n

Die Zellteilung: Übung 1d) C(n) = 2 n 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 1 C(n) G C n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

Die Zellteilung: Übung 1g) n(c) = lb(c) 5 4 3 2 1 2 1 1 n(c) G n C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

Die Zellteilung: Übung 2d) C(n) = 8192 2 n 70000 C(n) G C 60000 50000 40000 30000 20000 10000 5 4 3 2 1 1 2 3 4 n

Die Zellteilung: Übung 3c) C(t) = 3125 0.8 t 7000 C(t) 6000 5000 4000 3000 2000 1000 4 3 2 1 G C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

Exponentialfunktionen: Übung 4b) f 1 (x) = 3 x f 2 (x) = ( 2 3 ) x 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 y 1 2 3 4 5 6 7 x

Exponentialfunktionen: Übung 4c) f 1 (x) = 1.5 x f 2 (x) = 2 x f 3 (x) = 3 x f 4 (x) = 4 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 y 1 2 3 4 5 6 7 x

Exponentialfunktionen: Übung 4d) f 1 (x) = ( 1 2 ) x f 2 (x) = 2 x 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 y 1 2 3 4 5 6 7 x

Logarithmusfunktionen: Übung 5a) f 1 (x) = log 1.5 x f 2 (x) = lbx f 3 (x) = log 3 x f 4 (x) = log 4 x 5 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 5 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213

Logarithmusfunktionen: Übung 5b) f(x) = log 0.6 x 5 4 3 2 1 2 1 1 2 3 4 5 6 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213

Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) f 1 (x) = 1.3 x f 2 (x) = log 1.3 x 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 2 3 4 5 6 7 x

Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) f 1 (x) = e x f 2 (x) = lnx 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 2 3 4 5 6 7 x

Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) f 1 (x) = 10 x f 2 (x) = lgx 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 2 3 4 5 6 7 x

Exp.- & Log.-funktionen: Übung 6b) Symmetrieachse g: y = x 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 2 3 4 5 6 7 x

Exponentielle Prozesse: Übung 11 Wachstumsrate: 40% Wachstumsfaktor: 1+ 40 100 = 1.4 1.4 1.4 a) 500 700 980... 1.4 2 Nach zwei Stunden: 980 Bakterien b) B(t) = 500 1.4 t c) B(24) = 500 1.4 24 = 1.607 10 6 Nach 24 Stunden: 1.607 10 6 Bakterien

Exponentielle Prozesse: Übung 11 d) Gesuchte Zeit: t Ansatz: B(t) = 10 6 500 1.4 t = 10 6 : 500 1.4 t = 2000 ln(...) ln(1.4 t ) = ln(2000) Log.-gesetz t ln(1.4) = ln(2000) : ln(1.4) t = ln(2000) ln(1.4) t = 22.590 Zeit bis 1 Million Bakterien: 22.590 h

Exponentielle Prozesse: Übung 11 e) Gesuchte Zeit: T Ansatz: B(t+T) = 2 B(t) 500 1.4 t+t = 2 500 1.4 t Pot.-gesetz 500 1.4 t 1.4 T = 2 500 1.4 t : (500 1.4 t ) 1.4 T = 2 ln(...) ln(1.4 T ) = ln(2) T ln(1.4) = ln(2) Log.-gesetz : ln(1.4) T = ln(2) ln(1.4) T = 2.060 Verdoppelungszeit: 2.060 h

Exponentielle Prozesse: Übung 12a) 1. Lösungsweg Ansatz: M(t) = M 0 b t Gegeben: M(1) = 9.61 M(8) = 7.24 M(1) b b b b b b b M(8) b 7 M(1) b 7 = M(8) 9.61 b 7 = 7.24 : 9.61 b 7 = 0.75 b = 0.96 M 0 b 1 = M(1) M 0 0.96 = 9.61 : 0.96 M 0 = 10.01 M(t) = 10.01 0.96 t

Exponentielle Prozesse: Übung 12a) 2. Lösungsweg Ansatz: M(t) = M 0 b t Gegeben: M(1) = 9.61 M(8) = 7.24 M 0 b 1 = 9.61 I M 0 b 8 = 7.24 II II I : b 7 = 0.75 b = 0.96 III III in I: M 0 0.96 = 9.61 : 0.96 M 0 = 10.01 M(t) = 10.01 0.96 t

Exponentielle Prozesse: Übung 12b) Gesucht: Abnahmerate p% Aus Aufgabe a): Abnahmefaktor b = 0.96 Es gilt: b = 1 p 100 p 100 = 1 b p = 100 100b p = 3.97 Gesuchte Abnahmerate: p = 3.97%

Exponentielle Prozesse: Übung 12d) Aus Aufgabe a): M(t) = 10.01 0.96 t Für die Halbwertszeit T gilt: b T = 1 2 0.96 T = 1 2 ln(...) ln ( 0.96 T) = ln ( 1 2 ) T ln(0.96) = ln ( 1 2 ) Log.-gesetz : ln(0.96) T = ( ) ln 12 ln(0.96) T = 17.13 Halbwertszeit: T 12 = 17.13h

Exponentielle Prozesse: Übung 13a) Gegeben: Halbwertszeit T 12 = 30.17Jahre Für den Abnahmefaktor b gilt: b 30.17 = 1 2 (...) 1 30.17 b = ( 1 2 ) 1 30.17 b = 0.977 Für die Abnahmerate folgt: p = 2.271%

Exponentielle Prozesse: Übung 13b) Aus Aufgabe a): Radioaktive Masse: m(t) = m 0 b t = m 0 0.977 t Im Zeitraum von 25 Jahren: m 0 b b b... b b b m(25) b 25 b 25 = 0.977 25 = 0.563 56.306% von der ursprünglich freigesetzten Masse Cäsium-137 sind nach 25 Jahren noch immer nicht zerfallen.

Exponentielle Prozesse: Übung 13c) Aus Aufgabe a): Radioaktive Masse: m(t) = m 0 0.977 t Im Zeitraum von t Jahren: m 0 b b b... b b b m(t) b t 0.977 t Es gilt: 0.977 t = 0.05 ln(...) ln ( 0.977 t) = ln(0.05) Log.-gesetz t ln(0.977) = ln(0.05) : ln(0.977) t = ln(0.05) ln(0.977) t = 130.393 Gesuchte Zeit: 130.393 Jahre

Exponentielle Prozesse: Übung 14a) Anfangskapital [CHF]: K 0 = 1550 Wachstumsrate [%]: p = 2.2 Wachstumsfaktor: b = 1+ 2.2 100 = 1.022 Gesuchte Funktion: K(t) = 1550 1.022 t

Exponentielle Prozesse: Übung 14b) Gesuchte Zeit [Jahre]: t Gegeben: K(t) = 2000 1550 1.022 t = 2000 : 1550 1.022 t = 1.290 ln(...) ln(1.022 t ) = ln(1.290) Log.-gesetz t ln(1.022) = ln(1.290) : ln(1.022) t = ln(1.290) ln(1.022) t = 11.713 Gesuchte Zeit: 11.713 Jahre

Exponentielle Prozesse: Übung 14c) Gesuchte Zeit [Jahre]: t Gegeben: K(t) = 10 6 1550 1.022 t = 10 6 : 1550 1.022 t = 645.161 ln(...) ln(1.022 t ) = ln(645.161) Log.-gesetz t ln(1.022) = ln(645.161) : ln(1.022) t = ln(645.161) ln(1.022) t = 297.291 Gesuchte Zeit: 297.291 Jahre

Exponentielle Prozesse: Übung 14d) Gesuchter Zinssatz [%]: p Für die neue Funktion K mit Funktionsterm K(t) = 1550 b t wird der Wachstumsfaktor b berechnet: 1550 b 50 = 10 6 : 1550 b 50 = 645.161 b = 1.138 Zinssatz: 13.8%

Exponentielle Prozesse: Übung 14e) Aus Aufgabe a): K(t) = 1550 1.022 t Für die Verdoppelungszeit T gilt: b T = 2 1.022 T = 2 ln(...) ln ( 1.022 T) = ln(2) T ln(1.022) = ln(2) Log.-gesetz : ln(0.96) T = ln(2) ln(1.022) T = 31.852 Verdoppelungszeit: T = 31.852 Jahre

Exponentielle Prozesse: Übung 14f) Aus Aufgabe a): K(t) = 1550 1.022 t Für die gesuchte Zeit t gilt: 1550 1.022 t = 1200 : 1550 1.022 t = 0.774 ln(...) ln(1.022 t ) = ln(0.774) Log.-gesetz t ln(1.022) = ln(0.774) : ln(1.022) t = ln(0.774) ln(1.022) t = 11.761 Kontoeröffnung: vor 11.761 Jahren

Exponentielle Prozesse: Übung 15a) Frequenz von a : 442Hz Das Intervall a -a ist eine Oktave, d.h. das Frequenzverhältnis ist 1 : 2. Daraus folgt die Frequenz von a : 884Hz

Exponentielle Prozesse: Übung 15b) Eine Oktave ist in 12 gleiche Halbtonschritte unterteilt. Für die Frequenzverhältnisse einer Oktave (z.b. a -a ) gilt: f(a b b b )... b b b f(a ) b 12 2 Es folgt: b 12 = 2 b = 12 2 Gesuchtes Frequenzverhältnis: 1 : 12 2

Exponentielle Prozesse: Übung 15c) Das Intervall von a bis d besteht aus 17 Halbtonschritten: f(a b b b )... b b b f(d ) b 17 ( 12 2 ) 17 Es folgt: f(d ) = f(a ) b 17 = 442 ( 12 2 ) 17 = 1179.998 Frequenz von d : 1179.998Hz

Exponentielle Prozesse: Übung 15d) Der Kammerton a mit der Frequenz 442Hz sei wiederum der Startpunkt. Die Variable x steht für die Anzahl Halbtonschritte von 442 Hz bis 20000Hz. b b b 442... b b b 20 000 ( 12 2 ) x Für die Anzahl x der Halbtonschritte gilt: 442 ( 12 2 ) x = 20 000

Exponentielle Prozesse: Übung 15d) (...Fortsetzung:) 442 ( 12 2 ) x = 20000 : 442 ( 12 2 ) x = 45.249 ln(...) ln( ( 12 2 ) x ) = ln(45.249) Log.-gesetz x ln( 12 2) = ln(45.249) : ln( 12 2) x = ln(45.249) ln( 12 2) x = 65.998 66 Halbtonschritte höher als der Kammerton a ist der Ton dis (7). Die Obergrenze des Hörbereichs liegt also zwischen d (7) und dis (7).

Exponentielle Prozesse: Übung 16a) Gegeben: Anfangswert K 0 = 50mg Halbwertszeit T 12 = 3h Ansatz: K(t) = K 0 b t = 50 b t Vorsicht: Zeitpunkt 0 ist eine Stunde nach dem Verzehr! Für den Abnahmefaktor b gilt: b 3 = 1 2 (...) 1 3 b = ( 1 2 )1 3 b = 0.794 Funktionsgleichung: K(t) = 50 0.794 t Koffeinmenge 5 h nach dem Verzehr: K(4) = 50 0.794 4 = 19.843mg

Exponentielle Prozesse: Übung 16b) Aus Aufgabe a): K(t) = 50 0.794 t Für die gesuchte Zeit t gilt: 50 0.794 t = 0.01 : 50 0.794 t = 0.0002 ln(...) ln(0.794 t ) = ln(0.0002) Log.-gesetz t ln(0.794) = ln(0.0002) : ln(0.794) t = ln(0.0002) ln(0.794) t = 36.863 Gesuchte Zeit nach Verzehr: 36.863+1 = 37.863h

Exponentielle Prozesse: Übung 16c) Neue Halbwertszeit: T 12 = 3 0.6 = 1.8h Ansatz: K(t) = 50 b t Der Abnahmefaktor b wird neu berechnet: b 1.8 = 1 2 (...) 1 1.8 b = ( 1 2 ) 1 1.8 b = 0.680 Funktionsgleichung: K(t) = 50 0.680 t

Exponentielle Prozesse: Übung 16c) (...Fortsetzung:) Für die gesuchte Zeit t gilt: 50 0.680 t = 0.01 : 50 0.680 t = 0.0002 ln(...) ln(0.680 t ) = ln(0.0002) Log.-gesetz t ln(0.680) = ln(0.0002) : ln(0.680) t = ln(0.0002) ln(0.680) t = 22.118 Gesuchte Zeit nach Verzehr: 22.118+1 = 23.118h

Exponentielle Prozesse: Übung 17 1. Lösungsweg Ansatz: C(t) = C 0 b t Gegeben: C(2) = 300 C(7) = 937500 C(2) b b b b b C(7) b 5 C(2) b 5 = C(7) 300 b 5 = 937500 : 300 b 5 = 3125 b = 5 C 0 b 2 = C(2) C 0 5 2 = 300 : 25 C 0 = 12 C(t) = 12 5 t

Exponentielle Prozesse: Übung 17 2. Lösungsweg Ansatz: C(t) = C 0 b t Gegeben: C(2) = 300 C(7) = 937500 C 0 b 2 = 300 I C 0 b 7 = 937500 II II I : b 5 = 3125 b = 5 III III in I: C 0 5 2 = 300 : 25 C 0 = 12 C(t) = 12 5 t