Quantenmechanik-Grundlagen HWS DPI 4/08 Klassisch: Größen haben i. Allg. kontinuierliche Messwerte; im Prinzip beliebig genau messbar, auch mehrere gemeinsam. Streuung nur durch im Detail unbekannte Störungen (Messrauschen, Brown'sche Bewegung usw.). Zustand : vollständiger Satz von Größen (Orts- und Impulskoordinaten im Phasenraum). Quantenmechanisch: Größen können diskrete Messwerte haben; einzeln im Prinzip (je nach Zustand) beliebig genau messbar, mehrere gemeinsam aber i. Allg. nicht! Messwerte können streuen auch ohne unbekannte Störungen! Zustand bestimmt Wahrscheinlichkeiten für Messwerte von Größen. Klassische Zustandsgrößen nur zur Hälfte gemeinsam genau messbar (Unschärferelationen zwischen Orts- und Impulskoordinaten). Es gibt auch Größen ohne klassische Entsprechung (z.b. Spin). - 1 -
(Reiner) Zustand: Einheitsvektor aus einem komplexen Vektorraum, Dimension endlich oder (meist) unendlich, mit Skalarprodukt.. und reeller, nichtnegativer Norm. : Hilbertraum H., H; = * := * ; 2 := 0; bzgl. Basis, diskret: ={ n }, ={ n }, = n * n n ; kontinuierlich: ={ x }, ={ x }, = * x x d x. Größen ( Observable ): Lineare, hermitesche (selbstadjungierte) Operatoren G: H H. Das heißt: G=G *, G = G. Die Eigenvektoren von G sind paarweise orthogonal und bilden eine Basis (o.b.d.a. orthonormal) von H. Mögliche Messwerte: Eigenwerte von G; diese sind reell, können diskret oder kontinuierlich sein (im letzteren Fall uneigentliche Eigenvektoren, sind eigentlich nicht mehr in H selbst). Beispiel: Ortsdarstellung, ={ x }; Ortsoperator x= Multiplikation mit x ; Impulsoperator p= ħ/i x ; uneigentl. Eigenvektoren: x x n bzw. exp i p n x / ħ d 3 x 1/2-2 -
Wahrscheinlichkeitsinterpretation (diskreter Fall): Eigenvektoren von G: n mit n =1; Eigenwerte g n : G n =g n n ; Zustand, Entwicklung: = n n n, n = n ; n n 2 = 2 =1. Wahrscheinlichkeit für Messwert g n ist n 2 (bei Nichtentartung) (Übergangswahrsch. n ; n Wahrscheinlichkeitsamplitude ). Nach Messung liegt (im Idealfall) Zustand n vor (Zustandsreduktion). Erwartungswert: G= n n 2 g n = G. Messung von G ist dann und nur dann streuungsfrei ( scharf ), wenn ein Eigenvektor n von G ist. Erneute Messung ändert (ideal) nichts. Operatoren und klassische Größen: Die Erwartungswerte verhalten sich oft wie die entsprechenden klassischen Größen (Ehrenfest). Linearkombination klassischer Größen entspricht die Linearkombination der Operatoren. Einer analytischen Funktion einer klassischen Größe entspricht die gleiche Funktion des Operators; die Eigenvektoren sind - 3 -
unverändert. Einem Produkt klassischer Größen entspricht oft das symmetrierte Produkt der Operatoren (FG + GF)/2 [ist hermitesch]. Operatoren sind i. Allg. nicht vertauschbar, FG nicht immer = GF! Unschärferelation: Zwei Observablen F und G sind also nur gemeinsam scharf messbar, wenn ein Eigenvektor von beiden ist. Observable ohne gemeinsame Eigenvektoren sind in keinem Zustand gemeinsam scharf messbar. Allgemein: F 2 G 2 := F F 2 G G 2 FG GF /2i 2. Speziell Orts- und Impulsunschärfe (Heisenberg): F = p x, G= x ; Ortsdarstellung: p x x x p x = ħ/i x x x x = ħ /i (Bew.: Anwenden auf Testfunktion). Also: p x 2 x 2 ħ/ 2 2. Dies kann auch einfach mittels Fouriertransformation bewiesen werden. Konsequenz: Es gibt keine Ruhe (Nullpunktsschwankungen, Vakuumfluktuationen)! - 4 -
Zeitliche Entwicklung des Zustandes: Die Zeit t ist keine Observable, sondern ein Parameter! Die Zustandsentwicklung ist linear und, da die Norm t =1 erhalten bleiben muss, sogar unitär: t =U t, t 0 t 0 ; U * U = I. Ableitung nach t : t = t U ; i t U ist hermitesch! Sei H :=i ħ t U i ħ t =H, Schrödinger Gleichung. Linearkombination von Lösungen ist wieder eine: Superpositionsprinzip. Der Hamilton-Operator H bedeutet die Energie. Falls H zeitunabhängig, sind seine Eigenvektoren zeitlich konstant bis auf Phasenrotation exp i Et /ħ, E jeweiliger Eigenwert. (Phase ändert Wahrsch. nicht!) Beispiel: Teilchen der Masse m im Potential V x, t, Ortsdarstellung: t ={ x, t } x ; H = p 2 / 2m V = ħ 2 /2 m x 2 V. Lösungen sind wellenartig ( Wellenmechanik ). - 5 -
Das Zwei-Niveau-System ( Qubit ): Das einfachste Quantensystem; H=C 2 ; = 1 2, 1 2 2 2 = 1. Alle Observablen haben die Form G= a b*, a, c R, b C. b c = Unitäre Transf.: U a b* b a * ei, R, a,b C, a 2 b 2 =1. Jedes entspricht (bis auf Phase) einem Einheitsvektor n R 3 : n i = i =, i=1,2,3; 0 1 0 1 1, 2= 0 i 0 i, 1= 1 0 0 1 ( i heißen Pauli-Matrizen). Vektor n entspricht dem zu orthogonalen Zustand, U einer Drehung im R 3. Zu jeder Observablen gibt es also eine (ihren Eigenvektoren entsprechende) Richtung im R 3, in der sie scharf ist. Vgl. Spin 1/2. - 6 -
Zusammengesetzte Objekte: Der Hilbertraum eines aus zwei Teilobjekten a, b bestehenden Objekts ist das Tensorprodukt der Hilberträume der Teilobjekte: H = H a H b. Dessen Basis sind alle Paare der Basisvektoren von H a, H b : ab mn := a m b n, a m H a, b n H b. Wenn die Teilobjekte reine Zustände mit Koordinaten (Wahrscheinlichkeitsamplituden) a b m, n bzgl. dieser Basen haben, sind die Koordinaten des Gesamtzustands deren Produkte: ab m n = a b m n [bei kontinuierlicher Darstellung entsprechend, z.b. ab x a, x b = a x a b x b ]. Wenn aber zwischen den Objekten eine Wechselwirkung besteht oder bestanden hat, ist der Gesamtzustand i. Allg. nicht faktorisierbar: a,b a b. Dies heißt Verschränkung ( entanglement ). Die Teilobjekte haben dann keinen reinen Zustand! Schrödingergl. für N Teilchen gibt Welle im 3N-dimensionalen Raum! In verschränkten Zuständen können Messwerte an den Teilobjekten Korrelationen zeigen, die im Widerspruch zur klassischen Annahme lokal-realer Größen der Teilobjekte stehen. - 7 -
Gemischte Zustände: Reine Zustände beschreiben die maximal mögliche Kenntnis über ein Objekt. Bei geringerer Kenntnis beschreibt man den Zustand durch einen Dichteoperator (auch statistischer Operator ) ; in Koordinaten bzgl. Orthonormalbasis heißt Dichtematrix. ist hermitesch, positiv semidefinit und hat die Spur Tr =1. Entropie: S= k B Tr log. Erwartungswert einer Observablen G : G=Tr G =Tr G. Wahrsch. für Messwert g n ist n n ( n G -Eigenvektor zu g n ). Für reinen Zustand ist = * ( 2 =, S=0). Wenn für ein Orthonormalsystem { n } = n p n n * n, n p n =1, ist das so interpretierbar, dass Zustand n mit Wahrsch. p n vorliegt. Diese Zerlegung ist nicht eindeutig! Z.B. Zwei-Niveau-System: =I /2 für jedes Orthonormalsystem 1, 2 und p 1 = p 2 =1/2. Zeitliche Entwicklung (folgt aus der eines reinen Zustands): t =U t,t 0 t 0 U t,t 0 * ; i ħ t =H H. - 8 -