Operaions Research und Wirschafsinformaik Prof. Dr. P. Rech // Marius Radermacher, M.Sc. DOOR Aufgabe 33 Versicherungsechnik Übungsbla 10 Abgabe bis um Diensag, dem 20.12.2016 um 10 Uhr im Kasen 19 Der 23-jährige, engagiere Chemiesuden Lars Leichsinn beschließe, mi Beginn seines gerade gesareen praisorienieren Chemiesudiums eine Risikoversicherung mi vierjähriger Versicherungdauer abuschließen. Die verraglich vereinbare Todesfallsumme berage im k-en Versicherungsjahr (in Euro) T k = 10 000 1,02 k 1, 1 k 4. Besimmen Sie bie die für diesen Verrag u ahlende Neo-Einmalprämie. Lösungsvorschlag: Neoeinmalprämie gemäß Äquivalenprinip besimmen. d.h. 4 P einmal = BB 0 = LB 0 = p q + L (1) v +1 v () =0 =L, mi L (1) 4 =0 3 = p q + T +1 v +1 = 10 000 =0 3 p q + 1,02 v +1 =0 (1 Punk) Aufgabe 34 Gegeben sei ein Lebensversicherungsarif u dessen Abschluss ein -Jähriger bei einer Laufei von n Jahren die über die gesame Laufei gleichbleibende Neoprämie P u enrichen ha. Der Leisungsbarwer um Verragsabschluss werde mi A, n beeichne und für die Versicherungssumme gele V S = 1. a) Geben Sie bie eine Gleichung ur Besimmung der Neoprämie P an. b) Dem Versicherungsunernehmen ensehen bei Abschluss des Versicherungsverrages Kosen, die je berücksichig werden sollen. Erläuern Sie in diesem Zusammenhang gan allgemein den Begriff Zillmerung. Warum werden Abschlusskosen in der Regel geillmer? c) Die bei Abschluss des Verrages anfallenden absoluen Kosen Z sollen in der Kalkulaion der Prämie berücksichig und in vollem Umfang geillmer werden. Geben Sie bie eine Gleichung für die sog. geillmere Neoprämie P auf Grundlage der reinen Neoprämie. Wie kann diese Gleichung inerpreier werden? d) Sellen Sie bie eine Gleichung für die sog. Zillmerreserve oder geillmere Deckungsrücksellung V auf und eigen Sie: Sofern keine weieren Kosen ensehen gil V V für alle 0 n 1. (2 Punke)
Lösungsvorschlag: -Jähriger, Laufei n Jahre, gleichbleibende Neoprämie P, Leisungsbarwer A, n, V S = 1 a) Neoprämie: Wegen Äquivalenprinip gil: LB 0 = BB 0 A, n = P ä, n P = A, n ä, n b) Zillmerung: speielle Inrechnungsellung von Abschlusskosen u Beginn des Versicherungsjahres, die für das Zusandekommen des Verrages relevan sind. Warum werden Kosen geillmer? VN i.d.r. nich berei, die Kosen direk u beahlen VU belase das Deckungskapial mi diesen Kosen! DK wird negaiv, d.h. 0 V < 0. Durch Beiragsahlung des VN seig DK schließlich auf fesgelege Endsumme geh nur, indem VN höhere Beiräge ahl als ohne Zillmerung ungeillmer α Z S geillmer Beispiel: gemische Versicherung c) Gesuch: geillmere Neoprämie Z P Z BB 0 = Z LB 0 Z P ä, n = A, n + Z mi A, n = P ä, n folg Z P ä, n = P ä, n + Z : ä, n Z P = P + Z ä, n die Zillmerkosen werden also verrene und auf normale Neoprämie aufgeschlagen.
d) Zillmerreserve V Zu eigen: V V für 0 n 1 V = A +, n Z P ä +, n ( ) = A +, n P + Z ä, n ä +, n Z = A +, n P ä +, n ä, n = V V = V Z ä +, ä n, n 0 ä +, n Wegen Z 0, ä, n 0, ä +, n 0 folg V V 0 n 1 Aufgabe 35 Ein 20-jähriger Mann schließe über einen Lebensversicherungsverrag eine gemische Lebensversicherung bei idenischer Todes- und Erlebensfallleisung mi einer Versicherungsdauer von n = Jahren ab. Die Zahlung der laufenden Beiräge erfolg dabei jährlich vorschüssig über die gesame Versicherungsdauer. Der Versicherung werden die folgenden Kosenuschläge u Grunde geleg: α γ = 1,0 der Beiragssumme (ensprich der Summe der ausreichenden Jahresprämien), vorschüssig ahlbar für jedes Jahr der Versicherungsdauer, β = 3% der ausreichenden Jahresprämie, vorschüssig ahlbar für jedes Jahr der Versicherungsdauer und γ = 2,0 der Beiragssumme, vorschüssig ahlbar für jedes Jahr der Versicherungsdauer. Die Abschlusskosen werden als α der Beiragssumme einmalig u Versicherungsbeginn geillmer. Die Versicherung sell sich nun die Frage, wie hoch der Abschlusskosensa α als Promillesa maimal sein darf, dami das ausreichende Deckungskapial nach wei Jahren bereis posiiv is. a) Besimmen Sie unächs das Neo-Deckungskapial 2 V 20. b) Wie läss sich die ausreichende Prämie P20 a für den u Grunde liegenden Versicherungsverrag bei gegebenem Abschlusskosensa berechnen? c) Geben Sie ur Besimmung von α eine Gleichung für das geillmere Deckungskapial 2 V 20 an! Wie groß darf α hier maimal gewähl werden? (3 Punke)
Lösungsvorschlag: Gegeben sei: = 20, n =, VS=idenisch für Todes- und Erlebensfall. Sei o.b.d.a. VS = 1 Gesuch: α (in Promille) a) Neo-Deckungskapial 2 V 20 2V 20 = LB 2 BB 2 = A 22, 43 P 20 ä 22, 43 = A 22, 43 A 20, ä 22, 43 = 1 d ä 22, 43 (1 d ) ä22, 43 = 1 d ä 22, 43 ä22, 43 + d ä20, ä 22, 43 = 1 ä22, 43 = 1 (N 22 N 65 ) D 20 (N 20 N 65 ) D 22 = 1 0,9846146 = 0,01538537 b) Ausreichende Prämie P a 20 Wegen des Äquivalenprinips gil: P (a) = A, n ä, n + Z(a) ä, n = P + α n = P + P (a) = ä, n P (a) + γ S (a) + β P (a) + α γ S (a) + P (a) (γ n + β + α γ n) ( α n + γ n + β + α γ n) ä, n P (1 α n ä, n γ n β α γ n) A, n = (1 γ n β α γ n) ä, n α n P (a) A 20, = 0,835 α c) Geillmeres Deckungskapial 2 V 20 Allgemein ( > 0): V (a) = A +, n + α γ S (a) ä +, n + γ S (a) ä +, n + β P (a) ä +, n
D. h. hier P (a) ä +, n P (a) = A +, n (1 γ n β α γ n) ä +, n = A +, n (1 γ n β α γ n α n α n ä, n = A +, n P ä +, n Z (a) = V Z (a) P (a) ä +, n ä+, n ä, n ä+, n ä, n 2 V (a) 20 = 2 V 20 α P (a) 20 ä22, 43! > 0 2 V 20 > α P (a) 20 ä22, 43 b) 2 V 20 > α A 20, ä, n (1 γ β α γ ) =0,835 ) P (a) ä +, n α ä22, 43 ( ) 2 V 20 (0,835 α ) > α A 20, ä22, 43 2 V 20 0,835 2 V 20 0,835 2V 20 0,835 ( 2 V 20 + A 20, ä22, 43 ) 2 V 20 α > α A 20, ä22, 43 > α ( 2 V 20 + A 20, ä22, 43 ) > α (*) Es gil α 0,025 und in aller Regel > 1,34730539. Aufgabe 36 Speialisieren Sie die versicherungsmahemaische Bilangleichung für folgende Versicherungen: a) n-jährige Risikolebensversicherung, b) Erlebensfallversicherung, c) Kapialbildende Lebensversicherung d) Aufgeschobene lebenslange Leibrenenversicherung mi abgekürer Beiragsahlungsdauer. Berücksichigen Sie dabei die Ihnen bekannen Kosenaren und beachen Sie die daraus resulierenden Fallunerscheidungen. (5 Punke)
Lösungsvorschlag: Zunächs sind in der folgenden Tabelle die unerschiedlichen Kosenaren, ihre Beugsgrößen sowie ihre Fälligkeisermine dargesell. Mi S = n 1 =0 B(a) wird hierbei die Summe der ausreichenden Beiräge beeichne. Kosenar Beugsgröße Fälligkei Abschlusskosen α Z S einmalig in = 0 α γ S während Verragslaufei gemäß Armoisaionsprofil k = (k 0, k 1,..., k n 1 ) Verwalungskosen β laufend während der Beiragsahlungsdauer γ S laufend während der Versicherungsdauer σ laufend während der Versicherungsdauer B (a) a) Für die n-jährige Risikolebensversicherung ergeben sich die folgenden Bilangleichungen für 0 n 1: V (a) V (a) mi 0 V (a) = L + k α γ S + β B (a) + γ S + σ + p + +1 V (a) v +1 = q + L (1) v +1 + (k α γ + γ ) S + β B (a) + σ + p + +1 V (a) v +1 = α Z S und n V (a) = 0. b) Für die n-jährige Erlebensfallversicherung ergeben sich die folgenden Bilangleichungen für 0 n 1: mi 0 V (a) V (a) = (k α γ + γ ) S + β B (a) = α Z S und n V (a) = L n. + σ + p + +1 V (a) v +1 c) Für die Kapialbildende Lebensversicherung ergeben sich die folgenden Bilangleichungen für 0 n 1: V (a) mi 0 V (a) = q + L (1) v +1 + (k α γ + γ ) S + β B (a) + σ + p + +1 V (a) v +1 = α Z S und n V (a) = L n. d) Für die Leibrenenversicherung wei Fälle unerschieden, wobei mi m die Beiragsahlungsdauer und mi n der Reneneinriseipunk beeichne wird. (i) m n Für 0 m 1 (nur Beiräge, keine Leisungen): V (a) = (k α γ + γ ) S + β B (a) Für m n 1 (weder Beiräge noch Leisungen): V (a) Für n ω (nur Leisungen): mi 0 V (a) + σ + p + +1 V (a) v +1 (1) = (k α γ + γ ) S + σ + p + +1 V (a) v +1 (2) V (a) = L (0) + (k α γ + γ ) S + σ + p + +1 V (a) v +1 (3) = α Z S und ω +1 V (a) = 0
(ii) m > n Für 0 n 1 (nur Beiräge, keine Leisungen): V (a) = (k α γ + γ ) S + β B (a) Für n m 1 (Beiräge und Leisungen): V (a) + σ + p + +1 V (a) v +1 (1) = L (0) + (k α γ + γ ) S + β B (a) + σ + p + +1 V (a) v +1 (4) Für m ω (nur Leisungen): mi 0 V (a) V (a) = L (0) + (k α γ + γ ) S + σ + p + +1 V (a) v +1 (3) = α Z S und ω +1 V (a) = 0