Physik I Einführung in die Physik Mechanik Winter 15/16, Prof. Thomas Müller, IEKP, KIT Aufgabenblatt ; Übung am 11.November (Mittwoch) 1. Sportwagen (a) Jeder Summand muss die Einheit m s haben, daher E 1 = m s und E = m s (b) Zeit- Weg Gesetz: s(t 1 ) = t 1 t v(t) = t 1 t.96(te t E 1 ) = [.96(1t E t E 1)] t1 t mit t = und t 1 = 5 s(5s) = m Allgemein: s(t) =.96(1t m s t m s ) Mit der Bedingung s() = folgt die additive Konstante ist gleich. (c) Der Test endet, wenn das Fahrzeug wieder die Geschwindigkeit erreicht hat. Dies ist zu demjenigen Zeitpunkt t der Fall, für den gilt: v(t) = und t (t = gleich Startzeitpunkt). v(t) = 1t m s t m s = t = oder t = s t = s s(s) =.96(1(s) m s (s) m s ) = 18m (d) Beschleunigung a(t) = v(t) =.96( m s t m s ) a(5s) = v(t) =.96( m s t m s ) = 9.6 m s. Bungee Jumper (a) Unter der Annahme dass sich der Bungee Jumper nur fallen lässt und nicht abspringt (d. h. v t= = m s ), kann man die Formel s = 1 g t verwenden und nach t auflösen: s t = g = 1 m 9.81 m = 4.5 s s (b) Hierfür müssen wir zunächst die Geschwindigkeit berechnen, die der Bungee Jumper nach 1m freiem Fall hat: v = v + g t = m s + 9.81 m s 4.5 s = 44.4 m s = v a Standard: mit s end = a t + v t + s und v end = at + v und s s = s = 15m ergibt sich t = v end v a s = (v end v ) a + v(v end v ) a (mit V end = ) s = v v a a = v s Zahlen eingesezt: a = (44.4 m s ) 15 m = 65.5 m s Das Minuszeichen gibt an, dass die Beschleunigung entgegengesetzt der Fallrichtung wirkt. Anders herum: man nimmt eine Beschleunigung von an und beachtet später das Vorzeichen:s = a t ; v = at t = v a s = a v a jetzt muss aber das Vorzeichen beachtet werden. Ganz trivial: was vorher in 1m beschleunigt wurde, wird jetzt in 15m abgebremst a = 1 15 g = 65, 4 m s : ist sogar am Besten, da hier keine Rundungsfehler enstehen, welche quadratische weitergeführt werden. 1
. Hollywoodstunt (Oder: Für die weitere Berechnung eignet sich die Formel v = v + a x, wobei v = m s die Endgeschwindigkeit, v = 44.4 m s die Anfangsgeschwindigkeit und x = 15 m der Bremsweg ist: a = v v x = (44.4 m s ) 15 m = 65.5 m s Das Minuszeichen gibt an, dass die Beschleunigung entgegengesetzt der Fallrichtung wirkt.) (a) Als erstes muss man die Geschwindigkeitsangabe in eine brauchbare Einheit (SI) umrechnen: v = 15 km h 1 m = 15 6 s = 41.67 m s Bei der Berechnung der Flugbahn des Autos kann man von zwei getrennten Bewegungen ausgehen: In der horizontalen Richtung führt das Auto eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit aus (v,x = 41.67 m s ), während es in der vertikalen Richtung eine gleichmässige Beschleunigung aus der Ruhelage (v,y = m s ) erfährt. Um den Aufprallpunkt zu bestimmen, muss man zunächst die Falldauer berechnen, die sich aus dem vertikalen freien Fall ergibt: t fall = y g = 8 m 9.81 m s = 4.4 s Nun kann man berechnen, wie weit sich das Auto in dieser Zeit in der vertikalen Richtung von den Klippen entfernt hat: x = v,x t fall = 41.67 m s 4.4 s = 168.5 m Das Auto landet also 168.5 m von den Klippen entfernt auf dem 8 m tiefer gelegenen Pazifik. (b) Der Schall pflanzt sich auf dem direkten Weg zwischen Aufschlagspunkt und den Beobachtern fort. Dabei legt er die Diagonale zwischen diesen beiden Punkten zurück: d = x + y = (168.5 m) + (8 m) = 186.9 m Hierbei wird folgende Zeit benötigt 4. Bahnkurve der Fliege t = d = 186.9 m v schall m =.6 s s (a) Überlagert werden eine Kreisbewegung in xy Ebene [x(t) +y(t) = r = const,für r 1 = r ] mit einer gleichmäßig beschleunigten (a = g 4.5 m s ) Bewegung in (-z) Richtung. Die Bahnkurve beschreibt eine Spirale, die immer steiler wird, um die z Achse. (b) t g =.1ms 1.5ms =.4s ωt g = 1s 1.4s =.4
5 1 15.1.1.5.5.5.5.1.1 Ortsbahn der Fliege, Achtung z-achse ist gestreckt um den Beschleunigungseffekt besser zu zeigen. (g anstatt g/4) r cos ωt s(t) = r sin ωt 1 g v(t) = ṡ(t) = rω sin ωt rω cos ωt g 4 t a(t) = v(t) = s(t) = ; v(t g ) = rω cos ωt rω sin ωt g 4 ; a(t g ) =, 4 m s, 1 m s, 1 m s, 1 m s, 4 m s, 5 m s (c) v(t) = v(t) = (rω) + ( g 4 t) v(t g ) =, m s a(t) = a(t) = (rω ) + ( g 4 ) a(t g ) = 6, 6 m s a T (t) = d v g = t 16 (rω) +( g 4 t) a T (t g ) = 1, 77 m s (d) Logische Überlegung: Kreis: r=konstant; φ linear, z bleibt gleich! Rechnung: r = (r cos ωt) + (r sin ωt) = r cos ωt + sin ωt = r φ(t) = arctan r sin ωt r cos ωt = arctan tan ωt = ωt z(t) = z(t) = 1 g (e) Für r 1 r ergibt sich eine Ellipse, r ist dann nicht mehr konstant, auch nicht bei den Zylinderkoordinaten. (f) Aufgabe (a) bis (e) in Zylinderkoordinaten! Optional!!!! Gleiche Bahnkurve Logische Überlegung: Kreis: r=konstant; φ linear, z bleibt gleich! Rechnung: r = (r cos ωt) + (r sin ωt) = r cos ωt + sin ωt = r φ(t) = arctan r sin ωt r cos ωt = arctan tan ωt = ωt
z(t) = z(t) = 1 g ṙ = dr = ; φ(t) = d(φ(t)) = ω; z(t) = d(z(t)) = g 4 t r = d r = ; φ(t) = d (φ(t)) = ; z(t) = d (z(t)) = g 4 r(t) = r; φ(t) = ω t; z(t) = 1 g Durch die Transformation in Zylinderkoordinaten wird die Phi-Komponente, sie versteckt sich in der r-komponente. (Siehe Bild, und Merziger- Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik) u r = r(t), u φ =, u z = z(t) s(t) = u r u φ u z mit den Einheitsvektoren: e r = cos φ sin φ e r = d e φ = d = r(t) z(t), e φ = cos φ(t) sin φ(t) sin φ(t) cos φ(t) = r 1 g sin φ cos φ und e z = sin φ = cos φ = cos φ(t) sin φ(t) 1 mit φ (Kettenregel) = φ e φ, = φ e r Die z Komponente ist komplett unabhängig von den Polarkoordinaten zu behandeln, deshalb kümmern wir uns im Folgenden nur um r und φ, und führen z später wieder hinzu. Jeder Vektor u ist als Linearkombination darstellbar: Orthogonale Basis s-vektor im Bild ist s als dargestellt. u = u r e r + u φ e φ (insbesondere z.b. Vektor vom Ursprung zum bestimmten Punkt (Fliege)) s = r e r + e φ Wegen s = s(t) sind r, φ Funktionen von t. mit s = r e r folgt mit der Produktregel: s = ṙ e r + r e r = ṙ e r + r ( φ e φ. ) In Polarkoordinaten also: s ṙ = r φ nochmaliges Differenzieren gibt s = r e r + ṙ e r + ṙ φ e φ + r φ e φ + r φ e φ = r e r + ṙ φ e φ + ṙ φ e φ + r φ e φ r φ e r 4
= ( r r φ ) e r + (r φ + ṙ φ) e φ Die Polarkoordinaten von s sind s = ( r r φ r φ + ṙ φ ) Geschwindigkeit Nun das Ganze in vollen Zylinderkoordinaten: ṙ s = r φ ż s sind s r r φ = r φ + ṙ φ z Eingesetzt: Geschwindigkeit: s = rω ; v = s = v(t) = (rω) + ( g g 4 t 4 t) ; v(t g ) =, m s Beschleunigung: s = rω g 4 ; a = s = a(t) = (rω ) + ( g 4 ) a(t g ) = 6, 6 m s a T (t) = d v = a T (t g ) = 1, 77 m s g t 16 (rω) +( g 4 t) (Benutzt man einfach das Linienelement funktioniert die Sache noch bis zur Geschwindigkeit, bricht jedoch bei der Beschleunigung zusammen, bzw. funktioniert auch, wenn man das Linienelement konsequent auch mit den Einheitsvektoren ableitet, der Rechenweg ist ähnlich wie oben Linienelement: d s = dρ e ρ + ρdφ e φ + dz e z 5
s(t) = r(t) φ(t) z(t) = r ωt 1 g = dr er + rdφ e φ Ableitung nach t: d s Hier kommt ein r zur φ-komponente. v(t) = ṡ(t) = r ω g 4 t v = (r ω) + g 16 t m s + dz ez v(t g ) =, m s a(t) = v(t) = s(t) = g 4 a(t) = a(t g ) = g 4 =, 5 m s a T (t) = d v g = t a T (t g ) = 1, 77 m s 16 (r ω) +( g 4 t) Lexikon: Zylinderkoordinatensystem Das Zylinderkoordinatensystem ist eine Mischung aus kartesischen und Polarkoordinaten im dreidimensionalen Raum. Zylinderkoordinaten sind die Projektion des Ortsvektors r auf die z Achse und die Polarkoordinaten (ρ, ϕ) in der zur z Achse senkrechten Ebene, also die Länge ρ des Lotes auf die z Achse und der Winkel, den dieses Lot mit der positiven x Achse bildet. x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z } ρ = x + y φ = arctan y x z = z Linienelement: d r = dρ e ρ + ρdφ e φ + dz e z Volumenelement: dv = ρdρdφdz Anmerkungen: Anstelle von ρ wird meistens r benutzt! Die reinen Transformationen gelten nur für s(t). Für die Geschwindigkeit muss das Linienelement beachtet werden. Zylinderkoordinaten!!! Stubenfliege (Große S., Gemeine S.), v. a. in menschl. Siedlungen weltweit verbreitete, etwa 1 cm lange Echte Fliege; Körper vorwiegend grau mit vier dunklen Längsstreifen auf der Rückenseite des Thorax; als Krankheitsüberträger 6
gefährl. Insekt, dessen Weibchen jährl. bis zu Eier an zerfallenden organ. Substanzen ablegt, wo sich auch die Larven entwickeln. (c) Meyers Lexikonverlag. Sehr Gemeine Stubenfliege Übungsleiter: Frank Hartmann, IEKP, CN, KIT Tel.: +41 75411 46; Mobil - immer Tel.: +49 71 68 57; ab und zu Email: Frank.Hartmann@kit.edu www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/ hartmann/mechanik.htm 7