Zusammefassug: Statistik Attribute ud ihre Werte qualitativ: Familiestad, Geschlecht, Kofessio, Ragmerkmal: Schulote, Diestgrad, quatitativ-diskret: Azahl der Fachsemester, quatitativ-stetig: Größe, Etferug, Skalieruge ormalskaliert: keie Ragfolge, z. B. Familiestad, Geschlecht, Kofessio ordialskaliert: Aordug/Ragfolge, z. B. Schulote, Diestgrad kardialskaliert: Werte sid reelle Zahle; Aussage wie stark sich zwei Werte itervallskaliert: Nullpukt willkürlich, Verhältisse icht sivoll, z. B. Temperatur verhältisskaliert: atürlicher Nullpukt, Verhältisse sivoll, z. B. Körpergröße, Alter Kewerte eier Stichprobe ud Streuugsmaße arithmetisches Mittel: x = x i i= Media: x={ ~ x (+/ ugerade ={ p-quatil: ~ x p + x p geometrisches Mittel: x geom = x i ( x / +x /+ gerade (50 % der Werte sid kleier p N (x p +x p+ p N (p-ateil der Werte sid kleier Modalwert/Modus: häufigster Wert Spaweite: R=x max x mi emp. Variaz: s = (x i x emp. Stadardabweichug: s= ( x i x Lieare Korrelatio gegebe ist zweidimesioale Stichprobe mit Wertepaare (x, y (x, y emp. Kovariaz: s xy = ( x i x(y i y emp. Korrelatioskoeffiziet: r xy = s xy s x s y (emp. Korrelatioskoeffiziet bestimmt Grad der lieare Abhägekit Regressio Regressiosgerade: f (x =kx +d mit k =r xy s y s x = s xy s x Methode der kleiste Quadrate ud d = y k x allgemeier Asatz: f (x =allgemei Miimum vo ( f (x i y i fide ach jede Parameter eimal partiell Ableite ud Ableituge 0 setze LGS löse für Parabel y =a x +b : Δ (a,b= (x i a +b y i Seite vo
Beispiel: Berechug liearer Ausgleichskurve mit Methode der kleiste Quadrate geg.: x =960,,x 4 =990; y =.5,, y 4 =5 ges.: y =a x +b Q :=(.5 (a 960+b + +(5 (a 990+b Bereche a ud b mit dq da = =0 ud dq db = =0 evtl. zur Bewertug am Ede Δ bereche: alle Werte i Q eisetze Wahrscheilichkeitsrechug Begriffe Ergebismege Ω : Mege möglicher Ergebisse, z. B. bei Würfel Ω ={, 3,,} Elemetarereigisse: Elemete x Ω Ereigis A: Teilmege A Ω, z. B. ugerader Wurf mit Würfel A={3,5,7,9,} Ereigisraum (Ω, y : Skript S.36 - TODO: aschauliche Erklärug es gilt: Ω y ist Ω edlich ud {x } y x Ω da gilt y =P (Ω i A i ist Ereigis " A oder A oder " Wahrscheilichkeit: jedem Ereigis A y wird Wahrscheilichkeit P (A R + zugeordet, sodass Gesamtwahrscheilichkeit P (Ω eis ist Wahrscheilichkeitsmaß: y [0,] R + Laplace: alle Elemetarereigisse habe gleiche Wahrscheilichkeit Azahl der güstige Fälle prob(a= Azahl der mögliche Fälle Wahrscheilichkeitsraum: (Ω, y,p P (A= P ( A ud P ( =0 es gilt: ud P (A B =P (A+P (B P (A B ud P (A P (B für A B Bedigte Wahrscheilichkeit Wie wahrscheilich ist es, dass B eitritt, we A scho eitrat? P (B A= P (A B P (A Multiplikatiosgesetz: P (A B=P (A P (B A=P (B P (A B Uabhägige Ereigisse: es gelte folgede Eigeschafte P (B A=P (B, P (A B=P ( A ud P (A B =P ( A P (B Formel vo Bayes: P (E A=P (A E P (E P (A ützliche Umformug: P (A B= P (A B = P (E P (A E k = P (E k P (A E k totale Wahrscheilichkeit P (E P (A E P (E A= P (E P ( A E +P (E P (A E Bsp.: P (ok,p (pos ok, P (eg ok P (ok eg= P (ok P (eg ok P (ok P (eg ok+p (ok P (eg ok = P (pos ok Seite vo
Totale Wahrscheilichkeit P (A= P (A E k = P (E k P (A E k k = k = P (A=P (E P ( A E +P (E P ( A E Zuverlässigkeit vo Systeme Serielle Systeme: R s =R R R Ausfallwahrscheilichkeit: R s Parallele Systeme: R s = ( R ( R ( R Zufallsvariable Auswähle ohe Zurücklege: ( k =! ( k! k! mit Zurücklege: ( +k k Grudlegede Defiitioe Verteilugsfuktio F ( x : Werte vo 0 bis, mooto steiged, Fläche uter Graph Dichtefuktio f (x : Ableitug der Verteilugsfuktio (Wahrscheilichkeit bei x Uabhägigkeit: prob(x x,y y =prob(x x prob(y y Erwartugswert μ =E(X ={ prob(x =x x i i i falls X diskret x f (x dx falls X stetig mit Dichte f E(X +Y =E(X +E(Y ud E(a X =a E(X (Liearität E(aX +b=a E( x +b E( X Y =E(X E(Y (ur für uabhägige Zufallsvariable we stetische Zufallsvariable symmetrisch um Pukt c, also f (c x =f (c +x für alle x, da gilt E(X =c Variaz σ =Var(X =E(( X μ ={ (x μ i i p i falls X diskret ist (x μ f (x dx falls X stetig ist σ =Var(X =E(X E(X =E(X μ Stadardabweichug: σ = σ we Y =a X +b : Var(Y =a Var(X bzw. σ Y = a σ X (z. B. bei C/ F-Umrechug ützlich Kovariaz: Var( X +Y =Var(X + Cov(X,Y +Var(Y wobei: Cov(X,Y =E ((X μ X (Y μ Y =E ( X Y μ X μ Y Cov( X, Y Var(X Var(Y wex odery kost. oder Y =a X +b für uabhägige Zufallsvariable: Cov(X,Y =0 ud Var(X +Y =Var (X +Var (Y Beispiel zu E(X ud Var(X - diskret: -mal Würfel Sechsseitiger Würfel wird 80 mal geworfe: X i ist Augezahl des i-te Wurfs, somit ist S := ( k =! 80 k! ( k! = k k k 3 k 3 k Faktore X i Augesumme ud X :=S /80 Seite 3 vo
E(X i = k =3.5, 6 k = Var( X i = 6 k = 6 6 80 E(S = k ( 7 = 35 E( X i =80 3.5=80, E(X = E(S 80 =3.5 80, Var(S = Var( X i =80 35 = 700, Var(X =Var(S = 7 3 80 9 Weiteres Beispiel zu E(X ud Var(X - stetig: Dichte gegebe f (x = 3 x für <x < E(X = x 4 x dx= = 3 9 ud Var( X = x 3 x dx ( 4 9 = Weiteres Beispiel: Wahrscheilichkeite aus Erwartugswert ud Variaz geg.: X ka Werte, ud 3 aehme; µ = ud σ² = 0.5 LGS löse: p +p +p 3 =(I, p + p +3 p 3 =(II, ( p + p +3 p 3 =0.5(III Momete k-te Momet: m k (X =E (X k k-te zetrierte Momet: m k (X μ =E (( X μ Stadardisierug eier Zufallsvariable Z =X μ,e(z =0, Var(Z = (für Beispiel siehe Stadardormalverteilug für Verteilugsfuktio gilt: F X (σ z +μ =F Z (z für p-quatile gilt: x p =σ z p +μ Tschebyscheff ud das Gesetz der große Zahle stochastische Kovergez: lim prob( X μ c = Ugleichug: P ( X μ c σ t c x } Theorem vo Beroulli: lim t prob( f t p c = emp. Verteilf.: F (x= {i x i Gleichverteilug (Rechteckverteilug i Itervall [a; b] 0 für x a F(X x a füra <x <b ={ b a für x b { bzw. f (X = für a<x <b b a 0 sost Beispiel: T,, T 8 uabhägige Zufallsvariable auf Itervall [5; 5] außerdem geg.: T := 8 (T + +T 8 ud S :=T + +T 8 Mittelwert vo T ud S: E(T = 8 8 5+5 Stadardabweichug vo T ud S: Var(T = 8 8 (5 5 = 5 43 σ T =0, E(S =8 5+5 =80 μ = a +b, σ = (b a 0.03, Var(T =8 (5 5 =675 σ S 5.98 Berechug vo Wahrscheilichkeit mit zetralem Grezwertsatz Aalog zu Bsp. für Expoetialverteilug. Expoetialverteilug (beschreibt z. B. Lebesdauer vo Bauteile F (X = { e kx für x >0 0 sost bzw. f (X = { k e kx für x >0 0 sost Beispiel: T,, T 0 uabhägige Zufallsvariable mit Rate k = 3 außerdem geg.: T := 0 (T + +T 0 ud S :=T + +T 0 μ = k, σ = k Seite 4 vo
Mittelwert vo T ud S: E(T = 0 0 3 = E(S =0 3, 3 =34 Stadardabweichug vo T ud S: Var(T = 0 0 3 = 98 σ 0.033, Var(T =0 T 3 = 34 3 σ 3.3665 S Berechug vo Wahrscheilichkeit mit zetralem Grezwertsatz, z. B. P (S >40= F (40= Φ ( 40 34 3.3665 0.0375 Diskrete Verteiluge Hypergeometrische Verteilug: Ziehe eier Stichprobe ohe Zurücklege N: Gesamtzahl, M: Elemete mit bestimmter Eigeschaft, : Größe der Stichprobe x prob(x =x = (M x ( N M ( N μ =E(X = M N, σ =Var(X = M N ( M N N N Bsp.: Batterieladegeräte ka gleichzeitig 5 Batterie prüfe. Uter 5 Batterie sid fehlerhaft. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass diese gleich beim erste Test etdeckt werde? x =, N = 5, = 5, M = Biomialverteilug: Ziehe eier Stichprobe mit Zurücklege X ~ Bi( ; p Beroulli-Experimet: Zufallsereigis mit geau mögliche Ereigisse: A tritt ei oder icht. Beroulli-Kette der Läge : -maliges Wiederhole eies Beroulli-Experimets uter selbe Bediguge := Azahl der Ziehuge, x := Azahl der Ereigisse, p := Wahrscheilichkeit für Ereigis prob(x =x = ( x p x ( p x μ =E(X =p σ =Var(X =p ( p Bsp.: Ateil fehlerhafter Eiheite ist gleichbleibed 4 %. Wie groß ist Wahrscheilichkeit, dass i zufälliger Sichtprobe vo 50 Eiheite geau fehlerhafte sid? x =, = 50, p = 4 % Ist Stichprobegröße klei gegeüber N ( 0 N, so ka ma die hypergeometrische Verteilug gut durch die Biomialverteilug aäher. Poisso -Verteilug: Ereigisse pro Eiheit X ~ Po(λ x := Azahl der tatsächliche Ereigisse pro Eiheit λ := Azahl der erwartete Ereigisse pro Eiheit prob(x =x = λ x x! e λ μ =E(X =λ σ =Var(X =λ Bsp.: durchschittlich 0.05 Staubteilche pro cm², Wie groß ist Wahrscheilichkeit, auf 00 cm² geau 3 Staubteilche zu fide? λ = 5 (Teilche pro 00 cm², x = 3 Für großes ud kleies p ka Bi( ; p durch Po(λ mit λ =p geähert werde. Seite 5 vo
Spezielle stetige Verteiluge Normalverteilug X ~ N(μ ; σ Dichtefuktio: ( x μ Verteilugsfuktio: f (x = σ σ π e F (x=p (X x = σ π Bei jeder Normalverteilug ist die Wahrscheilichkeit, dass: X [μ σ ; μ + σ ] P =68.3 % X [μ σ ; μ + σ ] P =95.5 % X [μ 3 σ ; μ +3 σ ] P =99.7 % Stadardormalverteilug X ~ N(0 ; x e ( x μ σ Festlegug: μ =0, σ = f (x = π e x, F (x =Φ es gilt: Φ ( x = Φ (x Stadardisierug: F (x=prob(x x=φ ( x μ σ Quatile: siehe Tabelle, es gilt: z p = z p Normalverteilug als Näherug, f (x = σ x μ Φ ( σ we X ~(μ X ; σ X ud X ~(μ Y ; σ Y uabhägige ormalverteilte Zufallsvariable X +Y ~N (μ X +μ Y ; σ X +σ X Zetraler Grezwertsatz: Sid X, X,, X uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable, da hat die Summe S = dt X i de Erwartugswert μ ud die Variaz σ für große auch X =/N S ist äherugsweise ormalverteilt mit μ *=σ *=σ /. für zugehörige stadardisierte Zufallsvariable Z := S μ σ = X μ σ / gilt: lim prob(z z =Φ (z (für Beispiel siehe ute bei Tests Näherug eier Biomialverteilug μ = p, σ = p( p, F B (x F N (x +0.5=Φ ( x +0.5 p p ( p Näherug eier Poisso-Verteilug Faustregel: σ 9 μ =λ, σ =λ, F P (x F N (x +0.5=Φ ( x +0.5 λ λ Faustregel: λ 9 Chi-Quadrat-Verteilug mit m Freiheitsgrade Z ~χ (m m Z := X i (X,, X m sid stadardormalverteilte, uabhägige Zufallsvariable Erwartugswert ud Variaz: E(χ (m=m, Var(χ (m=m Seie X = X i das arithmetische Mittel ud S := (X i= i X die empirische Variaz eier zufällige Stichprobe X,, X aus eier ormalverteilte Grudgesamtheit, da ist ( S σ = ( X X i σ Chi- Quadrat-verteilt. für große m Näherug durch Stadormalverteilug: χ (m N (m ; m i= Seite 6 vo
Quatile: siehe Tabelle; für m > 39: χ m ; p m ( 9m +z p T-Verteilug T ~t (m Wobei Z ud X uabhägige Zufallsvariable sid ud Z ~N(0; stadardormalverteilt ist ud X ~ x (m 3 9m X m Erwartugswert ud Variaz: E(T =0 für m>, Var(T = m für m > m ormalverteilte Grudgesamtheit ist t-verteilt mit - Freiheitsgrade: T = X μ s / für große m Näherug durch Stadormalverteilug: t (m N (0 ; m/(m Quatile: siehe Tabelle; für m > 39: t m ; p z p( + +z p 4m außerdem gilt: t m ; p = t m ; p we Stichprobe groß, Stadardormalverteilug astatt utzbar (ZGS F-Verteilug X ~ F (m ; m Wobei X ud X uabhägige Zufallsvariable sid ud X ~χ (m ud X ~χ (m E(X = m m für m> ud Var(T = m (m +m m (m 4 (m für m >4 Zufallsstichprobe: Folge vo uabhägige Zufallsvariable Puktschätzuge Merkmal X eier Verteilug geügt (z. B. Normalverteilug, dere Parameter? ma icht ket (z. B. Erwartugswert, Variaz aus Merkmalswerte der Stichprobe wird mit Schätzfuktio geschätzter Wert bestimmt Eigeschafte vo Schätzfuktioe. erwartugstreu/uverzerrt falls E(T =? systematischer Fehler: E(T?. asymptotisch erwartugstreu, falls lim E(T =0 3. kosistet, falls sie stochastisch gege? Kovergiert: lim prob( T? <ϵ =0 4. kosistet im quadratische Mittel, falls lim E((T? =0 (we Pukte. bis 3. gelte Im quadratische Mittel kosistete ud erwartugstreue Schätzer sid. X (arithmetisches Mittel für Erwartugswert μ eier reelle Zufallsvariable X. P (empirische Ateil für de Ateil p a eier Grudgesamtheit mit eier bestimmte Eigeschaft 3. F (empirische Verteilugsfuktio für die Verteilugsfuktio F Erwartugstreuer ud im quadratische Mittel kosisteter Schätzer für Variaz Var(X S := (X i X = ( X i X T := Z X := x /m x /m Seite 7 vo
Kofidezitervall für Erwartugswert µ eies ormalverteilte Merkmals bei bekatem σ. wähle Kofidezviveau: α, z. B. 0.99 ( α =0.0. ziehe eie Stichprobe vom Umfag ud bereche x 3. bestimme Quatil z α / der Stadardormalverteilug (im Bsp.: z 0.995 =.5758 4. Itervalle des gesuchte Erwartugswerts µ mit der Wahrscheilichkeit α : zweiseitiges Kofidezitervall: [ x z a/ σ, x +z a / σ ] eiseitige Kofidezitervalle: (, x +z a σ ] ud [ x z a σ, + 5. Umkehrug: Wahrscheilichkeit α für gegebees, eiseitiges Kofidezitervall: z α =(Greze X σ p =Φ (z α (bei oberer Greze och Vorzeiche vertausche Läge des Kofidezitervalls L= z σ α / Notwediger Stichprobeumfag für vorgegebee Maximalläge des Kofidezitervalls: ( z σ α / L max Kofidezitervall für Erwartugswert µ eies ormalverteilte Merkmals bei ubekatem σ Wie bei bekatem σ, bis auf: s schätze, we icht bekat (mit Schätzer für Variaz aderes Quatil (bei 3. zu bestimme: t ; α / (we > 30 ka auch Stadardormalverteilug beutzt werde Kofidezitervall: [ x t s ; α /, x +t s ; α / ] Kofidezitervall für µ eies beliebig verteilte Merkmals bei große Stichprobeumfag ( 30 Wie bei bekatem σ (we σ icht bekat schätze Kofidezitervall für Vergleich der Erwartugswerte vo zwei Normalverteiluge mit bekate Stadardabweichuge Wie bei bekatem σ ur mit Variable für beide Normalverteiluge [ Kofidezitervall: x x z σ a / + σ, x x +z σ a / + σ ] Kofidezitervall für de Vergleich der Erwartugswerte vo zwei Normalverteiluge mit ubekate, aber gleiche Stadardabweichuge [g -, g + ] mit g± x x ±t + ; α / ( + ( ( s +( s + Seite 8 vo
Kofidezitervall für σ²/σ eies ormalverteilte Merkmals [ für σ²: ( s, χ ; α / ( s ] χ ; α / für σ: [ ( s χ ; α /, ( s ] χ ; α / Approximatives Kofidezitervall für eie Wahrscheilichkeit bzw. eie Ateilswert p bei großem Stichprobemumfag ( 0 ( [g -, g + ], g ± = +z p+ z α / α / ±z α / p( p + z α / 4 Maximum-Likelihood-Methode Ma wählt Parameter? für de beobachteter Wert vo X =(X,, X die größte Wahrscheilichkeit hat Likelihood-Fuktio we X i diskret: L=(x,, x,? := prob(x i =x i? Likelihood-Fuktio we X i stetig: L=(x,, x,? := f (x i,? Beispiel (für stetig: F (x = { e (λ x für X 0 f (x = 0 sost { λ (λ x xe für X 0 0 sost kokrete Stichprobe: 0.38, 0.4, 0.5 L(λ =f (0.38 f (0.4 f (0.5= Allg.: L(λ = ( λ x i e (λ x = i λ ( x i e λ x i i= i Formel eisetze Tests l(l (λ = l(+ l(λ +l( x i 0= d d λ l(l(λ = λ λ Fehlerarte ud Güte λ x i i= = x i λ / x i etschiede für H 0 etschiede für H H 0 wahr ok Fehler. Art (α-fehler l awede Ableitug ach λ 0 setze (Am Ede ist ur Betrag relevat. H wahr Fehler. Art (β-fehler ok Die Wahrscheilichkeit für eie α-fehler wird durch die Wahl des Sigifikaziveaus begrezt bzw. festgelegt. Die Wahrscheilichkeit für eie β-fehler ka i der Regel icht vorgegebe werde. p-wert Wahrscheilichkeit, bei Gültigkeit vo H 0, de beobachtete Prüfwert oder eie i Richtug vo H extremere Wert zu erhalte. (H 0 wird verworfe, falls p-wert kleier als Sigifikaziveau. Test für µ eies ormalverteilte Merkmals bei bekatem σ (Gauß-Test ah 0 :μ =μ 0 gege H :μ μ 0 (zweiseitig. formuliere Hypothese bh 0 :μ μ 0 gege H :μ <μ 0 (eiseitig ch 0 :μ μ 0 gege H :μ >μ 0 (eiseitig Seite 9 vo
z. B. H 0 :μ 00 (also Fall b. wähle Sigifikatziveau α (z. B. 0.0, 0.05 oder 0.0 3. ziehe Stichprobe vom Umfag, bereche daraus x ud s sowie Prüfwert z = x μ 0 σ / (Die zugehörige Prüfgröße Z ist stadardormalverteilt a z >z α / 4. H 0 verwerfe, falls bz < z α cz >z α t-test für µ eies ormalverteilte Merkmals bei ubekatem σ mit Beispiel. Sigifikaziveau ud Hypothese wie bei Gauß-Test, z. B. H 0 :μ 00 (also Fall b. ziehe Stichprobe vom Umfag, bereche daraus x ud s sowie Prüfwert t = x μ 0 s / (Die zugehörige Prüfgröße T ist da t-verteilt mit - Freiheitsgrade z. B. -.833 3. H 0 aalog zu Gauß-Test verwerfe ur adere Quatile: at ; α / bzw. b, ct ; α z. B. -.593 im Beispiel wird also H 0 beibehalte, da.593.833 Bemerkug: H 0 wird geau da abgeleht, we µ 0 icht im eiseitige Kofidezitervall zum Niveau α ist. χ²-test für σ² eies ormalverteilte Merkmals. wähle Sigifikaziveau, Hypothese wie bei Gauß-Test ur mit σ². ziehe Stichprobe vom Umfag, bereche s² sowie Prüfwert y = σ s 0 3. H 0 verwerfe, falls a y < χ ; α / oder y >χ ; α / b y < χ ; α c y <χ ; α Beispieltest mit Normalapproximatio der Biomialverteilug geg.: 4000 Teile überprüft; geau 049 icht vo erster Wahl Aufgabe: Teste, dass 75 % der Teile der Produktio icht vo erster Wahl sid mit Sigifikaziveau vo 5 % H 0 : P (Bauteil vo erster Wahl=p=0.75 X :=Azahl Teile. Wahl k bei 4000 Teile X ~b (4000; p,p ( X =k = ( 4000 k p k ( p 4000 k E(X = p =4000 0.75=3000, Var(X = p( p= =750 für k =4000 049=95 P ( X (4000 049 Φ ( k +0.5 3000 Φ ( 48.5/ 750 Φ (.77 0.038 750 H 0 wird abgbgeleht, da 0.038 < 5% χ²-apassugstest mit Beispiel Testet für disjukte Mege, ob Zufallsvariable X bestimmte Verteilug besitzt.. bilde Zerlegug A i mit i N i disjukte Mege, die alle mögliche Werte vo X umfasst (z. B. Werktage N = 5. bereche Wahrscheilichkeite p i für Ereigisse X A i, i N uter ageommeer Verteilug (im Bsp. p i = 0. für gleichmäßige Verteilug Seite 0 vo
H 0 :P (X A i =p i, i N gege 3. formuliere Hypothese: H :P (x A i p i für midestes ei i 4. wähle Sigifikatziveau α (z. B. 0.05 5. ziehe Stichprobe vom Umfag stelle Azahl h i der Stichprobewerte i A i fest N ( ud bereche daraus Prüfwert: T = i p i = p i ( N i p i (z. B. 37, 9, 6, 7, 3 =50,T =/50 5 (37 +9 + +3 50=.53 6. H 0 verwerfe, falls T >χ N ; α (im Bsp. χ 4 ; 0.95 =9.488 also Hypothese beibehalte Für das Quatil die Azahl der Mege mius verwede ud icht de Stichprobeumfag! Weiteres Beispiel: Expoetialverteilug Stichprobe vom Umfag 00: 78 Werte i [0; ], 45 i ]; ], 54 i ]; 4], 3 i ]4; [ Nullhypothese: X ist expoetialverteilt mit Parameter 0.5; Sigifikatziveau α = 0.05. Wahrscheilichkeite für die eizele Itervalle mit Verteilfuktio F für Expoetialverteilug bereche. Prüfwert bereche: T =/00 78 ( 3 + + 0.393 0.34 00 3. Quatil bereche: χ 3 ; 0.95 =7.85 Nullhypothese wird beibehalte Logarithmeregel log a (u v =log a u +log a v log a u v =log a u log a v log a u v =v log a u log b r = log a r log a b Seite vo