- Numerik in der Physik - Simulationen, DGL und Co. Max Menzel 4.1.2011 1
Übersicht Differenzialgleichungen? Was ist das? Wo gibt es das? Lösen von Differenzialgleichungen Analytisch Numerisch Anwendungen Simulationen 2
Übersicht Differenzialgleichungen? Lösen von Differenzialgleichungen Analytisch Numerisch Anwendungen Simulationen 3
Analytisches Lösen Finden einer Funktion, die diese Gleichung löst Mögliche Lösungswege Separation Raten Integrieren Selten und meist schwer/aufwendig zu lösen 4
Numerisches Lösen Finden von Punkten nahe der Funktion Allgemeine Lösungen sind nicht zu finden Startwerte erforderlich Anfangswertprobleme Randwertprobleme 5
Numerisches Lösen Anfangswertprobleme Pendel Wachstums/Zerfallsprozesse... Randwertprobleme 6
Anfangswertprobleme Was kennt man... die Differentialgleichung die Anfangsbedingungen Was sucht man Einen Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt Lösungen Euler-Cauchy Verfahren Heun Verfahren Runge-Kutta Verfahren 7
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Euler-Cauchy Verfahren 9
Euler-Cauchy Verfahren Anwendbar auf Funktionen der Art: dy ẏ= f y,t dt = f y, t Differentialgleichungen erster Ordnung Teilung in kleine Abschnitte (Diskretisieren) Herleitung Über Polynome (Tangenten) annähern Integration 10
Euler-Cauchy Verfahren Erstellen der Tangente Steigung ermitteln über: y' = f(y,x) y aus Schritt vorher bekannt x aus Schrittweite bekannt 11
Euler-Cauchy Verfahren 12
Euler-Cauchy Verfahren Herleitung über Integration ẏ= f y,t t i 1 t i 1 ẏ dt= f y,t dt t i t i [ y ] t i t t i 1 = y i 1 y = i 1 i f y,t dt t i t y i 1 = y i 1 i t i f y, t dt 13
t y = y i 1 i 1 i t i f y, t dt 14
Euler-Cauchy Verfahren Integral numerisch berechnen Treppenintegral Funktion sei konstant t i 1 t i f y,t [ f y i,t i t ] ti t i 1 = f y i, t i t i 1 t i Bei äquidistanter Zerlegung : y i 1 = y i ẏ i t 15
Euler-Cauchy Verfahren In einfacher Näherung gilt : y i 1 = y i ẏ i t t i 1 =t i t 16
Euler-Cauchy Verfahren Programmiert: y = y_0; t = t_0; while(t <= t_ende) { y += f(y,t) * dt; t += dt; //Werte ausgeben... } 17
Heun Verfahren 18
t y = y i 1 i 1 i t i f y, t dt 19
Heun Verfahren Verbesserung der Integration t i 1 t i f y,t f y i,t i f y i 1,t i 1 t 2 i 1 t i = ẏ i y i 1 t t i 1 i 2 Bei äquidistanter Zerlegung : y i 1 = y i ẏ i y i 1 t 2 20
Heun Verfahren 21
Runge-Kutta Verfahren 22
t y = y i 1 i 1 i t i f y, t dt 23
Runge-Kutta Verfahren Zwischenschritte y i 1 = y i t n l n l l l k l k l = f y i l t,t i l t t i 1 =t i t 24
Klassischer Runge-Kutta 25
Höhere Differentialgleichungen Verfahren können angeglichen werden Durch Einfügen einer weiteren Variablen Erhöhung der Anfangsbedingungen Bei 1.Ordnung 1 Bedingung (y) Bei 2.Ordnung 2 Bedingungen (y, y') Bei 3.Ordnung 3 Bedingungen (y, y', y'')... 26
Einzel-/Mehrschrittverfahren Einzelschrittverfahren Euler-Cauchy Verfahren Heun Verfahren Runge-Kutta Verfahren Mehrschrittverfahren 27
Mehrschrittverfahren 28
t y = y i 1 i 1 i t i f y, t dt 29
Mehrschrittverfahren Benutzen die vorherigen Schritte! Anlaufrechnung nötig 30
Adams Verfahren Lösen des Integrals mit Polynom a) Stützstellen aus vorherigen Schritten (explizit) b) Stützstellen aus vorherigen Schritten und nächsten (implizit) 31
Adams Bashforth Verfahren (explizit) 32
Adams Bashforth Verfahren (explizit) Man erhält folgende Gleichungen k=1: y i 1 = y i t ẏ i k=2: y i 1 = y i t 1 2 ẏi 1 3 2 ẏi k=3: y i 1 = y i t 5 12 ẏi 2 16 12 ẏi 1 23 12 ẏi 33
Adams-Moulton Verfahren (implizit) 34
Adams-Moulton Verfahren (implizit) Man erhält folgende Gleichungen k=0: y i 1 = y i t ẏ i 1 k=1: y i 1 = y i t 1 2 ẏi 1 2 ẏi 1 k=2: y i 1 = y i t 1 12 ẏi 1 8 12 ẏi 5 12 ẏi 1 35
Numerisches Lösen Anfangswertprobleme Randwertprobleme Temperatur im Stab Elektrische Felder Schwingende Saiten 36
Was kennt man... Randwertprobleme die Differentialgleichung einen Anfangs- und einen Endwert Was sucht man Einen Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt Lösungen Schießverfahren FDM (finite difference method) FEM (finite element method) 37
Randwertprobleme [a ;b], u a = u b = ü= f t,u, u 38
Schießmethode Umformulieren in Anfangswertproblem ü= f t, u, u u a = u b = ü= f t, u, u u a = u a =c So lange c raten bis u(b) = β 39
Wie genau rechnen wir? Numerisch entstehen Fehler Rundung Approximation... Überprüfen von Algorithmen Messwerten Bestehenden Algorithmus Markante Punkte 40
Übersicht Differenzialgleichungen? Lösen von Differenzialgleichungen Anwendungen Simulationen 41
Quellen Skripte von Uni-Dortmund (Mathematik, Numerik) http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsviii/veranstaltungen/numerik204/kap10.pdf TU-Berlin (Mathematik) http://www.math.tu-berlin.de/~wittbold/teach/kapitel7.pdf TU-München (Mathematik, Numerik) http://www-m2.ma.tum.de/homepages/simeon/numerik3/kap4.pdf Uni-Wuppertal (Physik, Numerische DGL) http://particle.uni-wuppertal.de/vorkurse/physik06/numdgl.pdf HAW (Informatik, Numerik) Wikipedia http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/numet_5.pdf 42