Department Mathemati der Universität Hamburg WiSe 20/202 Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung zu Blatt 4 Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Reelle Zahlenreihen 6.2.20 Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korretur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 2 Definition: Gegeben sei eine Zahlenfolge a 0, a, a 2,. Addiert man die Glieder dieser Folge nacheinander auf, so entsteht eine neue Folge: s 0 := a 0 s := a 0 +a s 2 := a 0 +a +a 2. s n := a 0 +a +a 2 + +a n = a. Die Folge (s n ) n N dieser Partialsummen wird (unendliche) Reihe genannt. Die a n heißen Glieder der Reihe. a Man sagt die Reihe onvergiert, genau dann, wenn die Folge s n onvergiert. Im falle der Konvergenz, heißt s := lim s n = lim a Grenzwert der Reihe n n BEISPIEL: GEOMETRISCHE REIHE Zur Erinnerung: für eine feste reelle Zahl q : a := q s n := lim n : geometrische Reihe q = +q +q 2 + +q n = qn+ q q = q q < Die geometrische Reihe onvergiert genau dann, wenn q <. (Beweis: erweitere mit ( q)) Reihen : spezielle Folgen! Konvergenzriterien für Folgen gelten hier genauso!! Es gibt aber noch einige pratische, spezielle Kriterien!! Konvergenzriterien für Reihen Notwendige Bedingung: lim a = 0. Reicht das? NEIN!!
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 3 BEISPIEL: HARMONISCHE REIHE a = lim a = 0 Aber für n = 2 m : s n = + ( 2 + 3 + ) ( + 4 5 + 6 + 7 + ) + 8 ( + 2 m + + + ) 2 m + ( 2 + 4 + ) ( + 4 8 + 8 + 8 + ) + + 8 ( 2 + + ) m 2 m = + 2 + 2 + 2 + + 2 (m ) MERKE: ) a 0 reicht also nicht! Die a müssen schnell genug gegen Null gehen! 2) Was am Anfang der Reihe passiert ist egal! Hauptsache für große geht es schnell genug gegen Null! 7 6 5 4 3 2 Reihen mit a = (4/5) bzw. b = / 0 0 50 00 50 function reihea(nmax) axis ([0 nmax+ -0.5.2]) s=zeros (,nmax); % Vetoren s, s2 und a der Länge s2=zeros (,nmax); % nmax werden angelegt. Komponenten a=zeros (,nmax); % werden = 0 gesetzt a()=; % erstes Folgeglied s()=; s2()=; % erste Partialsumme hold on % Zeichenpapier wird festgehalten for =2::nmax; a ()=a(-)*4/5; % Berechnung des nächsten Folgeglieds s ()=s(-)+/; % Summation harmonische Reihe s2 ()=s2(-)+a (); % Summation des neuen Folgeglieds end plot (s, r* ) % druct für jedes Folgeglied einen roten Stern % mit Koordinaten (n,a_n) plot (s2, b- ) % druct für jede Partialsumme einen Punt % mit Koordinaten (n,a_n)
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 4 Majoranten/Minoranten-Kriterium a b 0 und b onvergent = a onvergent b =: Majorante für 0 b a 0 und b =: Minorante für a b divergent = a a divergent häufig Majoranten q q < = r r > benutzte Minoranten q q > = BEISPIEL : s n := Für große : 2 3 + 2 3 + 2 3 = Vermutung : divergent! Minorante Fazit : ABER: und = = = =2 =? 2 3 + = + < 2 ann nicht diret als Minorante verwendet werden. = + = = =2 + 2 3 + = + + 2 divergent divergent = = + Minorante für 2 3 +.
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 5 BEISPIEL 2: s n := = (3 +sin()) 2 Für große verhalten sich die Summanden fast wie (/3) 2 Vermutung : Konvergenz, Majorante: Vielfaches von 2??? (3 +sin()) 2 (3 ) 2 = (2 +( )) 2 (2) 2 > 0 (3 +sin()) 2 (2) = s 2 n := (3 +sin()) 2 4 2 DadieReihe = = (3 +sin()) 2 = onvergiert, onvergiertnachdemmajorantenriteriumauchdiereihe 2 Als Folgerung aus dem Mojorantenriterium, erhält man (mit geometrischer Reihe als Majorante): Quotientenriterium Version A) a + a q < für groß genug = a onvergent. a + a q > für groß genug = a divergent. Quotientenriterium Version B) lim a + < = absolute Konvergenz a = q > = Divergenz = =????? eine Aussage und: Wurzelriterium Version A) a q < für groß genug = a q > für groß genug = = a onvergent. a divergent. Wurzelriterium Version B) < = absolute Konvergenz lim a = q > = Divergenz = =????? eine Aussage Faustregel : Quotienten bzw. Wurzelriterium oft (nicht immer!) bei Faultäten und Exponentialfuntionen hilfreich! Nicht anwendbar, wenn die a nur polynomial fallen!
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 6 BEISPIEL 3: = 2 5 Alternative i) geometrische Reihe = 2 5 = = [ 5 2 5 = 5 + ] 2 = 5+5 5 2 5 = 0 3 Alternative ii) Quotientenriterium a + a = 2 =: q < = abs. onvergent. 5 Alternative iii) Wurzelriterium lim a = 2 5 lim 2 5 = = abs. onvergent. 5 BEISPIEL 4: = 5 onvergiert nach dem Majorantenriterium. Majorante Keine Chance mit Quotienten bzw. Wurzelriterium: Ausdrüce wachsen/fallen polynomial! = 4. a + a = lim a + a ( + ) ( +) 5 = 5 =. Leibniz-Regel: Eine alternierende Reihe ( ) 5 ( = )( ) 5 + + s n = ( ) a a 0 mit a monoton fallend, lim a = 0 onvergiert. Es gilt die Einschließung: 2n s 2n = ( ) a s := ( ) a s 2n = sowie die folgende Schrane für den Abbruchfehler 2 ( ) a Veanschaulichung : vor Ort! s s n a n+
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 7 BEISPIEL Aus der Vorlesung:Alternierende harmonische Reihe: Es gelten: a = > 0, lim a = 0, a + = + < = a Die Reihe onvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. ( ) + = Alternierende Harmonische Reihe 0.8 s n 0.6 0.4 0.2 0 ( ) n+ a n 0.2 0.4 0 0 20 30 40 50 n BEISPIEL 5: (Klausur 04, Oberle/Kiani 2003) Begründen Sie, dass die folgende Reihe onvergiert, und geben Sie eine obere und eine untere Schrane für den Grenzwert an ( ) ( +)(+2)( +3) Mit a = ( +)( +2)(+3) gilt offensichtlich a > 0 und 0 < a = ( +)(+2)(+3) < + < = lim a = 0 (Nullfolge) Außerdem gilt a + ( +)( +2)(+3) = a ( +2)( +3)(+4) = + +4 < Die Folge der a fällt also monoton. Die Reihe onvergiert nach Leibniz. Es gilt 2n ( ) ( +)( +2)(+3) < s < 2 Zum Beispiel: 8 = a 0 a s a 0 = 6 ( ) ( +)( +2)(+3). Zusatz: Geben Sie ein n N an, so dass der Abbruchfehler s s n leiner als 0 3 wird! s s n a n. Es reicht n = 9.
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 8 Auswahl eines geeigneten Kriteriums: Finde die bestimmenden Terme : i.d.r. die betragsmäßig am schnellsten wachsenden Terme aus Zähler und Nenner. Unterscheide A) a geht polynomial gegen Null, wie r, r > ( ) 3 Beispiel: 4 + O 6 B) a geht exponentiell gegen Null, wie q, q <!, 2 C) a geht höchstens wie gegen Null, wie ln(), ln()+2, ( ) Wähle geeignetes Konvergenzriterium. a geht exponentiell polynomial höchstens gegen Null wie wie q, q < r > r Beispiele a = 2 5 a = ( ) 4 + a = 2 3 + a = e 2 a = ( ) e! a = ln()+ a = 4! a = (3 +sin()) 2 passende Wurzel- und Evtl. Majorante evtl. Leibniz Kriterien Quotientenriterium m,m > für Konvergenz evtl. oder bzw. Majorante Leibniz Minorante q, q <
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 9 Weitere Beispiele : a) ( ) n n+6 n(n+) n= b) e 2 (Klausur 2000) c) d) d n := e) f) Es gilt ( ) 2 +3 (Klausur 2003) 3 +2 = ) 2 2 ( 2 2 + sin(x) = (Klausur 2000) ( ) x 2+ (2 +)! (Beweis: später) Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) eine Näherung T() von sin() mit einem gesicherten absoluten Fehler von höchstens 0 3. D.h.: T() sin() 0 3
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 0 a) n= ( ) n n+6 n(n+) Mit a n := n+6 n(n+) gilt wegen n,n+,n+6 > 0 offensichtlich a n > 0. Außerdem gilt und es ist a n+ a n = lim a n = lim n n + n+7 (n+)(n+2) n(n+) n+6 6 n n+ = 0 = n2 +7n n 2 +8n+2 < d.h., dass die Folge der a n streng monoton fällt. (Hier braucht man a n > 0 ) Alternative zum letzten Schritt: a n a n+ = (n+6)(n+2) n(n+7) n(n+)(n+2) = n+2 n(n+)(n+2) > 0 (Hier braucht man a n > 0 nicht!) DieFolgeder a n istalsostrengmonotonfallendgegennull.damitsinddievorraussetzungen zur Anwendung des Leibniz Kriteriums erfüllt. b) e 2 (Klausur 2000) Der Term e 2 ist der bestimmende Term und geht exponentiell gegen Null. Wir versuchen es mit dem Quotientenriterium. a + a = + e2 e (+)2 = e2 + e 2 = e (+)2 e + (2 +2+) = + < e (2+) e 2 = q < 3 Die Reihe onvergiert nach dem Quotientenriterium. ( ) 2 +3 c) (Klausur 2003) 3 +2 steht im Exponenten : Versuch mit Wurzelriterium Version B (2 ) +3 2 +3 lim = lim 3 +2 3 +2 = lim 2+3/ 3+2/ = 2 3 = q < Die Reihe onvergiert nach dem Wurzelriterium. d) d n := = 2 2 +
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 e) ( 2 ) 2 (Klausur 2000) Wie Beispiel c: Der ganze Ausdruc wird hoch genommen: Wurzelriterium? ( ) = 2/e < lim a = lim 2 Die Reihe onvergiert nach dem Wurzelriterium. f) ( ) ( ) < 3 + 3 + ( ) 3 onvergiert, onvergiert unsere Reihe nach dem Ma- Da die geometrische Reihe für q = 3 jorantenriterium.
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 2 Stetigeit und Grenzwerte von Funtionen Definition: Sei D R, f : D R. f heißt stetig in x 0 D, wenn A) für jede Folge (x n ) n N in D lim x n = x 0 = lim f(x n ) = f(x 0 ) n n bzw. B) ǫ > 0, δ > 0, so dass x D und x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ǫ. f heißt linsseitig (bzw. rechtsseitig) stetig in x 0 D, wenn für jede Folge (x n ) n N,x n < x 0 ( bzw. x n > x 0 )in D lim x n = x 0 = lim f(x n ) = f(x 0 ) n n Grenzwerte von Funtionen Definition: Sei D R, f : D R und x 0 ein Häufungspunt von D. Für jede Folge (x n ) n N in D mit x n x 0, x n x 0 gelte lim n f(x n ) = c. Dann sagt man f(x) onvergiert für x x 0 gegen den Grenzwert c und schreibt lim f(x) = c. x x 0 Linsseitige bzw. rechtsseitige Grenzwerte lim f(x) =: lim f(x) = c. x x 0,x<x 0 x x 0 lim f(x) =: lim f(x) = c. x x 0,x>x 0 x x 0 + Beispiele für Grenzwerte: h : R R, h(x) := { 0 x < 0 x 0, x 0 = 0 D,h(x 0 ) = Heavyside Funtion y 0.8 0.6 0.4 0.2 0 x 0.2 2.5 0.5 0 0.5.5 2 Abbildung : Sprungstelle
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 3 20 /x 2 8 6 4 2 0 8 6 4 2 0 2.5 0.5 0 0.5.5 2 Abbildung 2: Pol f : R\{0} R g : R R f(x) = x 2 g(x) = x 2 x 0 g(x) = a x = 0 x 0 = 0 / D x 0 = 0 D 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 y=cos(/x 2 ) 0.6 0.8 0 0.5.5 2 2.5 Abbildung 3: Oszillation c : R { R cos ( ) x 0 c(x) = x 2 a x = 0 x 0 = 0 D Nachweis der Unstetigeit: nächste Anleitung
Anleitung zu Blatt 4 Analysis I, H. P. Kiani, WiSe 20/202 4 Zum Nachweis der Stetigeit : Elementare Funtionen sind in ihren Definitionsbereichen stetig Summe, Produt, Quotient, Kompositionen stetiger Funtionen sind stetig. Beispiel: x, x x, x sin(x) stetig in R = x /x stetig in R\{0} = x sin(/x) stetig in R\{0} Stetige Ergänzung : Beispiel : Bestimmen Sie a R so, dass die Funtion f : R R stetig wird. x 3 +x 2 +x+ für x f(x) = x+ a für x 0 = Die einzige problematische Stelle ist x =. In allen anderen Punten ist die Funtion als Vernüpfung stetiger Funtionen stetig. x : f(x) = x3 +x 2 +x+ x+ und = x 2 + =: f(x) lim x f(x) = lim x f(x) = f( ) = 2 { f(x) x f(x) := ist auf ganz R Stetig. 2 x = Beispiel 2: Zeigen Sie, dass die Funtion f : R R ( sin ln( ) f(x) = x ) sin(x) für x 0 a für x = 0 bei geeigneter Wahl von a R stetig auf ganz R ist. Einzige problematische Stelle : x = 0. ( ( lim sin ln( ) ) x 0 x ) sin(x) =