Technische Universität Ilmenau WS 2008/2009 Institut für Mathematik Informatik, 1.FS Dr. Thomas Böhme Aufgabe 1 : Grundlagen und Diskrete Strukturen Aufgaben zur Vorbereitung der Klausur Gegeben sind die aussagenlogischen Formeln Φ und Ψ. Φ (x y (x ( y, Ψ (( x ( y (x y a Sind Φ und Ψ logisch äquivalent? b Ist Φ eine Tautologie? Aufgabe 2 : a Für welche Paare von Mengen A und B gilt P(A B = P(A P(B? b Für welche Paare von Mengen A und B gilt P(A B = P(A P(B? Aufgabe 3 : Es sei R eine reflexive Relation auf einer Menge A. Zeigen Sie, dass R genau dann eine Äquivalenzrelation auf A ist, wenn folgende Bedingung gilt Aufgabe 4 : a, b, c A : ((a, c R (b, c R (a, b R. Auf wieviele verschiedene Weisen können 5 voneinander nicht unterscheidbare Äpfel auf 3 Kinder verteilt werden? Aufgabe 5 : Ein Basketballspieler erzielt bei Freiwürfen eine Trefferquote von 75%. Berechnen Sie die drei Wahrscheinlichkeiten dafür, dass er bei 10 direkt hintereinander ausgeführten Freiwürfen a genau 7 Treffer erzielt, b höchstens 8 Treffer erzielt,
c 8 unmittelbar aufeinanderfolgende Treffer erzielt und mit den restlichen zwei Würfen nicht trifft. Aufgabe 6 : a Geben Sie die größte 3-stellige Zahl an, die durch 5 und durch 3 teilbar ist. b Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 3822 und 14196 und stellen Sie ihn als Produkt von Primzahlen dar. c Bestimmen Sie den zweitgrößten gemeinsamen Teiler der Zahlen 3822 und 14196. d Untersuchen Sie ob es ganze Zahlen a und b so gibt, dass gilt 2 = 3822a + 14196b. Aufgabe 7 : Sei p 5 eine Primzahl. Man zeige, dass 24 p 2 1. Aufgabe 8 : Zeigen Sie, dass G = (Γ, mit {( x y Γ = 0 z } x, y, z R, x z = 1 und ( x y 0 z ( x y 0 z ( x x x y := + y z 0 z z für x, y, z, x, y, z R mit x y = x z = 1, eine Gruppe ist. Aufgabe 9 : Ein Tournier ist ein endlicher gerichteter Graph G = (V, E mit folgenden Eigenschaften. (1 G enthält keine Schlingen. (2 Für je zwei verschiedene Ecken u, v V ist genau eines der Paare (u, v, (v, u in E. Man beweise, dass jedes Tournier G einen gerichteten Weg enthält, welcher alle Ecken von G durchläuft.
Lösungen Lösung zu Aufgabe 1 : a Die aussagenlogischen Formeln Φ und Ψ sind logisch äquivalent. Φ (( x y (x ( y (( x (x ( y (y (x ( y (( x x (( x ( y ((y x (y ( y (0 (( x ( y ((y x 0 (( x ( y (y x (( x ( y (x y Ψ b Ψ ist keine Tautologie, da Ψ den Wahrheitswert 0 (falsch für x 1 und y 0 hat. Lösung zu Aufgabe 2 : a Dies gilt alle Paare von Mengen A und B. P(A B = {X X A B} = {X X A X B} = {X X A} {X X B} = P(A P(B. b Dies gilt genau dann, wenn A B oder B A. Notwendigkeit: Angenommen a A \ B und b B \ A, dann ist {a, b} P(A B und {a, b} / P(A P(B. Also folgt aus P(A B = P(A P(B, dass A B oder B A. Hinlänglichkeit: Sei o.b.d.a. A B, dann ist A B = B und also P(A B = P(B = P(A P(B. Lösung zu Aufgabe 3 : Hinlänglichkeit: Zu zeigen ist, dass R transitiv und symmetrisch ist. Symmetrie: Sei (a, b R. Da R reflexiv ist, ist dann auch (b, b R. Aus (b, b R und (a, b R folgt wegen der genannten Bedingung (b, a R, d.h. R
ist symmetrisch. Transitivität: Seien a, b, c A so, dass (a, b R und (b, c R. Wegen Symmetrie ist dann auch (c, b R und damit folgt aus der obigen Bedingung, dass (a, c R, d.h. R ist transitiv. Notwendigkeit: Sei R eine Äquivalenzrelation und (a, c, (b, c R. Aus der Symmetrie von R folgt (c, b R und wegen Transitivität von R folgt (a, b R, d.h. die Bedingung ist erfüllt. Lösung zu Aufgabe 4 : 1.Variante: Wir bezeichnen die Kinder mit 1,2,3. Für i {1, 2, 3} sei n i die Anzahl der Äpfel, welche Kind i erhält. Dann gilt n 1 + n 2 + n 3 = 5. Die Zahl n 1 kann die Werte 0,..., 5 annehmen. Wenn n 1 = k, dann kann n 2 die Werte 0,..., 5 k annehmen. Wenn n 1 = k und n 2 = l, dann ist n 3 = 5 k l. Wir erhalten für die Anzahl der Äpfelverteilungen N also folgende Formel N = 5 k ( 1 = l=0 (5 k + 1 = (6 k = 6 k = 36 15 = 21. 2.Variante: Wir legen die Kinder (aber bitte nur in der Vorstellung! in eine Urne und ziehen aus dieser Urne für jeden Apfel ein Kind mit Zurücklegen. Die Äpfel sind nicht unterscheidbar. Es handelt sich also um Kombinationen von 5 Elementen aus 3 Elementen mit Zurücklegen. Daher gilt für die Anzahl der Äpfelverteilungen N ( ( 3 + 5 1 7 N = = = 7! 5 5 2! 5! = 21. Lösung zu Aufgabe 5 : a Es liegt eine Binomialverteilung vor. b 1 9 0.75 9 0.25 1 10 7 0.75 10 0.25 0 0.75 7 0.25 3 c Es gibt drei Möglichkeiten genau 8-mal unmittelbar hintereinander zu treffen: Der Spieler trifft genau mit den letzten beiden Würfen nicht, er trifft nur mit dem ersten und dem letzten Wurf nicht oder der Spieler trifft genau mit ersten beiden Würfen nicht. Für jeden der drei Fälle ist die Wahrscheinlichkeit ( 10 ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 3 0.75 8 8 0.25 2. Lösung zu Aufgabe 6 : 8 0.75 8 0.25 2. Also
a Die gesuchte Zahl ist 990. b Anwendung des euklidischen Algorithmus ergibt als ggt 546. c Der zweitgrößte gemeinsame Teiler ist 91, da 546 = 2 3 91. d Das geht nicht, da 546 der ggt von 3822 und 14196 ist, ist jede Linearkombination a 3822 + b 14196 durch 546 teilbar und 2 ist kein Vielfaches von 546. Lösung zu Aufgabe 7 : Es gilt p 2 1 = (p 1(p + 1. Da p 5 und p eine Primzahl ist, folgt dass p nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbar ist. Also ist eine der Zahlen p 1 oder p + 1 durch drei teilbar. Weiter folgt, dass p 1 und p+1 gerade sind und genau eine der Zahlen p 1 und p + 1 durch 4 teilbar ist. Also gilt 2 3 4 = 24 teilt p 2 1. Lösung zu Aufgabe 8 : Die Operation ist offenbar kommutativ, da die Multiplikation reeller Zahlen kommutativ ist. Existenz eines Einselementes: Die 2-reihige Einheitsmatrix ist ein Einselement. Assoziativität folgt aus der Assoziativität der Multiplikation reeller Zahlen. ( ( x y 1/x y Existenz des Inversen: Das Inverse von ist Da xz = 1 existiert diese Matrix für alle zulässigen Wahlen von x, y, 0 z 0 1/z z. Lösung zu Aufgabe 9 : Es sei P = (x 1, x 2,..., x k ein längster gerichteter Weg in G. Angenommen es gibt eine Ecke v, welche nicht auf P liegt. Wenn (v, x 1 E, dann ist P = (v, x 1, x 2,..., x k länger als P. Wenn (x k, v E, dann ist P = (x 1, x 2,..., x k, v länger als P. Da P ein längster gerichtete Weg in G ist, folgt, dass gilt (x 1, v, (v, x k E. Es gibt somit eine kleinste Zahl l {2,..., k} mit der Eigenschaft, dass (v, x l E. Dann ist (x l 1, v E und somit der Weg P = (x 1, x 2,..., x l 1, v, x l,..., x k länger als P. Dies widerspricht der Definition von P und es gilt also V (P = V (G.