Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 6 3.03.20
Ihalt der heutige Übug Aufgabe D.7: Reche mit Zufallsvariable Erwartugswert- ud Variazoperator Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Wahrscheilichkeite vo ormalverteilte Zufallsvariable bereche: Stadardisierug ud Awedug der Tabelle T. Aufgabe D.8: Biomialverteilug, Geometrische Verteilug Vorstelle der Hausübug: Aufgabe D.9 3.03.20 2
Aufgabe D.7 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Es seie {X i } i 50 uabhägige ud ormalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert ud Stadardabweichug 2. Darüber hiaus sid folgede Zufallsvariable defiiert: S 2... ud X X X 2... X S X X X 50 dabei ist. Bestimme zuerst die Parameter der Normalverteiluge vo ud bereche da: S sowie X a) b) c) P E X X E X P E S S E S P E X X E X 3.03.20 3
Aufgabe D.7 Was ist gegebe? Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Wahrscheilichkeitsdichtefuktio eier Normalverteilug mit Mittelwert ud Stadardabweichug 2 : fx x Die gesamte Fläche uter der Wahrscheilichkeitsdichtefuktio beträgt. 2 2 Die Fläche zwische - ud 3 beträgt 0.68. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Wert zwische - ud 3 liegt, beträgt 0.68. - 3 3.03.20 4 x
Aufgabe D.7 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Bereche de Mittelwert ud die Stadardabweichug vo S MERKE: Die Summe vo ormalverteilte Zufallsvariable ist auch ormalverteilt! Wir erier us: S X X 2... X EX Y EX EY Var X Y Var X Var Y (bei Uabhägigkeit) 3.03.20 5
Aufgabe D.7 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Bereche de Mittelwert ud die Stadardabweichug vo S S X X 2... X E S E[ X ] E X 50 S i i i i 2 2 S Var S Var X i Var X i i i [ ] 200 N(, ) N(50, 200) S S 3.03.20 6
Aufgabe D.7 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Bereche de Mittelwert ud die Stadardabweichug vo X S X X X 2... X EX X 2 Var X X N(, ) N(...,...) X X 3.03.20 7
Aufgabe D.7 a) Bereche P E X X E X Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug f X ( x) exp 2 2 x 2 vergl. Skript Tabelle D- fx x 2 X X 3.03.20 9
Aufgabe D.7 a) Bereche Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 0 2 P E X X E X P X f X ( x) exp 2 2 x 2 fx x 2 X X 3.03.20 0
Aufgabe D.7 a) Bereche f X fx x Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 0 2 P E X X E X P X x ( x) exp 2 2 2 0 2 2 ( x ) exp dx 2 2 2 22 durch Eisetze vo µ ud σ i die Gleichug. Die Wahrscheilichkeit erhält ma da durch umerische Itegratio 2 X X 3.03.20
Aufgabe D.7 a) Bereche f X Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 0 2 P E X X E X P X x ( x) exp 2 2 2 0 2 2 ( x ) exp dx 2 2 2 22 fx x oder mit Hilfe der Wahrscheilichkeitstabelle. 2 X X Um diese Wahrscheilichkeitstabelle awede zu köe, muss die Zufallsvariable zuerst stadardisiert werde. 3.03.20 2
Stadardisierug Wie geht ma vor, um zu stadardisiere? Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Z X 3.03.20 3
Stadardisierug Wie geht ma vor, um zu stadardisiere? Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Z X Φ(z) ist die kumulierte Verteilugsfuktio für die stadardormalverteilte Zufallsvariable N(0,). 3.03.20 4
Stadardisierug Wie geht ma vor, um zu stadardisiere? Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Z X X E[ X ] E Z X Var[ Z] Var[ ] Var[ X 2 ] 2 Var[ X 2 ] 2 [ ] E[ ] 0 Φ(z) ist die kumulierte Verteilugsfuktio für die stadardormalverteilte Zufallsvariable N(0,). 3.03.20 5
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Verwedug der Ф-Tabelle Tabelle T. i Aex T des Vorlesugsskripts 3.03.20 6
Aufgabe D.7 Wie geht ma vor, um zu Stadardisiere? P E X X E X P[0 X 2] Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Z X P[0 X 2 ] 0 X 2 P 2 2 2 X P[ ] 2 2 2 P[ Z ] 2 2 ( ) ( ) 2 2 [ ] Mittelwert Stadardabweichug 2 3.03.20 7
Aufgabe D.7 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug P E X X E X ( ) ( ) 2 2 Wo ist Φ(-0.5) i der Tabelle? Weil ( z) ( z) so dass ( 0.5) (0.5) 0.695 0.3085 folgt das Ergebis / 2 P Z / 2 P E X X E X P Z 0.695 0.3085 0.3830 Tabelle T. i Aex T des Vorlesugsskripts 3.03.20 8
Aufgabe D.7 b) Bereche gleiche Vorgehesweise: P E S S E S Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 50 ES Var S 200 P E S S E S P[... S...] P[.........]...... S. Fide die stadardisierte Form 2. Fide die Werte i der Tabelle 3. Subtrahiere b a. Z 3.03.20 9
Aufgabe D.7 c) Bereche PE X X E X gleiche Vorgehesweise: P E X X EX Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug EX Var X 0.08 P[... X...] P[.........]......... 3.03.20 2 Tabelle T. i Aex T des Vorlesugsskripts
Biomialverteilug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Geometrische Verteilug Zeit bis zum erste Treffer Biomialverteilug Azahl der Treffer P[ T t] ( p) t p ET [ ] Var[ T ] p p 2 p P[ N y] y ( p) y p y E[ N ] 3.03.20 23 p Var[ N ] p( p)! y y!( y)!
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe B.3 I eier Alperegio gibt es 25 sehr hohe Berggipfel. Diese sid das gaze Jahr über mit Schee bedeckt ud es besteht a jedem Tag die gleiche Wahrscheilichkeit für das Loslöse eier Lawie. Diese beträgt /40 pro Tag ud Berggipfel. Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass es i dieser Alperegio a eiem Tag zu midestes zwei Lawieabgäge kommt? Aahme: A eiem Berggipfel ka sich a eiem Tag ur eie Lawie loslöse. 3.03.20 24
Aufgabe B.3 Lösug bisher Wahrscheilichkeit PA ( ) vo Ereigis A: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Wahrscheilichkeit, dass eie Lawie a eiem Berggipfel auftritt Pj ( Lawie) 0.025, j,2,..., 40 Wahrscheilichkeit, dass keie Lawie a eiem Berggipfel auftritt Pj ( keie Lawie) ( ) 0.975, j,2,..., 40 Wahrscheilichkeit, dass keie Lawie i der Alperegio auftritt P( A) (- P( Lawie)) (- P ( Lawie)) (- P ( Lawie)) 0.975 0.53 2 25 25 3.03.20 25
Wahrscheilichkeit PA ( ) vo Ereigis A: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe B.3 Lösug mit Biomialverteilug Wahrscheilichkeit, dass eie Lawie a eiem Berggipfel auftritt Pj ( Lawie) 0.025, j,2,..., 40 Wahrscheilichkeit, dass keie Lawie i der Alperegio auftritt:! Pj ( keie Lawie) ( p) p p ( p) y y!( y)! 25! 0 250 0.025 (0.975) 0.53 0!(25 0)! y y y y 3.03.20 26
Aufgabe B.3 Lösug bisher Wahrscheilichkeit PB ( ) vo Ereigis B: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Wahrscheilichkeit, dass eie Lawie ur a eiem, ud sost keiem Berggipfel auftritt: 24 24 P ( Lawie ur am Berggipfel j) P( Lawie) ( P( Lawie)) 0.025 0.975 0.036 j Wahrscheilichkeit, dass eie Lawie i der Alperegio auftritt: 25 P( B) P( Lawieur a Berggipfel j) 250.036 0.340 j 3.03.20 27
Wahrscheilichkeit PB ( ) vo Ereigis B: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe B.3 Lösug mit Biomialverteilug Wahrscheilichkeit, dass eie Lawie i der Alperegio auftritt:! 25! P Lawiei deralperegio p p y!( y)!!(25 )! y y 25 ( ) ( ) 0.025 (0.975) 0.340 3.03.20 28
Aufgabe D.8 Die Hochwasseretlastugsalage eies Rückhaltebeckes ist auf ei 000-jähriges Hochwasser Q B bemesse. Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm wie folgt überflutet wird: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 3.03.20 29
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe D.8 Die Hochwasseretlastugsalage eies Rückhaltebeckes ist auf ei 000-jähriges Hochwasser Q B bemesse. Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm wie folgt überflutet wird: a. Währed eies 0-Jahre-Zeitraums im 0-te Jahr geau eimal? b. Währed eies 0-Jahre-Zeitraums irgedwa zweimal? c. Währed eies 0-Jahre-Zeitraums überhaupt icht? d. Währed eies 0-Jahre-Zeitraums höchstes eimal? e. Währed eies 00-Jahre-Zeitraums isgesamt 0-mal? f. Währed eies 000-Jahre-Zeitraums eimal oder öfter? Beachte: Es wird ageomme, dass das Hochwasserereigis höchstes eimal pro Jahr auftritt. 3.03.20 30
Wahrscheilichkeitsdichtefuktio [-] Aufgabe D.8 000-jähriges Hochwasser: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Jährliche maximale Fluss Höhe [m] 3.03.20 3
Wahrscheilichkeitsdichtefuktio [-] Aufgabe D.8 000-jähriges Hochwasser: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die Überschreitugsswahrscheilichkeit wird durch die Fläche mit der Grösse /000 uter der Dichtefuktio repräsetiert. /000 Jährliche maximale Fluss Höhe [m] 3.03.20 32
Wahrscheilichkeitsdichtefuktio [-] Aufgabe D.8 000-jähriges Hochwasser: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Ausgagswert für Bemessug des Rückhaltebeckes 000-jähriges Hochwasser Jährliche Überschreitugswahrscheilichkeit = 0.00 /000 Jährliche maximale Fluss Höhe [m] 3.03.20 33
Aufgabe D.8 Wiederkehrperiode T: Jährliche Überschreitugswahrscheilichkeit ist p( ). T Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Zufallsvariable N = Zeit, bis ei Hochwasser zum erste Mal auftritt. Die Wahrscheilichkeit, dass es ei Hochwasser im -te Jahr zum erste Mal auftritt, etspricht: Erwartugswert vo N, P[ N ] ( p)( p)...( p) p ( p) ist p E[ N ] P[ N ] ( p) p T p EN [ ] 3.03.20 34 Geometrische Verteilug
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die Wahrscheilichkeit, dass es ei Hochwasser im -te Jahr zum erste Mal auftritt, etspricht: P[ N ] ( p)( p)...( p) p ( p) p Geometrische Verteilug Ei eifaches Bsp. eier geometrische Verteilug: Die Wahrscheilichkeit eie 5 beim Würfel zu bekomme 5 5 5 6 6 6 PN [ ]... _ 6 PN [ 2] ( ) 6 6 6 6 6 5 25 25 6 36 26 296 PN [ 3] ( )( ) 6 6 6 t 3 ( 6 ) 6 3.03.20 35
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug a) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 0-Jahre-Zeitraums geau im 0-te Jahr überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es im. Jahr zum erste Hochwasser kommt P[ N ] ( p)( p)...( p) p ( p) p Geometrische Verteilug Das Ereigis Überflutug im 0. Jahr währed eies 0-Jahre-Zeitraums ka demach wie folgt beschriebe werde: P H p p 9 ( Überflutug,) ( ) ( ) (0.00) (0.999) 0.00099 3.03.20 36
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug b) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 0-Jahre-Zeitraums isgesamt zweimal überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 0 Jahre ( Versuche) zu zwei Überflutuge kommt (y Treffer)? 3.03.20 37
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug b) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 0-Jahre-Zeitraums isgesamt zweimal überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 0 Jahre ( Versuche) zu zwei Überflutuge kommt (y Treffer) Biomialverteilug! PY [ y] y p ( p) p ( p) y! y! y y y y Etspreched der Biomialverteilug erhält ma: 0! P H p p 2! (0 2)! 2 0 2 2 8 ( Überflutug,2) ( ) ( ) 45 (0.00) (0.999) 0.000045 3.03.20 38
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug c) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 0-Jahre-Zeitraums überhaupt icht überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 0 Jahre ( Versuche) zu ull Überflutuge kommt (y Treffer) 3.03.20 39
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug c) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 0-Jahre-Zeitraums überhaupt icht überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 0 Jahre ( Versuche) zu ull Überflutuge kommt (y Treffer) Biomialverteilug! PY [ y] y p ( p) p ( p) y! y! y y y y 3.03.20 40
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug c) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 0-Jahre-Zeitraums überhaupt icht überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 0 Jahre ( Versuche) zu ull Überflutuge kommt (y Treffer) Biomialverteilug! PY [ y] y p ( p) p ( p) y! y! y y y y Etspreched der Biomialverteilug erhält ma: 0! P H p p 0! (0 0)! 0 0 0 0 0 ( Überflutug,0) ( ) ( ) (0.00) (0.999) 0.99 3.03.20 4
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug d) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 0-Jahre-Zeitraums höchstes eimal überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 0 Jahre ( Versuche) zu ull oder ei Überflutuge kommt (y Treffer) Biomialverteilug P( H ) P( H ) P( H ) max, Überflutug,0 Überflutug, 0! P( HÜberflutug,0) ( p) ( p) 0! (0 0)! 0 0 0 0! P( HÜberflutug,) ( p) ( p)! (0 )! 0 P( H ) P( H ) P( H ) 0.99004 0.0099 0.99995 max, Überflutug,0 Überflutug, 3.03.20 42
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug e) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 00-Jahre-Zeitraums isgesamt 0 mal überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 00 Jahre ( Versuche) zu 0 Überflutuge kommt (y Treffer) Biomialverteilug 00! P( HÜberflutug,0 ) ( p) ( p).580 0!(00 0)! 0 000 7 3.03.20 43
Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug f) Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass der Staudamm währed eies 000-Jahre-Zeitraums eimal oder öfters überflutet wird? Die Wahrscheilichkeit, dass es i 000 Jahre ( Versuche) zu eier oder mehrere Überflutuge kommt (y Treffer) Biomialverteilug 000! P H p p 0!(000 0)! 0 0000 0 000 ( Überflutug,0) ( ) ( ) (0.00) (0.999) 0.368 Die gesuchte Wahrscheilichkeit ist die Wahrscheilichkeit des Komplemetärereigisses: PH ( ) 0.368 0.632 Überflutug, 3.03.20 44
Wahrscheilichkeit [-] Aufgabe D.8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Biomialverteilug vo 0 bis 0 Überflutuge i eiem 000-jährige Zeitraum [-] bei eier Auftreteswahrscheilichkeit vo 0.00 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.5 0. 0.05 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Überflutuge [-] 3.03.20 45
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Hilfreicher Lik http://www.ui-kostaz.de/fuf/wiwi/heiler/os/ 3.03.20 46
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe D.9 (Hausübug) Aus Date der letzte Jahre ist ersichtlich, dass vo alle eigereichte Projektvorschläge eies Plaugsbüros im Umweltigeieurwese 27% erfolgreich eie Zuschlag erhalte habe. Als euer Besitzer dieses Plaugsbüros setzt du dich u mit der Wirtschaftsplaug der kommede Jahre auseiader. I diesem Zusammehag iteressiert dich, a. wie gross die Wahrscheilichkeit ist, dass spätestes der 2. Projektvorschlag eie Zuschlag erhält. b. wie gross die Wahrscheilichkeit ist, dass ur der letzte der ächste 0 Projektvorschläge erfolgreich sei wird? c. wie gross die Wahrscheilichkeit ist, dass höchstes 2 der ächste 3 Projektvorschläge erfolgreich sei werde? Bitte bereche diese Wahrscheilichkeite... 3.03.20 47