.38 Eigenschften: e z+w = e z e w für z, w, insbesondere gilt e z = e z. Weiter gilt e 0 =, e = n! = e, e/2 e /2 = e = e e /2 > 0 e /2 = e. n=0 Mit Induktion folgt e q = q-te Potenz von e für q É. 2 Später: Die reelle Exponentilfunktion e. : Ê ]0, [ : x e x ist bijektiv. Die Umkehrbbildung stimmt für x < mit der oben definierten Logrithmusfunktion überein, d.h. es gilt lne x = x = e ln x. 3 sin z = sin z, cos z = cos z. 4 e iz = cos z + i sin z Eulersche Formel bzw. e i z + e i z = cosz, 2 Insbesondere gilt die Formel von Moivre: e i z e i z 2i = sin z. cos z + i sin z n = e i z n = e i nz = cosnz + i sinnz für n Æ. 5 sin 2 z + cos 2 z =. Insbesondere e i t = für t Ê. 6 Additionstheoreme: sinz + z 2 = sin z cosz 2 + cosz sin z 2, cosz + z 2 = cosz cosz 2 sin z sin z 2 7 Später: Für z = x Ê stimmen sin x, cosx mit der rellen bereits beknnten Sinusbzw. Cosinusfunktion überein. Drus folgt: Die Abbildung [0, 2π[ t e it prmetrisiert den Einheitskreis in. Insbesondere gilt e iπ/2 = i, e iπ =, e i3π/2 = i, e 2πi =.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 22 b Die komplexe Exponentilfunktion e. : : z e z ht die Periode 2πi: e z+2πi = e z für z. c Die komplexe Sinus- und Cosinusfunktion hben die Periode 2π: sinz + 2π = sin z, cosz + 2π = cosz für z, insbesondere für z Ê. 4.39 Definition: Sei V = M n,n der vollständige Vektorrum der n n-mtrizen mit Norm A = ij = n mx i,j n ij. Wir setzen Dnn gilt e A := n=0 A n n! e A e A. für A M n,n. Weiter sind die Sinus- und Cosinusfunktionen definiert durch n sina := 2n +! A2n+ für A M n,n cosa := n=0 n=0 n 2n! A2n für A M n,n 4.40 Eigenschften: e A+B = e A e B für A, B M n,n, insbesondere gilt e A = e A. 2 sin A = sin A, cos A = cosa. 3 e ia = cosa + i sin A λ 0 λ n 0 4.4 Beispiele: A = λ e A = n=0 0 λ 2 λ n 0 n! 0 λ n 2 e λ e A n = = 0 λ n 2 λ n 0 n! λ n 0 2 n! = e λ 0 0 e λ 2 2 A = 0 e A = 0 e Übungen. 4.42 Die geometrische Reihe für Mtrizen: Für A M n,n mit A < gilt A n = E A Neumnnsche Reihe. n=0

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 23 5 Stetigkeit 5. Um ws gehts? 5. Definition und Stz: Seien E, d E und F, d F metrische Räume und f : E D F, x 0 D D = Definitionsbereich von f. Dnn heißt f stetig in x 0, flls i ε > 0 δ > 0 x D : d E x, x 0 < δ d F fx, fx 0 < ε ε-δ-kriterium für Stetigkeit oder äquivlent ii Für jede Folge x n in D mit x n x 0 gilt fx n fx 0, d.h. lim fx n = f lim x n n n Folgenkriterium für Stetigkeit. f heißt stetig, flls f in jedem Punkt x 0 D stetig ist. Zur Äquivlenz: i ii: Sei x n Folge in D mit x n x 0. Zu ε > 0 wähle δ > 0, so dss gilt: d E x, x 0 < δ d F fx, fx 0 < ε. Wähle N δ mit d E x n, x 0 < δ für n > N δ. Für n > N δ folgt d F fx n, fx 0 < ε fx n fx 0. ii i: Zeige i ii: i ε > 0 δ > 0 x D : d E x, x 0 < δ d F fx, fx 0 ε Für n Æ wähle δ n := n : x n D : d E x n, x 0 < n d Ffx n, fx 0 ε x n x 0 fx n fx 0 ii, 5.2 Diskussion: Ds Bild: F E

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 24 2 Konstnte Funktionen sind stetig und id : E E : x x ist stetig. Ds sind die wichtigsten stetigen Funktionen. 3 Heviside Funktion, Einschltfunktion { 0, x < 0 h : Ê Ê : x, x 0 ist unstetig in x 0 = 0, sonst stetig. {, x É 4 f : Ê Ê : x 0, sonst ist nirgends stetig. { n gerde 5 Unglublich, ber whr: D := Ê, f : D Ê : n 0 n ungerde f : Ê \ {0} Ê : x ist stetig. x ist stetig. 6 f : Ê 2 Ê : x, y x y ist stetig. 5.3 Rechenregeln für stetige Funktionen in Vektorräumen: Seien E, F Vektorräume über Ê oder und f, g : E D F stetig in x 0 D. Dnn gelten: f + g, λf, f : x fx sind stetig in x 0. 2 Ist F = Ê oder F =, so ist f g : x fx gx stetig in x 0. Ist zusätzlich gx 0 0, so sind uch g : x gx, f g : x fx gx stetig in x 0. 3 Ist F =, so sind Ref und Imf stetig in x 0. 5.4 Anwendung: Aus : CÊ Ê := {f : Ê Ê f ist stetig} ist ein Vektorrum. 5.5 Komposition stetiger Funktionen: Sei f stetig in x 0, g stetig in fx 0, dnn ist uch g f : x gfx stetig in x 0.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 25 5.6 Beispiele: Polynom P : : z 0 + z +... + n z n ist stetig uf gnz. 2 P, Q Polynome, D := {z : Qz 0}. Dnn ist P Q stetig. 3 Seien p, q Æ fest. Später: f : [0, [ [0, [ : x x /q ist stetig. Setze gy := y p g f : x x p/q ist stetig. 5.2 Stetige Funktionen sind gute Funktionen 5.7 Stz: Sei f : E D F stetig in x 0 D und fx 0 y 0. Dnn δ > 0 x D : d E x, x 0 < δ fx y 0. 5.8 Zwischenwertstz von Bolzno: Sei f : Ê [, b] Ê stetig. Dnn nimmt f uch jeden Wert zwischen f und fb wenigstens einml n. Insbesondere: f < 0 fb > 0 x ], b[ : fx = 0. Beweisidee: Sei f < 0 < fb. Intervllschchtelung: Setze 0 :=, b 0 := b, x 0 := 0 + b 0 2 Flls fx 0 = 0, sind wir fertig } Flls fx 0 > 0: Setze := 0, b := x 0 f < 0 < fb Flls fx 0 < 0: Setze := x 0, b := b 0 b = b 0 0. 2 Führe Verfhren fort. Dnn Nullstelle in endlich vielen Schritten oder n x mit fx = 0. 5.9 Diskussion: Dzu wichtig: [, b] ht keine Löcher, lso Vollständigkeit. 2 Beweis gibt itertives Verfhren zur Bestimmung der Nullstelle. 3 Es folgt: Jedes Polynom ungerder Ordnung ht mindestens eine reelle Nullstelle: Px = 0 + x +... + n x n = x n n n }{{} + n n x +... + 0 n x }{{ n } für x ± x, x 2 Ê : fx < 0 < fx 2. > 0 für x > 0 < 0 für x < 0 Der Zwischenwertstz grntiert nun die Existenz mindestens eines x Ê mit Px n = 0, lso Px = 0.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 26 5.0 Stz: Sei f : Ê [, b] Ê stetig. Dnn nimmt f uf [, b] ds Mximum und Minimum n, d.h. x, x 2 [, b] x [, b] : fx fx fx 2 Verllgemeinerung: Ist f : D F stetig und D Ê n beschränkt und bgeschlossen, dnn nimmt f uf D ds Mximum und Minimum n. Beweisidee: Sei M := sup{fx : x b} eventuell M =. Wähle Folge x n in [, b] mit fx n M. Diese Folge besitzt eine Teilfolge x nk k Æ, die in [, b] konvergiert: x nk x 0 [, b] für k ohne Beweis. { fxnk M für k fx nk fx 0 für k M = fx 0, insbesondere M <. 5. Beispiele: f : [, 2] Ê : x x x 2: f3/2 fx f für x [, 2]. 2 f : ]0, [ Ê : x : Weder Minimum noch Mximum wird ngenommen. x 3 für x = Weder Minimum noch Mximum wird 3 f : [, 4] Ê : x x für < x < 4 : ngenommen. 2 für x = 4 5.2 Folgerung: Sei F normierter Vektorrum und f : Ê [, b] F stetig. Dnn ist f beschränkt, ds heißt K Ê x [, b] : fx K. Beweis: Setze gx := fx g : [, b] Ê ist stetig. x, x 2 [, b] : gx gx = fx gx 2, d.h. gx 2 ist obere Schrnke für fx. 5.3 Umkehrfunktionen 5.3 Definition: f : Ê D Ê heißt monoton wchsend streng monoton wchsend, monoton fllend, streng monoton fllend, flls x, y D : x < y fx fy fx < fy, fx fy, fx > fy. 5.4 Beispiele: f : Ê Ê : x ist monoton wchsend und monoton fllend.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 27 2 f : Ê Ê : x x ist streng monoton wchsend. x für x <, 3 f : Ê Ê : x für x 2, x für x > 2, ist monoton wchsend. 5.5 Stz: Es sei f : Ê D Ê streng monoton wchsend oder streng monoton fllend. Dnn ist f injektiv. Beweis: Sei f streng monoton wchsend. { Entweder x < x 2 fx < fx 2 x x 2 oder x > x 2 fx > fx 2 } fx fx 2 5.6 Stz: Sei f : [, b] Ê stetig und streng monoton wchsend. Dnn bildet f ds Intervll [, b] bijektiv uf ds Intervll [f, fb] b. Die Umkehrfunktion f : [f, fb] [, b] ist stetig und streng monoton wchsend. Anlog für streng monoton fllende Funktionen f : [, b] [fb, f] und uch für offene Intervlle. Beweis: f streng monoton wchsend f injektiv f[, b] [f, fb]. D f stetig, folgt mit dem Zwischenwertstz, dss f surjektiv ist. f bijektiv. 2 f ist streng monoton wchsend: Sei y < y 2 mit y j = fx j. Annhme: f y f y 2 x = f y f y 2 = x 2 y = fx fx 2 = y 2 3 f ist stetig: Seien y 0 = fx 0 und ε > 0 fest. Wegen der strengen Monotonie gilt fx 0 ε < fx 0 < fx 0 + ε. Wähle nun δ > 0 so klein, dss fx 0 ε < fx 0 δ und fx 0 + δ < fx 0 + ε. Für y y 0 < δ gilt nun y ]fx 0 δ, fx 0 + δ[ [fx 0 ε, fx 0 + ε] = f[x 0 ε, x 0 + ε] f y [x 0 ε, x 0 + ε] f y x 0 < ε. 5.7 Bemerkungen: f f. 2 Grph von x = f y: derselbe wie der von y = fx. Grph von y = f x: Spiegelung des Grphen von y = fx n y = x.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 28 5.8 Wurzelfunktionen: Für festes n Æ sei f : Ê + 0 Ê+ 0 : x xn. f ist stetig. 2 f ist streng monoton wchsend. 3 f ist surjektiv. Also existiert die Umkehrfunktion f : Ê + 0 Ê+ 0 : x n x. Wie oben: f ist stetig und streng monoton wchsend. y y = x 3 x = 3 y y = 3 x Allgemeiner folgt: x Für jedes q É mit q 0 ist f : [0, [ [0, [ : x x q stetig. Für jedes q É mit q < 0 ist f : ]0, [ ]0, [ : x x q stetig. 5.4 Stetigkeit von Grenzfunktionen 5.9 Beispiele für Funktionenfolgen: Sei f n : Ê Ê : x x 2n. Die Folge f n x n konvergiert nicht für lle x D = Ê. x < f n x 0 x = f n x x > f n x 2 Sei f n : Ê Ê : x + x 2n. fn x n konvergiert für n in jedem Punkt x D = Ê. Wir setzen fx := lim n f n x für x D.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 29 x < fx = x = 2 0 x > Alle f n sind stetig, ber f nicht. 3 Sei f n : [ 2, 2] Ê : x + n x. Für jedes x D = [ 2, 2] gilt f n x. Alle f n sind stetig, und die Grenzfunktion f : x uch. 5.20 Definition: Seien f, f n : E D F Funktionen. Die Folge f n heißt punktweise konvergent gegen f, flls lim n f n x = fx für lle x D, d.h. x D ε > 0 N ε Æ n > N }{{} ε : d F f n x, fx < ε. N ε drf von x bhängen 2 Die Folge f n heißt gleichmäßig konvergent gegen f uf D, flls ε > 0 N ε Æ n > N ε x D : d F f n x, fx < ε. }{{} gilt unbhängig von x Schreibweise: lim n f n = f punktweise/gleichmäßig. 5.2 Diskussion: f n f gleichmäßig bedeutet: ε > 0 N ε Æ n > N ε : Der Grph von f n liegt im ε-schluch um f 2 Beispiel : nicht punktweise konvergent, nicht gleichmäßig konvergent. Beispiel 2: punktweise konvergent, ber nicht gleichmäßig konvergent. Beispiel 3: punktweise und gleichmäßig konvergent.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 30 3 gleichmäßig konvergent punktweise konvergent. Aber gleichmäßig konvergent ist wesentlich mehr ls punktweise konvergent. 4 Rechenregeln für konvergente Folgen übertrgen sich uf Funktionenfolgen. 5 Reihen: Eine Reihe bzw. die Folge der Prtilsummen knn punktweise oder gleichmäßig konvergieren, bedingt oder bsolut. 5.22 Stz: Der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen ist stetig: f n stetig für n Æ f n f gleichmäßig f ist stetig. Beweis: Seien x 0 D und ε > 0 fest. Wähle N ε, so dss d F fn x, fx < ε 3 für n > N ε, x D. D f Nε+ stetig ist, knn δ > 0 so gewählt werden, dss d F fnε+x, f Nε+x 0 < ε 3 für d E x, x 0 < δ. Für d E x, x 0 < δ folgt d F fx, fx 0 d F fx, fnε+x + d F fnε+x, f Nε+x 0 + d F fnε+x 0, fx 0 < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. 5.23 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz: Cuchy-Kriterium: Sei F, d F ein vollständiger metrischer Rum. Flls ε > 0 N ε Æ n, m > N ε x D : d F f n x, f m x < ε, dnn existiert eine Funktion f : D F mit f = lim f n gleichmäßig. 2 Weierstrß-Kriterium: Flls F vollständiger Vektorrum und c n reelle Folge mit c n 0 und cn < und f n x c n für x D, n n 0, dnn konvergieren f n und f n gleichmäßig uf D.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 3 Beweis: Wir betrchten nur den Fll F = Ê, dx, y = x y. Der llgemeine Fll wird entsprechend bewiesen. Für festes x D ist f n x n Æ eine Cuchy-Folge. lso konvergent. Definiere fx := lim f n x für x D. n Aus fn x f m x < ε für m, n > Nε und x D folgt mit Stz 2.56 f n x fx = lim m f nx f m x ε für n > N ε, x D. n 2 Wir zeigen, dss f n ds Cuchy-Kriterium us erfüllt: Sei s n x := f k x. s n x s m x = n n fx fx k=m+ k=m+ n c k < ε für n > m > N ε. k=m+ k=0 5.24 Beispiele: Die geometrische Reihe: Beknnt: z n = punktweise für z <. z n=0 Sei 0 < q <, q fest. Dnn ist z n gleichmäßig konvergent für z q. b Aber: Auf {z : z < } ist z n nicht gleichmäßig konvergent. 2 Sei f n : ], ] Ê : x x n. f n ist stetig und es gilt f n x fx = { 0, x <, x = punktweise. Die Grenzfunktion ist unstetig, lso konvergiert f n nicht gleichmäßig uf ], ]. 5.25 Potenzreihen: Es sei n z z 0 n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R ]0, ]. Dnn gilt: Ist ρ ]0, R[, so konvergiert die Potenzreihe in {z : z z 0 ρ} gleichmäßig. 2 Die Grenzfunktion fz = n z z 0 n für z z 0 < R ist stetig. n=0

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 32 Beweis: Weierstrß-Kriterium: n z z 0 n n ρ n, n ρ n ist konvergent. 2 Sei z z 0 < R ρ ]0, R[ : z z 0 < ρ. Aus und Stz 5.22: f ist stetig in der Menge {z : z z 0 < ρ}, lso insbesondere in z = z. 5.26 Anwendung: Die Funktionen e., sin, cos sind stetig uf. 2 Die Funktion ln ist stetig uf {z : z < }. 3 Für A M n,n ist die Funktion Ê t e t A M n,n stetig uf Ê. 5.27 Der relle Logrithmus: Für die Funktion e. : ], [ ]0, [ gelten: i e. ist stetig. ii e. ist streng monoton wchsend, insbesondere injektiv. iii e. ist surjektiv. Also existiert eine Umkehrfunktion ln : ]0, [ ], [. Sie ist stetig und streng monoton wchsend. y x

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 33 5.5 Grenzwerte von Funktionen 5.28 Beispiele: Heviside-Funktion: { 0 x < 0 hx = x 0 Für x von oben gegen 0 strebt hx gegen Für x von unten gegen 0 strebt hx gegen 0 2 Sei f : Ê : n n. Grenzwert von fx für n x 0 Ê ist nicht sinnvoll. 5.29 Häufungspunkte: Sei E, d ein metrischer Rum und M E, x 0 E. Dnn heißt x 0 Häufungspunkt von M, flls ε > 0 : B ε x 0 \ {x} M oder äquivlent x n : x n M x n x 0 x n x 0. x 0 M heißt isolierter Punkt von M, flls x 0 kein Häufungspunkt von M ist. 5.30 Definition: Sei f : E D F und x 0 E. Schreibe lim fx =, x x 0 flls x 0 Häufungspunkt von D ist und für jede Folge x n in D mit x n x 0 gilt: lim fx n =. n 2 Im Fll f : Ê D F schreibe lim x x 0 fx = oder lim fx =, x x 0 + flls x 0 Häufungspunkt von D ]x 0, [ ist und für jede Folge x n in D mit x n x 0, x n > x 0 gilt. Anlog lim x x0 fx =. 3 Flls x 0 Häufungspunkt von D ist und für jede Folge x n in D mit x n x 0 die Folge fx n bestimmt gegen + divergiert, schreibe lim fx = + x x 0 uneigentlicher Grenzwert. 4 Alles nlog für x +, x.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 34 5.3 Beispiele: lim x 0 x =, lim x 0 x =, lim x x = 0, lim x 2 x x = 2. 5.32 Bemerkungen: Die Rechenregeln für konvergente Folgen übertrgen sich sinngemäß uf ds Rechnen mit Grenzwerten. 2 Gilt x 0 D und lim x x0 fx =, so ist f : D {x 0 } F : x { fx für x D, für x = x 0 stetig in x 0. Mn sgt: f ist stetig ergänzbr in x 0 oder stetig fortsetzbr nch x 0. z.b.: f : Ê \ { } Ê : x x2 x + f : Ê Ê : x x + = x x + x + 3 Sei f : Ê D F und x 0 D Häufungspunkt von D ]x 0, [ und von D ], x 0 [. Dnn sind äquivlent: i f ist stetig in x 0. ii fx 0 = lim x x0 fx = lim x x0 fx. 5.33 Grenzwerte mit Potenzreihen: Zum Beispiel lim x 0 sin x x cosx x 2 e x Nenner: x 2 e x = x 2 n= x n n! = x 3 x n n! n= }{{} =:fx D f durch eine Potenzreihe drgestellt wird, ist f stetig. Außerdem gilt f0 =! =. n n Zähler: sin x x cosx = 2n +! x2n+ x 2n! x2n n=0 n=0 = x 3 n n 2n +! x2n 2 2n! x2n 2 n= n= }{{} =:gx g ist stetig mit g0 = 3! 2! lim x 0 sin x x cosx x 2 e x = 2 6 = 3. =?. x 3 gx = lim x 0 x 3 fx = lim gx x 0 fx = g0 f0 = 3.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 35 6 Differentilrechnung in einer Vriblen 6. Die Ableitung y Tngente Seknte y = fx Gegeben: y = fx. Frge: Tngente in x 0, fx 0? Für h 0 nähert sich Seknte n Tngente Sekntengleichung: y = fx 0 + x x 0 fx fx 0 x x 0 }{{} Steigung der Seknte x 6. Definition: Sei à = Ê oder à = und f : à D Ã, x 0 D, x 0 Häufungspunkt von D. Die Abbildung f : D \ {x 0 } à : x fx fx 0 x x 0 heißt Differenzenquotient. 2 f heißt differenzierbr in x 0, flls f in x 0 stetig ergänzbr ist, d.h. flls fx fx 0 lim =: f df x 0 =: x x 0 x x 0 dx x dfx 0 =: dx x=x0 x D, x x 0 existiert. In diesem Fll heißt der Grenzwert die Ableitung von f in x 0 oder Differentilquotient. 3 f heißt differenzierbr in D, flls f in jedem Punkt x 0 D differenzierbr ist. Die Funktion f heißt Ableitung von f. 6.2 Beispiele: Konstnte Funktion f : : z c ist differenzierbr: f z = 0. 2 Identische Funktion id: : z z ist differenzierbr: id z =. 3 Die Exponentilfunktion f : : z e z ist differenzierbr: e z = e z. 4 f : Ê Ê : x x ist in x 0 = 0 nicht differenzierbr.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 36 6.3 Stz: f : Ã D Ã differenzierbr in x 0 f stetig in x 0. 6.4 Bemerkung: Komplexe differenzierbre Funktionen hben erstunliche Eigenschften und heißen holomorphe oder nlytische Funktionen Funktionentheorie 6.5 Rechenregeln: Seien f, g : Ã D Ã differenzierbr in x 0 D. Dnn gilt λ f λ Ã fest ist differenzierbr in x 0, und es gilt λ f x 0 = λ f x 0. 2 f + g ist differenzierbr in x 0, und es gilt f + g x 0 = f x 0 + g x 0. 3 f g ist differenzierbr in x 0 mit f g x 0 = f x 0 gx 0 + fx 0 g x 0 Produktregel. 4 Flls gx 0 0, ist f g differenzierbr in x 0 mit f x 0 = f x 0 gx 0 fx 0 g x 0 g g 2 x 0 Quotientenregel. 5 Ableitung der Umkehrfunktion: Sei D = [, b] und f : D Ê stetig und streng monoton, f : fd D sei die Umkehrfunktion. Ist f in x 0 differenzierbr und f x 0 0, dnn ist f in y 0 := fx 0 differenzierbr und f y 0 = f x 0 = f f y 0. 6 Seien f : D Ã, g : D Ã mit fd D. Sei f in x 0 D differenzierbr, g in fx 0 D differenzierbr. Dnn ist g f : D Ã in x 0 differenzierbr und g f x 0 = g fx 0 }{{} f x 0 }{{} äußere Ableitung innere Ableitung Kettenregel. 6.6 Beispiele: Für festes n und f : \ {0} : z z n gilt f z = n z n. 2 Für festes q É \ {0} sei f : ]0, [ ]0, [ : x x q. Dnn gilt f x = q x q. 3 fx = x 2 + = x 2 + /2. 4 Für den reellen Logrithmus ln : ]0, [ ]0, [ : x ln x gilt d ln x dx = x. 5 Aus der Schule: f : [ π, π] [, ] : x sin x ist bijektiv mit f x = cosx. Für die 2 2 Umkehrbbildung rcsin gilt d rcsin x = dx. x 2

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 37 6.2 Höhere Ableitungen 6.7 Offene Mengen: Sei M, d ein metrischer Rum, D M. x 0 D heißt innerer Punkt von D, flls ε > 0 : B ε x 0 D. Flls M = Ê n oder M = n mit der üblichen Metrik, dnn ist jeder innere Punkt utomtisch Häufungspunkt von D. 2 D heißt offen, flls lle Elemente von D innere Punkte sind. 6.8 Beispiele: ], b[ Ê, {z : z < } sind offen; [, b[ Ê, {x, y Ê 2 : x 2 + y 2 2} Ê 2 sind nicht offen. 6.9 Definition: Sei f : Ã D Ã und k Æ. f heißt im inneren Punkt x 0 D k-ml differenzierbr, flls f uf einer Kugel B ε x 0 D k -ml differenzierbr ist und die k -te Ableitung von f in x 0 differenzierbr ist. Schreibe f k x 0 := dk f dx x 0 := d f k x k 0 f 2 =: f, f 3 =: f, f 0 =: f. dx 2 Sei nun D offen. Dnn heißt f k-ml differenzierbr uf D, flls f in jedem x 0 D k-ml differenzierbr ist; x f k x heißt die k-te Ableitung von f uf D; f heißt mnchml 0-te Ableitung von f. 3 f heißt uf D k-ml stetig differenzierbr, flls f k-ml differenzierbr uf D und f k stetig uf D ist. Die Menge der uf D k-ml stetig differenzierbren Funktionen bildet einen Vektorrum, bezeichnet mit C k D Ã, C D Ã ist der Vektorrum der beliebig oft differenzierbren Funktionen uf D. 6.0 Bemerkung: Die Rechenregeln gelten nlog für höhere Ableitungen. Insbesondere: n n f g n = f k g n k Leibnizregel k k=0 Beweis durch vollständige Induktion. 6. Beispiel: x e x 000 = x + 000 e x.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 38 6.3 Ableitung von Potenzreihen 6.2 Stz: Sei fz = n z z 0 n eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzrdius R > 0. Dnn ht die Potenzreihe gz = n n z z 0 n n= n=0 denselben Konvergenzrdius, und es gilt f z = gz uf B R z 0. Ds bedeutet, eine Potenzreihe knn uf dem gnzen Konvergenzkreis gliedweise differenziert werden. Vernschulichung: Seien R der Konvergenzrdius von f, R der Konvergenzrdius von g: R = lim n n n R = lim n n nn = n n n n = R lim n 6.3 Folgerung: Jede Potenzreihe mit positivem Konvergenzrdius ist beliebig oft differenzierbr. Eine Funktion, die ls Potenzreihe drstellbr ist, heißt nlytische Funktion. 6.4 Beispiele: z = z n z = n z n 2 n=0 n= z = nn z n 2. 3 n=2 2 e z = e z für z, insbesondere gilt für die reelle Exponentilfunktion: dex dx = ex für x Ê. 3 lnz = z für z <. 4 cosz = sin z für z, genuso für den reellen Cosinus. 5 sinz = cos z für z, genuso für den reellen Sinus. 6 rctnx = + x 2. 7 rcsinx = x 2. 8 rccosx =. x 2

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 39 6.4 Extrem 6.5 Definition: Sei M, d metrischer Rum. Die Funktion f : M D Ê ht in x 0 D ein lokles Mximum bzw. lokles Minimum, flls ε > 0 x D : dx, x 0 < ε fx fx 0 bzw. fx fx 0. Ein lokles Mximum oder Minimum heißt uch lokles Extremum. Flls fx = fx 0 nur für x = x 0, so heißt ds lokle Extremum strikt oder isoliert. Flls x D : fx fx 0 / fx fx 0, ht f in x 0 ein globles Mximum/globles Minimum. 6.6 Notwendiges Kriterium für Extremum: Sei f : Ê D Ê differenzierbr in x 0 D und x 0 innerer Punkt von D. Ht f in x 0 ein lokles Extremum, so gilt f x 0 = 0: f ht in x 0 ein lokles Extremum f x 0 = 0. Ist f differenzierbr in x 0 und f x 0 = 0, so heißt x 0 sttionärer oder kritischer Punkt von f. Beweis: f hbe ein lokles Mximum in x 0. Dnn folgt f fx 0 + h fx 0 x 0 = lim h 0 h f fx 0 + h fx 0 x 0 = lim h 0 h 0 0 f x 0 = 0 6.7 Beispiele: f : Ê Ê : x x 4 x 3 = x 3 x : Kritische Punkte: x = 0 x = 3 4. In x 0 = 3 4 ht f ein lokles und globles Minimum, in x 0 = 0 kein Extremum. 2 f : [0, ] Ê : x x: Keine kritischen Punkte, ber bei x 0 = ht f ein lokles und globles Mximum, bei x 0 = 0 ein lokles und globles Minimum.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 40 6.5 Mittelwertsätze und Anwendungen 6.8 Stz von Rolle: Sei f : [, b] Ê stetig, differenzierbr uf ], b[. Dnn gilt: f = fb ξ ], b[ : f ξ = 0. Beweis: 5.0 f nimmt uf [, b] Minimum und Mximum n. Fll Minimum und Mximum liegen in und b. fx = const = f für x [, b] f x = 0 in [, b] Fll 2 Mximum oder Minimum in x 0 ], b[. 6.6 f x 0 = 0. 6.9 Mittelwertstz der Differentilrechnung: Sei f : [, b] Ê stetig, differenzierbr uf ], b[. Dnn gilt: ξ ], b[ : f ξ = fb f. b Beweis: Setze Fx := fx fb f x. b F erfüllt die Vorussetzungen des Stzes von Rolle F = f = Fb ξ ], b[ : 0 = F ξ = f fb f ξ. b 6.20 Verllgemeinerter Mittelwertstz: Seien f, g : [, b] Ê stetig, differenzierbr uf ], b[. Dnn gilt: Ist g x 0 x ], b[, so gilt ξ ], b[ : fb f gb g = f ξ g ξ. 6.2 Nullbleitung: Sei f : [, b] Ê stetig, differenzierbr uf ], b[. Dnn gilt: x ], b[ : f x = 0 f = konstnt uf [, b]. Beweis: Sei y ], b]. f erfüllt die Vorussetzungen des Mittelwertstzes im Intervll [, y]. ξ ], y[ : f fy f ξ = }{{} y =0 fy = f

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 4 6.22 Monotonie: Sei f : [, b] Ê stetig, differenzierbr uf ], b[. Flls x ], b[ : f x 0 f x > 0 / f x 0 / f x < 0, so ist f uf [, b] monoton wchsend streng monoton wchsend/monoton fllend/ streng monoton fllend. 2 Ist f uf [, b] monoton wchsend/fllend, so gilt: f x 0/f x 0 uf ], b[. Beweis: Folgt us Mittelwertstz und fx fx 2 = f ξx 2 x 2 f fx fx 0 x = lim. Vorzeichenüberlegung! x x0 x x 0 6.23 Lokle Extrem: Sei D = [, b] Ê, f : D Ê stetig uf [, b] und differenzierbr uf ], b[, x 0 ], b[. Gibt es ein ε > 0, so dss f x 0 f x > 0 für x 0 ε < x < x 0, f x 0 f x < 0 für x 0 < x < x 0 + ε, so ht f in x 0 ein lokles striktes Mximum: x B ε x 0 : fx fx 0 fx < fx 0. Entsprechend für Minimum. 2 Ist f in x 0 zweiml differenzierbr und f x 0 = 0, f x 0 < 0 f x 0 > 0, so besitzt f in x 0 ein striktes lokles Mximum/Minimum. 3 Ist f in x 0 zweiml differenzierbr und besitzt f in x 0 ein lokles Mximum/Minimum, so ist f x 0 = 0 und f x 0 0/ 0. Beweis: Aus letztem Stz: 2 f x 0 = 0 lim x x0 f x 0 x x 0 = f x 0 < 0 f ist monoton wchsend für x 0 ε x x 0 f ist monoton fllend für x 0 x x 0 + ε f x ε > 0 : < 0 für x 0 ε < x < x 0 x 0 < x < x 0 + ε x x { 0 < 0 für x0 < x < x 0 + ε f x > 0 für x 0 ε < x < x 0

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 42 3 6.6 f x 0 = 0. Wäre f x 0 > 0 Minimum 6.24 Achtung: f x 0 = 0, f x 0 = 0 bedeutet gr nichts! Z.B. f : x x 4 oder f : x x 5 bei x 0 = 0. In diesem Fll muss mn höhere Ableitungen betrchten. 6.25 Regeln von de l Hospitl: Seien f, g : ], b[ Ê differenzierbr, lim x fx = 0 lim x gx = 0 g x 0 uf ], b[. Dnn gilt: f x lim x g x = c lim fx x gx = c. Beweis: Setze f := 0, g := 0. Dnn gilt für x ], b[ : f, g : [, x] Ê stetig, differenzierbr uf ], x[. Verllgemeinerter Mittelwertstz uf [, x]: ξ x ], x[ : fx f gx g }{{} = fx gx = f ξ x g ξ x }{{} c für x 6.26 Vrinten: Typ [ ] : lim x fx = = lim x gx. Dnn fx lim x gx = lim f x x g x 2 Dsselbe für x b oder x + oder x. 3 Typ 0 : lim fx = 0, lim gx = : lim fx gx = lim fx. gx 4 Typ : lim fx =, lim gx = : fx gx = e gx ln fx geht mit vorigem Fll. 5 Alle Vrinten gelten uch bei bestimmter Divergenz: lim f g = + lim f g = +. 6.27 Beispiele: lim x 0 cosx x 2 = 2. ln x 2 lim x x = 0. 3 lim x x /x =. 4 lim x 0 x ln x = 0. 5 lim x x2 e x = 0.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 43 6.6 Der Stz von Tylor 6.28 Vorbemerkung: Sei f : ], b[ Ê n-ml stetig differenzierbr uf ], b[, x 0 ], b[. Es gibt genu ein Polynom T n n-ten Grdes, so dss Für dieses Polynom gilt T k n x 0 = f k x 0 für 0 k n. T n x = n j=0 f j x 0 j! x x 0 j. T n heißt ds n-te Tylorpolynom für f, R n x := fx T n x ds n-te Restglied. 6.29 Beispiel: f : x e x, x 0 = 0: f k 0 = e 0 = für k Æ 0. T n x = n j=0 j! xj, R n x = e x n j=0 x j j!. x 0 = : f k = e T n x = n j=0 e j! x j. 6.30 Stz Tylor, Lgrnge: Sei f n+-ml stetig differenzierbr uf ], b[, x 0 ], b[ und x ]x 0, b[. Dnn existiert ξ ]x 0, x[, so dss fx = T n x + fn+ ξ n +! x x 0 n+ }{{} =R nx gilt genuso für x ], x 0 [, nur dnn ξ ]x, x 0 [. 6.3 Bemerkungen: Für n = 0 ist dies wieder der Mittelwertstz. 2 T n pproximiert f n einer Stelle x 0 bis zur n-ten Ableitung. Erst durch Diskussion des Restgliedes erkennt mn, wie gut die Approximtion durch T n in einer Umgebung von x 0 ist. 6.32 Beispiele: f : x e x, x 0 = 0: e soll bis uf Genuigkeit 0 5 durch T n bestimmt werden. R n = e ξ 0<ξ< 0n+ e n +! n +! n +! 3 0 5 n 8 9! = 362880 3 n +!! 0 5

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 44 Ds bedeutet: e T8 < 0 5. Mit Rechner: T 6 = 2.780556, R 6 = 2.262 0 4 T 7 = 2.782540, R 7 = 2.78 0 5 T 8 = 2.782788, R 8 = 3.0 0 6 e = 2.78288... 2 f : Ê Ê : x e x, x 0 = 0. Ws pssiert für n? R n x = e ξ x 0n+ n +! mx{ex, } x n+ n +! für n bei jedem festen x Ê. wie bereits beknnt. e x = j=0 x j j! für x Ê 0 3 fx = { e /x 2, x 0, 0, x = 0., x 0 = 0. Es gilt f n 0 = 0 für n Æ 0, lso uch T n x = 0 für n Æ, x Ê. Diese Funktion f ist um x 0 = 0 nicht durch ds Tylorpolynom pproximierbr. 4 Die Binomilreihe: Für r Ê \ Æ 0 gilt r r + x r = x j für x ], [ := j j j=0 r r r j +. j! 6.7 Extrem: Hinreichende Bedingungen 6.33 Stz: Sei D Ê offen, f C m D Ê, x 0 D und f x 0 =... = f m x 0 = 0, f m x 0 0. Ist m ungerde, so ht f in x 0 einen Sttelpunkt mit wgrechter Tngente. 2 Flls m gerde ist: Ist f m x 0 > 0, so ht f in x 0 ein striktes lokles Minimum. b Ist f m x 0 < 0, so ht f in x 0 ein striktes lokles Mximum. Beweis: Aus Stz von Tylor: fx = fx 0 + n j= und f m ξ ht konstntes Vorzeichen für ξ x 0 < ε. 0 + fm ξ x x 0 m, m! 6.34 Beispiele: y = x 6, y = x 7.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 45 6.8 Ableitung II 6.35 Definition: Sei γ : [, b] Ê n stetig. Die Menge K := { γt : t [, b] } Ê n heißt Kurve im Ê n, γ, [, b] heißt Prmeterdrstellung von K. Ist γ = γb, so heißt K geschlossen. Ist γ [,b[ injektiv, so heißt K Jordn-Kurve. 6.36 Beispiele: γ : [0, 2π] Ê 2 : t 2 γ : [0, π] Ê 2 : t 3 γ : [0, 2] Ê 3 : t 4 γ : [0, 2] Ê 2 : t 2 cos2t sin 2t 2 cost sin t. : Dieselbe Kurve wie in. cos2πt sin2πt Schrubenline. t t cos2πt Archimedische Schneckenlinie. t sin2πt 6.37 Definition und Stz: Sei f : Ê D Ê n und x 0 Häufungspunkt von D. Dnn heißt f differenzierbr in x 0, flls f x 0 := lim x x 0 x D, x x 0 fx fx 0 x x 0 existiert. Dies ist genu dnn der Fll, wenn jede Koordinte f j von f in x 0 differenzierbr ist j =, 2,..., n. Ist f in x 0 differenzierbr, so gilt f x 0 = f x 0. f n x 0 6.38 Beispiele: fx = x 2 e x2 x f x = 2x 2x e x2 2 Seien A M n,n, v Ê n und g : Ê Ê n : t e t A v. Dnn gilt g t = A e t A v. 3 Mn knn die obige Definition der Ableitung uf f : Ê D V erweitern, wobei V ein normierter Vektorrum ist. Mit V = M n,n, A M n,n und f : Ê M n,n : t e t A folgt dnn f t = A e t A.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 46 6.39 Geometrische Bedeutung der Ableitung: Ist γ : [, b] Ê n in t 0 differenzierbr mit γ t 0 0, so ist γ t 0 ein Tngentenvektor Richtungsvektor der Tngente n K im Punkt γ t 0. γ t 0 gibt die Momentngeschwindigkeit n, mit der K durchlufen wird. 6.40 Beispiele: γ : [0, 2π] Ê 2 : t γ t 0 = 2 cost sin t 2 sin t0 ist Tngentenvektor im Punkt 2 cost cos t 0, sin t 0. 0 2 cos2t 2 γ : [0, π] Ê 2 : t : sin 2t γ t 0 4 sin t0 2 = ist Tngentenvektor im Punkt 2 cost 2 cost 0, sin t 0. Die Ellipse wird 0 mit doppelter Geschwindigkeit durchlufen. : t 6.4 Achtung bei γ 2 t 0 = 0: Sei z.b. γt := für t < 0, γt := 0 0 t. Dnn gilt γ C [, b] Ê 2, ber K ht eine Ecke in 0, 0. 0 t 2 für 6.42 Definition: Sei γ : I = [, b] Ê stetig. der Tngenten- Ist γ in t 0 I differenzierbr mit γ t 0 0, so heißt Tt 0 := γ t 0 γ t 0 einheitsvektor in t 0. 2 γ heißt regulär, flls γ differenzierbr uf I ist mit γ t 0 uf I. 3 γ heißt singulär in t 0 I, flls γ t 0 = 0. 6.43 Bemerkung: Besitzt die Kurve K eine reguläre Prmeterdrstellung γ, [, b], so ht K keine Ecken.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 47 7 Differentilrechnung im Ê n 7. Ableitung III 7. Der Grph von Funktionen mehrerer Veränderlicher: Ist f : Ê 2 D Ê und D offen, so ist der Grph von f G = { x, x 2, fx, x 2 Ê 3 : x, x 2 D } eine gekrümmte Fläche im Ê 3. Allgemeiner: Ist f : Ê n D Ê und D offen, so ist der Grph von f G = { x, fx Ê n+ : x D } eine Hyperfläche im Ê n+. 7.2 Wichtige Idee: Zur Untersuchung oder Vernschulichung des Grphen in der Umgebung eines Punktes x 0, fx 0 knn mn ds Verhlten von f längs der Gerden x = x 0 + t v t Ê mit festem Richtungsvektor v Ê n betrchten. Anders usgedrückt: Mn schneidet G mit geeigneten Ebenen: E := { } x 0 + t v, s Ê n+ : t, s Ê E G = { x 0 + t v, fx 0 + t v : t D } Diese Schnittkurve E G knn mn ls Kurve im Ê 2 uffssen: K := { t, fx 0 + t v : t D }. D Ê geeignet. Vorteil: Mn untersucht die Funktion t fx 0 + t v, die nur von einer reellen Vriblen bhängt. 7.3 Beispiele: f : D = {x, x 2 : x 2 + x2 2 } Ê : x, x 2 { x 2 x2 2 : Grph von f: G = x, x 2, x 3 : x 2 + x 2 2 < x 3 = } x 2 x 2 2 obere Hlbkugel. 2 f : Ê 2 Ê : x, x 2 x 2 + 4x2 2 elliptisches Prboloid. 3 f : Ê 2 Ê : x, x 2 x x 2 Der Grph ist eine Sttelfläche.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 48 7.4 Beobchtung: Seien f : Ê D Ê und x 0 Häufungspunkt von D. Dnn sind äquivlent: i f ist differenzierbr in x 0. ii Es existiert eine Zhl Ê, so dss lim x x 0 x D, x x 0 fx fx0 x x 0 = 0 x x 0 Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt = f x 0. 7.5 Definition: Sei f : Ê n D Ê, D offen und x 0 D. Dnn heißt f differenzierbr in x 0, flls eine n-mtrix A =,..., n j Ê existiert mit lim x x 0 x D, x x 0 fx fx0 Ax x 0 = 0 x x 0 oder äquivlent: fx = fx 0 + Ax x 0 + x x 0 rx mit lim x x0 rx = 0. Die Mtrix A ist durch diese Bedingung eindeutig bestimmt und heißt Ableitung von f in x 0. Wir schreiben f x 0 := A =,..., n. 7.6 Die Idee:: Die Funktion gx := fx 0 +f x 0 x x 0 ist die optimle linere Approximtion von f bei x 0. Oder nders usgedrückt: Der Grph von g: E := { x, fx 0 + f x 0 x x 0 : x n} Ê beschreibt die Tngentilebene flls n = 2 bzw. Tngentilhyperebene n den Grphen G von f im Punkt x 0, fx 0. 7.7 Beispiele: f : Ê 2 Ê : x 2 f : {x, x 2 : x 2 + x 2 2 < } Ê : x x x 2. 2 x x x 2 x 2 2 2. 7.8 Stz: Ist f differenzierbr in x 0, so ist f stetig in x 0.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 49 7.9 Prtielle Ableitungen: Sei f : Ê n D Ê, D offen und f differenzierbr in x 0 D. Dnn existiert für jedes j {,..., n} der Grenzwert lim h 0 h 0 fx 0 + h e j fx 0 h =: f x j x 0 =: xj fx 0 =: j fx 0. Dieser Grenzwert heißt prtielle Ableitung von f nch x j. Es gilt f x 0 = x fx 0, x2 fx 0,..., xn fx 0. Der Vektor heißt Grdient von f. fx 0 := fx 0. n fx 0 Beweis: 0 = 0 = xj fx 0 = lim x x 0 x x 0 lim h 0 h 0 = lim h 0 h 0 lim h 0 h 0 fx fx0 f x 0 x x 0 x x 0 fx 0 + h e j fx 0 f x 0 x 0 + h e j x 0 x 0 + h e j x 0 }{{}}{{} = h fx0 + h e j fx 0 signh f x 0 h j fx 0 + h e j fx 0 h f x 0 = x fx 0, x2 fx 0,..., xn fx 0. =h j =,...,n existieren und f x 0 j 7.0 Bemerkung: f x 0 x x 0 = fx 0, x x 0, fx 0 = f x 0 T trnsponierte Mtrix. 7. Geometrische Bedeutung der prtiellen Ableitung: Schneide den Grphen von f mit der Ebene Die Schnittkurve ist der Grph der Funktion E := { x 0 + t e j, s Ê n+ : t, s Ê}. t fx 0 + t e j. Für die Ableitung dieser Funktion im Punkt t = 0 gilt d dt fx 0 + t e j t=0 = xj fx 0.

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 50 7.2 Geometrische Bedeutung des Grdienten: Für festes v Ê n mit v = schneide den Grph von f mit der Ebene E := { x 0 + t v, s : t, s Ê}. Die Steigung der Schnittfunktion t fx 0 + t v im Punkt t = 0 ergibt sich zu d dt fx 0 + t v t=0 = f x 0 v = fx 0, v. Die Steigung in Abhängigkeit von v ist m größten, wenn v prllel zu fx 0 ist. Dnn ht die Steigung den Wert fx 0. Also: Der Grdientenvektor zeigt in die Richtung der größten Zunhme von fx. 7.3 Ein Kriterium für Differenzierbrkeit: Sei f : Ê n D Ê, D offen, lle prtiellen Ableitungen j f existieren in D und seien stetig in x 0 D. Dnn ist f in x 0 differenzierbr, und es gilt f x 0 = x,..., xn. Also: Für Differenzierbrkeit in x 0 ist notwendig: fx 0 existiert. Für Differenzierbrkeit in x 0 ist hinreichend: fx 0 existiert in B ε x 0 und ist stetig in x 0. Für k Æ 0 ist C k D Ê der Rum ller Funktionen, deren prtielle Ableitungen bis zur k-ten Ordnung uf D existieren und stetig sind. 7.4 Ergänzung: Die Existenz ller prtiellen Ableitungen in einem Punkt x 0 grntiert nicht die Differenzierbrkeit in x 0. Sei z.b. { f : Ê 2 x 0 flls x, y = 0, 0 y x 2 Ê mit f := y flls y = x 2 x 0 Dnn gilt x f0, 0 = 0, y f0, 0 = 0, ber die Funktion f ist in 0, 0 unstetig, lso sicher nicht differenzierbr. 7.2 Extrem Sei f : Ê n D Ê, D offen und f differenzierbr in x 0 D. Wir wollen feststellen, ob f in x 0 ein Extremum besitzt. Ds ist genu dnn der Fll, wenn lle Funktionen g v : t fx 0 + t v mit beliebigen Vektoren v Ê n für t = 0 ein Mximum bzw. lle ein Minimum besitzen. Wir wissen:

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 5 Notwendig für ein lokles Extremum ist g v 0 = 0. Hinreichend für ein striktes lokles Extremum ist g v 0 = 0 und g v 0 > 0 oder g v 0 < 0. Weiter ist beknnt: Drus folgt sofort: g v t = f x 0 + t v v = n xj fx 0 + t vv j. j= 7.5 Notwendige Bedingung: Sei f : Ê n D Ê, D offen und f differenzierbr in x 0 D. Dnn gilt: f ht in x 0 ein Extremum f x 0 = x fx 0,..., xn fx 0 = 0. Nun nehmen wir n, dss die prtiellen Ableitungen Ê n D x xj f wieder differenzierbr sind. Dnn gilt d xj fx 0 + t v dt g v t = g v0 = = = n xk xj fx 0 + t v v k k= n xk xj fx 0 + t v v k v j j,k= n xk xj fx 0 v k v j j,k= x x fx 0 x x2 fx 0... x xn fx 0.. } xn x fx 0 xn x2 fx 0... xn xn fx 0 {{ } =:H f x 0 Hessemtrix v. v n, v. v n 7.6 Hinreichende Bedingung: Sei D Ê n offen, f C 2 D Ê, x 0 D und H f x 0 die Hessemtrix von f in x 0. Dnn gelten: Flls f x 0 = 0 und H f x 0 positiv definit ist, besitzt f in x 0 ein striktes lokles Minimum. 2 Flls f x 0 = 0 und H f x 0 negtiv definit ist d.h. H f x 0 ist positiv definit, besitzt f in x 0 ein striktes lokles Mximum. Wir werden später sehen: H f x 0 ist symmetrisch. Ds bedeutet, dss H f x 0 digonlisierbr ist. Deshlb knn mn den letzten Stz uch nders formulieren:

Mthemtik II für inf/swt, Sommersemester 200/, Seite 52 7.7 Stz: Sei D Ê n offen und f C 2 D Ê, x 0 D mit f x 0 = 0. Dnn gilt: Ht die Hesse-Mtrix H f x 0 nur positive Eigenwerte, so ht f in x 0 ein striktes lokles Minimum. 2 Ht die Hesse-Mtrix H f x 0 nur negtive Eigenwerte, so ht f in x 0 ein striktes lokles Mximum. 3 Ohne Beweis: Ht die Hesse-Mtrix H f x 0 positive und negtive Eigenwerte, so ht f in x 0 einen Sttelpunkt: In jeder Umgebung von x 0 gibt es Punkte x mit fx > fx 0 und Punkte mit fx < fx 0. x 7.8 Beispiele: f = x y 2 y 2 ln x in D := {x, y Ê 2 : x > 0}. x 2 f = 4xy x y 3 y xy 3 { } x x 3 f : D = Ê y 2 : x 2 + y 2 Ê : xy: y Einziger kritischer Punkt: x, y = 0, 0 mit f0, 0 = 0. Hier liegt ein Sttelpunkt vor. Also ht f im Inneren von D kein Extremum. D D beschränkt und bgeschlossen ist, nimmt f uf D ds Mximum und Minimum n. Also muss f ds Minimum und Mximum m Rnd von D nnehmen. Untersuche f m Rnd: Mximum f 2 2 = 2, Minimum f 2 2 = 2 7.3 Ableitung IV 7.9 Definition: Sei f : Ê n D Ê m, D offen und x 0 D. Dnn heißt f differenzierbr in x 0, flls eine m n-mtrix A existiert mit oder äquivlent: lim x x 0 x D, x x 0 fx fx0 Ax x 0 = 0 x x 0 fx = fx 0 + Ax x 0 + x x 0 rx mit lim x x0 rx = 0. Die Mtrix A ist durch diese Bedingung eindeutig bestimmt und heißt Ableitung von f in x 0. Wir schreiben f x 0 := A. 7.20 Bemerkungen: Im Fll m = ist dies genu die Definition 7.5.