Inhalt der Vorlesung A1

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Inhalt der Vorlesung A1 1. Einführung Methode der Physik Physikalische Größen Übersicht über die vorgesehenen Themenbereiche. Teilchen A. Einzelne Teilchen Beschreibung von Teilchenbewegung Kinematik: Quantitative Erfassung Dynamik: Ursachen der Bewegung Kräfte Arbeit + Leistung, Energie Erhaltungssätze: Energie+Impulserhaltung Reibungskräfte Schwingungen 1

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Ein anderes Beispiel, bei dem eine Reibung angenommen wird, die proportional zur Geschwindigkeit anwächst, ist der gedämpfte harmonische Oszillator. Ungeachtet dieses Bezugs zur eben behandelten Reibung sind Schwingungsvorgänge von fundamentaler Bedeutung in der Physik. hier: 1) Ungedämpfter harmonischer Oszillator ) Gedämpfter harmonischer Oszillator 3) Erzwungener harmonischer Oszillator

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Schwingungen, harmonischer Oszillator Einführung Mechanische Schwingungen 3

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Beispiel: Schwingung einer Stimmgabel 4

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Elektromagnetische Oszillatoren Widerstand U (t) U (t) Spule Kondensator 5

Schwingungen PHYSIK Physik A/B1 A im WS SS 17 atomaren 13/14 Bereich 6

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Betrachtung eines zeitlich periodischen Vorgangs: x(t) T ν 1 T πν T t Im einfachsten Fall liegt nur eine Sinusschwingung der Art x( t) a sin( t + ϕ) vor. Dann spricht man von einer harmonischen Schwingung. Physikalische Systeme, die solche Schwingungen ausführen, werden als harmonische Oszillatoren bezeichnet. Beliebige periodische Vorgänge können daher immer aus einzelnen Sinusschwingungen aufgebaut werden (sog. Fouriersynthese). 7

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 x(t) 1. Beispiel: Dreiecksschwingung 8

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Fourier- Zerlegung 1. Beispiel: Dreiecksschwingung 4 x1 ( t) sin( t) π 9

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Fourier- Zerlegung 1. Beispiel: Dreiecksschwingung x ( t) 4 sin( t) π sin(3t) 3 1

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Fourier- Zerlegung 1. Beispiel: Dreiecksschwingung x 3 ( t) 4 sin(3t) sin(5t) sin( t) + π 3 5 11

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 x(t). Beispiel: Rechteckschwingung 1

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Fourier- Zerlegung. Beispiel: Rechteckschwingung 4 x1 ( t) sin( t) π 13

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Fourier- Zerlegung. Beispiel: Rechteckschwingung x3( t) 4 sin( t) π + sin(3t) 3 + sin(5t) 5 14

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Fourier- Zerlegung. Beispiel: Rechteckschwingung x5( t) 4 sin( t) π + sin(3t) 3 + sin(5t) 5 + sin(7t) 7 + sin(9t) 9 15

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14.8. Der harmonische Oszillator Beim Federpendel war die rücktreibende Kraft: F( x) Dx x(t) D F(x) Das zweite Newton sche Gesetz liefert dann die Bewegungsgleichung: d x( t) m dt F T d x( t) D Dx( t) + x( t) dt m bzw. kürzer geschrieben: x D + x m m 16

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Mit der Definition D m ergibt sich die Bewegungsgleichung einer Masse m, die an einer Feder mit der Federkonstanten D hängt: x( t) + x( t) Das ist die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators. Hierbei wurden Reibungskräfte nicht berücksichtigt. Eine solche Gleichung nennt man Differentialgleichung, im folgenden kurz DGL genannt. Lösung der DGL Es wird eine Funktion gesucht, bei der die. zeitliche Ableitung bis auf eine Konstante identisch ist mit der Funktion x(t) selbst. 17

PHYSIK A WS 13/14 Physik A/B1 SS 17 18 Die Konstanten A und B werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt: B v x x A x x t () () Ein allgemeiner Lösungsansatz ist: ( ) ) ( ) ( ) ( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) sin( ) cos( ) ( + + + + t x t x t x t B t A t B t A t x t B t A t x t B t A t x ) sin( ) cos( ) ( t v t x t x + allgemeine Lösung:

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 x x( t), x ( t) v x t) v x cos( t) + sin( t) ( x (t) Spezielle Anfangsbedingungen: x() x () v t x x(t) 19

Physik A/B1 SS 17 PHYSIK A WS 13/14 x(t) x( t) A sin( t + ϕ) A 1.5 ϕ.8 1.5 t A 1 1 ϕ

Physik A/B1 SS 17 x( t) A sin( t + ϕ) PHYSIK A WS 13/14 Energieaustausch & Energieerhaltung E 1.5 1.5 ϕ.8 E 1 ( x ( ) kin ( t) m t) E 1 ( x( ) pot ( t) D t) E E 1 kin m ( t) + E ( t) 1 ( A cos( t + ϕ) ) + m ( A sin( t + ϕ) ) m A const. pot D m 1 1

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Ergänzung: Federpendel mit Schwerkraft x(t) D F T F G F(x) m Das. Newton sche Axiom ergibt nun: m x F( x) + FG m x Dx mg D / m x + x Das ist eine sog. inhomogene DGL, da auf der rechten Seite eine von Null verschiedene Funktion steht. Die allgemeine Lösung einer inhomogenen DGL ergibt sich wie folgt: x ( t) xpart ( t) + xhom g ( t) Sie ist die Summe aus der allg. Lösung der homogenen Gleichung und einer speziellen (partikulären) Lösung der inhomogenen Gleichung.

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Die Lösung der homogenen Gleichung wurde bereits diskutiert. Eine partikuläre Lösung ergibt sich aus der Ruhelage x ( t). Dann folgt sofort aus der Dehnung der Feder wegen des Hooke schen Gesetzes: x ( t) m g D part const. Also ergibt sich als allgemeine Lösung für die Bewegung einer Masse an einer Feder unter Berücksichtigung der Gravitation: v mg x( t) x cos( t) + sin( t) D Das Pendel schwingt jetzt um einen verschobenen Nullpunkt. Graphisch sieht die Bewegung eines Federpendels mit Schwerkraft so aus: mg D x(t) 3 t

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Der gedämpfte harmonische Oszillator Es wird jetzt noch die Reibung beim Federpendel mit berücksichtigt: x(t) D F T F(x) m F R (x) Das. Newton sche Axiom liefert jetzt: mx F( x) + F ( x ) Mit dem Ansatz F R ( x ) α x (Stokes - Reibung) folgt sofort die Bewegungsgleichung : mx Dx α x α x + x + m R D m x Folgende Abkürzungen werden eingeführt: α D γ und m m 4

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Damit erhält man wieder eine lineare und homogene DGL: x( t) + γ x ( t) + x( t) Diese lösen wir mit dem Ansatz: x( t) Aexp( Ωt) x ( t) Ω Aexp( Ωt) x( t) Ω Aexp( Ωt) Einsetzen in die DGL ergibt: ( ) Ω + γ Ω + Aexp( Ωt) Ω + γ Ω + 1, γ γ Die allgemeine Lösung lautet: ( t) A exp( Ω t) + A ( Ω t) Ω ± x 1 1 exp Die Amplituden A 1 und A werden wieder für t durch die Anfangsbedingungen festgelegt: x ( ) x und x ( x v ) 5

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Die Lösung hängt jetzt entscheidend davon ab, wie groß die Dämpfung γ im Vergleich zu der Größe ist. Hierbei müssen drei Fälle unterschieden werden: 1. Fall: Schwache Dämpfung, der Schwingfall γ <. Fall: Starke Dämpfung, der Kriechfall γ > 3. Fall: Der aperiodische Grenzfall γ 6

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 1. Fall: Schwache Dämpfung, der Schwingfall γ < allgemeine Lösung: γ + + ( ) x v x t x cost sint e t γ mit 1 γ Die Lösung ist eine Schwingung, deren Amplitude exponentiell gedämpft ist und damit gegen Null absinkt im Laufe der Zeit. Für zu vernachlässigende Dämpfung (γ ), geht die Schwingung natürlich wieder in die des ungedämpften harmonischen Oszillators über. 7

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 x(t) γ 3s 1 γ.3s 1 γ 1s 1 1s -1 t [s] 8

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14. Fall: Starke Dämpfung, der Kriechfall γ > allgemeine Lösung: x x γ + v ~ ~ ~ ( ) t t x t cosh + sinh t e γ mit ~ γ 1 cosh x ( e + e 1 x x ) Es ist und e e x x + e e x x cosh x sinh x sinh x ( e e 1 x x 9 )

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 x(t) γ 5s 1 Verschiedene Kriechfälle γ 1 s 1 1s -1 γ 15s 1 t [s] 3

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 3. Fall: Aperiodischer Grenzfall γ allgemeine Lösung: x t) xγ + v lim x cos( t) + ( sin( t) e γ t x( t) [ x + ( x γ + v ) t] e γ t 31

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 x(t) γ 3s 1 γ 1 s 1 Aperiodischer Grenzfall γ.3s 1 γ 1s 1 1s -1 t [s] 3

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 x(t) Die drei Lösungen der Schwingungsgleichung im Überblick aperiodischer Grenzfall Kriechfall Schwingfall t [s] 33

x(t) Physik A/B1 SS 17 PHYSIK A WS 13/14 Beim aperiodischen Grenzfall kehrt das System am schnellsten wieder in die Nähe der Ruhelage zurück. γ > γ γ < t [s] 34

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Feder Duesenberg 193 Stoßdämpfer Masse (Rad) Federbeine Beispiel: Anwendung der aperiodischen Dämpfung beim Stoßdämpfer im Auto. 35

Physik A/B1 SS 17 PHYSIK A WS 13/14.8.6 Energieentwicklung des gedämpften harmonischen Oszillators Da eine Reibungskraft wirkt, bleibt die mechanische Energie E kin + E pot beim gedämpften harmonischen Oszillator zeitlich nicht konstant. t [s] x 5 m v m/s m 1 kg γ.1 s -1 s -1 36

Physik A/B1 SS 17 PHYSIK A WS 13/14 E [J] x 5 m v m/s m 1 kg γ.1 s -1 < s -1 t [s] 37

Physik A/B1 SS 17 PHYSIK A WS 13/14 γ E [J] Energieentwicklung als Funktion der Dämpfung x 5 m v m/s m 1 kg s -1 Beim aperiodischen Grenzfall wird die mechanische Energie am schnellsten aus dem System entfernt (und etwa in Wärme umgewandelt). t [s] 38

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Erzwungene Schwingungen Versuch: Resonanz bei Stimmgabeln Mit Reiter sind die Frequenzen verschieden; eine resonante Anregung findet nicht mehr statt. Reiter Ohne Reiter haben beide Stimmgabeln dieselbe Frequenz. Wird die eine angeregt, schwingt auch die zweite mit (Resonanz). 39

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Es wirkt jetzt von außen eine periodische Kraft ausgeübt, die die Masse m zu erzwungenen Schwingungen anregt. Wir betrachten den einfachsten Fall einer cosinus-förmigen Anregung: F A (t) F A ( t) F cos( Et) D Das. Newton sche Gesetz ergibt dann die Bewegungsgleichung: x(t) F(x) m x D x α x + ( i t) F exp E m F R (x) x + F γ x + x exp E m ( i t) F T 4

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Die vollständige Lösung lautet dann (im Fall γ <,, schwache Dämpfung): xγ + v γ t x( t) x cos( t) + sin( t) e + A cos E ( t + ϕ) Einschwingterm, klingt mit der Zeit ab Dabei sind die Frequenz, die Phase und die Amplitude gegeben durch: A γ 1, ( ) + 4γ γ tan ϕ F E m E stabile Schwingung mit der Anregungsfrequenz E E 41

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Anregung unterhalb der Resonanzfrequenz E 7. Hz, 1 Hz, γ.3s -1 < E x(t) Anregung eingeschwungener Zustand Einschwingvorgang Phase ϕ t [s] 4

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Anregung in der Nähe der Resonanzfrequenz ( E < ) E 9. Hz, 1 Hz, γ.3s -1 E x(t) Einschwingvorgang eingeschwungener Zustand Anregung t [s] 43

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Anregung bei der Resonanzfrequenz 1 Hz, 1 Hz, γ.3s E x(t) E Anregung -1 eingeschwungener Zustand Einschwingvorgang Phase ϕ -π/ t [s] 44

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Anregung in der Nähe der Resonanzfrequenz ( E > ) -1 11 Hz, 1 Hz, γ.3s E E x(t) Einschwingvorgang eingeschwungener Zustand Anregung t [s] 45

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Anregung oberhalb der Resonanzfrequenz 13. Hz, 1 Hz, γ.3s E -1 > E x(t) Anregung eingeschwungener Zustand Einschwingvorgang Phase ϕ -π t [s] 46

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Die Amplitude ist eine Funktion der erregenden Frequenz: A ( ) E ( ) + 4γ E Das Maximum ergibt sich aus der Bedingung F E m d A E d ( ) Daraus folgt sofort die Bedingung: ( ) γ E E Das Maximum liegt also bei der Frequenz: γ E,max γ 1 47

PHYSIK A WS 13/14 Physik A/B1 SS 17 48 Die maximale Amplitude ergibt sich aus ( ) E,max max A A also 1 max 1 4 1 γ γ + γ m F A max 1 γ γ m F A Für γ wächst die Amplitude bei der Resonanzfrequenz über alle Grenzen!! ) lim max ( γ γ A Resonanzkatastrophe [ ] { } [ ] 1 4 4 1 4 max 8 4 4 8 4 γ γ + γ γ γ + γ m F m F A und schließlich

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Wir betrachten den Amplitudenverlauf als Funktion der erregenden Frequenz im eingeschwungenen Zustand. Dann gilt (für t ): A ( ) E ( ) + 4γ F E m Man sieht sofort, daß bei kleiner Dämpfung und einer Anregungsfrequenz um E die Amplitude sehr große Werte annehmen kann. E A ϕ γ γ -1.5s -1 s Amplitude 1s γ -1 6s -1 E Phase -1 γ.5s -1 γ 6s -1 1s Dieses Phänomen nennt man Resonanz γ -1 s E 49

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Versuch 1: Zungenfrequenzmesser Zungen mit verschiedenen Resonanzfrequenzen Lautsprecher zur Schwingungsanregung Zunge in Resonanz 5

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Versuch 3: Pendelkette Pendel mit Stahlkugel Pendel mit verschiedenen Fadenlängen und damit verschiedenen Frequenzen hängen an einem gemeinsamen Faden. Stößt man das Pendel mit der Stahlkugel an, werden die Pendel mit gleicher Fadenlänge, d.h. gleicher Frequenz, angeregt. 51

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Die Tacoma Bridge ( Galloping Gertie ) am 7. November 194 5

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PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Durch Wind wurde die Brücke zu resonanten Schwingungen mit extrem großen Amplituden angeregt. 54

PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Das Opfer der Resonanz... 59