10. Spezielle Relativitätstheorie (SRT) 10.1 Grundlagen und Lorentztransformation (a) Inertialsysteme und das spezielle Relativitätsprinzip Es gibt unendlich viele Inertialsysteme (IS), die sich relativ zueinander mit konstanten Relativgeschwindigkeiten bewegen Alle Inertialsysteme sind physikalisch gleichwertig in allen Inertialsystemen gelten die gleichen physikalischen Gesetze [Beispiel: Billard spielen im mit konst. Geschwindigkeit u fahrenden Zug] Spezielles Relativitätsprinzip: Inertialsysteme sind mit physikalischen Mitteln a priori nicht unterscheidbar Keine Absolutgeschwindigkeit messbar! Newtonsche Mechanik Bewegungsgleichung ist forminvariant (=kovariant) unter Galileitransformation IS bewege sich relativ zum IS mit der konstanten Geschwindigkeit u (Achsen seien parallel) d r dv d r dv dt dt dt dt m m F m m F mit Galileitransformation: r r ut, t t Nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition: dr d( r ut) v v u v v u dt dt
Elektrodynamik 1 1 1 ( r, t ) 0 ( u )( u ) ( u ) ( r, t) 0 c t c t c c t r r r r r mit Galileitransformation: r r ut, t t dabei benutzt ( r ut) ( u ) ( r ut) t Wellengleichungen nicht forminvariant unter Galileitransformation Für elektromagnetische Wellen existiert bei Annahme der Galileitransformation ein ausgezeichnetes Inertialsystem, nämlich das mit isotroper Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen Absolutgeschwindigkeit wäre definierbar Spezielles Relativitätsprinzip wäre verletzt Aber : Experimente von Fizeau (ca 1850) zur Lichtausbreitung in bewegten Flüssigkeiten und von Michelson und Morley [1881,1887] zur Lichtausbreitung in Richtung und senkrecht zur Erddrehung zeigten: Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig vom IS, Vakuumlichtgeschwindigkeit c ist stets isotrop und invariant Postulate des Einsteinschen Relativitätsprinzips (1905) Grundlage für SRT (1) Alle Naturgesetze haben in allen IS die gleiche Gestalt (Relativitätsprinzip) () Universalität der Vakuumlichtgeschwindigkeit: c ist gleich in allen IS, unabhängig von Betrag und Richtung der Geschwindigkeit der Quelle
(b) Lorentztransformation Betrachten Lichtausbreitung in den beiden IS und. Aus dem Postulat () folgt dr dt dr c c ( dt ) ( dr ) 0 c ( dt) ( dr ) 0 ( ds ) c ( dt ) ( dr ) c ( dt) ( dr ) ( ds) Der Abstand zweier Ereignisse im IS, definiert durch (ds) (cdt) (dr), muss beim Übergang von nach invariant bleiben (hier gezeigt für zwei durch Lichtausbreitung verbundene Ereignisse, deshalb (ds) =(ds ) =0) Zeit muss sich beim Übergang von nach ebenfalls transformieren, d.h. t t. Aus der Homogenität von Raum und Zeit folgt ganz allgemein (d.h. auch für Ereignisse, die nicht durch Lichtausbreitung verbunden sind): Der Abstand zweier Ereignisse ist unabhängig vom IS: (ds) = (ds ) ((ds) muss aber bei beliebigen Ereignissen nicht verschwinden) dt c
Welche Transformation lässt (ds) invariant? Suchen Transformation, die Ort r und Zeitpunkt t eines Ereignisses in mit Ort r und Zeitpunkt t desselben Ereignisses in verknüpft und die (ds) invariant lässt, wobei sich das IS relativ zu mit der Geschwindigkeit u bewegen soll. Lorentztransformation: u u u r 1 r r ( 1) r ut, t t mit = u u c 1 ( u / c ) Wählt man das Koordinatensystem speziell: e x u u = ue x x x ut y y z z t t ux c ( ),,, ( / ) mit ( Spezielle Lorentztransformation) 1 1 u / c Schlussfolgerungen aus Lorentztransformation: (1) Es gilt stets u c (da γ reell sein muss) () Umkehrung der Lorentztransformation (d.h. ) hat gleiche Gestalt mit u u (Darin kommt die Gleichberechtigung der IS und zum Ausdruck)
(3) Kinematische Schlussfolgerungen aus Lorentztransformation (i) Relativität der Gleichzeitigkeit Ereignisse, die in gleichzeitig sind, aber an verschiedenen Orten stattfinden, erscheinen in allen mit u 0 gegenüber bewegten IS als nicht gleichzeitig! (ii) Längenkontraktion Längenmessung: Muss gleichzeitig die Lage der Endpunkte feststellen bei Längenmessung in muss gelten t 1 = t In : Stab ruht, Länge in x-richtung = x In (bewegt sich mit u = ue x gegenüber ): x = γ x u t, t = γ t u x/c = 0 x = γ x uu x/c = 1 u /c x < x Bewegte Maßstäbe erscheinen verkürzt! (iii) Zeitdilatation In : Uhr ruht am festen Ort ( x = 0), betrachten Zeitintervall t τ (=Eigenzeit) In (bewegt sich mit u = ue x gegenüber ): t = γ t u x/c τ = γ t = > τ 1 u /c Achtung: Der Beobachter in liest die Zeiten t 1 und t = t 1 + t mit (verschiedenen) Uhren an verschiedenen Orten ab Die stationäre Uhr (die für die t=eigenzeit τ) geht langsamer!
(iv) Additionstheorem der Geschwindigkeiten (im Fall der SRT) Teilchen bewegt sich in mit Geschwindigkeit v = dr dt, IS bewegt sich mit u gegenüber u u v ( 1) v u dr ' u u Geschwindigkeit des Teilchens in ': v ' dt ' u 1 v c Wählt man für das Koordinatensystem wieder speziell e x u : v u v v 1 v, v, v mit 1 uv / c (1 uv / c ) (1 uv / c ) 1 u / c x y z x y z x x x
10. Vierervektoren und Kovarianz 3-dim. Raum: Ortsvektor r invariant (als geometrisches Objekt), Komponenten (x,y,z) transformieren sich bei Drehung Beliebiger Vektor A invariant, Komponenten (A x, A y, A z ) transformieren sich bei Drehung wie (x,y,z) Skalare, wie das Längenquadrat r = x + y +z oder das Skalarprodukt zweier Vektoren A B = A x B x + A y B y + A z B z, sind invariant bei Drehung Lorentztranformation Zeit gleichberechtigt zu Ortskoordinaten 4-dim. Raum-Zeit 4-dim. Raum-Zeit: Viererortsvektor x μ = (x 0, x 1, x, x 3 ) ct, x, y, z = (ct, r) als geometrisches Objekt invariant, Komponenten x μ (μ = 0,1,,3) transformieren sich bei Wechsel des IS entsprechend der Lorentztransformation (können Lorentztransformation als Drehung im 4-dim. Raum interpretieren, die die Abstandsquadrate invariant lässt) Jedes Quadrupel von Zahlen A μ = (A 0, A 1, A, A 3 ) = (A 0, A), die sich bei Wechsel des IS wie die Komponenten des Viererortsvektors x μ transformieren, heißt kontravarianter Vierervektor (genauer: Vierervektor in kontravarianten Koordinaten)
Skalarprodukt Das Abstandsquadrat (ds), das invariant unter Lorentztransformation ist, lässt sich als Skalarprodukt im 4-dim. Raum-Zeit-Kontinuum schreiben, wenn man die Definition des Skalarproduktes erweitert: ds = (cdt) (dr) g μν dx μ dx ν mit g μν = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 g μν metrischer Tensor, symmetrisch, definiert das Skalarprodukt in einem Raum Kovarianter Vierervektor (genauer: Vierervektor in kovarianten Koordinaten) A ν = g νμ A μ = A 0, A = (A 0, A 1, A, A 3 ) beim kovarianten Vierervektor haben die räumlichen Komponenten das andere Vorzeichen Skalarprodukt zwischen Vierervektoren (allgemein): A B g μν A μ B ν = g νμ A μ B ν = A ν B ν Schlussfolgerungen Wie erhält man aus kovarianten Vierervektoren die kontravarianten Vierervektoren? A ν = g νμ A μ, definieren ein g μκ so, dass A μ = g μκ A κ A μ = g μκ A κ = g μκ g κλ A λ g μκ g κλ = δ λ μ mit dem Einheitstensor im 4-dim. Raum δ λ μ = 1 falls μ = λ 0 falls μ λ g μκ ist also der inverse Tensor zu g κλ beide Tensoren sind numerisch gleich: g μν = g μν Mit g μν und g μν können Indizes in beliebige Position gezogen werden
Kontravarianter Vierervektor transformiert sich wie Viererortsvektor x μ A μ = Für die spezielle Wahl des Koordinatensystems u = ue x folgt A 0 = γ A 0 u c A1, A 1 = γ A 1 u c A0, A = A, A 3 = A 3 mit γ = x μ x ν Aν 1 1 u /c Kovarianter Vierervektor transformiert sich wie kovarianter Viererortsvektor x μ A μ = x μ A x ν ν Für die spezielle Wahl des Koordinatensystems u = ue x folgt 1 A 0 = γ A 0 + u c A 1, A 1 = γ A 1 + u c A 0, A = A, A 3 = A 3 mit γ = A μ = x μ x ν A ν = x ν 1 u c x μ A ν (da u u einer Umkehrung der Lorentztransformation entspricht) Da gilt x μ = x ν x μ x ν, folgt, dass sich x μ wie ein kovarianter Vektor transformiert 4-dim. Nablaoperator xμ = ct, x, y, z = ct, μ ist ein kovarianter Vierervektor!
Welchen Nutzen haben die 4-dim Größen? Relativitätsprinzip (alle Naturgesetze haben in allen IS die gleiche Gestalt) Gestalt der Gleichungen (nicht der numerische Wert physikalischer Größen) muss bei LT erhalten bleiben Müssen Forminvarianz ( Kovarianz ) der Gleichungen bei LT fordern Kovarianz wird sofort ersichtlich, wenn die beiden Seiten der Gleichung durch Vierertensoren (der gleichen Stufe) dargestellt werden Alle physikalischen Gleichungen müssen als 4-Gleichungen formuliert werden
10.3 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik (Kovariante Formulierung der Elektrodynamik) Mechanik musste physikalisch abgeändert werden, um sie Lorentzinvariant zu formulieren Elektrodynamik ist Lorentzinvariant Maxwellgleichungen können ohne physikalischen Abänderungen in eine kovariante 4-Schreibweise gebracht werden, der man dann sofort ihre Lorentzinvarianz ansieht (a) Ladungserhaltung Kontinuitätsgleichung cρ + J = 0 gilt in jedem IS. ct Mit dem 4-dim. Nablaoperator und der Viererstromdichte J μ = cρ, J lässt sich schreiben: μ J μ = 0 Diskussion und Folgerungen Lorentztransformation von Ladungs- und Stromdichte Folgt sofort aus LT eines Vierervektors: ρ = ρ uj 1/c, J 1 u /c 1 = J 1 uρ, J 1 u /c = J, J 3 = J 3 Invariante J μ J μ = cρ, J cρ = cρ J J Dieser Skalar hat für eine gegebene Ladungs- und Stromverteilung in jedem IS denselben numerischen Wert.
Ladung ist eine relativistische Invariante IS 0 sei das Ruhesystem der Ladungsverteilung, in bewege sich die Ladungsverteilung starr mit v = ve x Beweis: Unter Berücksichtigung der Längenkontraktion folgt dq = ρ dv = ρ dx dy dz = ρ 1 v c dx dy dz = ρ 1 v c 1 v c dxdydz = ρdv = dq
(b) Feldstärketensor In Lorenzeichung ( A + μ 0 ε 0 φ inhomogenen Wellengleichungen: 1 t = 0) gelten für das skalare Potential und das Vektorpotential die c φ = 1 ρ = μ t ε 0 c ρ und 1 A = μ 0 c t 0J. Mit μ =, und ct μ =, folgt für den d Alembert-Operator: 1 = ct c t μ μ (der d Alembert-Operator stellt damit einen Viererskalar dar) Definieren wir ein Viererpotential A μ = φ, A, so folgt die Wellengleichung für die Potentiale in einer c sehr kompakten Form: μ μ A ν = A ν = μ 0 J ν Die Lorenzeichung wird zu: μ A μ = 0 Die Lorenzeichung ist also relativistisch invariant, d.h., wenn sie in einem IS erfüllt ist, gilt sie auch in allen anderen IS!
Die E- und B-Felder ergeben sich damit aus dem Viererpotential A μ = φ, A wie c E x = φ A x x t B x = A z A y y z = c 0 A 1 1 A 0 und zyklisch vertauscht = A 3 3 A und zyklisch vertauscht Damit sind die Komponenten von E und B als Elemente eines antisymmetrischen Tensors. Stufe aufzufassen: F μν = μ A ν ν A μ = 0 E x /c E y /c E z /c E x /c 0 B z B y E y /c B z 0 B x E z /c B y B x 0 = F νμ Feldstärketensor Aus der Antisymmetrie des Feldstärketensors folgt: α F βγ + β F γα + γ F αβ = 0 (mit α β γ) Jacobi-Identität Beweis: α β A γ γ A β + β γ A α α A γ + γ α A β β A α = 0
(c) Lorentzkraft Lorentzkraft F = q(e + v B) lässt sich mit Hilfe der Vierergeschwindigkeit v μ = Viererkraft K μ = F v/c, F 1 v c c, v 1 v /c und der als Vierergleichung schreiben: K μ = qf μν v ν
(d) Maxwellgleichungen in kovarianter Form Maxwellgleichungen sind Lorentzinvariant nicht zu korrigieren, um dem speziellen Relativitätsprinzip zu genügen. Allerdings: Lorentzinvarianz ist nicht unmittelbar sichtbar in bisherigen Schreibweise mit Vektoren im 3-dim. Raum Inhomogene Maxwellgleichungen: div E = ρ ε 0 = μ 0 c ρ und rot B 1 c t E = μ 0J Mit Hilfe von Feldstärketensor F μν und Viererstromdichte J μ = cρ, J können wir diese beiden Maxwellgleichungen zusammengefasst als Vierergleichung schreiben: μ 0 J ν = μ F μν Homogene Maxwellgleichungen: rot E + B = 0 und div B = 0 t Beide Gleichungen lassen sich zusammenfassen und sind identisch mit der Jacobi-Identität α F βγ + β F γα + γ F αβ = 0 (mit α β γ)
(e) Lorentztransformation der elektromagnetischen Felder Ein Tensor. Stufe transformiert sich wie das direkte Produkt zweier Vierervektoren. D.h., aus A μ = x μ x ν Aν L μ νa ν folgt F μν = L μ κl ν λf κλ = L μ κf κλ L ν λ Aus der Matrixmultiplikation der drei (4x4) Matrizen folgt damit für den Feldstärketensor (für u = ue x ) F μν = 0 E x 0 c γ E y c u c B z γ E z c + u c B y Daraus können wir die Feldtransformationen ableiten: E = E, E = E + u B γ B z u c E y γ B y u c E z 0 B x 0, B = B, B = B u c E 1 u c 1 u c (Index bedeutet die Feldkomponenten parallel zur Relativgeschwindigkeit u, Index entspricht Feldkomponenten senkrecht zu u) Die Unterscheidung zwischen elektrischem und magnetischem Feld ist abhängig vom IS, d.h., sie ist relativ!
Beispiel: Elektromagnetisches Feld einer Punktladung Q In : Ladung Q ruht am Ort r = 0 E(r, t) = Qr 4πε 0 r 3, B(r, t) = 0 In : Ladung Q bewegt sich mit v = ve x (zur Zeit t=0 am Ort r = 0) bewegt sich mit u = v = ve x gegenüber E x r, t = Qx = Qγ(x vt ) Q 4πε 0 r 3 4πε 0 γ (x vt ) +y +z 3/ = 1 v /c R x, 4πε 0 R R v/c 3/ E y r, t = 1 1 v /c Qy 4πε 0 r 3 = γqy Q 4πε 0 γ (x vt ) +y +z 3/ = 1 v /c R y, 4πε 0 R R v/c 3/ E z r, t = 1 1 v /c Qz 4πε 0 r 3 = γqz Q 4πε 0 γ (x vt ) +y +z 3/ = 1 v /c R z 4πε 0 R R v/c 3/ E (r, t ) = Q 1 v /c R 4πε 0 R R v/c 3/ mit dem Abstandsvektor in R = r vt B x r, t = 0, B y r, t = (v E/c ) y 1 v /c = v c E y, B z r, t = (v E/c ) z 1 v /c = v c E z B (r, t ) = v c E (r, t ) Dies sind die bekannten Ausdrücke für die Felder bewegter Punktladungen, die aus den Lienard- Wiechert-Potentialen folgen (siehe Kapitel 8.)!