Jörg MEYER, Hmeln Zum Stz es Pythgors 1 Astrct: Zwei ungewöhnliche Beweise zum Stz es Pythgors weren vorgestellt. Der eine ergit sich orgnisch us en ülichen in Klsse 9 ngestellten Irrtionlitätsetrchtungen, er nere enutzt en Stz es Thles. Beie Beweise orientieren sich n em Huptnwenungsprolem, Längen von Strecken estimmen zu wollen. Zeige ich Ihnen hier lso s Moell meines Unternehmens, weil es mir ziemlich gut gefllen ht, so eeutet ies nicht, ls wollte ich irgen jemnem rten, es nchzuhmen. Descrtes, Discours e l méthoe II,3 (1637). 0. Einleitung Zum Stz es Pythgors git es unzählig viele Beweise. Wrum lso noch zwei weitere? Nch Durchsicht mehrerer gängiger Schulücher kommt mn zu er etrülichen Einsicht, ß ein prolemorientierter Zugng zum Pythgors nicht zu existieren scheint. Immer stehen irgenwelche Flächenverwnlungen im Vorergrun, ie nn einen Stz werfen, en nur er Lehrer nstret un en kein Schüler sucht. Meist erst in einer späteren Jhrgngsstufe wir nn ieser unverstnene Stz zu enutzt, um Astäne zwischen Punkten zu erechnen (ieses Prolem ist ie Huptnwenung es Pythgors!); Flächenverwnlungen treten nie wieer uf. Ansttt nun immer wieer neu s Pfer von hinten ufzuzäumen, weren hier Zugänge präsentiert, ie sich von Anfng n n em Astnsprolem orientieren. Flächenverwnlungen spielen in en folgenen Ausführungen gr keine Rolle. Der erste Zugng entwickelt sich ls Anschlußprolem ei em Nchweis, ß 2 irrtionl ist. Der zweite Zugng zeigt, wie mn einen er gängigen Beweise prolemorientiert unterrichten knn. Der ritte Zugng schließlich enutzt ls Hupthilfsmittel en Stz es Thles. Alle rei Zugänge sin ntürlich voneinner unhängig. Für en Unterricht müssen sie noch methoisch ufereitet weren (eispielsweise fängt mn mit konkreten Zhlen n). 1. Irrtionle Zhlen un Pythgors Einer er eknnten Beweise, ß 2 irrtionl ist, orientiert sich n er folgenen Figur: Es sei : CA ie Digonlenlänge. Nun ist AD ie Digonle eines kleineren Qurts mit er Seitenlänge AE. Es ist AE ; ferner gilt AE ED DB. Somit ist AD DB ( ) 2. 1 Erschien in: Der mthemtische un nturwissenschftliche Unterricht 50 (2), S. 76-79 (1997).
Jörg Meyer: Zum Stz es Pythgors 2 Seitenlänge Digonlenlänge Großes Qurt Kleines Qurt 2 Ds Verhältnis Digonlenlänge zu Seitenlängen ist in eien Qurten ssele; lso gilt 2. (*) (Hierzu muß er Begriff er Ähnlichkeit nicht vorher themtisiert woren sein; er knn sogr ei iesen Betrchtungen fllen.) Aus (*) lssen sich mehrere Schlüsse ziehen: 1. Wenn eine rtionle Zhl ist, so ist sie wertgleich zu einem neren Bruch mit kleinerem Nenner. D sich (*) elieig oft iterieren läßt, kommt mn so zu einem Wierspruch. 2. (*) eeutet, ß mn ie Seiten n 1 un n1 es großen Dreiecks urch ie Seiten ' n un ' n es kleinen Dreiecks ersetzen knn: n n1 n1. n 2 n1 n1 Kehrt mn iese Ersetzung um, so führt ie entstehene Trnsformtion n1 n n n1 n 2 n zu einem Berechnungsverfhren für 2, s uf Theon von Smyrn (c. 100 n. Chr.) zurückgeht. 2 2 3. Die Gleichung (*) läßt sich in 2 umwneln. Wenn mn 2 kennt, knn mn ie Digonlenlänge es großen Qurts erechnen. Nheliegene Frge: Knn mn uf ähnliche Art uch ie Digonle eines llgemeinen Rechtecks erechnen? Die entsprechene Figur ist Wieer sei : AC ie Digonlenlänge. Wie im qurtischen Fll ist ie Strecke AD Digonle eines kleineren Rechtecks mit en Seitenlängen AE un x sowie er Digonlen y. Die Dreiecke ABC un AED hen ie gleiche Form. große Seite kleine Seite Digonle Großes Dreieck Kleines Dreieck x y Nun muß ntürlich y x sein. Setzt mn ein, so ergit sich
Jörg Meyer: Zum Stz es Pythgors 3 un nch einer leichten Umformung 2 2 2. Bemerkungen: 1. Auch ie zum rechteckigen Fll gehörige Telle können Schüler erstellen, ohne ß zu vorher er Begriff er Ähnlichkeit explizit ehnelt weren muß. Ich he ie Erfhrung gemcht, ß Schüler im Anschluß n iese Üerlegungen ie ülichen Strhlenstzufgen gut lösen konnten, nicht inem sie ie Strhlensätze flsch nweneten, sonern inem sie von vornherein formgleiche Dreiecke suchten. 2. Wie eim qurtischen Fll knn mn us en rgestellten Üerlegungen ein Berechnungsverfhren für Wurzeln zuleiten; es ringt er gegenüer em qurtischen Fll nichts Neues. 3. Sollte mn en SehnenTngentenstz zur Verfügung hen, so folgt us er Figur sofort 2. 2. Ein klssischer Weg Wie lng ist ie Digonle eines Rechtecks? Heuristische Strtegie: Mit em Einfchsten eginnen, lso mit em Qurt. Weitere heuristische Strtegie: Symmetrien usnutzen! Aer: Die Figur ht keine fruchtren Symmetrien. Also: Die Figur symmetrisch mchen : 2 2 Nun ist 2 2, lso 2. Geht s uch eim Rechteck?
Jörg Meyer: Zum Stz es Pythgors 4 Hier ist ie Ausgngsfigur sogr noch unsymmetrischer ls eim Qurt. Aer: Dersele Trick hilft trotzem weiter: Diese Figur ht sogr zweierlei Struktur: Der Flächeninhlt es großen Qurts ist einerseits 2 un nererseits 4 1 2, worus mn 2 erechnen knn. Mn hätte ie Figur er uch so enutzen können: Der Flächeninhlt es mittleren schräg liegenen Qurts ist einerseits 2 un nererseits 2 4 1, worus mn uch erechnen knn. 2 3. Pythgors un Thles Hier orientiert sich er Beweis n em Prolem, en Astn u es Punktes P zum Ursprung ermitteln zu wollen.
Jörg Meyer: Zum Stz es Pythgors 5 Der gesuchte Astn u tucht n vielen Stellen uf: Jeer Punkt P uf em Kreis ht ie eien Eigenschften: Er ht en Astn u zum Ursprung Die eien zugehörigen Schenkel sin zueinner orthogonl: Die Schenkel hen ie Steigungen un u eie ufeinner senkrecht stehen, gilt un mit u ; u u 1 2 2 2 u. Dies ist er Stz es Pythgors für s Dreieck OHP: Schreit mn ihn hingegen ls 2 u u, so hnelt es sich um en Höhenstz im Dreieck ABP:
Jörg Meyer: Zum Stz es Pythgors 6 4. Schlußemerkungen Die eknnteste Figur zum Stz es Pythgors wure isher gr nicht erwähnt. Sie steht er uch nicht m Beginn er Üerlegungen, sonern wir erst nn themtisiert, wenn ie Schüler en Stz kennen. Finge mn mit ieser Figur n, so erschiene er Stz viel tiefer: Es wäre nicht klr, wie mn uf ihn kommt, un es wäre uch nicht klr, wie mn ihn eweist.